Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Сайты, меню, вход, новости
Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Спрятать решение
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому
Ответ: 2,5.
Каталог заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д4 № 244988 
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Аналоги к заданию № 244988: 254351 254353 254355 254357 254359 254361 254363 254365 254367 254369 … Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
На какие числа делится число онлайн калькулятор. Посчитать делители числа.
Какие числа делятся на 244988?
На число 244988 без остатка (нацело) делятся следующие числа: 244988, 489976, 734964, 979952, 1224940, 1469928, 1714916, 1959904, 2204892, 2449880, 2694868, 2939856 и многие другие.
Какие четные числа делятся на 244988?
На число 244988 делятся следующие четные числа: 244988, 489976, 734964, 979952, 1224940, 1469928, 1714916, 1959904, 2204892, 2449880, 2694868, 2939856 и многие други.
Какие нечетные числа делятся на 244988?
Таких чисел нет
На какое наибольшее число делится число 244988 без остатка?
Наибольшее число на которое делится число 244988 есть само число 244988. т.е делиться на само себя без остатка.
На какое наибольшее число делится число 244988 без остатка, не считая числа 244988 и 1?
Наибольшим делителем числа 244988 не считая самого числа 244988 является число 122494.
Какое наименьшее натуральное число делится на 244988?
Наименьшее натуральное число которое делиться на число 244988 является само число 244988.
На какое наименьшее натуральное число делится число 244988?
Наименьшее натуральное число на которое можно разделить число 244988 — это число 1.
Делители числа 244988.
(что бы не забыть запишите все делители числа 244988 в блокнот.)На какие целые и(или) натуральные числа делится число 244988?
Число 244988 делится на следующие целые, натуральные числа (все делители числа 244988): 1, 2, 4, 73, 146, 292, 839, 1678, 3356, 61247, 122494, 244988
На какие четные числа делится число 244988?
Число 244988 делится на следующие четные числа (четные делители числа): 2, 4, 146, 292, 1678, 3356, 122494, 244988
На какие нечетные числа делится число 244988?
Число 244988 делится на следующие нечетные числа (нечетные делители числа): 1, 73, 839, 61247
Сколько делителей имеет число 244988?
Число 244988 имеет 12 делителей
Сколько четных делителей имеет число 244988?
Число 244988 имеет 8 четных делителей
Сколько нечетных делителей имеет число 244988?
Число 244988 имеет 4 нечетных делителя
Число 244988 прописью, словами.
— двести сорок четыре тысячи девятьсот восемьдесят восемь
(что бы не забыть запишите число 244988 прописью в блокнот.)
Числа кратные 244988.
— кратные числа, числу 244988 : 489976, 734964, 979952, 1224940, 1469928, 1714916, 1959904, 2204892, 2449880, 2694868, 2939856 и многие другие.
Простые множители числа 244988.
У числа 244988 нет простых множителей кроме 1.
Сумма цифр числа 244988.
Сумма цифр числа 244988 равна 35
Произведение цифр числа 244988.
Произведение цифр числа 244988 равна 18432
Квадрат числа 244988.
Квадрат числа 244988 равен 60019120144
Куб числа 244988.
Куб числа 244988 равен 14703964205838272
Квадратный корень числа 244988.
Квадратный корень числа 244988 равен 494.9626.
Число 244988 в двоичной системе счисления.
Запись числа 244988 в двоичной системе счисления выглядит так: 111011110011111100
Количество значащих нулей в двоичной записи числа 244988 = 5
Количество едениц в двоичной записи числа 244988 = 13
(что бы не забыть запишите число 244988 в двоичной системе счисления в блокнот.)Число 244988 в шестнадцатеричной системе счисления.
Запись числа 244988 в шестнадцатеричной системе счисления выглядит так: 3bcfc
(что бы не забыть запишите число 244988 в шестнадцатеричной системе счисления в блокнот.)Число 244988 в восьмеричной системе счисления.
Запись числа 244988 в восьмеричной системе счисления выглядит так: 736374
(что бы не забыть запишите число 244988 в восьмеричной системе счисления в блокнот.)Число 244988 не является простым!
Корни числа 244988.
Корень 3 степени из 244988.
Корень 3 (третьей) степени из 244988 равен 62.57222583604
Корень 4 степени из 244988.
Корень 4 (четвертой) степени из 244988 равен 22.247755501435
Корень 5 степени из 244988.
Корень 5 (пятой) степени из 244988 равен 11.962693135739
Корень 6 степени из 244988.
Корень 6 (шестой) степени из 244988 равен 7.9102607944391
Корень 7 степени из 244988.
Корень 7 (седьмой) степени из 244988 равен 5.8867803335634
Корень 8 степени из 244988.
Корень 8 (восьмой) степени из 244988 равен 4.7167526436559
Корень 9 степени из 244988.
Корень 9 (девятой) степени из 244988 равен 3.9700307263501
Корень 10 степени из 244988.
Корень 10 (десятой) степени из 244988 равен 3.4587126413941
Корень 11 степени из 244988.
Корень 11 (одиннадцатой) степени из 244988 равен 3.0897422791094
Корень 12 степени из 244988.
Корень 12 (двенадцатой) степени из 244988 равен 2.8125185856166
Корень 13 степени из 244988.
Корень 13 (тринадцатой) степени из 244988 равен 2.5974643818954
Корень 14 степени из 244988.
Корень 14 (четырнадцатой) степени из 244988 равен 2.4262688090077
Корень 15 степени из 244988.
Корень 15 (пятнадцатой) степени из 244988 равен 2.2870534833593
Степени числа 244988.
244988 в 3 степени.
244988 в 3 степени равно 14703964205838272.
244988 в 4 степени.
244988 в 4 степени равно 3.6022947828599E+21.
244988 в 5 степени.
244988 в 5 степени равно 8.8251899426328E+26.
244988 в 6 степени.
244988 в 6 степени равно 2.1620656336657E+32.
244988 в 7 степени.
244988 в 7 степени равно 5.296801354605E+37.
244988 в 8 степени.
244988 в 8 степени равно 1.297652770262E+43.
244988 в 9 степени.
244988 в 9 степени равно 3.1790935688094E+48.
244988 в 10 степени.
244988 в 10 степени равно 7.7883977523548E+53.
244988 в 11 степени.
244988 в 11 степени равно 1.9080639885539E+59.
244988 в 12 степени.
244988 в 12 степени равно 4.6745278042784E+64.
244988 в 13 степени.
244988 в 13 степени равно 1.1452032177146E+70.
244988 в 14 степени.
244988 в 14 степени равно 2.8056104590145E+75.
244988 в 15 степени.
244988 в 15 степени равно 6.8734089513305E+80.
Какое число имеет такую же сумму цифр как и число 244988?Математика. Найти сумму цифр числа 244988.
Число 244988 состоит из следующих цифр — 2, 4, 4, 9, 8, 8.
Определить сумму цифр числа 244988 не так уж и сложно.
Сумма цифр шестизначного числа 244988 равна 2 + 4 + 4 + 9 + 8 + 8 = 35.
Числа сумма цифр которых равна 35.
Следующие числа имеют такую же сумму цифр как и число 244988 — 8999, 9899, 9989, 9998, 17999, 18899, 18989, 18998, 19799, 19889, 19898, 19979, 19988, 19997, 26999, 27899, 27989, 27998, 28799, 28889.
Четырехзначные числа сумма цифр которых равна 35 — 8999, 9899, 9989, 9998.
Пятизначные числа сумма цифр которых равна 35 — 17999, 18899, 18989, 18998, 19799, 19889, 19898, 19979, 19988, 19997.
Шестизначные числа сумма цифр которых равна 35 — 107999, 108899, 108989, 108998, 109799, 109889, 109898, 109979, 109988, 109997.
Квадрат суммы цифр числа 244988.
Квадрат суммы цифр шестизначного числа 244988 равен 2 + 4 + 4 + 9 + 8 + 8 = 35² = 1225.
Сумма квадратов цифр шестизначного числа 244988.
Сумма квадратов цифр числа 244988 равна 2² + 4² + 4² + 9² + 8² + 8² = 4 + 16 + 16 + 81 + 64 + 64 = 245.
Сумма четных цифр числа 244988.
Сумма четных цифр шестизначного числа 244988 равна 2 + 4 + 4 + 8 + 8 = 26.
Квадрат суммы четных цифр шестизначного числа 244988.
Квадрат суммы четных цифр числа 244988 равна 2 + 4 + 4 + 8 + 8 = 26² = 676.
Сумма квадратов четных цифр шестизначного числа 244988.
Сумма квадратов четных цифр числа 244988 равна 2² + 4² + 4² + 8² + 8² = 4 + 16 + 16 + 64 + 64 = 164.
Сумма нечетных цифр числа 244988.
Сумма нечетных цифр шестизначного числа 244988 равна 9 = 9.
Квадрат суммы нечетных цифр шестизначного числа 244988.
Квадрат суммы нечетных цифр числа 244988 равна 9 = 9² = 81.
Сумма квадратов нечетных цифр шестизначного числа 244988.
Сумма квадратов нечетных цифр числа 244988 равна 9² = 81 = 81.
Произведение цифр числа 244988.
Какое число имеет такое же произведение цифр как и число 244988?Математика. Найти произведение цифр числа 244988.
Число 244988 состоит из следующих цифр — 2, 4, 4, 9, 8, 8.
Найти сумму цифр числа 244988 просто.
Решение:
Произведение цифр числа 244988 равно 2 * 4 * 4 * 9 * 8 * 8 = 18432.
Числа произведение цифр которых равно 18432.
Следующие числа имеют такое же произведение цифр как и число 244988 — 48889, 48898, 48988, 49888, 66888, 68688, 68868, 68886, 84889, 84898, 84988, 86688, 86868, 86886, 88489, 88498, 88668, 88686, 88849, 88866.
Пятизначные числа произведение цифр которых равно 18432 — 48889, 48898, 48988, 49888, 66888, 68688, 68868, 68886, 84889, 84898.
Шестизначные числа произведение цифр которых равно 18432 — 148889, 148898, 148988, 149888, 166888, 168688, 168868, 168886, 184889, 184898.
Квадрат произведения цифр числа 244988.
Квадрат произведения цифр шестизначного числа 244988 равен 2 * 4 * 4 * 9 * 8 * 8 = 18432² = 339738624.
Произведение квадратов цифр шестизначного числа 244988.
Произведение квадратов цифр числа 244988 равна 2² * 4² * 4² * 9² * 8² * 8² = 4 * 16 * 16 * 81 * 64 * 64 = 339738624.
Произведение четных цифр числа 244988.
Произведение четных цифр шестизначного числа 244988 равно 2 * 4 * 4 * 8 * 8 = 2048.
Квадрат произведения четных цифр шестизначного числа 244988.
Квадрат произведения четных цифр числа 244988 равен 2 * 4 * 4 * 8 * 8 = 2048² = 4194304.
Произведение квадратов четных цифр шестизначного числа 244988.
Произведение квадратов четных цифр числа 244988 равно 2² * 4² * 4² * 8² * 8² = 4 * 16 * 16 * 64 * 64 = 4194304.
Запишите числа которые в сумме дают число 244988.
Задача: Данно число 244988.Какие 2(два) числа дают в сумме число 244988?Решение:
1) 50987 + 194001 = 244988
2) 52727 + 192261 = 244988
3) 121182 + 123806 = 244988
4) 83674 + 161314 = 244988
5) 19447 + 225541 = 244988
Какие 3(три) числа дают в сумме число 244988?Решение:
1) 74156 + 46204 + 124628 = 244988
2) 49619 + 63564 + 131805 = 244988
3) 929 + 87167 + 156892 = 244988
4) 62952 + 81321 + 100715 = 244988
5) 7858 + 1238 + 235892 = 244988
Какие 4(четыре) числа дают в сумме число 244988?Решение:
1) 5351 + 39290 + 16934 + 183413 = 244988
2) 37423 + 40732 + 42317 + 124516 = 244988
3) 100 + 39552 + 84076 + 121260 = 244988
4) 9647 + 2717 + 107831 + 124793 = 244988
5) 43349 + 62032 + 2923 + 136684 = 244988
Какие 5(пять) чисел дают в сумме число 244988?Решение:
1) 13524 + 2395 + 49246 + 37283 + 142540 = 244988
2) 27238 + 1153 + 1979 + 54808 + 159810 = 244988
3) 44019 + 10476 + 42149 + 58472 + 89872 = 244988
4) 43396 + 10803 + 16508 + 53170 + 121111 = 244988
5) 12928 + 17472 + 7842 + 67501 + 139245 = 244988
Целое рациональное
число 244988
– составное.
35 — сумма всех цифр данного числа.
У числа 244988 12 делителя: 1, 2, 4, 73, 146, 292, 839, 1678, 3356, 61247, 122494, 244988.
Обратное число к 244988 – это 0.000004081832579554917.
Число 244988 представляется произведением простых чисел: 2 * 2 * 73 * 839.
Представление числа 244988 в других системах счисления:
двоичная система: 111011110011111100, троичная: 110110001122, восьмеричная: 736374, шестнадцатеричная: 3BCFC.
239 килобайтов 252 байта представляет из себя число байт 244988.
Число 244988 азбукой Морзе: ..— ….- ….- —-. —.. —..
Число не является числом Фибоначчи.
Косинус 244988: 0.9487, синус 244988: 0.3162, тангенс 244988: 0.3333.
Число 244988 имеет натуральный логарифм: 12.4090.
Десятичный логарифм числа равен 5.3891.
Квадратный корень: 494.9626, а кубический корень: 62.5722.
Возведение числа в квадрат: 6.0019e+10.
Число 244988 в секундах это 2 дня 20 часов 3 минуты 8 секунд .
Нумерологическое цифра числа 244988 — 8.
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.
Линейные уравнения
Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$
Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.
$5 (5 + 3х) — 10х = 8$
Раскроем скобки.
$25 + 15х — 10х = 8$
Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.
$15х — 10х = 8 — 25$
Приведем подобные слагаемые.
$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.
После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$
$х=-{17}/{5}$
$х = — 3,4$
Ответ: $- 3,4$
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.
Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.
- $a$ — старший коэффициент;
- $b$ — средний коэффициент;
- $c$ — свободный член.
Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.
Решение неполных квадратных уравнений
Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.
1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.
Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
$x = 0; ax + b = 0$
2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.
Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$
$4х^2 — 5х = 0$
Вынесем х как общий множитель за скобки:
$х (4х — 5) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.
$x = 0$ или $4х — 5 = 0$
$х_1 = 0 х_2 = 1,25$
Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$
Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$
Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.
$ax^2 + c = 0$
$ax^2 = — c$
$x_2 = {-c}/{a}$
При решении последнего уравнения возможны два случая:
если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$
если ${-c}/{a}<0$, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.
$x^2 — 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x = ±4$
Ответ: $х_1 = 4, х_2 = — 4$
Решение полного квадратного уравнения
Решение с помощью дискриминанта
Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение
$b^2 — 4ac$.
При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:
1. $D > 0$. Тогда корни уравнения равны:
$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$
2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:
$x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$
3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.
$3х^2 — 11 = -8х$
Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней
$3х^2 + 8х — 11 = 0$
$a = 3 ,b = 8, c = — 11$
$D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$
$x_{1}={-b+√D}/{2a}={-8+14}/{6}=1$
$x_{2}={-b-√D}/{2a}={-8-14}/{6}=-3{2}/{3}$
Ответ: $x_1=1, x_2=-3{2}/{3}$
Устные способы
Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$
$4х^2+ 3х — 7 = 0$
$4 + 3 — 7 = 0$, следовательно $х_1= 1, х_2=-{7}/{4}$
Ответ: $х_1= 1, х_2 = -{7}/{4}$
Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= — 1, х_2=-{с}/{а}$
$5х^2+ 7х + 2 = 0$
$5 + 2 = 7$, следовательно, $х_1= -1, х_2 =-{2}/{5}$
Ответ: $х_1= -1, х_2 = -{2}/{5}$
Кубические уравнения
Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.
$(x — 3)^3 = 27$
Представим обе части как основания в третьей степени
$(x — 3)^3 = $33
Извлечем кубический корень из обеих частей
$х — 3 = 3$
Соберем известные слагаемые в правой части
$x = 6$
Ответ: $х = 6$
Дробно рациональные уравнения
Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.
Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:
- найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- решить получившееся целое уравнение;
- исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
$4x + 1 — {3}/{x} = 0$
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
$4x + 1 — {3}/{x}= 0¦· x$
$4x · x + 1 · x — {3·x}/{x} = 0$
3. решаем полученное уравнение
$4x^2 + x — 3 = 0$
Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$
Тогда $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$
При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.
Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$
${3х-5}/{-2}={1}/{х}$
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
Воспользуемся основным свойством пропорции
$х (3х — 5) = -2$
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения
$3х^2- 5х + 2 = 0$
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.
$a + b + c = 0$
$x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$
Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.
Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.
Например,
${2}/{x}+5x=7$ – рациональное уравнение
$3x+√x=7$ — иррациональное уравнение (содержит корень)
Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.
Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:
- Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
- Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- Решить получившееся целое уравнение;
- Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
Решить уравнение: $4x+1-{3}/{x}=0$
Решение:
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x ≠ 0$
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
$4x+1-{3}/{x}=0|·x$
$4x·x+1·x-{3·x}/{x}=0$
3. решаем полученное уравнение
$4x^2+x-3=0$
Решим вторым устным способом, т.к. $а+с=b$
Тогда, $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$
При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.
Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b}={c}/{d}$ — пропорция, то $a·d=b·c$
Решить уравнение ${3x-5}/{-2}={1}/{x}$
Решение:
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
Воспользуемся основным свойством пропорции
$х(3х-5)=-2$
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой стороне
$3х^2-5х+2=0$
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к. $a+b+c=0$
$x_1=1, x_2={2}/{3}$
В первом пункте получилось, что при x = 0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1=1, x_2={2}/{3}$
Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.
Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:
- Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$
- Обе части уравнение возвести в квадрат: $√{f(x)}^2=(g(x))^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$
- Решить полученное рациональное уравнение.
- Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)
Решите уравнение $√{4х-3}=х$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите наименьший из них.
Решение:
Обе части уравнение возведем в квадрат:
$√{4х-3}^2=х^2$
Получаем квадратное уравнение:
$4х-3=х^2$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
${-х}^2+4х-3=0$
Решим данное квадратное уравнение устным способом, так как
$a+b+c=0$
$-1+4-3=0$, следовательно $х_1 = 1; х_2={с}/{а}={-3}/{-1}=3$
Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение
$√{4·1-3}=1$
$1=1$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно $х_1=1$ подходит.
$√{4·(3)-3}=3$
$√9=3$
$3=3$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно корень $х_2=3$ подходит
$х_1=1$ наименьший корень.
Ответ: $1$
Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:
- Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
- Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Решить уравнение: $х-6=√{8-х}$
Возведем обе части уравнения в квадрат
$(х-6)^2=8-х$
В левой части уравнения при возведении в квадрат получаем формулу сокращенного умножения квадрат разности. В правой части уравнения квадрат и корень компенсируют друг друга и в результате остается только подкоренное выражение
$х^2-2·6·х+6^2=8-х$
$х^2-12х+36=8-х$
Получили квадратное уравнение. Все слагаемые переносим в левую часть уравнения. При переносе слагаемых через знак равно их знаки меняются на противоположные.
$х^2-12х+36-8+х=0$
Приводим подобные слагаемые:
$х^2-11х+28=0$
Найдем корни уравнения через дискриминант:
$D=b^2-4ac=121-4·28=121-112=9=3^2$
$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}={11±3}/{2}$
$x_1=7; x_2=4$
Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение
$x_1=7$
$7-6=√{8-7}$
$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.
$x_2=4$
$4-6=√{8-4}$
$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.
Ответ: $7$
Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
$a^x=b$
При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.
$a^n⋅a^m=a^{n+m}$
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются
$a^n:a^m=a^{n-m}$
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются
$(a^n)^m=a^{n·m}$
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
$(a·b)^n=a^n·b^n$
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель
$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$
6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице
$a^0=1$
7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби
$a^{-n}={1}/{a^n}$
${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$
8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем
$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$
Показательные уравнения часто сводятся к решению уравнения $a^x=a^m$, где, $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели.
Решить уравнение $25·5^х=1$
Решение:
В левой части уравнения необходимо сделать одну степень с основанием $5$ и в правой части уравнения представить число $1$ в виде степени с основанием $5$
$5^2·5^х=5^0$
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются
$5^{2+х}=5^0$
Далее проговариваем: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели
$2+х=0$
$х=-2$
Ответ: $-2$
Решить уравнение $2^{3х+2}-2^{3х-2}=30$
Решение:
Чтобы решить данное уравнение, вынесем степень с наименьшим показателем как общий множитель
$2^{3x+2}-2^{3x-2}=30$
$2^{3x-2}({2^{3x+2}}/{2^{3x-2}}-{2^{3x-2}}/{2^{3x-2}})=30$
$2^{3x-2}(2^{3x+2-(3x-2)}-1)=30$
$2^{3x-2}(2^4-1)=30$
$2^{3x-2}·15=30$
Разделим обе части уравнения на $15$
$2^{3х-2}=2$
$2^{3х-2}=2^1$
$3х-2=1$
$3х=3$
$х=1$
Ответ: $1$