Решу егэ математика площадь криволинейной трапеции


Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Математика профильного уровня

Математика профильного уровня

Сайты, меню, вход, новости

Каталог заданий.
Первообразная


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

На рисунке изображён график функции y  =  F(x)  — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x)  =  0 на отрезке [−2; 4].

Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 2.

2

На рисунке изображён график некоторой функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x)  — одна из первообразных функции f(x).

Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2014. Вариант 1.

3

На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция F левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе плюс 30x в квадрате плюс 302x минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби   — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

4

На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус x в кубе минус 27x в квадрате минус 240x минус 8  — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Первообразная функции»

Открытый банк заданий по теме первообразная функции. Задания B7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов

Геометрические фигуры в пространстве: нахождение длины, площади, объема

Задание №1164

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

График функции y=f(x), являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3.

Её площадь равна frac{4+3}{2}cdot 3=10,5.

Ответ

10,5

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1158

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-3; 4].

График функции y= F(x) - одной из первообразных функции f(x), на интервале (-5; 5)

Показать решение

Решение

Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 4], в которых производная функции F(x) равна нулю. Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 7 (четыре точки минимума и три точки максимума).

Ответ

7

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1155

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

График функции у=f(x) являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=5 и x=0. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 5 и 3 и высотой 3.

Её площадь равна frac{5+3}{2}cdot 3=12.

Ответ

12

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1149

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке (-3; 3].

График функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x) на интервале (-5; 4)

Показать решение

Решение

Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 3], в которых производная функции F(x) равна нулю.

Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 5 (две точки минимума и три точки максимума).

Ответ

5

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1146

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна из первообразных функции f(x).

Найдите площадь заштрихованной фигуры.

График некоторой функции y=f(x) с известной первообразной и заштрихованной фигурой

Показать решение

Решение

Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=1 и x=3. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(3)-F(1), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x). Поэтому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Ответ

10

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №907

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.

График функции y=f(x) с заштрихованной областью

Показать решение

Решение

Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции y=f(x) и прямыми y=0, x=-4 и x=-1. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(-1)-F(-4), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x).

Поэтому S= F(-1)-F(-4)= (-1)^3+6(-1)^2+13(-1)-5-((-4)^3+6(-4)^2+13(-4)-5)= -13-(-25)=12.

Ответ

12

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №307

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+18x^2+221x-frac12 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.

График некоторой функции y=f(x) с заштрихованной фигурой

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница S=F(-1)-F(-5).

F(-1)= (-1)^3+18cdot(-1)^2+221cdot(-1)-frac12= -204-frac12.

F(-5)= (-5)^3+18cdot(-5)^2+221cdot(-5)-frac12= -125+450-1105-frac12= -780-frac12.

F(-1)-F(-5)= -204-frac12-left (-780-frac12right)= 576.

Ответ

576

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №306

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x).Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(3), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

График функции y=f(x)

Показать решение

Решение

F(9)-F(3)=S, где S — площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0 и x=3,:x=9. Рассмотрим рисунок ниже.

Трапеция, ограниченная графиком функции y=f(x) и прямыми.

Данная фигура — трапеция с основаниями 6 и 1 и высотой 2. Ее площадь равна frac{6+1}{2}cdot2=7.

Ответ

7

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №104

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

На координатной плоскости изображен график функции y=f(x). Одна из первообразных этой функции имеет вид: F(x)=-frac13x^3-frac52x^2-4x+2. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

График дифференцируемой функции y=f(x)

Показать решение

Решение

На рисунке видно, что заштрихованная фигура ограничена по оси абсцисс точками −4, −1, а по оси ординат графиком функции: f(x). Значит площадь фигуры мы можем найти с помощью разности значений первообразных в точках −4 и −1, по формуле определенного интеграла:

intlimits_{-4}^{-1}f(x)dx=F(-1)-F(-4)

Подставим значение первообразной из условия и получим площадь фигуры:

F(-1)-F(-4)=

=frac13-frac52+4+2-frac{64}{3}+frac{80}{2}-16-2=

=-frac{63}{3}+frac{75}{2}-12=-21+37,5-12=4,5

Ответ

4,5

Задание №103

Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции

Условие

Первообразная y=F(x) некоторой функции y=f(x) определена на интервале (−16; −2). Определите сколько решений имеет уравнение f(x) = 0 на отрезке [−10; −5].

Первообразная y=F(x) функции y=f(x)

Показать решение

Решение

Формула первообразной имеет следующий вид:

f(x) = F'(x)

По условию задачи нужно найти точки, в которых функция f(x) равна нулю. Принимая во внимание формулу первообразной, это значит, что, нужно найти точки, в которых F'(x) = 0, то есть те точки, в которых производная от первообразной равна нулю.

Мы знаем, что производная равна нулю в точках локального экстремума, т.е. функция имеет решения в тех точках, в которых возрастание F(x) сменяется убыванием и наоборот.

На отрезке [−10; −5] видно что это точки: −9; −7; −6. Значит уравнение f(x) = 0 имеет 3 решения.

Первообразная y=F(x) функции y=f(x)

Ответ

3

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник
Skip to content

Алгебра 10-11 класс. Площадь криволинейной трапеции

Алгебра 10-11 класс. Площадь криволинейной трапецииadmin2022-11-04T14:15:40+03:00

Скачать файл в формате pdf.

Алгебра 10-11 класс. Площадь криволинейной трапеции

Задача 1. На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите (Fleft( 5 right) — Fleft( 3 right)), где  (Fleft( x right))— одна из первообразных функции (fleft( x right)).

Ответ

ОТВЕТ: 3.
Задача 2. На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите (Fleft( 6 right) — Fleft( 2 right)), где  (Fleft( x right))— одна из первообразных функции (fleft( x right)).

Ответ

ОТВЕТ: 9.
Задача 3. На рисунке изображен график некоторой функции (y = fleft( x right)). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл (intlimits_1^5 {fleft( x right)} ,dx)

Ответ

ОТВЕТ: 12.
Задача 4. На рисунке изображен график некоторой функции (y = fleft( x right)). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл (intlimits_2^5 {fleft( x right)} ,dx)

Ответ

ОТВЕТ: 8.
Задача 5. На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)). Функция (Fleft( x right) = frac{2}{3}{x^3} + 20{x^2} + 201x — frac{6}{{13}}) — одна из первообразных функции (fleft( x right)). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ

ОТВЕТ: 9.
Задача 6. На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)). Функция (Fleft( x right) =  — frac{1}{{12}}{x^3} — frac{3}{2}{x^2} — frac{{27}}{4}x — frac{3}{4}) — одна из первообразных функции (fleft( x right)). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ

ОТВЕТ: 9.
Задача 7. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = {x^3},,,y = 0,,,x = 2)

Ответ

ОТВЕТ: 4.
Задача 8. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = {x^3} + 2,,,y = 0,,,x = 2,,,x = 3)

Ответ

ОТВЕТ: 18,25.
Задача 9. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y =  — {x^2} + 9x — 18,,,y = 0)

Ответ

ОТВЕТ: 4,5.
Задача 10. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y =  — {x^2} + 9,,,y = 0)

Ответ

ОТВЕТ: 36.
Задача 11. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = frac{1}{{{x^2}}},,,y = 0,,,x =  — 4,,,x =  — 2)

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.
Задача 12. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y =  — sqrt x ,,,y = 0,,,x = 9,,,x = 36)

Ответ

ОТВЕТ: 126.
Задача 13. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = sin 2x,,,y = 0,,,x = 0,,,x = frac{pi }{2})

Ответ

ОТВЕТ: 1.
Задача 14. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = frac{1}{{{{cos }^2}x}} + frac{2}{pi },,,,y = 0,,,,x = 0,,,,x = frac{pi }{4})

Ответ

ОТВЕТ: 1,5.
Задача 15. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = sqrt x ,,,y =  — 2x,,,x = 9)

Ответ

ОТВЕТ: 99.
Задача 16. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y =  — sqrt x ,,,y = {x^2},,,x = 9)

Ответ

ОТВЕТ: 261.
Задача 17. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = {e^{2x}},,,y = 0,,,,x = ln 2,,,,x = ln 6)

Ответ

ОТВЕТ: 16.
Задача 18. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = frac{1}{x},,,y = 0,,,,x = e,,,,x = {e^3})

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Задача 19. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y =  — {x^2} + 2x + 3,,,y = 3 — x)

Ответ

ОТВЕТ: 4,5.
Задача 20. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = 1 — {x^2},,,y =  — x — 1)

Ответ

ОТВЕТ: 4,5.
Задача 21. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y =  — {x^2} + 2,,,y = {x^2} — 2x — 2)

Ответ

ОТВЕТ: 9.
Задача 22. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями (y = {x^2} — 4x + 3,,,y =  — {x^2} + 6x — 5)

Ответ

ОТВЕТ: 9.
Задача 23. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции (y = {x^3}) и касательной, проведенной к ней в точке (left( { — 1;, — 1} right))

Ответ

ОТВЕТ: 6,75.
Задача 24. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции (y = {x^3} — 3x) и касательной, проведенной к ней в точке (left( { — 1;,2} right))

Ответ

ОТВЕТ: 6,75.
Задача 25. Вычислите  (frac{1}{pi }intlimits_0^4 {sqrt {4x — {x^2}} dx} ),  используя геометрический смысл определенного интеграла

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Задача 26. Вычислите  (frac{1}{pi }intlimits_{ — 1}^0 {sqrt { — 2x — {x^2}} dx} ),  используя геометрический смысл определенного интеграла

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.
Задача 27. Вычислите  (intlimits_0^3 {left| {,x — 2,} right|dx} ),  используя геометрический смысл определенного интеграла

Ответ

ОТВЕТ: 2,5.
Задача 28. Вычислите  (intlimits_0^4 {left| {,left| {,x — 2,} right| — 1,} right|dx} ),  используя геометрический смысл определенного интеграла

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Источник

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №23.Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение определенного интеграла

2) Нахождение площади криволинейной трапеции с помощью формулы Ньютона – Лейбница

3) Решение задач, с помощью формулы Ньютона – Лейбница

Формула Ньютона – Лейбница

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

ОрловаЕ. А., СеврюковП. Ф., СидельниковВ. И., СмоляковА.Н.Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].

Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции

формула Ньютона – Лейбница

Если в задаче требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ответ всегда будет положительный. Если требуется, используя чертеж, вычислить интеграл, то его значение может быть любым(зависит от расположения криволинейной трапеции).

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке

Решение

Для вычисления площади криволинейной трапеции воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница.

Ответ:

№2. Вычислить определенный интеграл:

Решение: Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

Сначала находим первообразную функцию  F(x) . Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .

Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).

Рассчитываем разность F(b)  — F(а), это и будет ответ.

№3. Найти площадь криволинейной трапеции (х-1)2, ограниченной линиями х=2 и х=1, осью 0х

Решение:

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

Сначала находим первообразную функцию  F(x). Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b)  .

Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).

Рассчитываем разность F(b)  — F(а), это и будет ответ.

Источник

Инфоурок

›

Алгебра

›Презентации›Обучающие модули для подготовки к ЕГЭ по математике (профильный уровень). Задание В-7 «Вычисление площади криволинейной трапеции»



Скачать материал

Первообразная Интеграл



Скачать материал

  • Сейчас обучается 630 человек из 77 регионов

  • Сейчас обучается 94 человека из 37 регионов

  • Сейчас обучается 32 человека из 22 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • Первообразная Интеграл

    1 слайд

    Первообразная
    Интеграл

  • Содержание Понятие первообразной Неопределенный интеграл Таблица первообра...

    2 слайд

    Содержание
    Понятие первообразной
    Неопределенный интеграл
    Таблица первообразных
    Определенный интеграл
    Вычисление определенного интеграла
    Площадь криволинейной трапеции
    Площадь криволинейной трапеции (1)
    Площадь криволинейной трапеции (2)
    Площадь криволинейной трапеции (3)
    Площадь криволинейной трапеции (4)
    Пример (1)
    Пример (2)

  • Понятие первообразнойФункцию F(x) называют первообразной для функции f(x) есл...

    3 слайд

    Понятие первообразной
    Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) если выполняется равенство:
    Операция, обратная дифференцированию

  • Операция нахождения первообразной функции называется интегрированием.   Инте...

    4 слайд

    Операция нахождения первообразной функции называется интегрированием.  

    Интегрирование – математическое действие, обратное дифференцированию, то есть нахождению производной. 

    Интегрирование позволяет по производной функции найти саму функцию.

  • Примерыf(x) = 2x; F(x) = x2 F(x)= (x2) = 2x = f(x)f(x) = – sin x;...

    5 слайд

    Примеры
    f(x) = 2x; F(x) = x2
    F(x)= (x2) = 2x = f(x)
    f(x) = – sin x;
    F(x) = сos x
    F(x)= (cos x) = – sin x = f(x)
    f(x) = 6×2 + 4;
    F(x) = 2×3 + 4x
    F(x)= (2×3 + 4x) = 6×2 + 4 = f(x)

  • Таблица первообразныхf(x)F(x)F(x)f(x)F(x)

    6 слайд

    Таблица первообразных
    f(x)
    F(x)
    F(x)
    f(x)
    F(x)

  • Неопределенный интегралМножество всех первообразных называют неопределенным и...

    8 слайд

    Неопределенный интеграл
    Множество всех первообразных называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают
    Где С – произвольная постоянная (const).

  • Примеры

  • Определенный интеграл– формула Ньютона-Лейбница.Геометрический смысл определе...

    11 слайд

    Определенный интеграл
    – формула Ньютона-Лейбница.
    Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, образованной линиями:
    сверху ограниченной кривой у = f(x), 
    и прямыми у = 0; х = а; х = b.

  • Вычисление определенного интеграла

    12 слайд

    Вычисление
    определенного интеграла

  • Площадь криволинейной трапеции abxyy = f(x)0ABCDx = ax = by = 0

    13 слайд

    Площадь криволинейной трапеции
    a
    b
    x
    y
    y = f(x)
    0
    A
    B
    C
    D
    x = a
    x = b
    y = 0

  • Площадь криволинейной трапеции (1) abxyy = f(x)0ABCDx = ax = by = 0

    14 слайд

    Площадь криволинейной трапеции (1)
    a
    b
    x
    y
    y = f(x)
    0
    A
    B
    C
    D
    x = a
    x = b
    y = 0

  • abxyy = f(x)0y = g(x)ABCDMPПлощадь криволинейной трапеции (2)

    15 слайд

    a
    b
    x
    y
    y = f(x)
    0
    y = g(x)
    A
    B
    C
    D
    M
    P
    Площадь криволинейной трапеции (2)

  • abxyy = f(x)0y = g(x)ABCDMPПлощадь криволинейной трапеции (3)

    16 слайд

    a
    b
    x
    y
    y = f(x)
    0
    y = g(x)
    A
    B
    C
    D
    M
    P
    Площадь криволинейной трапеции (3)

  • Пример 1:вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2, y = x + 2.x...

    17 слайд

    Пример 1:
    вычислить площадь фигуры,
    ограниченной линиями y = x2, y = x + 2.
    x
    y
    y = x2
    y = x + 2
    -1
    2
    A
    B
    O
    D
    C
    2

  • abxyy = f(x)0y = g(x)ABCDсЕПлощадь криволинейной трапеции (4)

    18 слайд

    a
    b
    x
    y
    y = f(x)
    0
    y = g(x)
    A
    B
    C
    D
    с
    Е
    Площадь криволинейной трапеции (4)

  • Пример 2:28xy = (x – 2)20ABCD4yy = 2√8 – x4вычислить площадь фигуры, огранич...

    19 слайд

    Пример 2:
    2
    8
    x
    y = (x – 2)2
    0
    A
    B
    C
    D
    4
    y
    y = 2√8 – x
    4
    вычислить площадь фигуры,
    ограниченной линиями
    y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0

  • Пример 2:вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = (x – 2)2, y =...

    20 слайд

    Пример 2:
    вычислить площадь фигуры,
    ограниченной линиями
    y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 155 105 материалов в базе

  • Выберите категорию:

  • Выберите учебник и тему

  • Выберите класс:

  • Тип материала:

    • Все материалы

    • Статьи

    • Научные работы

    • Видеоуроки

    • Презентации

    • Конспекты

    • Тесты

    • Рабочие программы

    • Другие методич. материалы

Найти материалы

Материал подходит для УМК

  • «Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)», Мордкович А.Г., Семенов П.В.

    «Алгебра и начала математического анализа. Учебник (базовый и углублённый уровни)», Мордкович А.Г., Семенов П.В.

    Тема

    Глава 4. Первообразная и интеграл

    Больше материалов по этой теме

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

  • Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

  • Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

  • Курс повышения квалификации «Основы туризма и гостеприимства»

  • Курс повышения квалификации «Применение MS Word, Excel в финансовых расчетах»

  • Курс повышения квалификации «Финансы: управление структурой капитала»

  • Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

  • Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

  • Курс повышения квалификации «Основы менеджмента в туризме»

  • Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

  • Курс профессиональной переподготовки «Управление информационной средой на основе инноваций»

  • Курс профессиональной переподготовки «Гостиничный менеджмент: организация управления текущей деятельностью»

  • Курс профессиональной переподготовки «Технический контроль и техническая подготовка сварочного процесса»



  • Скачать материал


    • 04.03.2018


      1616
    • PPTX
      858.5 кбайт
    • 37
      скачиваний
    • Оцените материал:





  • Настоящий материал опубликован пользователем Деньгина Мария Алексеевна. Инфоурок является
    информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте
    методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них
    сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с
    сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал

  • Деньгина Мария Алексеевна

    • На сайте: 6 лет и 5 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 1693
    • Всего материалов:

      1

Источник

Задания по теме «Площадь криволинейной трапеции»

Учитель математики

высшей квалификационной категории

МОУ Левобережной СОШ г.Тутаева

Борисова Елена Леонидовна

Пример 1

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении

чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки

пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой

. Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический.

Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования

.

Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы

интегрирования выясняются как бы «сами собой». Возвращаемся к нашей

задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу.

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: Если на отрезке некоторая непрерывная

функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то

площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми ,

, можно найти по формуле:

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола

располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой

снизу.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , ,

.

Решение: Сначала выполним чертеж:

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом

(внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике

по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь

фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с

помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) На отрезке над осью расположен график прямой ;

2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ:

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями: у = 4х – х

2

, у = 5, х = 3.

Решение:

х

0

= 2, у

0

= 4

S

ф

= S

ОАВД

– S

ОСД

S

прям.

=

S

ОСД

= F(3) – F(0), где F(x) первообразная для

функции f(х) = 4х – х

2

F(х)= ; S

ОСД

=

S

ф

= 15 – 9 = 6.

Ответ: 6.

Пример 4

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,

Решение:

Представим уравнения в «школьном» виде , и выполним

поточечный чертеж:

Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: .

Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое?

Может быть ? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной

точностью, вполне может оказаться что . Или корень. А если мы вообще

неправильно построили график?

В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять

пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения прямой и параболы .

Для этого решаем уравнение:

,

Действительно, .

Дальнейшее решение тривиально, главное, не запутаться в подстановках и

знаках, вычисления здесь не самые простые.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Пример 5

Вычислить S фигуры, ограниченной линиями у = (х + 2)

2

, х = 0, у = 0.

Решение:

АОВ – криволинейный треугольник или криволинейная трапеция. (рис 10.)

S = F(0) – F(-2) =

F(x) = x

2

+4x+4; F(x) =

S =

Ответ:

Пример 6

Найти S фигуры, ограниченной параболой у = х

2

+ 1 и прямой у = х + 3.

Решение:

Построим в одной системе координат графики данных функций.

1) у = х

2

+ 1, х

0

= 0, у

0

= 0.

2) у = х + 3

3) х

2

+ 1 = х + 3

х

1

= 1, х

2

=2.

S

ф

= S

1АВСД

– S

2АВmСД

S

тр.АВСД

=

S

АВmСД

= F(2) – F(-1), F(x) = , S = 6

S

ф

= S

1

– S

2

= 4,5.

II способ.

S

АВСД

= F(2) – F(-1), F(x) = .

Ответ: S

ф

= 4,5.

Пример 7:

Найдите 3 четверти площади фигуры,

ограниченной параболой, заданной уравнением

у = – х

2

+4х—3 и осью абсцисс.

Решение:

1) х

В

=2, у

В

=1

2) – х

2

+4х—3=0 х

1

=3, х

2

=1

Функция неотрицательна на [1;3]

F(x) = S

ф

= F(3) – F(1) =

3) Умножим S

ф

на . S

иск.

=

Ответ: 1

Пример 8

Найти S фигуры, ограниченной линиями f

1

(x) = x

2

; f

2

(x) = 2x – x

2

.

Решение:

1) Схематично изобразим данную фигуру (рис.

12)

f

2

(x) = – x

2

+ 2x

х

0

= , у

0

= 1

2) Найдем абсциссы точек пересечения этих линий

х

2

= 2x – x

2

2x

2

– 2х = 0

х = 0, х = 1

3) Найдем площадь фигуры

F

2

(x) = x

2

–

S

2

= F(1) – F(0) =

F

1

(x) = ; S

1

= .

4) S

ф

= S

2

– S

1

= .

Ответ: S

ф

= .

Пример 9

Вычислить S фигуры, ограниченной линиями:

у=х

3

+1, у=0, х=0, х=2.

Решение:

F(x) =

S = F(2) – F(0) = 16/4 + 2 – 0/4 + 0 = 6

Ответ: 6.

Пример 10

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и осью

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце

урока.

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью ?

Решение:

Выполним чертеж:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:

Примечание: В задачах на нахождение площадей преподаватели часто

требуют записывать ответ не только точно, но и, в том числе,

приближенно.

Пример 11 : Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,

.Решение:

Выполним чертеж:

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Пример 12:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение:

Выполним чертеж.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Используемые ресурсы:

1. https://infourok.ru/samostoyatelnaya-rabota-po-teme-neopredelenniy-

integral-klass-761699.html

2. http://festival.1september.ru/articles/566339/

3. http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/8a790bee-ba9d-4b2b-9c3a—

6e370cc2df5b/113019/?

4. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент».

Базовый и профильный уровни /И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий, А.В.Забелин и др.;

под редакцией И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2016. – 640 с. (Серия

«Банк заданий ЕГЭ»)

5. Математика. ЕГЭ – 2013: экспресс – курс для подготовки к экзамену/ Дмитрий

Гущин. – М, : Издательский дом «Учительская газета», 2013. – 256 с.

(Библиотечка «Учительской газеты». Готовимся к ЕГЭ с лучшими учителями

России

Источник

10
Авг 2013

Категория: 07 Производная, ПО

07. Первообразная

2013-08-10
2022-09-11

Задача 1. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x)  (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8)-F(2), где F(x)  — одна из первообразных функции f(x).

у

Решение: + показать


Задача 2. На рисунке изображён график некоторой функции  y=f(x). Функция F(x)=x^3+12x^2+51x-3 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

ed

Решение: + показать


Задача 3. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-frac{4}{9}x^3-frac{34}{3}x^2-frac{280}{3}x-frac{18}{5} — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

u

Решение: + показать


Задача 4. На рисунке изображён график функции y=F(x) – одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-2;4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0  на отрезке [-1;3].

r

Решение: + показать


колоЗагляните –> + показать

тест

Вы можете пройти тест «Первообразная»

Автор: egeMax |

комментариев 7

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Новое и интересное на сайте:

  • Решу егэ математика план местности
  • Решу егэ математика параллелограмм
  • Решу егэ математика параболы
  • Решу егэ математика ответы с решением 9 класс
  • Решу егэ математика осаго 1 вариант

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии