Решу егэ математика профиль комбинаторика

Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Без метода (8 шт.)

Категория:
Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Каталог заданий.
Комбинированные задачи

Версия для печати и копирования в MS Word

Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.

5 ноября 2020

В закладки

Обсудить

Жалоба

Задачи по комбинаторике

Подборка задач по комбинаторике с краткими пояснениями и ответами.

Комбинаторика — это наука, с который каждый встречается в повседневной жизни: сколько способов выбрать трёх дежурных для уборки класса или сколько способов составить слово из данных букв. В целом, комбинаторика позволяет вычислить, сколько различных комбинаций, согласно некоторым условиям, можно составить из заданных объектов (одинаковых или разных).

В ЕГЭ по математике базового уровня — задача №10.

komb.docx
komb.pdf

Задача 1: Сколькими способами можно составить список из 5 учеников?

Задача 2: В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 3: Расписание на день содержит 5 уроков. Определить количество возможных расписаний при выборе из 14 предметов, при условии, что ни один предмет не стоит дважды.

Задача 4: Сколько различных трехцветных флагов можно сделать, комбинируя синий, красный и белый цвета?

Задача 5: В классе 24 ученика. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

Задача 6: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?

Задача 7: Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек?

Задача 8: В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими способами можно выбрать покупку из двух разных блокнотов и одной ручки?

Задача 9: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?

Задача 10: Сколькими способами можно разместить 6 пассажиров в четырехместной каюте?

Задача 11: Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Задача 12: Бригадир должен отправить на работу бригаду из 4 человек. Сколько бригад по 4 человека в каждой можно составить из 13 человек?

Задача 13: При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Задача 14: Группа учащихся в 30 человек пожелала обменяться своими фотокарточками. Сколько всего фотокарточек потребовалось для этого?

Задача 15: Сколько различных плоскостей можно провести через 10 точек, если никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости?

Задача 16: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?

Задача 17: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр?

Задача 18: Сколько существует таких перестановок 7 учеников, при которых 3 определенных ученика находятся рядом друг с другом?

Задача 19: На книжной полке стоит собрание сочинений в 30 томах. Сколькими различными способами их можно переставить, чтобы: а) тома 1 и 2 стояли рядом; б) тома 3 и 4 рядом не стояли?

Задача 20: Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых нечётные и различные?

Задача 21: У одного мальчика имеется 10 марок для обмена, а у другого – 8. Сколькими способами они могут обменять 2 марки одного на 2 марки другого?

Элементы
комбинаторики

Комбинаторика – это
раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций,
подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного
конечного множества элементов (безразлично, какой природы; это могут быть
буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.).

1. Непосредственные подсчеты

Для решения комбинаторных задач существуют различные
способы грамотного подсчета, исключающие возможность потери какой-либо
комбинации элементов.

Логический перебор: При
логическом переборе выписывают все комбинации элементов, придерживаясь
некоторого правила.

Пример 1. В случайном
эксперименте симметричную монету бросают: а) дважды; б) трижды. Определите все
возможные комбинации выпадения орла и решки.

Решение. Выпадение
орла обозначим буквой О, решки – буквой Р.

а)
Записываем на первом месте букву О: ОО, ОР. Теперь на первом месте записываем
букву Р: РО, РР. В итоге получаем 4 комбинации  выпадения орла и решки: ОО, ОР,
РО, РР.

б)
В каждой комбинации, полученной в предыдущей задаче, добавляем слева букву О: ООО,
ООР, ОРО, ОРР. Аналогично слева приписываем букву Р: РОО, РОР, РРО, РРР.
В итоге получаем 8 комбинаций.

Ответ:
8.

Пример 2. Сколько четных
двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 8, 9?

Решение. Составим
таблицу: слева от первого столбца таблицы поместим цифры десятков двузначных
чисел, выше первой строки – цифры единиц.

	0	2	8
2	20	22	28
5	50	52	58
8	80	82	88
9	90	92	98

Искомых чисел будет столько же, сколько клеток в таблице,
то есть 5·3=15.

Ответ:15.

Иногда подсчет вариантов облегчают графы. Так
называют геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами)
и соединяющих их отрезков (называемых ребрами графа). Для удобства
иллюстрации условия задачи с помощью графа его вершины-точки могут быть
заменены кругами или прямоугольниками, а ребра-отрезки – любыми линиями.

Полный граф: При
решении задач с помощью полного графа проводят все возможные ребра.

Пример 3. Андрей, Борис,
Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько
партий было сыграно?

Решение.
Рассмотрим полный граф с четырьмя вершинами, обозначенными по первым буквам
имен каждого из 4 мальчиков. Отрезки-ребра обозначают шахматные партии,
сыгранные каждой парой мальчиков. Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер,
следовательно, и партий было сыграно 6.

Ответ:
6.

Граф-дерево

При
решении некоторых задач удобно использовать граф, называемый деревом (за внешнее
сходство с деревом).

Пример 4. Антон, Борис и Василий
купили 3 билета на футбольный матч на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколькими способами
они могут занять имеющиеся три места?

Решение. Изобразим
перебор способов с помощью графа-дерева, помещая в вершины графа первые буквы
имен друзей А, Б и В.

В
итоге получаем 6 способов.

Ответ: 6.

2. Правило умножения

Перебрать и подсчитать всевозможные комбинации из
данных элементов, используя наглядные средства, несложно, когда их количество
невелико. Однако при большом количестве элементов этот перебор затруднителен, и
тогда используют правила комбинаторики. Правило умножения (правило «и») — одно
из основных правил комбинаторики.

Согласно
ему, если элемент множества А может быть выбран m способами,
а элемент множества B — n способами,
то упорядоченная пара (A, B) может
быть составлена m•n способами. Правило
обобщается на произвольную длину последовательности.

Пример 5. Сколько
трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если:

а)
числа не повторяются;

б)
числа могут повторяться.

Решение.

а)
Первую цифру выбираем 5 способами, вторую цифру – 4 способами, третью – 3
способами. Всего 5•4•3 =60 трехзначных
чисел.

б)
Всего 5•5•5 =125
трехзначных чисел.

Ответ: а) 60;
б) 125.

3. Правило сложения

Правило
сложения (правило «или») – одно из основных правил комбинаторики, утверждающее,
что, если элемент множества A можно выбрать m способами,
элемент множества B можно выбрать n способами,
и множества A
и
B
не
имеют общих элементов, то выбор одного из элементов множеств A или B осуществляется
m+n способами.

Пример 6. На блюдце лежит 8
яблок и 6 груш. Сколькими способами можно

взять
плод с блюдца?

Решение. Всего
способов 6 +8 =14 .

Ответ: 14.

4. Перестановки

Перестановками называют
комбинации, состоящие из одних и тех же n различных
элементов
и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных
перестановок из n различных элементов P_n= n!, где n!=1•2 •3•…• (n —1) • n ; 1!11; 0!=0.

Например,
из трех элементов a, b и c можно
образовать 3!=1•2•3 = 6
перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Пример 7. Сколькими
способами можно обозначить вершины куба буквами A, B, C, D, E, F, G, K?

Решение. Число
способов обозначить восемь вершин куба данными различными буквами (которых
также восемь) равно P₈ = 8!= 40320

Ответ:
40320.

5. Размещения

Размещениями называют
комбинации, составленные из n различных элементов по
m
элементов,
которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех
возможных размещений

В
частности, при m = n получаем = n!=P_n .

Например,
из четырех элементов a, b, c и d можно образовать

размещений по два элемента: ab, ba,
ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db,
cd, dc.

Пример 8. Сколько можно
составить сигналов из 6 флажков различного цвета,

взятых
по 2?

Решение.

Ответ:
30.

1.6. Сочетания

Сочетаниями называют
комбинации, составленные из n различных элементов по
m
элементов,
которые отличаются только составом элементов. Число всех возможных сочетаний

Например,
из пяти элементов a, b, c, d и e можно
образовать

сочетаний
по три элемента: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.

Числа
размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

Пример 9. Сколькими способами
читатель может выбрать две книжки из пяти

имеющихся?

Решение.

Ответ:
10.

Подготовка к ЕГЭ по математике (В4) Решение комбинаторных задач

Зарьянцева В.П.

Комбинаторика

Правило

Формулы

суммы

произведения

Перестановки

Размещения

Сочетания

Правило суммы

• Если элемент x можно выбрать способами n x и если элемент y можно выбрать n y способами, то выбор «либо x , либо y » можно осуществить способами n x + n y .

Любой цвет

Выбираем один шар

Nx +N y =4+5=9 способов

N x =4

N y =5

Пример 1

• В коробке 10 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линию. Сколькими способами можно выбрать одну тетрадь?
• Решение: или – логическая сумма
• 10+5=15 (выбор неважен)

• Пример1. Сколько существует способов выбрать кратное двум или трем число из множества чисел : 2,3,4,15,16,20,21, 75,28 ?

• Решение:
• к1=5 –кратное 2 (2,4,16,20,28),

к2=4 – кратное 3 (3,15,21,75)

• к1+к2 = 5+4 = 9

Правило произведения

• Если элемент x можно выбрать n x способами и если после его выбора элемент y можно выбрать n y способами, то выбор упорядоченной пары (x, y) можно осуществить n x ∙ n y способами.

Синий и рыжий

Выбираем пару шаров

Nx ∙N y =4∙5=20 способов

N x =4

N y =5

Пример 2

• В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

• 5*3=15

Пример 2. а) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9?

Решение: N= 5х5 = 25 ( Если не сказано, что элемент не повторяется, то выборка с повторениями)

б) Сколько среди них чисел, кратных 5?

Решение: Число кратно 5, если оканчивается цифрой 5 или 0. В нашем случае – 5.

На первой позиции фиксируем одну из пяти цифр, на второй – 5.

N= 5 х1 =5

• Пример5 . Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.

• а ) Сколько всего стран могут использовать такую символику?

• Решение : Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов, второй полосы – одним из трех оставшихся, цвет 3 полосы – одним из 2 оставшихся, а 4 – одним способом. По правилу произведения N= 4х3х2х1=24

• б ) Сколько стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?

• Решение : Две полосы, всегда расположенные рядом, можно рассматривать как одну полосу, тогда полос останется 3, из них можно составить 3х2х1=6 разных флагов. Но две полосы (синюю и красную) можно «склеить» по-разному: синяя, а под ней красная, или красная, а под ней синяя. Поэтому общее количество вариантов по правилу суммы равно 6+6=12

• Пример7 . Сколькими способами можно посадить шестерых школьников на скамейку так, чтобы Коля и Оля оказались рядом?

• Решение : Будем считать, что на скамейке 6 пустых мест. Посадить Колю можно шестью способами, после чего Олю посадить рядом с ним одним или двумя способами. Это зависит от того, куда мы посадили Колю – на крайнее место или нет.

• Пусть Коля сидит на краю. Место на краю можно выбрать 2 способами, после чего Олю можно посадить одним способом, после чего оставшиеся 4 места можно занять 4х3х2х1 способами, значит, всего 2х1х4х3х2х2=48 способов

Коля сидит где-то в середине. Место для Коли можно выбрать 4 способами, Олю можно посадить 2 способами, значит, всего

4х2х4х3х2х1=192 способами.

• По правилу сложения 48+192= 240 способов

Определите n (общее количество объектов) и m (сколько объектов выбираем)

ПОРЯДОК ВАЖЕН?

НЕТ

ДА

НУЖНО ВЫБРАТЬ ВСЕ n ЭЛЕМЕНТОВ

ПОВТОРЕНИЯ ЕСТЬ?

НЕТ

ДА

НЕТ

ДА

СОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ

СОЧЕТАНИЯ

Повторения есть

Повторения есть

ДА

ДА

НЕТ

НЕТ

Перестановки с повторениями

Размещения с повторениями

Размещения

Перестановки

13

Перестановки

Перестановки без повторений

• Перестановками без повторений из n различных элементов называются все возможные последовательности этих n элементов. Число перестановок без повторений из n элементов равняется

по определению

Перестановки без повторений

6 различных перестановок

Сколькими способами 4 человека могут разместиться в четырехместном купе?

Задача 19 . Даны цифр: 1,2,3,4,5,6,7. Сколько различных чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов.

Примеры: 1234567, 2354167, 7546321 .

Перестановка-упорядоченное множество.

Число перестановок из n элементов вычисляют по формуле P n =n! .

По условию n=7

Так из 7 цифр можно 7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 различных чисел.

Перестановки с повторениями

• Перестановки с повторением из n элементов k типов
• число элементов 1-го типа n 1 ; число элементов 2-го типа n 2 ; …; число элементов k -го типа n k ,
• все возможные последовательности исходных n элементов. Число перестановок с повторениями обозначают
• подсчитывают так:

Перестановки с повторениями

n=n 1 +n 2 = 2+1 = 3

n 2 = 1

n 1 = 2

3 различные перестановки

Пример 4

• Дворовая футбольная команда выбирает капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать, если в команде 11 человек?

Пример 5

• Сколько различных гирлянд можно сделать, если у нас 5 красных, 7 синих и 4 желтых светодиода?

Пример Даны цифр: 1,2,2,3,3,3,4,. Сколько различных чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов.

Примеры: 1223334, 4232331,2233314.

Некоторые числа при перестановке одинаковых цифр не меняются.

По условию n = 7, n1=2 , n2 =3

• Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?

• Сколько различных гирлянд получится, если замкнуть гирлянду из предыдущей задачи в кольцо?

Размещения

(выборки)

Размещения без повторений

• Размещениями без повторений из n различных элементов по m элементов называются все такие последовательности m различных элементов, выбранных из исходных n , которые отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или составом элементов.
• Число размещений без повторений из n элементов по m обозначается символом

Размещения без повторений

Выбираем два шара

n= 3

Порядок выбора важен!

m=2

6 различных выборок

Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин .

Пример

• Из группы в 15 человек выбирается 4 участника эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?

Размещения с повторениями

• Размещения с повторениями из элементов k типов по m элементов ( k и m могут быть в любых соотношениях) называются все такие последовательности m элементов, принадлежащих исходным типам, которые отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или составом элементов.

Размещения с повторениями

n= 3

8 вариантов выборок

k= 2

Пример 8

• Назовем натуральное число «симпатичным», если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует четырехзначных «симпатичных» чисел?
• k=5 порядок важен

Шифр сейфа состоит из 6 цифр, которые должны набираться последовательно и могут повторяться. Чему в этом случае равно общее число всех возможных комбинаций шифра?

Сочетания

Сочетания без повторений

• Сочетаниями без повторений из n различных элементов по m элементов называются все такие последовательности m различных элементов, выбранных из исходных n , которые отличаются друг от друга составом элементов.

Сочетания без повторений

Выбираем два шара

Порядок выбора не важен!

n= 3

3 сочетания

m=2

Пример 9

• Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?

Сколькими способами можно вывезти со склада 10 ящиков на двух автомашинах, если на каждую автомашину грузят по 5 ящиков.

Сочетания с повторениями

• Сочетаниями с повторениями из элементов k типов по m элементов ( m и k могут быть в любых соотношениях) называются все такие последовательности m элементов, принадлежащих исходным типам, которые отличают друг от друга составом элементов.

Сочетания с повторениями

m= 3

4 варианта сочетаний

k= 2

Пример 10

В вазе стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики. Все цветы на внешний вид одинаковы. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы?

Решение Так как по условию задачи все цветы на внешний вид одинаковы, то мы получаем формулу без повторений. Вы выбираем цветы в букет, порядок выбора не важен, следовательно, мы получаем формулу сочетаний без повторений: два типа цветов, выбираем три цветка.

В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить 12 открыток для поздравлений?

• Один выбор (анализ) элементов или несколько? Если один, то см. п.3
• Каким союзом варианты выбора (анализа) соединяются? «И» – правило произведения, «или» – правило суммы.

Для каждого выбора задаются следующие вопросы:

• Все элементы используются? Если «да», то это перестановки. Переходим к п. 5.
• Порядок выбора элементов важен? Если «да», то это размещения, «нет» – сочетания.
• Есть ли одинаковые элементы? Если «да» – то формула с повторениями, «нет» – без повторений.

Сколько различных гирлянд можно сделать из 10 светодиодов разного цвета?

При замыкании линии в кольцо перестановки, являющиеся циклическими сдвигами относительно друг друга, становятся одинаковыми. Возьмем, например, следующую перестановку и посмотрим, сколько других перестановок явлюяются ее циклическим сдвигом: 1. ккккксссссссжжжж 2. кккксссссссжжжжк 3. ккксссссссжжжжкк … 15. жжккккксссссссжж 16. жккккксссссссжжж Следовательно, все перестановки разбиваются на группы по 16 цепочек в группе. Итак, число кольцевых гирлянд будет

13

Пример 11

• Световое табло состоит из лампочек. Каждая лампочка может находиться в одном из трех состояний («включено», «выключено» или «мигает»). Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 18 различных сигналов?

• У людоеда в подвале томятся 25 пленников.
• а) Сколькими способами он может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и ужин?
• б) А сколько есть способов выбрать троих, чтобы отпустить на свободу?

Решение 25*24*23 = 13800 способов. 

Заметим, что в предыдущем пункте каждую тройку пленников мы посчитали  3·2·1 = 6 раз. Поскольку теперь их порядок нам неважен, то ответом будет число  13800 : 6 = 2300.

Волонтеры разделились на две равные группы для розыска заблудившегося ребенка. Среди них только 4 знакомы с местностью. Каким числом способов они могут разделиться так, чтобы в каждую группу вошло 2 человека, знающих местность, если всего их 16 человек?

Решение Мы делим всех волонтеров на две равные группы, то есть выбираем участников первой группы, а все остальные переходят в другую группу. Один выбор. Теперь рассмотрим этот выбор первой группы. Выбор состоит из выбора волонтеров, знающих местность, и выбора волонтеров, незнающих местность. Следовательно, будем соединять эти два числа правилом произведения . Найдем число выборов волонтеров, знающих местность. Всего таких волонтеров 4 человека. Нам нужно 2. Порядок выбора не важен. Сочетания без повторений.

Найдем число выборов волонтеров, незнающих местность. Всего их 16-4=12 , выбираем шесть человек (ровно половину). Общее число выборов:

• Сколько существует натуральных чисел, меньших 256 10 , таких, что в записи каждого числа в двоичной системе счисления будет равное количество единиц и значащих нулей. В ответе укажите целое число.

Решение Переведем данное число из десятичной системы счисления в двоичную. 256 10 =100000000 2 Следовательно, числа меньше данного состоят из восьми, семи, шести, пяти, четырех, трех, двух и одного разряда.

1) Рассмотрим восьмиразрядные числа. 1ХХХХХХХ. Так как мы точно знаем сколько нулей и единиц, то мы используем формулу перестановки с повторениями.

2) Рассмотрим семиразрядные числа. Очевидно, что такие числа не удовлетворяют условию задачи, так как не могут состоять из одинакового числа единиц и нулей. Аналогичный вывод можно сделать о пятиразрядных, трехразрядных и одноразрядных числах.

3) Рассмотрим шестиразрядные числа. Рассуждая аналогично п.1 получаем:

4) Четырехразрядные числа.

5) Двухразрядное число только одно 10 2

Итак, у нас может быть или восьмиразрядное число, или шестиразрядное число, или четырехразрядное число, или двухразрядное число. Правило суммы.

Пример 15

• В коробке находятся 16 шариков – 4 красных, 4 синих и 8 черных. Из коробки наугад вынули два шарика. Какое из перечисленных сообщений несет в себе наибольший объем информации?
• Один из вынутых шариков – красного цвета, а другой – синего;
• Один из вынутых шариков – синего цвета, а другой – черного;
• Оба вынутых шарика красного цвета;
• Оба вынутых шарика черного цвета;
• Цвета вынутых шариков отличаются друг от друга;
• Вынуты шарики одного и того же цвета.

Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, 2 ладьи, 2 слонов и 2 коней) на первой линии шахматной доски?

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.

Решение

В этой задаче нам обязательно нужно использовать цифры 2, 4 и 5. Но они могут стоять на разных местах и в разном порядке. У нас три «важные» и две «неважные» цифры в числе — два типа цифр. Это перестановки с повторениями.

Теперь посчитаем сколько различных перестановок «важных» цифр между собой. Это перестановки без повторений

Итак у нас 60 различных перестановок. Теперь посчитаем, сколько различных «неважных» цифр может быть в каждой из этих перестановок. Мы выбираем две «неважные» цифры из шести. Порядок выбора важен . Это размещения без повторений .

В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

• Решение:
• Каждая авиалиния соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город А), а в качестве второго – любой из 19 оставшихся (город В). Перемножив эти числа, получаем 20 • 19 = 380.
• Однако при этом подсчете каждая авиалиния учтена дважды (первый раз, когда в качестве первого города был выбран город А, а второго – город В, а второй раз – наоборот). Таким образом, число авиалиний равно 380:2 = 190.