Решу егэ математика геометрическая прогрессия - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Все члены геометрической прогрессии  — различные натуральные числа, заключенные между числами 510 и 740.

а)  может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?

б)  может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?

Натуральные числа a,b,c образуют возрастающую арифметическую прогрессию, причём все они больше 500 и являются квадратами натуральных чисел. Найдите наименьшее возможное, при указанных условиях, значение

Последние члены двух конечных арифметических прогрессий a₁ = 5, a₂ = 8, …, a_N и b₁ = 9, b₂ = 14, …, b_M совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 815. Найдите число членов в каждой прогрессии.

Дана последовательность из нескольких натуральных чисел, причём каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 12, либо в 8 раз. Сумма всех членов последовательности равна 437.

а)  Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?

б)  Какое наибольшее количество членов может быть в этой последовательности?

Перед каждым из чисел 14, 15, . . ., 20 и 4, 5, . . ., 8 прозвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Анна Малкова

Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:

$b_{n+1 }= b_{n}q : : , , (n = 1,2, ...).$

Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n=b_1q^{n-1}$

Формула суммы первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}$

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних:

$b_n^2= b_{n-1}cdot b_{n+1}$

1. На поверхности озера растут водоросли. За сутки каждая водоросль делится пополам, и вместо одной водоросли появляются две. Ещё через сутки каждая из получившихся водорослей делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось водорослями. Через какое время озеро было заполнено наполовину?

Ответ парадоксальный: через 29 суток.

Эту задачу лучше всего решать «с конца». Вот перед вами заполненное водорослями озеро. Что было сутки назад? Очевидно, водорослей было в два раза меньше, то есть озеро было покрыто ими наполовину.

Каждый день водорослей в озере становилось в два раза больше, то есть их число увеличивалось в геометрической прогрессии.

2. ЕГЭ) Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Невелика была прибыль Бубликова в 2000 году. Зато каждый год прибыль увеличивалась на 300%, то есть в 4 раза по сравнению с предыдущим годом. Геометрическая прогрессия! Ищем ее четвертый член:

3. (Задача ЕГЭ) Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 6000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Определим основные понятия задачи.

Капитал компании – совокупность всех средств, имеющихся у компании.

Прибыль – разница между доходом и расходом (затратами).

Если в 2002 году прибыль компании «Альфа» составляет 100% от капитала прошлого года, значит, за год капитал компании «Альфа» удвоился. Аналогично, капитал компании «Альфа» удваивается в 2003, 2004, 2005 и 2006 годах, то есть в 2006 году он составил тысяч долларов.

Капитал компании «Бета» ежегодно увеличивается в 3 раза. В 2006 году он увеличился в 3^3=27 раз по сравнению с 2003 годом и составил долларов.

Это на 66 тысяч долларов больше, чем капитал компании «Альфа».

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия, знаменатель которой |q| <1, называется бесконечно убывающей.

пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Чему же равна ее сумма?

Нарисуем прямоугольник с площадью 1. Добавим к нему участки с площадью $frac{1}{2};, frac{1}{4};, frac{1}{8}...$

К чему стремится площадь полученной фигуры при бесконечном увеличении n, то есть при добавлении все более мелких участков? Очевидно, к двум.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии – число, которое находится по формуле:

$S=frac{b_1}{1-q}$

Есть такой математический анекдот, и теперь вы его поймете.

Бесконечное число математиков заходит в бар. Первый говорит: «Мне кружку пива!» Второй: «Мне полкружки пива!» Третий: «Мне четверть кружки пива!» Четвертый: «Мне $frac{1}{8}$ кружки пива!» Бармен: «Погодите-ка… Знаю я ваши фокусы — вам две кружки пива на всех!»

Задачи ЕГЭ для самостоятельного решения

1. Бизнесмен Коровин получил в 2000 году прибыль в размере 1 400 000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 20% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей составила прибыль Коровина за 2004 год?

2. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 4000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2007 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Ответы:

Ответ: 2 903 040
Ответ: 134500

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Геометрическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.03.2023

Источник

16
Июл 2013

Категория: 09 Текстовые задачиТекстовые задачи

09. Задачи на прогрессию

2013-07-16
2022-09-11

«Арифметическая прогрессия», геометрическая прогрессия

Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение: + показать

Задача 2. Олегу надо решить задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за дней.

Решение: + показать

Задача 3. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за дней, а расстояние между городами составляет километров.

Решение: + показать

Задача 4. Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на % по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?

Решение: + показать

Задача 5. Компания “Альфа” начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла % от капитала предыдущего года. А компания “Бета” начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую % от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение: + показать

Вы также можете пройти тест по задачам на прогрессию

Автор: egeMax |

комментария 2

Источник

11. Числовые последовательности

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия ((b_n)) задана условием (b_n = frac{1}{9} cdot 3^n).

Найдите (b_{5}).

Из формулы следует, что (b_{5}=frac{1}{9} cdot 3^5) или (b_{5}=27).

Ответ: 27

Геометрическая прогрессия ((b_n)) задана условием (b_n=frac34cdot
(-2)^n). Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

В общем виде формула (n)-ого члена геометрической прогрессии выглядит так: (b_n=b_1cdot q^{n-1}). Приведем данную в условии формулу к этому виду: [b_n=dfrac34cdot (-2)cdot (-2)^{n-1}=-dfrac32cdot (-2)^{n-1}] Следовательно, (b_1=-frac32), (q=-2).

Для геометрической прогрессии верна формула суммы первых (n) членов: [S_n=dfrac{1-q^n}{1-q}cdot b_1] Следовательно, [S_{10}=dfrac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)}cdot left(-dfrac32right)=
dfrac{1024-1}3cdot dfrac32=511,5]

Ответ: 511,5

О геометрической прогрессии известно, что (b_1=0,5) и (b_5 = 40,5). Найдите разность этой прогрессии при условии, что она отрицательная.

По формуле (n)-го члена (40,5=0,5 cdot q^4), откуда (q^4=81) или (q=3).

Ответ: 3

Дана геометрическая прогрессия ((b_n)), знаменатель которой равен (frac{1}{2}) а (b_1=16).

Найдите (b_{6}).

Воспользуемся формулой (n)-го члена прогрессии (b_n=a_1 cdot q^{n-1}), где (q) — знаменатель геометрической прогрессии.

[begin{aligned}
b_{6} = 16 cdot (frac{1}{2})^5,\
b_{6} = 16 cdot frac{1}{32},\
b_{6} = 0,5.
end{aligned}]

Ответ: 0,5

Дана геометрическая прогрессия ((b_n)), разность которой равна -2, а (b_1=4).

Найдите сумму первых 6 ее членов.

Воспользуемся формулой суммы первых (n) членов прогрессии (S_n=frac{b_1(1-q^n)}{1-q}), где (й) — знаменатель геометрической прогрессии.

[begin{aligned}
S_{10} = frac{4(1-(-2)^6)}{1-(-2)},\
S_{13} = frac{-252}{3},\
S_{13} = -84.
end{aligned}]

Ответ: -84

Дана геометрическая прогрессия 0,2;0,6;1,8 … . Какое число стоит на 7 месте?

Найдем знаменатель этой прогрессии (q=0,6:0,2=3).

Значит, (b_{7}= b_1 cdot q^6 = 0,2 cdot 3^6 =145,8).

Ответ: 145,8

Геометрическая прогрессия задана условиями (b_1=288) и (b_{n+1} = frac{b_n}{4}). Найдите 5 член последовательности.

Из условия следует, что знаменатель прогрессии (q = b_{n+1}: b_n = frac{1}{4}).

Тогда по формуле (n)-го члена (b_5=frac{288}{4^4}=1,125).

Ответ: 1,125

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Арифметические и геометрические прогрессии»

Открытый банк заданий по теме арифметические и геометрические прогрессии. Задания B11 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1106

Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Наташе надо изготовить 300 бумажных журавликов. Ежедневно она делает на одно и то же количество журавликов больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день Наташа сделала 6 журавликов. Сколько журавликов было сделано в последний день, если на всю работу потребовалось 15 дней?

Показать решение

Решение

Из условия следует, что количество бумажных «журавликов» ежедневно увеличивалось на одно и тоже число. Количество ежедневно сделанных бумажных «журавликов» образует арифметическую прогрессию, при этом первый член прогрессии равен 6. По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии имеем

a_1+a_2+a_3+…+a_{15}= frac{a_1+a_{15}}{2}cdot15= 300,

6+a_{15}=40,

a_{15}=40-6=34.

Наташа в последний день изготовила 34 бумажных «журавлика»

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1104

Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Коле надо посадить 350 кустов роз. Ежедневно он сажает на одно и то же количество кустов больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день он посадил 8 кустов роз. Сколько кустов было посажено в последний день, если на всю работу потребовалось 20 дней?

Показать решение

Решение

Из условия следует, что количество посаженных кустов роз ежедневно увеличивалось на одно и тоже число. Количество ежедневно посаженных роз образует арифметическую прогрессию, при этом первый член равен 8. По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии получаем a_1+a_2+a_3+…+a_{20}= frac{a_1+a_{20}}{2}cdot20= 350,

8+a_{20}=35,

a_{20}=35-8=27.

Коля в последний день посадил 27 кустов роз.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №334

Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Плиточник должен уложить 320 м² плитки. Если он будет укладывать на 6 м² в день больше, чем запланировал, то работа будет выполнена на 12 дней раньше. Определите, сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник.

Показать решение

Решение

Пусть x (м²) — планируемая норма укладки в день. Тогда, согласно условию, получаем:

frac{320}{x}-frac{320}{x+6}=12,

frac{320(x+6)-320cdot x}{x(x+6)}=12,

frac{320cdot6}{x(x+6)}=12,

frac{160}{x(x+6)}=1,

x^2+6x-160=0.

x_{1,2}=-3pmsqrt{9+160}=-3pm13.

Так как x не является отрицательным числом, то x = 10.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №333

Тип задания: 11
Тема:
Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Грузовой автомобиль перевозит технику из одного города в другой, проезжая в каждый последующий день на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. В первый день пути водитель проехал расстояние 520 км. Известно, что расстояние между городами 3270 км и на весь путь потребовалось ровно 5 дней. Определите, сколько километров проехал водитель за третий день пути.

Показать решение

Решение

Расстояние увеличивается каждый день на одну и ту же величину d, а значит, последовательность таких расстояний — арифметическая прогрессия.

За 5 дней пройденный путь равен frac{(a_1+a_5)}{2}cdot5=3270, где a_1, a_3 и a_5 — путь, пройденный в первый, третий и пятый дни соответственно.

По свойству арифметической прогрессии a_3=a_1+2d, a_5=a_1+4d, значит, a_3=frac{a_1+a_5}{2}. Тогда a_3=3270:5=654 (км).

Ответ

654

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

Геометрическая прогрессия. Задачи на прогрессии и последовательности.

В этой статье рассмотрены задачи на геометрические прогрессии, и последовательности, которые нельзя отнести ни к арифметическим, ни к геометрическим прогрессиям.

Сначала вспомним, что мы знаем о последовательностях.

Последовательность — это ряд чисел, который подчиняется определенному правилу. Если каждое последующее больше (или же меньше) предыдущего на определенное число, то это арифметическая прогрессия. Если числа отличаются во сколько-то раз, то такой ряд — геометрическая прогрессия. Если правило получения последующих членов ряда сложнее — то это просто последовательность.

Числа в геометрической прогрессии можно получить умножением (или делением) на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Члены геометрической прогрессии обозначают обычно буквой b с индексом, указывающим на номер элемента в ряду. А знаменатель обозначают буквой q. Тогда, зная первый член прогрессии и знаменатель, можно найти n-ный член:

$b_n=b_1q^{n-1}$

Сумму нескольких членов прогрессии можно найти по формуле:

$S_n=b_1{{1-q^{n}}/{1-q}}$

Или еще можно использовать такую:

$S_n={{b_n}q-b_1}/{q-1}$

Свойства:

${b_1}{b_n}={b_2}{b_{n-1}}=...={b_{k+1}}{b_{n-k}}$

$delim{|}{{b_n}}{|}=sqrt{{b_{n-1}}{b_{n+1}}}$

Ну, к бою! Решаем задачи.

1. Геометрическая прогрессия задана условиями: b_1=3 , $b_{n+1}=3b_n$ . Найдите b_8 .

Сначала определим знаменатель прогрессии: $q=b_{n+1}/b_n=3$

Теперь можем определить и восьмой член: $b_n=b_1q^{n-1}=3*3^7=6561$

2. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Какая из них — геометрическая прогрессия?

а) 1; 2; 3; 5;… б) 1; 2; 4; 8;… в) 1; 3; 5; 7;… г).

Нужно выбрать последовательность, в которой каждое последующее число больше или меньше предыдущего в определенное количество раз. Из всех представленных последовательностей только во второй каждое последующее число вдвое больше предыдущего. Именно она и является геометрической прогрессией. Такая закономерность более не наблюдается ни в одной из представленных последовательностей, поэтому ответ: б).

3. Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен 2, а . Найдите сумму первых шести её членов.

Воспользуемся формулой суммы:

$S_6=b_1{{1-q^{6}}/{1-q}}={-3/4}{{1-{2}^{6}}/{1-2}}=47,25$

Ответ: 47,25

4. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 40, а сумма второго и третьего членов равна 120. Найдите первые три члена этой прогрессии.

Дано следующее:

;

Запишем условие, применяя формулу n-ного члена:

Во втором уравнении вынесем за скобку :

Оказывается, можно заменить выражение в скобках, воспользовавшись первым уравнением, и это позволит найти знаменатель прогрессии:

q=3

Тогда из первого уравнения 4b_1=40 , b_1=10 . Отсюда легко найти остальные члены: b_2=30 , b_3=90 .

Ответ: 10, 30, 90.

5. Бизнесмен Рубликов получил в 2000 году прибыль в размере 50000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 200% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Рубликов за 2003 год?

С первого прочтения может быть не ясно сразу, что эта задача — на геометрическую прогрессию. Увидев слова «на 200%» некоторые могут ошибиться, подумав, что тут надо применять формулы арифметической прогрессии. Давайте разберемся, что же означает это условие задачи. Если бы прибыль бизнесмена выросла на 100 %, то это значило бы, что он получил столько, сколько в прошлом году, да еще столько же — то есть в два раза больше. Прибыль увеличилась на 200 % — значит, бизнесмен заработал столько же, сколько в прошлом году, да еще в 2 раза больше — то есть всего в три раза больше! А на следующий год — еще в три раза, вот и вырисовывается геометрическая прогрессия со знаменателем 3. Первый ее член: . Всего бизнесмен трудился три года, поэтому искомое — b_3 :

— был Рубликов — стал Миллиончиков!

Рассмотрим теперь задачи на последовательности.

6. Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

а)6 б)16 в)9 г)19

Чтобы выяснить, является ли какое-либо из чисел членом данной последовательности, нужно идти от обратного: подставить данное число в формулу и посмотреть, будут ли у полученного уравнения целые корни. Уравнение простое, решается устно. При вычитании 3 из 6, 16 и 9 квадрата целого числа не получится, а вот если вычесть 3 из 19 — получится 16, это и есть решение.

Ответ: 16

7. Последовательность задана формулой: $c_n=12/{n+1}$ . Сколько членов в этой последовательности больше 2?

Можно перефразировать задачу: сколько членов данной последовательности удовлетворяют неравенству c_n>2 ? Поскольку неравенство строгое, то число 2 ему не удовлетворяет, поэтому знаменатель должен быть меньше 6. Решаем неравенство:

n+1<6

n<5

Получили n=4.

Можно было и сразу решать неравенство: .

1 комментарий

Григорий
✉️
24.01.2021 19:58:46

Я бы начал с определения геометрической прогрессии : b_n+1=b_n*g отсюда g=b_n+1/b_n
А еще бы добавил S=b1/(1-g) , ( при |g|<1)
Добавил бы задачу на свойства прогрессии,
Нахождению суммы бесконечно уб. прогрессии.

Источник