Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Сайты, меню, вход, новости
Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Спрятать решение
Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади большого прямоугольного треугольника, маленького прямоугольного треугольника, гипотенуза которого является стороной исходного четырехугольника и площади маленького квадрата. Поэтому
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Сайты, меню, вход, новости
Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Спрятать решение
Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади большого прямоугольного треугольника, маленького прямоугольного треугольника, гипотенуза которого является стороной исходного четырехугольника и площади маленького квадрата. Поэтому
- ЗАДАЧИ ЕГЭ С ОТВЕТАМИ
- АНГЛИЙСКИЙ без ГРАНИЦ
2012-07-09
НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!
ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!
Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!
Конструктор упражнений для позвоночника!
Добавить комментарий
*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.
- РубрикиРубрики
- Задачи по номерам!
№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10 №11 №12 №13 №14 №15 №16
- МЕТКИ
БЕЗ калькулятора Выбор варианта Как запомнить Личное Логарифмы Объём Окружность Круг Площадь Производная Треугольник Тригонометрия Трапеция Углы Уравнения Формулы Конкурсы Параллелограмм Поздравления Рекомендации Саморазвитие
- ОСТЕОХОНДРОЗУ-НЕТ!
На какие числа делится число онлайн калькулятор. Посчитать делители числа.
Какие числа делятся на 244999?
На число 244999 без остатка (нацело) делятся следующие числа: 244999, 489998, 734997, 979996, 1224995, 1469994, 1714993, 1959992, 2204991, 2449990, 2694989, 2939988 и многие другие.
Какие четные числа делятся на 244999?
На число 244999 делятся следующие четные числа: 489998, 979996, 1469994, 1959992, 2449990, 2939988, 3429986, 3919984, 4409982, 4899980, 5389978, 5879976 и многие други.
Какие нечетные числа делятся на 244999?
На число 244999 делятся следующие нечетные числа: 244999, 734997, 1224995, 1714993, 2204991, 2694989, 3184987, 3674985, 4164983, 4654981, 5144979, 5634977 и многие другие.
На какое наибольшее число делится число 244999 без остатка?
Наибольшее число на которое делится число 244999 есть само число 244999. т.е делиться на само себя без остатка.
На какое наибольшее число делится число 244999 без остатка, не считая числа 244999 и 1?
Наибольшим делителем числа 244999 не считая самого числа 244999 является число 727.
Какое наименьшее натуральное число делится на 244999?
Наименьшее натуральное число которое делиться на число 244999 является само число 244999.
На какое наименьшее натуральное число делится число 244999?
Наименьшее натуральное число на которое можно разделить число 244999 — это число 1.
Делители числа 244999.
(что бы не забыть запишите все делители числа 244999 в блокнот.)На какие целые и(или) натуральные числа делится число 244999?
Число 244999 делится на следующие целые, натуральные числа (все делители числа 244999): 1, 337, 727, 244999
На какие четные числа делится число 244999?
Таких чисел нет.
На какие нечетные числа делится число 244999?
Число 244999 делится на следующие нечетные числа (нечетные делители числа): 1, 337, 727, 244999
Сколько делителей имеет число 244999?
Число 244999 имеет 4 делителя
Сколько четных делителей имеет число 244999?
Число 244999 имеет 0 четных делителей
Сколько нечетных делителей имеет число 244999?
Число 244999 имеет 4 нечетных делителя
Число 244999 прописью, словами.
— двести сорок четыре тысячи девятьсот девяносто девять
(что бы не забыть запишите число 244999 прописью в блокнот.)
Числа кратные 244999.
— кратные числа, числу 244999 : 489998, 734997, 979996, 1224995, 1469994, 1714993, 1959992, 2204991, 2449990, 2694989, 2939988 и многие другие.
Простые множители числа 244999.
Простые множители числа 244999 = 337, 727 (единица также является простым множителем числа 244999)
Сумма цифр числа 244999.
Сумма цифр числа 244999 равна 37
Произведение цифр числа 244999.
Произведение цифр числа 244999 равна 23328
Квадрат числа 244999.
Квадрат числа 244999 равен 60024510001
Куб числа 244999.
Куб числа 244999 равен 14705944925734999
Квадратный корень числа 244999.
Квадратный корень числа 244999 равен 494.9737.
Число 244999 в двоичной системе счисления.
Запись числа 244999 в двоичной системе счисления выглядит так: 111011110100000111
Количество значащих нулей в двоичной записи числа 244999 = 7
Количество едениц в двоичной записи числа 244999 = 11
(что бы не забыть запишите число 244999 в двоичной системе счисления в блокнот.)Число 244999 в шестнадцатеричной системе счисления.
Запись числа 244999 в шестнадцатеричной системе счисления выглядит так: 3bd07
(что бы не забыть запишите число 244999 в шестнадцатеричной системе счисления в блокнот.)Число 244999 в восьмеричной системе счисления.
Запись числа 244999 в восьмеричной системе счисления выглядит так: 736407
(что бы не забыть запишите число 244999 в восьмеричной системе счисления в блокнот.)Число 244999 не является простым!
Корни числа 244999.
Корень 3 степени из 244999.
Корень 3 (третьей) степени из 244999 равен 62.573162322974
Корень 4 степени из 244999.
Корень 4 (четвертой) степени из 244999 равен 22.248005229166
Корень 5 степени из 244999.
Корень 5 (пятой) степени из 244999 равен 11.962800559173
Корень 6 степени из 244999.
Корень 6 (шестой) степени из 244999 равен 7.9103199886587
Корень 7 степени из 244999.
Корень 7 (седьмой) степени из 244999 равен 5.886818092461
Корень 8 степени из 244999.
Корень 8 (восьмой) степени из 244999 равен 4.7167791160034
Корень 9 степени из 244999.
Корень 9 (девятой) степени из 244999 равен 3.9700505320669
Корень 10 степени из 244999.
Корень 10 (десятой) степени из 244999 равен 3.4587281707548
Корень 11 степени из 244999.
Корень 11 (одиннадцатой) степени из 244999 равен 3.0897548906627
Корень 12 степени из 244999.
Корень 12 (двенадцатой) степени из 244999 равен 2.8125291089442
Корень 13 степени из 244999.
Корень 13 (тринадцатой) степени из 244999 равен 2.5974733529835
Корень 14 степени из 244999.
Корень 14 (четырнадцатой) степени из 244999 равен 2.4262765902636
Корень 15 степени из 244999.
Корень 15 (пятнадцатой) степени из 244999 равен 2.2870603291534
Степени числа 244999.
244999 в 3 степени.
244999 в 3 степени равно 14705944925734999.
244999 в 4 степени.
244999 в 4 степени равно 3.6029418008601E+21.
244999 в 5 степени.
244999 в 5 степени равно 8.8271713826894E+26.
244999 в 6 степени.
244999 в 6 степени равно 2.1626481615875E+32.
244999 в 7 степени.
244999 в 7 степени равно 5.2984663694078E+37.
244999 в 8 степени.
244999 в 8 степени равно 1.2981189620385E+43.
244999 в 9 степени.
244999 в 9 степени равно 3.1803784758048E+48.
244999 в 10 степени.
244999 в 10 степени равно 7.791895461937E+53.
244999 в 11 степени.
244999 в 11 степени равно 1.9090065962791E+59.
244999 в 12 степени.
244999 в 12 степени равно 4.6770470708178E+64.
244999 в 13 степени.
244999 в 13 степени равно 1.1458718553033E+70.
244999 в 14 степени.
244999 в 14 степени равно 2.8073745867745E+75.
244999 в 15 степени.
244999 в 15 степени равно 6.8780396638517E+80.
Какое число имеет такую же сумму цифр как и число 244999?Математика. Найти сумму цифр числа 244999.
Число 244999 состоит из следующих цифр — 2, 4, 4, 9, 9, 9.
Определить сумму цифр числа 244999 не так уж и сложно.
Сумма цифр шестизначного числа 244999 равна 2 + 4 + 4 + 9 + 9 + 9 = 37.
Числа сумма цифр которых равна 37.
Следующие числа имеют такую же сумму цифр как и число 244999 — 19999, 28999, 29899, 29989, 29998, 37999, 38899, 38989, 38998, 39799, 39889, 39898, 39979, 39988, 39997, 46999, 47899, 47989, 47998, 48799.
Пятизначные числа сумма цифр которых равна 37 — 19999, 28999, 29899, 29989, 29998, 37999, 38899, 38989, 38998, 39799.
Шестизначные числа сумма цифр которых равна 37 — 109999, 118999, 119899, 119989, 119998, 127999, 128899, 128989, 128998, 129799.
Квадрат суммы цифр числа 244999.
Квадрат суммы цифр шестизначного числа 244999 равен 2 + 4 + 4 + 9 + 9 + 9 = 37² = 1369.
Сумма квадратов цифр шестизначного числа 244999.
Сумма квадратов цифр числа 244999 равна 2² + 4² + 4² + 9² + 9² + 9² = 4 + 16 + 16 + 81 + 81 + 81 = 279.
Сумма четных цифр числа 244999.
Сумма четных цифр шестизначного числа 244999 равна 2 + 4 + 4 = 10.
Квадрат суммы четных цифр шестизначного числа 244999.
Квадрат суммы четных цифр числа 244999 равна 2 + 4 + 4 = 10² = 100.
Сумма квадратов четных цифр шестизначного числа 244999.
Сумма квадратов четных цифр числа 244999 равна 2² + 4² + 4² = 4 + 16 + 16 = 36.
Сумма нечетных цифр числа 244999.
Сумма нечетных цифр шестизначного числа 244999 равна 9 + 9 + 9 = 27.
Квадрат суммы нечетных цифр шестизначного числа 244999.
Квадрат суммы нечетных цифр числа 244999 равна 9 + 9 + 9 = 27² = 729.
Сумма квадратов нечетных цифр шестизначного числа 244999.
Сумма квадратов нечетных цифр числа 244999 равна 9² + 9² + 9² = 81 + 81 + 81 = 243.
Произведение цифр числа 244999.
Какое число имеет такое же произведение цифр как и число 244999?Математика. Найти произведение цифр числа 244999.
Число 244999 состоит из следующих цифр — 2, 4, 4, 9, 9, 9.
Найти сумму цифр числа 244999 просто.
Решение:
Произведение цифр числа 244999 равно 2 * 4 * 4 * 9 * 9 * 9 = 23328.
Числа произведение цифр которых равно 23328.
Следующие числа имеют такое же произведение цифр как и число 244999 — 48999, 49899, 49989, 49998, 66899, 66989, 66998, 68699, 68969, 68996, 69689, 69698, 69869, 69896, 69968, 69986, 84999, 86699, 86969, 86996.
Пятизначные числа произведение цифр которых равно 23328 — 48999, 49899, 49989, 49998, 66899, 66989, 66998, 68699, 68969, 68996.
Шестизначные числа произведение цифр которых равно 23328 — 148999, 149899, 149989, 149998, 166899, 166989, 166998, 168699, 168969, 168996.
Квадрат произведения цифр числа 244999.
Квадрат произведения цифр шестизначного числа 244999 равен 2 * 4 * 4 * 9 * 9 * 9 = 23328² = 544195584.
Произведение квадратов цифр шестизначного числа 244999.
Произведение квадратов цифр числа 244999 равна 2² * 4² * 4² * 9² * 9² * 9² = 4 * 16 * 16 * 81 * 81 * 81 = 544195584.
Произведение четных цифр числа 244999.
Произведение четных цифр шестизначного числа 244999 равно 2 * 4 * 4 = 32.
Квадрат произведения четных цифр шестизначного числа 244999.
Квадрат произведения четных цифр числа 244999 равен 2 * 4 * 4 = 32² = 1024.
Произведение квадратов четных цифр шестизначного числа 244999.
Произведение квадратов четных цифр числа 244999 равно 2² * 4² * 4² = 4 * 16 * 16 = 1024.
Запишите числа которые в сумме дают число 244999.
Задача: Данно число 244999.Какие 2(два) числа дают в сумме число 244999?Решение:
1) 51739 + 193260 = 244999
2) 24632 + 220367 = 244999
3) 85726 + 159273 = 244999
4) 102626 + 142373 = 244999
5) 74911 + 170088 = 244999
Какие 3(три) числа дают в сумме число 244999?Решение:
1) 20332 + 59154 + 165513 = 244999
2) 71695 + 37133 + 136171 = 244999
3) 41690 + 74175 + 129134 = 244999
4) 55356 + 67518 + 122125 = 244999
5) 43586 + 82799 + 118614 = 244999
Какие 4(четыре) числа дают в сумме число 244999?Решение:
1) 30350 + 31351 + 47131 + 136167 = 244999
2) 9156 + 47946 + 85771 + 102126 = 244999
3) 8563 + 66820 + 30473 + 139143 = 244999
4) 41830 + 41713 + 25948 + 135508 = 244999
5) 32895 + 48656 + 41018 + 122430 = 244999
Какие 5(пять) чисел дают в сумме число 244999?Решение:
1) 36003 + 3610 + 31744 + 23832 + 149810 = 244999
2) 25011 + 2739 + 55489 + 39400 + 122360 = 244999
3) 8380 + 28109 + 35542 + 3200 + 169768 = 244999
4) 8060 + 44651 + 16414 + 70566 + 105308 = 244999
5) 22927 + 4963 + 53494 + 47635 + 115980 = 244999
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.
Линейные уравнения
Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$
Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.
$5 (5 + 3х) — 10х = 8$
Раскроем скобки.
$25 + 15х — 10х = 8$
Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.
$15х — 10х = 8 — 25$
Приведем подобные слагаемые.
$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.
После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$
$х=-{17}/{5}$
$х = — 3,4$
Ответ: $- 3,4$
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.
Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.
- $a$ — старший коэффициент;
- $b$ — средний коэффициент;
- $c$ — свободный член.
Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.
Решение неполных квадратных уравнений
Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.
1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.
Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
$x = 0; ax + b = 0$
2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.
Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$
$4х^2 — 5х = 0$
Вынесем х как общий множитель за скобки:
$х (4х — 5) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.
$x = 0$ или $4х — 5 = 0$
$х_1 = 0 х_2 = 1,25$
Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$
Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$
Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.
$ax^2 + c = 0$
$ax^2 = — c$
$x_2 = {-c}/{a}$
При решении последнего уравнения возможны два случая:
если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$
если ${-c}/{a}<0$, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.
$x^2 — 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x = ±4$
Ответ: $х_1 = 4, х_2 = — 4$
Решение полного квадратного уравнения
Решение с помощью дискриминанта
Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение
$b^2 — 4ac$.
При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:
1. $D > 0$. Тогда корни уравнения равны:
$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$
2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:
$x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$
3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.
$3х^2 — 11 = -8х$
Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней
$3х^2 + 8х — 11 = 0$
$a = 3 ,b = 8, c = — 11$
$D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$
$x_{1}={-b+√D}/{2a}={-8+14}/{6}=1$
$x_{2}={-b-√D}/{2a}={-8-14}/{6}=-3{2}/{3}$
Ответ: $x_1=1, x_2=-3{2}/{3}$
Устные способы
Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$
$4х^2+ 3х — 7 = 0$
$4 + 3 — 7 = 0$, следовательно $х_1= 1, х_2=-{7}/{4}$
Ответ: $х_1= 1, х_2 = -{7}/{4}$
Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= — 1, х_2=-{с}/{а}$
$5х^2+ 7х + 2 = 0$
$5 + 2 = 7$, следовательно, $х_1= -1, х_2 =-{2}/{5}$
Ответ: $х_1= -1, х_2 = -{2}/{5}$
Кубические уравнения
Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.
$(x — 3)^3 = 27$
Представим обе части как основания в третьей степени
$(x — 3)^3 = $33
Извлечем кубический корень из обеих частей
$х — 3 = 3$
Соберем известные слагаемые в правой части
$x = 6$
Ответ: $х = 6$
Дробно рациональные уравнения
Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.
Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:
- найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- решить получившееся целое уравнение;
- исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
$4x + 1 — {3}/{x} = 0$
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
$4x + 1 — {3}/{x}= 0¦· x$
$4x · x + 1 · x — {3·x}/{x} = 0$
3. решаем полученное уравнение
$4x^2 + x — 3 = 0$
Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$
Тогда $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$
При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.
Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$
${3х-5}/{-2}={1}/{х}$
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
Воспользуемся основным свойством пропорции
$х (3х — 5) = -2$
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения
$3х^2- 5х + 2 = 0$
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.
$a + b + c = 0$
$x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$
Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.
Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.
Например,
${2}/{x}+5x=7$ – рациональное уравнение
$3x+√x=7$ — иррациональное уравнение (содержит корень)
Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.
Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:
- Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
- Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- Решить получившееся целое уравнение;
- Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
Решить уравнение: $4x+1-{3}/{x}=0$
Решение:
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x ≠ 0$
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
$4x+1-{3}/{x}=0|·x$
$4x·x+1·x-{3·x}/{x}=0$
3. решаем полученное уравнение
$4x^2+x-3=0$
Решим вторым устным способом, т.к. $а+с=b$
Тогда, $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$
При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.
Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b}={c}/{d}$ — пропорция, то $a·d=b·c$
Решить уравнение ${3x-5}/{-2}={1}/{x}$
Решение:
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
Воспользуемся основным свойством пропорции
$х(3х-5)=-2$
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой стороне
$3х^2-5х+2=0$
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к. $a+b+c=0$
$x_1=1, x_2={2}/{3}$
В первом пункте получилось, что при x = 0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1=1, x_2={2}/{3}$
Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.
Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:
- Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$
- Обе части уравнение возвести в квадрат: $√{f(x)}^2=(g(x))^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$
- Решить полученное рациональное уравнение.
- Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)
Решите уравнение $√{4х-3}=х$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите наименьший из них.
Решение:
Обе части уравнение возведем в квадрат:
$√{4х-3}^2=х^2$
Получаем квадратное уравнение:
$4х-3=х^2$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
${-х}^2+4х-3=0$
Решим данное квадратное уравнение устным способом, так как
$a+b+c=0$
$-1+4-3=0$, следовательно $х_1 = 1; х_2={с}/{а}={-3}/{-1}=3$
Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение
$√{4·1-3}=1$
$1=1$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно $х_1=1$ подходит.
$√{4·(3)-3}=3$
$√9=3$
$3=3$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно корень $х_2=3$ подходит
$х_1=1$ наименьший корень.
Ответ: $1$
Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:
- Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
- Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Решить уравнение: $х-6=√{8-х}$
Возведем обе части уравнения в квадрат
$(х-6)^2=8-х$
В левой части уравнения при возведении в квадрат получаем формулу сокращенного умножения квадрат разности. В правой части уравнения квадрат и корень компенсируют друг друга и в результате остается только подкоренное выражение
$х^2-2·6·х+6^2=8-х$
$х^2-12х+36=8-х$
Получили квадратное уравнение. Все слагаемые переносим в левую часть уравнения. При переносе слагаемых через знак равно их знаки меняются на противоположные.
$х^2-12х+36-8+х=0$
Приводим подобные слагаемые:
$х^2-11х+28=0$
Найдем корни уравнения через дискриминант:
$D=b^2-4ac=121-4·28=121-112=9=3^2$
$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}={11±3}/{2}$
$x_1=7; x_2=4$
Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение
$x_1=7$
$7-6=√{8-7}$
$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.
$x_2=4$
$4-6=√{8-4}$
$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.
Ответ: $7$
Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
$a^x=b$
При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.
$a^n⋅a^m=a^{n+m}$
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются
$a^n:a^m=a^{n-m}$
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются
$(a^n)^m=a^{n·m}$
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
$(a·b)^n=a^n·b^n$
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель
$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$
6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице
$a^0=1$
7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби
$a^{-n}={1}/{a^n}$
${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$
8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем
$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$
Показательные уравнения часто сводятся к решению уравнения $a^x=a^m$, где, $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели.
Решить уравнение $25·5^х=1$
Решение:
В левой части уравнения необходимо сделать одну степень с основанием $5$ и в правой части уравнения представить число $1$ в виде степени с основанием $5$
$5^2·5^х=5^0$
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются
$5^{2+х}=5^0$
Далее проговариваем: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели
$2+х=0$
$х=-2$
Ответ: $-2$
Решить уравнение $2^{3х+2}-2^{3х-2}=30$
Решение:
Чтобы решить данное уравнение, вынесем степень с наименьшим показателем как общий множитель
$2^{3x+2}-2^{3x-2}=30$
$2^{3x-2}({2^{3x+2}}/{2^{3x-2}}-{2^{3x-2}}/{2^{3x-2}})=30$
$2^{3x-2}(2^{3x+2-(3x-2)}-1)=30$
$2^{3x-2}(2^4-1)=30$
$2^{3x-2}·15=30$
Разделим обе части уравнения на $15$
$2^{3х-2}=2$
$2^{3х-2}=2^1$
$3х-2=1$
$3х=3$
$х=1$
Ответ: $1$
ЕГЭ профильный уровень. №7 Геометрический смысл производной, касательная. Задача 2
Задача 2. Прямая (y = — 2x + 6) является касательной к графику функции (y = {x^3} — 3{x^2} + x + 5). Найдите абсциссу точки касания.
Чтобы прямая (y = — 2x + 6) была касательной (в какой-либо точке) к графику функции (y = {x^3} — 3{x^2} + x + 5), производная от неё должна быть равна угловому коэффициенту касательной, то есть, ( — 2) (коэффициент перед x):
(y’ = {left( {{x^3} — 3{x^2} + x + 5} right)^prime } = 3{x^2} — 6x + 1)
(3{x^2} — 6x + 1 = — 2,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,3{x^2} — 6x + 3 = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 1.)
Проверим, является ли найденная точка действительно точкой касания. Для этого найдём значение прямой (y = — 2x + 6) и функции (y = {x^3} — 3{x^2} + x + 5) в точке (x = 1:)
(yleft( 1 right) = — 2 cdot 1 + 6 = 4)
(yleft( 1 right) = {1^3} — 3 cdot {1^2} + 1 + 5 = 4)
Так как найденные значения равны, то (x = 1) является искомой точкой касания.
Ответ: 1.