СДАМ ГИА:
РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика базового уровня
Математика базового уровня
≡ Математика
Базовый уровень
Профильный уровень
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
Сайты, меню, вход, новости
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об экзамене
Каталог заданий
Варианты
Ученику
Учителю
Школа
Справочник
Сказать спасибо
Вопрос — ответ
Чужой компьютер
Зарегистрироваться
Восстановить пароль
Войти через ВКонтакте
Играть в ЕГЭ-игрушку
Новости
10 марта
Как подготовиться к ЕГЭ и ОГЭ за 45 дней
6 марта
Изменения ВПР 2023
3 марта
Разместили утвержденное расписание ЕГЭ
27 января
Вариант экзамена блокадного Ленинграда
23 января
ДДОС-атака на Решу ЕГЭ. Шантаж.
6 января
Открываем новый сервис: «папки в избранном»
22 декабря
Открыли новый портал Решу Олимп. Для подготовки к перечневым олимпиадам!
4 ноября
Материалы для подготовки к итоговому сочинению 2022–2023
31 октября
Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР
21 марта
Новый сервис: рисование
31 января
Внедрили тёмную тему!
НАШИ БОТЫ
 |
|
Все новости
ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!
Экзамер из Таганрога
10 апреля
Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ
Наша группа
Каталог заданий.
Окружность
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Тип 12 № 27864 
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 
окружности. Ответ дайте в градусах.
Аналоги к заданию № 27864: 507940 507963 508006 508047 514748 514768 514792 514815 51281 51283 … Все
Раздел кодификатора ФИПИ: Окружность
Решение
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
2
Тип 12 № 27865
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 
окружности. Ответ дайте в градусах.
Раздел кодификатора ФИПИ: Окружность
Решение
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
3
Тип 12 № 27870
В окружности с центром O AC и BD − диаметры. Центральный угол AOD равен 
Найдите вписанный угол 
Ответ дайте в градусах.
Аналоги к заданию № 27870: 511011 514642 26216 51500 51501 51502 51503 51504 51505 51506 … Все
Раздел кодификатора ФИПИ: Окружность
Решение
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
4
Тип 12 № 27874
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 
угол CAD равен 
Найдите угол 
Ответ дайте в градусах.
Аналоги к заданию № 27874: 51783 512677 26220 51731 51732 51733 51734 51735 51736 51737 … Все
Раздел кодификатора ФИПИ: Окружность
Решение
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
5
Тип 12 № 27875
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 
угол CAD равен Найдите угол 
Ответ дайте в градусах.
Аналоги к заданию № 27875: 26221 51788 51789 51790 51791 51792 51793 51794 51795 51796 … Все
Раздел кодификатора ФИПИ: Окружность
Решение
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
Пройти тестирование по этим заданиям
О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2023
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
2
Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
4
Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4 : 2 : 3 : 6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
5
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Пройти тестирование по этим заданиям
в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах
Категория:
Атрибут:
Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD, DOF и BOF.
В треугольнике АВС АС = 12, ВС = 5, АВ = 13. Вокруг этого треугольника описана окружность S. Точка D является серединой стороны АС. Построена окружность S1, касающаяся окружности S и отрезка АС в точке D. Найдите радиус окружности S1.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 14.
Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, касаются внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной.
Точка О — центр правильного шестиугольника ABCDEF, в котором AC = 10,5. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 3. (Часть C).
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Основная волна 04.06.2015. Вариант 1 (Часть С)., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2015
В ромб вписана окружность Θ. Окружности w1 и w2 (разного радиуса) расположены так, что каждая касается окружности Θ и двух соседних сторон ромба.
а) Докажите, что площадь круга, ограниченного окружностью Θ, составляет менее 80% площади ромба.
б) Найдите отношение радиусов окружностей w1 и w2, если известно, что диагонали ромба относятся, как 1 : 2.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 141.
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 12.
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке K. Прямая касается первой окружности в точке А, а второй окружности в точке В. Луч BK пересекает первую окружность в точке D, луч AK пересекает вторую окружность в точке С.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — трапеция.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если радиус первой окружности равен 1, а радиус второй окружности равен 4.
Раздел: Планиметрия
Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019
Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающийся окружности S.
Дан треугольник со сторонами 26, 26 и 20. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.
Окружность радиуса 
вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите MN.
Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Запад. Вариант 1.
Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C — другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.
а) Доказать, что площади треугольников ABC и ABF равны.
б) Найти отношение AE : EC, если AB = 5 и BC = 9.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 41.
Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешним образом. Найдите радиусы окружностей, касающихся обеих данных окружностей и прямой, проходящей через центры данных.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 22.
Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и 8 равно 15. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность. Найдите её радиус.
Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Обе окружности лежат по одну сторону от общей касательной. Третья окружность касается обеих окружностей и их общей касательной. Найдите радиус третьей окружности.
Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Окружность»
Открытый банк заданий по теме окружность. Задания B6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Производная и первообразная функции
Задание №1070
Тип задания: 6
Тема:
Окружность
Условие
Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 56^{circ}. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Показать решение
Решение
Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть
angle BOA = 56^{circ}. Углы OBC и OAC прямые как углы между касательными и радиусами, проведёнными в точки касания. Сумма углов четырёхугольника равна 360^{circ}, можем найти угол ACB.
angle ACB = 360^{circ}-56^{circ}-90^{circ}-90^{circ} = 124^{circ}.
Ответ
124
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1069
Тип задания: 6
Тема:
Окружность
Условие
Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные меры которых относятся как 2:3:4. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
Показать решение
Решение
Угловая величина всей окружности составляет 360^{circ}, дуги, на которые опираются углы треугольника, составляют 2, 3 и 4 из 2 + 3 + 4 = 9 частей, то есть большая из них равна frac49 окружности, 360^{circ}cdotfrac49=160^{circ}. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 160^{circ} : 2 = 80^{circ}.
Ответ
80
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1068
Тип задания: 6
Тема:
Окружность
Условие
Хорда AB делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 13 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей большей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Показать решение
Решение
Угловая величина всей окружности составляет 360^{circ}, дуга, на которую опирается угол C, составляет 7 из 7+13 = 20 частей, то есть frac{7}{20} окружности, 360^{circ}cdot frac{7}{20} = 126^{circ}. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 126^{circ} : 2 = 63^{circ}.
Ответ
63
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №896
Тип задания: 6
Тема:
Окружность
Условие
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна frac13 длины окружности. Ответ дайте в градусах.
Показать решение
Решение
Угловая величина всей окружности составляет 360^{circ}, дуга составляет треть окружности, то есть 360^{circ}:3=120^{circ}. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 120^{circ}:2=60^{circ}.
Ответ
60
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №51
Тип задания: 6
Тема:
Окружность
Условие
На рисунке изображена окружность с центром O. Прямые AC и BD являются диаметрами окружности. Угол ACB равен 21^{circ}. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
Показать решение
Решение
Так как угол ACB вписан в окружность, то градусная мера дуги AB, на которую он опирается, в 2 раза больше величине этого угла, и равна:
cup AB=2cdotangle ACB=2cdot21^{circ}=42^{circ}
Так как BD — диаметр окружности, то его градусная мера равна 180^{circ}. Найдем градусную меру угла дуги AD:
cup AD=180^{circ}-cup AB=180^{circ}-42^{circ}=138^{circ}
Так как угол AOD — центральный, то его величина равна градусной мере дуги окружности AD, следовательно:
angle AOD=cup AD=138^{circ}
Ответ
138
Задание №48
Тип задания: 6
Тема:
Окружность
Условие
Угол ACB равен 54^{circ}. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащих точек D и E, равна 138^{circ}. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
.png)
Показать решение
Решение
Угол DAE мы можем найти зная два остальных угла треугольника ACD. Угол ACB нам известен и равен углу ACD. Угол ADC является разностью развернутого угла BDC и угла ADB. Угол ADB является вписанным в окружность, а значит его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Из условия задачи градусная мера дуги AB известна. Найдем угол ADB:
angle ADB=138^{circ}:2=69^{circ}
Найдем угол ADC:
angle ADC=180^{circ}-angle ADB=180^{circ}-69^{circ}=111^{circ}
Угол DAE равен углу DAC. Зная два угла треугольника, найдем искомый угол DAE:
angle DAE=180^{circ}-angle ADC-angle ACD=180^{circ}-111^{circ}-54^{circ}=15^{circ}
Ответ
15
Задание №47
Тип задания: 6
Тема:
Окружность
Условие
На рисунке изображена окружность с центром O. Прямые CA и CB являются касательными к окружности. Меньшая дуга AB равна 64^{circ}. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Показать решение
Решение
Прямые CA и CB являются касательными к окружности, значит они образуют прямой угол с радиусом окружности, то есть с прямыми OA и OB. Сумма углов четырехугольника равна 360^{circ}. Найдем неизвестный угол ACB:
angle ACB=360^{circ}-2cdot 90^{circ}-64^{circ}=116^{circ}
Ответ
116
Задание №46
Тип задания: 6
Тема:
Окружность
Условие
На рисунке изображена окружность с центром O. Угол ACO равен 27^{circ}. Сторона CA – касательная к окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B. Найдите величину меньшей дуги окружности AB. Ответ дайте в градусах.
Показать решение
Решение
Прямая AC является касательной к окружности, значит радиус AO образует с ней прямой угол, следовательно треугольник AOC прямоугольный. Величину меньшей дуги окружности AB вы можем найти зная градусную меру угла AOB. Учитывая, что сумма углов треугольника равна 180^{circ}, найдем угол AOB:
angle AOB = 180^{circ}-90^{circ}-27^{circ} = 63^{circ}
Так как угол AOB – центральный, то величина меньшей дуги окружности AB равна градусной мере этого угла, а значит величина дуги равна 63^{circ}
Ответ
63
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Сложно со сдачей ЕГЭ?
Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928
Окружность на ЕГЭ и ОГЭ — сложно. Все потому, что эта фигура не похожа на остальные: у неё нет углов и сторон, зато есть совсем другие элементы. В этой статье мы подробно поговорим про элементы окружности, углы, отрезки и прямые, которые с ней связаны, а также обсудим длину окружности и площадь круга. Ну и разберем основные задания ЕГЭ и ОГЭ, конечно же!
Для начала давайте разберёмся, что же такое окружность. Окружность — это замкнутая линия, состоящая из множества точек, которые равноудалены от центра окружности. Основной элемент окружности — это радиус, он соединяет центр с любой точкой на окружности.
Углы у окружности на ЕГЭ и ОГЭ
У окружности есть 2 вида углов:
- вписанные (их вершина лежит на окружности);
- центральные (тут всё понятно из названия, у них вершина в центре окружности).
Расположение и свойства углов в окружности можно увидеть на схеме ниже:
Давайте отработаем это на практике:
Решение
Можно заметить, что угол АСВ — вписанный и опирается на дугу АВ, соответственно, центральный угол АОD, опирающийся на ту же дугу будет в 2 раза больше, то есть 70 градусов. Теперь рассмотрим развёрнутый угол ВОD, он состоит из углов АОВ и АОD. Градусная мера развёрнутого угла 180 градусов, следовательно искомый угол АОD будет равен 180 – 70 = 110 градусов.
Отрезки и прямые в окружности на ЕГЭ и ОГЭ
Теперь рассмотрим отрезки и прямые в окружности. Приготовьтесь, их будет много!
Есть хорда — это отрезок, который соединяет 2 любые точки на окружности. Если хорда пройдёт через центр окружности, то она превратится в диаметр. Кстати, если внимательно посмотреть, то можно увидеть, что диаметр — это 2 радиуса!
Теперь продлим хорду в обе стороны за пределы окружности, получим прямую, которая переСЕКает нашу окружность, отсюда и её название — секущая. Можно заметить, что секущая имеет 2 общих точки пересечения с окружностью. А ещё мы можем провести прямую так, чтобы она имела с окружностью только 1 точку пересечения, то есть касалась её, такая прямая будет называться касательная.
Подробнее со свойствами касательной и секущей можно ознакомиться на рисунке:
Рассмотрим на примерах заданий про окружность в ЕГЭ и ОГЭ:
4 теоремы про окружность в ЕГЭ и ОГЭ
Теперь я предлагаю ознакомиться с теоремами, которые появляются в комбинациях различных прямых и отрезков в окружности.
Теорема № 1: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ
Первая теорема про хорду и касательную звучит так:
Угол между касательной и хордой равен половине дуге, которую стягивает хорда.
Подробнее с выведением вы можете ознакомиться на рисунке:
Однако хочу обратить ваше внимание, что если вы просто запомните формулировку, то многие задачи на окружность в ЕГЭ и ОГЭ покажутся вам супер-простыми и будут решаться в 1 действие. Давайте в этом убедимся:
Вот так просто и быстро в 1 действие мы справились с задачей. Правда здорово?!
Теорема № 2: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ
А теперь давайте посмотрим на одну из моих самых любимых теорем. А любимая она, потому что без неё некоторые задачи кажутся практически нерешаемыми, а с ней их можно решить быстро и просто! Звучит она так:
Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.
Я советую запоминать именно словесную формулировку, так как чертежи и буквы на них могут быть разными, и есть риск всё перепутать.
Наглядно познакомиться с теоремой можно на рисунке ниже:
И конечно же давайте отработаем на практике!
Если бы мы не знали ту теорему, которую только что прошли, то было бы много версий, как можно решить задачу. Кто-то начал бы строить радиус к касательной и рассматривать треугольники, а кто-то просто не стал бы решать, однако у нас есть формула: давайте её используем!
Решение:
Теорема № 3: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ
Если вы ещё не устали от теорем, то давайте познакомимся с ещё одной, которая связывает хорду с диаметром (радиусом).
Эта теорема интересна тем, что работает в обе стороны:
Конечно же я не могу оставить вас без тренировки, поэтому посмотрим на следующую задачу:
Теорема № 4: пересекающиеся хорды
Последнее, с чем я вас познакомлю в контексте прямых и отрезков в окружности будет свойство пересекающихся хорд:
Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.
Для наглядности отрезки выделены разными цветами, так вам будет проще запомнить свойство.
А теперь отработаем его на практике:
Длина окружности и площадь круга
Вот мы и подошли с вами к самому интересному, формулам длины окружности и площади круга, давайте их запишем:
Эти формулы очень походы, в них есть двойка, число Pi и радиус, однако можно заметить, что у формулы длины окружности двойка слева, а у площади круга справа в степени.
Так как же их не путать? Очень просто: запомните, что вторая степень (или квадрат) должна быть у площади, значит двойка слева будет у длины.
Давайте это закрепим:
Вот так просто и быстро мы закрепили сразу обе формулы.
Как находить площадь и длину дуги сектора круга: задачи
А теперь перейдём к самому интересному — нахождению площади и длины дуги сектора круга. Многие ученики думаю, что это сложно, но на самом деле это не так. Я предлагаю записать 2 коротких алгоритма, с помощью которых вы сможете легко найти площадь или длину дуги сектора.
И конечно же давайте закрепим эти алгоритмы на практике:
Теперь вы умеете решать задания на поиск площади сектора. Согласитесь, что с алгоритмом всё намного понятнее и проще?
Что нужно иметь в виду для ЕГЭ и ОГЭ
На самом деле это всё, что я хотела вам рассказать в данной статье. Давайте ещё раз повторим, что вы узнали.
- Сначала мы познакомились с понятием окружность, потом посмотрели, какие бывают углы в окружности.
- Затем увидели множество отрезков и прямых в окружности, записали их свойства, а также несколько теорем с ними.
- В завершение мы поговорили про длину окружности, площадь круга, а также поиск площади и длины дуги сектора.
Самое ценное, что всю теорию мы закрепили на реальных заданиях из ОГЭ и ЕГЭ. Конечно, это далеко не всё, что вам может встретиться. Если вы хотите хорошо разбираться в окружности и в других темах, которые встречаются на экзаменах, записывайтесь на наши курсы подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. На них мы подробно изучаем всю теорию, решаем много заданий, запоминаем удобные лайфхаки и решаем пробные экзамены, чтобы не стрессовать на реальном. Присоединяйтесь!