Каталог заданий.
Арифметическая прогрессия
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д12 № 35 
Дана арифметическая прогрессия: 
Найдите сумму первых десяти её членов.
Источник: Демонстрационная версия ГИА—2013 по математике., Демонстрационная версия ГИА—2014 по математике.
2
Задания Д12 № 113
Дана арифметическая прогрессия 
Найдите 
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1309.
3
Задания Д12 № 165
Дана арифметическая прогрессия 
Найдите сумму первых десяти её членов.
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1317.
4
Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?
5
Арифметические прогрессии 
и 
заданы формулами n-го члена: 
Укажите те из них, у которых разность d равна 4.
Пройти тестирование по этим заданиям
Всего: 140 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2046.
а) Может ли в последовательности быть три члена?
б) Может ли в последовательности быть четыре члена?
в) Может ли в последовательности быть меньше 2046 членов?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 242.
В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2046.
а) Может ли в последовательности быть три члена?
б) Может ли в последовательности быть четыре члена?
в) Может ли в последовательности быть меньше 2046 членов?
а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна.
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию 
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.
Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Вариант 901., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013
Бесконечная арифметическая прогрессия a1, a2, …, an, … состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, …, a7 ровно три числа делятся на 100?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, …, a49 ровно 11 чисел делятся на 100?
в) Для какого наибольшего натурального n может оказаться так, что среди чисел a1, a2, …, a2n больше кратных 100, чем среди чисел a2n + 1, a2n + 2, …, a5n?
Рассматриваются непостоянные бесконечные арифметические прогрессии a1, a2, …, an, …, состоящие из натуральных чисел. Пусть Sn — сумма первых n членов, S1 = a1.
а) Существует ли такая арифметическая прогрессия, что S6 = 1980?
б) Существует ли такая арифметическая прогрессия, что для некоторого натурального числа n имеют место равенства Sn = 350 и Sn + 2 = 625?
в) Сколько существует таких натуральных чисел n, для которых существует такая арифметическая прогрессия, что Sn = 625?
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 368.
Бесконечная арифметическая прогрессия a1, a2, …, an, … состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, …, a7 ровно три числа делятся на 100?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, …, a49 ровно 11 чисел делятся на 100?
в) Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел a1, a2, …, a2n больше кратных 100, чем среди чисел a2n + 1, a2n + 2, …, a5n?
Бесконечная арифметическая прогрессия a1, a2, …, an, … состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, …, a7 ровно три числа делятся на 36?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, …, a30 ровно 9 чисел делятся на 36?
в) Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел a1, a2, …, a2n больше кратных 36, чем среди чисел a2n + 1, a2n + 2, …, a5n?
Бесконечная арифметическая прогрессия a1, a2, …, an,… состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, …, a7 ровно три числа делятся на 36?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, …, a30 ровно 9 чисел делятся на 36?
в) Для какого наибольшего натурального n может оказаться так, что среди чисел a1, a2, …, a2n больше кратных 36, чем среди чисел a2n + 1, a2n + 2, …, a5n?
Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а) Может ли S равняться 8?
б) Может ли S равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
Источник: ЕГЭ по математике 08.05.2014. Досрочная волна, резервная волна. Вариант 1, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2014
Целое число S является суммой не менее пяти последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а) Может ли S равняться 9?
б) Может ли S равняться 2?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
Источник: ЕГЭ по математике 08.05.2014. Досрочная волна, резервная волна. Вариант 2, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2014
Рассматривается последовательность 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, ….
а) Существует ли арифметическая прогрессия длины 5 составленная из членов этой последовательности?
б) Можно ли составить арифметическую прогрессию бесконечной длины из этих чисел?
в) Может ли в прогрессии быть 2013 членов?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 22.
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 16?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 235.
Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 1.
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию 
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.
Источник: ЕГЭ 28.04.2014 по математике. Досрочная волна. Вариант 1., ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Вариант 902., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013
Возрастающие арифметические прогрессии 
и 
состоят из натуральных чисел.
а) Существуют ли такие прогрессии, для которых 
?
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых 
?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение 
если 
?
В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.
а) может ли в последовательности быть три члена?
б) может ли в последовательности быть четыре члена?
в) может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?
В возрастающей арифметической прогрессии 
сумма цифр членов тоже образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Может ли в прогрессии быть:
а) 11 членов;
б) бесконечное число членов?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 21.
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111.
Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Вариант 902.
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 13?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 500?
в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 57.
Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 2.
Всего: 140 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Всего: 140 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна.
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.
Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Вариант 901., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013
Бесконечная арифметическая прогрессия a1, a2, …, an, … состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, …, a7 ровно три числа делятся на 100?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, …, a49 ровно 11 чисел делятся на 100?
в) Для какого наибольшего натурального n может оказаться так, что среди чисел a1, a2, …, a2n больше кратных 100, чем среди чисел a2n + 1, a2n + 2, …, a5n?
Бесконечная арифметическая прогрессия a1, a2, …, an, … состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, …, a7 ровно три числа делятся на 100?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, …, a49 ровно 11 чисел делятся на 100?
в) Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел a1, a2, …, a2n больше кратных 100, чем среди чисел a2n + 1, a2n + 2, …, a5n?
Бесконечная арифметическая прогрессия a1, a2, …, an, … состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, …, a7 ровно три числа делятся на 36?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, …, a30 ровно 9 чисел делятся на 36?
в) Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел a1, a2, …, a2n больше кратных 36, чем среди чисел a2n + 1, a2n + 2, …, a5n?
Бесконечная арифметическая прогрессия a1, a2, …, an,… состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, …, a7 ровно три числа делятся на 36?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, …, a30 ровно 9 чисел делятся на 36?
в) Для какого наибольшего натурального n может оказаться так, что среди чисел a1, a2, …, a2n больше кратных 36, чем среди чисел a2n + 1, a2n + 2, …, a5n?
Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а) Может ли S равняться 8?
б) Может ли S равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
Источник: ЕГЭ по математике 08.05.2014. Досрочная волна, резервная волна. Вариант 1, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2014
Целое число S является суммой не менее пяти последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а) Может ли S равняться 9?
б) Может ли S равняться 2?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
Источник: ЕГЭ по математике 08.05.2014. Досрочная волна, резервная волна. Вариант 2, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2014
Рассматривается последовательность 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, ….
а) Существует ли арифметическая прогрессия длины 5 составленная из членов этой последовательности?
б) Можно ли составить арифметическую прогрессию бесконечной длины из этих чисел?
в) Может ли в прогрессии быть 2013 членов?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 22.
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 16?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 235.
Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 1.
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.
Источник: ЕГЭ 28.04.2014 по математике. Досрочная волна. Вариант 1., ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Вариант 902., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013
Возрастающие арифметические прогрессии и состоят из натуральных чисел.
а) Существуют ли такие прогрессии, для которых ?
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых ?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение если ?
В возрастающей арифметической прогрессии сумма цифр членов тоже образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Может ли в прогрессии быть:
а) 11 членов;
б) бесконечное число членов?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 21.
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111.
Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Вариант 902.
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 13?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 500?
в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 57.
Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 2.
Возрастающие арифметические прогрессии 
и 
состоят из натуральных чисел.
а) Приведите пример таких прогрессий, для которых 
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых ?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение если 
?
Возрастающие арифметические прогрессии и состоят из натуральных чисел.
а) Приведите пример таких прогрессий, для которых 
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых 
?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение 
если 
?
Все члены возрастающих арифметических прогрессий a1, a2… и b1, b2… являются натуральными числами.
а) Приведите пример таких прогрессий, для которых a1b1 + 2a3b3 = 4a2b2.
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых 2a1b1 + a4b4 = 3a2b2?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение a2b2, если 2a1b1 + a4b4 ≤ 210?
Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4,… выделить арифметическую прогрессию
а) длиной 4
б) длиной 5
в) длиной k, где k — любое натуральное число?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 52.
Всего: 140 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
16
Июл 2013
Категория: 09 Текстовые задачиТекстовые задачи
09. Задачи на прогрессию
2013-07-16
2022-09-11
«Арифметическая прогрессия», геометрическая прогрессия
Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной 
метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 
метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Решение: + показать
Задача 2. Олегу надо решить 
задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил 
задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за 
дней.
Решение: + показать
Задача 3. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за дней, а расстояние между городами составляет 
километров.
Решение: + показать
Задача 4. Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере 
рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 
% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?
Решение: + показать
Задача 5. Компания “Альфа” начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 
долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 
% от капитала предыдущего года. А компания “Бета” начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 
долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 
% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Решение: + показать
Вы также можете пройти тест по задачам на прогрессию
Автор: egeMax |
комментария 2
Арифметическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике
Анна Малкова
Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d:
Фиксированное число 
называется разностью арифметической прогрессии.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: 
Сумма первых 
членов арифметической прогрессии 
вычисляется по формуле: 
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних: 
1. Максим решил накопить на айфон последней модели и 1 марта положил в копилку 10 рублей. С этого дня Максим ежедневно опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день. Сколько рублей будет в копилке 31 мая, после того как Максим, как обычно, положит туда деньги?
По условию, 1 марта в копилке у Максима 10 рублей.
2 марта Максим опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день, то есть 20 рублей.
3 марта он добавляет еще 30 рублей,
4 марта 40 рублей,
5 марта 50 рублей.
Мы имеем дело с арифметической прогрессией.
В нашей прогрессии 
В марте 31 день, в апреле 30, в мае 31 день. Значит, 
31 мая Максим положит в копилку 
рублей.
Всего в копилке в этот день будет 
рублей.
Видите, как удобно пользоваться формулами для вычисления n-ного члена и суммы арифметической прогрессии. Намного проще, чем складывать 92 слагаемых.
2. (Задача ЕГЭ) Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.
Пусть улитка проползла в первый день 
метров, в последний – 
метров, причем 
. Тогда за n дней она преодолела 
метров. Отсюда 
Ответ: 30
3. (Задача ЕГЭ) Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней
Это обычная задача на арифметическую прогрессию. В первый день Вася решил 
задач, в последний 
задач. Запишем формулу для суммы арифметической прогрессии: 
. Отсюда 
4. (Задача ЕГЭ) Бригада маляров красит забор длиной 150 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 75 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
В первый день бригада покрасила метров забора, во второй 
метров, в последний метров.
По формуле суммы арифметической прогрессии: 
. По условию, 
. Отсюда n = 4.
5. (Задача ОГЭ) Дана арифметическая прогрессия: -4; -2; 0… Найдите сумму первых десяти её членов.
Найдем d – разность арифметической прогрессии.
Найдем сумму первых 10 членов прогрессии по формуле: 
У нас n = 10.
Задачи ЕГЭ для самостоятельного решения
- Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
- Рабочие прокладывают тоннель длиной 99 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 7 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 9 дней.
- Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.
- Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.
Ответы к задачам:
- Ответ: 18
- Ответ: 15
- Ответ: 18
- Ответ: 22.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Арифметическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.03.2023
ЕГЭ Профиль №9. Задачи на прогрессии
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №9. Задачи на прогрессии
| Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Пусть бригада в первый день покрасила а1 метров забора, во второй – а2, …, в последний – аn метров забора. Сумма арифметической прогрессии: ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} + {a_n} = 60,) а ({S_n} = 240.) Тогда: (240 = frac{{60}}{2} cdot n,,,, Leftrightarrow ,,,,,30n = 240,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n = 8.) Следовательно, бригада покрасит забор за 8 дней. Ответ: 8. |
| Задача 2. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.
Пусть рабочие в первый день прокладывают а1 метров тоннеля, во второй – а2, …, в последний десятый день – а10 метров тоннеля. Сумма арифметической прогрессии: ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} = 3,) а ({S_{10}} = 500.) Тогда: (500 = frac{{3 + {a_{10}}}}{2} cdot 10,,,, Leftrightarrow ,,,,,3 + {a_{10}} = 100,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{10}} = 97.) Следовательно, в последний день рабочие проложили 97 метров тоннеля. Ответ: 97. |
| Задача 3. Васе надо решить 490 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.
Пусть в первый день Вася решил а1 задач, во второй – а2, …, в последний четырнадцатый день – а14 задач. Сумма арифметической прогрессии: ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} = 5,) а ({S_{14}} = 490.) Тогда: (490 = frac{{5 + {a_{14}}}}{2} cdot 14,,,, Leftrightarrow ,,,,,5 + {a_{14}} = 70,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{14}} = 65.) Следовательно, в последний день Вася решил 65 задач. Ответ: 65. |
| Задача 4. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
Пусть в первый день турист прошёл а1 км, во второй – а2, …, в последний шестой день – а6 км. Сумма арифметической прогрессии: ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} = 10,) а ({S_6} = 120.) Тогда: (120 = frac{{10 + {a_6}}}{2} cdot 6,,,, Leftrightarrow ,,,,,10 + {a_6} = 40,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_6} = 30.) Следовательно, в последний день турист прошёл 30 км. Чтобы определить, сколько километров турист прошёл за третий день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько километров турист проходил в день больше чем в предыдущий день. Тогда: ({a_6} = {a_1} + 5d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,30 = 10 + 5d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 4) и ({a_3} = {a_1} + 2d = 10 + 2 cdot 4 = 18.) Следовательно, за третий день турист прошёл 18 км. Ответ: 18. |
| Задача 5. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.
Пусть в первый день грузовик перевёз а1 тонн, во второй – а2, …, в последний четырнадцатый день – а14 тонн. Сумма арифметической прогрессии: ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} = 2,) а ({S_{14}} = 210.) Тогда: (210 = frac{{2 + {a_{14}}}}{2} cdot 14,,,, Leftrightarrow ,,,,,2 + {a_{14}} = 30,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{14}} = 28.) Следовательно, в последний день грузовик перевёз 28 тонн. Чтобы определить, сколько грузовик перевёз за девятый день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько тонн грузовик перевёз в день больше чем в предыдущий день. Тогда: ({a_{14}} = {a_1} + 13d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,28 = 2 + 13d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 2) и ({a_9} = {a_1} + 8d = 2 + 8 cdot 2 = 18.) Следовательно, за девятый день грузовик перевёз 18 тонн. Ответ: 18. |
| Задача 6. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.
Пусть в первый день улитка проползла а1 метров, во второй – а2, …, в последний день – аn метров. Сумма арифметической прогрессии: ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} + {a_n} = 10,) а ({S_n} = 150.) Тогда: (150 = frac{{10}}{2} cdot n,,,, Leftrightarrow ,,,,,5n = 150,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n = 30.) Следовательно, на весь путь улитка потратила 30 дней. Ответ: 30. |
| Задача 7. Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.
Пусть в первый день Вера подписала а1 открыток, во второй – а2, …, в последний шестнадцатый день – а16 открыток. Сумма арифметической прогрессии: ({S_n} = frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} cdot n.) По условию задачи: ({a_1} = 10,) а ({S_{16}} = 640.) Тогда: (640 = frac{{10 + {a_{16}}}}{2} cdot 16,,,, Leftrightarrow ,,,,,10 + {a_{16}} = 80,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{a_{16}} = 70.) Следовательно, в последний день Вера подписала 70 открыток. Чтобы определить, сколько открыток Вера подписала за четвёртый день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: ({a_n} = {a_1} + dleft( {n — 1} right),) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько открыток подписала Вера за день больше чем в предыдущий день. Тогда: ({a_{16}} = {a_1} + 15d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,70 = 10 + 15d,,,,, Leftrightarrow ,,,,,d = 4) и ({a_4} = {a_1} + 3d = 10 + 3 cdot 4 = 22.) Следовательно, за четвёртый день Вера подписала 22 открытки. Ответ: 5. |
| Задача 8. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Так как прибыль каждый год увеличивалась на 300%, то она становилась 400% от прибыли предыдущего года. Поэтому в 2001 году прибыль составила: (5,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 20,,000) рублей; 2002 году (20,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 80,,000) рублей; в 2003 году (80,,000 cdot frac{{400}}{{100}} = 320,,000) рублей. Ответ: 320 000. |
| Задача 9. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась.
Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. Поэтому в 2002 году её капитал составлял: (5,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 15,,000) долларов; в 2003 году (15,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 45,,000) долларов; в 2004 году (45,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 135,,000) долларов; в 2005 году (135,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 405,,000) долларов; в 2006 году (405,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 1,,215,,000) долларов. Каждый год прибыль компании «Бета» составляла 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. Поэтому в 2004 году её капитал составлял: (10,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 50,,000) долларов; в 2005 году (50,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 250,,000) долларов; в 2006 году (250,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 1,,250,,000) долларов. Таким образом, капитал компании «Бета» был на (1,,250,,000 — 1,,215,,000 = 35,,000) долларов больше, чем капитал компании «Альфа». Ответ: 35000. |
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Тип 8 № 8 
Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии (an), если даны ее первые пять членов: −10, −4, 2, 8, 14.
1) an = 6n − 16
2) an = −6n − 4
3) an = −14n + 4
4) an = 6n − 14
5) an = 6n + 16
Источник: Демонстрационный вариант теста по математике 2016 год.
2
Тип 27 № 57
В арифметической прогрессии 130 членов, их сумма равна 130, а сумма членов с четными номерами на 130 больше суммы членов с нечетными номерами. Найдите сотый член этой прогрессии.
Источник: Централизованное тестирование по математике, 2011
3
Тип 6 № 66
Число 133 является членом арифметической прогрессии 4, 7, 10, 13, … Укажите его номер.
1) 44
2) 42
3) 40
4) 46
5) 48
Источник: Централизованное тестирование по математике, 2012
4
Геометрическая прогрессия со знаменателем 5 содержит 10 членов. Сумма всех членом прогрессии равна 24. Найдите сумму всех членов прогрессии с четными номерами.
Источник: Централизованное тестирование по математике, 2013
5
Три числа составляют геометрическую прогрессию, в которой 
Если второй член прогрессии уменьшить на 8, то полученные три числа в том же порядке опять составят геометрическую прогрессию. Если третий член новой прогрессии уменьшить на 25, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите сумму исходных чисел.
Источник: Централизованное тестирование по математике, 2014
Пройти тестирование по этим заданиям