Решу егэ математика профиль многогранники

Каталог заданий.
Объем составного многогранника

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 218    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 218    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Решу ЕГЭ задание №5 по математике 11 класс профильный уровень с ответами и решением для практики и подготовки, задание 5 профильного ЕГЭ по математике – это основы стереометрии.

• Скачать задания куб, прямоугольный параллелепипед
• Скачать задания составные многогранники
• Скачать задания площадь поверхности многогранника
• Скачать задания призма
• Скачать задания пирамида
• Скачать задания цилиндр, конус шар
• Скачать задания комбинация тел

Куб, прямоугольный параллелепипед решу задания и ответы:

Составные многогранники решу задания и ответы:

Площадь поверхности многогранника решу задания и ответы:

Призма решу задания и ответы:

Пирамида задания и ответы:

Цилиндр и конус шар задания и ответы:

Комбинация тел задания и ответы:

Задания и ответы:

1)Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

Правильный ответ: 3

2)Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

Правильный ответ: 24

3)Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

Правильный ответ: 4

4)Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

Правильный ответ: 27

5)Диагональ куба равна 12 . Найдите его объем.

Правильный ответ: 8

6)Объем куба равен 24 3 . Найдите его диагональ.

Правильный ответ: 6

7)Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.

Правильный ответ: 2

8)Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.

Правильный ответ: 2

9)Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.

Правильный ответ: 8

10)Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Правильный ответ: 4

11)В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра AA1, точка L — середина ребра A1B1, точка M — середина ребра A1D1. Найдите угол MLK. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ: 60

12)В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AD1 и B1D1. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ: 60

13)Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Правильный ответ: 5

14)Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Правильный ответ: 3

15)Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Правильный ответ: 24

16)Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

Правильный ответ: 48

17)Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Правильный ответ: 8

18)Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

Правильный ответ: 5

19)Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Правильный ответ: 4

20)Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Правильный ответ: 6

21)Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Правильный ответ: 32

22)Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.

Правильный ответ: 7

23)Одна из граней прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 8 и образует с плоскостью этой грани угол 45o . Найдите объем параллелепипеда.

Правильный ответ: 4

24)Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 8 и образует углы 30o , 30o и 45o с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Правильный ответ: 4

25)Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Правильный ответ: 64

26)Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.

Правильный ответ: 22

27)Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD1CB1.

Правильный ответ: 1,5

28)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A1, B, C, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 3, AD = 4, AA1 = 5.

Правильный ответ: 30

29)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, AD = 3, AA1 = 4.

Правильный ответ: 8

30)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A1, B, C, C1, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, AD = 3, AA1 = 4.

Правильный ответ: 16

31)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 3, AD = 3, AA1 = 4.

Правильный ответ: 3

32)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, B1, C1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 5, AD = 3, AA1 = 4.

Правильный ответ: 10

33)Найдите угол ABD1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ: 45

34)Найдите угол C1BC прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 4. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ: 45

35)Найдите угол DBD1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 3, AA1 = 5. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ: 45

36)В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AC1 = 13, C1D1 = 3, B1C1 = 12. Найдите длину ребра AA1.

Правильный ответ: 4

37)В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1 = 11, C1D1 = 16, B1C1 = 8. Найдите длину диагонали DB1.

Правильный ответ: 21

38)В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро AB 2 , ребро AD 5 , ребро 1 AA 2 . Точка K — середина ребра BB1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A1, D1 и K.

Правильный ответ: 5

39)В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра AB = 24, AD = 10, AA1 =22. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A, A1 и С.

Правильный ответ: 572

40)В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра AB = 8, AD = 6, AA1 =21. Найдите синус угла между прямыми CD и A1C1.

Правильный ответ: 0,6

41)Найдите расстояние между вершинами A и C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Правильный ответ: 3

42)Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Правильный ответ: 5

43)Найдите расстояние между вершинами B1 и D2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Правильный ответ: 3

44)Найдите угол CAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ: 60

45)Найдите угол ABD многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ: 45

46)Найдите тангенс угла B2A2C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Правильный ответ: 2

47)Найдите квадрат расстояния между вершинами B2 и D3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Правильный ответ: 11

48)Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Правильный ответ: 14

49)Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Правильный ответ: 17

50)Найдите тангенс угла C2C3B2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Правильный ответ: 3

51)Найдите тангенс угла ABB3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Правильный ответ: 2

52)Найдите тангенс угла C3D3B3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Правильный ответ: 3

53)Найдите квадрат расстояния между вершинами E и B2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Правильный ответ: 53

54)Найдите угол D2EF многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ: 45

55)Найдите угол EAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ: 60

56)Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Правильный ответ: 18

57)Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Правильный ответ: 76

58)Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Правильный ответ: 92

59)В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 см3 воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в cм3 .

Правильный ответ: 184

60)В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

Правильный ответ: 5

61)Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10.

Правильный ответ: 300

62)Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

Правильный ответ: 248

63)Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 5, а площадь поверхности равна 190.

Правильный ответ: 7

64)Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

Правильный ответ: 12

65)Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.

Правильный ответ: 4

66)Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 3 .

Правильный ответ: 4,5

67)Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Правильный ответ: 8

68)Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Правильный ответ: 20

69)Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2 3 и наклонены к плоскости основания под углом 30o .

Правильный ответ: 18

70)От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Правильный ответ: 4

71)Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Правильный ответ: 288

72)В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.

Правильный ответ: 10

73)В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Правильный ответ: 240

74)Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.

Правильный ответ: 10

75)Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Правильный ответ: 16

76)Объем куба равен 12. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Правильный ответ: 1,5

77)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

Правильный ответ: 2

78)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.

Правильный ответ: 4

79)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A1, B1, B, C правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Правильный ответ: 4

80)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, A1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Правильный ответ: 4

81)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, B1, C1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Правильный ответ: 3

82)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E, A1, B1, D1, E1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Правильный ответ: 8

83)Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Правильный ответ: 6

84)Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Правильный ответ: 340

85)Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Правильный ответ: 360

86)Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABCA1.

Правильный ответ: 1,5

87)Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Правильный ответ: 8

88)Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Правильный ответ: 4

89)Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна 3 .

Правильный ответ: 0,25

90)Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен 3 .

Правильный ответ: 3

91)Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

Правильный ответ: 4

92)В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

Правильный ответ: 256

93)Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60o . Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

Правильный ответ: 48

94)Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

Правильный ответ: 4,5

95)Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

Правильный ответ: 6

96)Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

Правильный ответ: 3

97)От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Правильный ответ: 3

98)Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Правильный ответ: 10

99)Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Правильный ответ: 4

100)Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Правильный ответ: 96

101)Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

Правильный ответ: 9

102)Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 и высота равна 4.

Правильный ответ: 60

103)Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

Правильный ответ: 4

104)Ребра правильного тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Правильный ответ: 0,25

105)Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4.

Правильный ответ: 24

106)В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Правильный ответ: 13

107)Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

Правильный ответ: 12

108)Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

Правильный ответ: 7

109)Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45o . Найдите объем пирамиды.

Правильный ответ: 48

110)Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды B1ABC.

Правильный ответ: 2

Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по математике профиль

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

Многогранники

Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.

В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).

Объемы различных многогранников:

• Призма $V=S_{осн}·h$
• Пирамида $V={1}/{3}S_{осн}·h$
• Параллелепипед $V=a·b·c$, где $a, b$ и $c$ — длина, ширина и высота.
• Куб $V=а^3$, где $а$ — сторона куба

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

• Первый способ.

1. Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
2. Найти объем параллелепипеда.
3. Найти объем лишней части фигуры.
4. Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

• Второй способ

1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2. Найти объем каждого параллелепипеда.
3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.

Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	${1}/{2}$	${√2}/{2}$	${√3}/{2}$
$cosα$	${√3}/{2}$	${√2}/{2}$	${1}/{2}$
$tgα$	${√3}/{3}$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	${√3}/{3}$

Задачи на рассмотрение подобия фигур.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

ЕГЭ Профиль №2. Площадь поверхности и объем составного многогранникаadmin2022-08-28T09:31:58+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №2. Площадь поверхности и объем составного многогранника

Задача 1. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 18.
Задача 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 76.
Задача 3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 92.
Задача 4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 110.
Задача 5. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 94.
Задача 6. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 132.
Задача 7. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 114.
Задача 8. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 48.
Задача 9. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 84.
Задача 10. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 96.
Задача 11. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 124.
Задача 12. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ ОТВЕТ: 14.
Задача 13. Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов. Ответ ОТВЕТ: 30.
Задача 14. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 162.
Задача 15. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 156.
Задача 16. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 152.

Задача 17. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ ОТВЕТ: 8.
Задача 18. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 56.
Задача 19. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 7.
Задача 20. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 40.
Задача 21. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 34.
Задача 22. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 36.
Задача 23. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 90.
Задача 24. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 18.
Задача 25. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 24.
Задача 26. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 45.
Задача 27. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 78.
Задача 28. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 104.
Задача 29. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 87.
Задача 30. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 114.
Задача 31. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 78.

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 5: Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ Профиль. Задание № 5

АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание № 5 рассчитано на умение решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объёмов), использовать при выполнении знание свойств основных пространственных тел, применять планиметрические факты и методы.

Задание состоит из текстовой задачи и рисунка. Рассматриваются простые пространственные тела: куб, прямоугольный параллелепипед, правильная пирамида, правильная призма. Ответом является конечная десятичная дробь или целое число.

План выполнения:

1. Внимательно прочитайте задачу.
2. При необходимости выполните на черновике чертёж и дополнительные построения.
3. Сделайте на черновике необходимые вычисления.
4. Запишите полученное число в поле ответа КИМ и бланк ответов № 1.

Задачи на Прямоугольный параллепипед

Для решения подобных задач необходимо повторить свойства куба и прямоугольного параллелепипеда, формулы для вычисления площади поверхности, объёма этих тел.

Задача № 5 (1). Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 5. Объём параллелепипеда равен 30. Найдите площадь его поверхности.

Решение:

Ответ: 62.

Задачи на Составные многогранники

Задача № 5 (2). Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение:

Ответ: 84.

Задача № 5 (3). Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение:

Ответ: 168.

Задачи на Призмы

Для решения задач этого типа необходимо повторить свойства призмы, формулы для вычисления площади поверхности и объёма призмы.

Задача № 5 (4). В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых рёбер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Решение:

Ответ: 240.

Задачи на Пирамиды

При подготовке нужно повторить основные свойства пирамиды, формулы для вычисления площади поверхности и объёма пирамиды.

Задача № 5 (5). Основание пирамиды — треугольник, у которого длины двух сторон равны 2 и 6, а угол между этими сторонами составляет 30°. Вычислите объём пирамиды, если её высота равна 3.

Решение:

Ответ: 3.

Задачи на Цилиндры

Для решения задач этого типа необходимо повторить формулы вычисления площади круга, длины окружности, площади поверхности цилиндра, объёма цилиндра.

Задача № 5 (6). Радиус основания цилиндра увеличили в 3 раза, а его высоту уменьшили в 4 раза. Во сколько раз увеличится объём цилиндра?

Решение:

Ответ: 2,25.

Задачи на Конусы

При подготовке необходимо повторить свойства конуса, формулы для вычисления площади поверхности и объёма конуса, площади круга и длины окружности.

Задача № 5 (7). Диаметр основания конуса равен 12, угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объём конуса, делённый на π.

Решение:

Ответ: 72.

Задачи на Шары

Для решения задач этого типа необходимо повторить формулы для вычисления площади круга, длины окружности, площади поверхности шара, объёма шара.

Задача № 5 (8). Площадь сечения шара плоскостью равна 36π см². Найдите радиус шара, если плоскость находится на расстоянии 8 см от центра шара.

Решение:

Ответ: 10.

Задачи на Комбинации многогранников
и тел вращения

Задача № 5 (9). В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Боковые рёбра призмы равны 4/π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение:

Ответ: 25.

Задача № 5 (10). Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 15. Найдите площадь поверхности шара.

Решение:

Ответ: 10.

Задача № 5 (11). Объём конуса равен 7π см³. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, вписанной в конус.

Решение:

Ответ: 14.

Задача № 5 (12). Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 20. Найдите объём конуса.

Решение:

Ответ: 5.

Тренировочные задания с самопроверкой

№ 5.1. Площадь поверхности куба равна 72 (см. рис.). Найдите его диагональ.

№ 5.2. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, D, Е, А₁, В₁, D₁, E₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ (см. рис.). Площадь основания призмы равна 15, а боковое ребро равно 4.

№ 5.3. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 16, боковые рёбра равны 17 (см. рис.). Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

№ 5.4. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты (см. рис.). Объём жидкости равен 60 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

№ 5.5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, В прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого АВ = 3, AD = 7, АА₁ = 5 (см. рис.).

---

Вы смотрели: ЕГЭ по математике Профиль. Задание 5: Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

Просмотров:
13 610

Дидактический материал

Задачи ЕГЭ по теме «Многогранники»

1. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точка N принадлежит ребру MC, причём MN: NC = 2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и N параллельно прямой AC.

Решение

Отрезок NK параллелен AC (точка K принадлежит ребру MA).

Пусть NK пересекает MO в точке P(O — центр основания пирамиды), причём тогда точка P является точкой пересечения медиан треугольника MBD. Прямая BP пересекает ребро MD  в точке E.  Четырёхугольник  BNEK — искомое сечение.

Отрезок BE — медиана треугольника MBD, значит, ;

Поскольку прямая BD перпендикулярна плоскости MAC, диагонали  BE  и  NK четырёхугольника BNEK перпендикулярны, следовательно,  .

Ответ:  .

2. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.

Решение

Площадь основания пирамиды равна 144 − 108 = 36, поэтому AB = 6. Площадь боковой грани равна  Пусть SM — высота грани SAB. Тогда  поэтому SM = 9. Пусть SH — высота пирамиды. Имеем  

Тогда 

Ответ: 36.

3. Точка E — середина ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите площадь сечения куба плоскостью A₁BE, если ребра куба равны 2.

Решение

Прямая  пересекает прямую  в точке  Прямая  пересекает ребро   в его середине — точке .  — сечение куба плоскостью .

Равнобедренный треугольник  подобен треугольнику   и высота

Поскольку  — средняя линия треугольника  получаем:

Ответ: 4,5.

4. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 8, боковые рёбра равны . Изобразите сечение, проходящее через вершины A, C и середину ребра A₁B₁. Найдите его площадь.

Решение

Обозначим через  и  средины ребер  и   соответственно.

По теореме о средней линии треугольника     так что прямые  и  лежат в одной плоскости. Сечение про которое спрашивается в условии, − это сечение призмы этой плоскостью. Оно представляет собой равнобокую трапецию Основания трапеции   по теореме Пифагора найдем боковую сторону:

Проведем в трапеции высоту . Отрезок  равен полуразности оснований трапеции:

Следовательно, высота трапеции  Зная её, находим площадь трапеции: 

Ответ: 30.

5. Дан куб     c ребром, равным 4. Пусть точка  лежит на стороне  так, что  Найдите расстояние от точки  до плоскости   , где  — середина  .

Решение

Введем декартову систему координат. В выбранной системе координат:  Уравнение плоскости  имеет вид:   Пусть  Найдем значения  при 

Искомое уравнение имеет вид:   или 

Расстояние  от точки  до указанной плоскости будем находить по формуле:

  ,где  — координаты точки 

.

Ответ:  .

1. В основании прямой призмы  лежит прямоугольный равнобедренный треугольник  с прямым углом  и гипотенузой . Найти расстояние от точки   до прямой если точка  — середина ребра  , которое равно 

Решение

По теореме Пифагора имеем:  

Очевидно, что 

Для получения искомого расстояния воспользуемся методом площадей. Найдем площадь равнобедренного треугольника  Для этого вычислим высоту этого треугольника h, опущенную на основание 

.

 Это с одной стороны. Но с другой же стороны .

Следовательно, 

Ответ: 6.

1. К диагонали  куба  провели перпендикуляры из середин ребер AB и AD. Найдите угол между этими перпендикулярами.

Решение

Пусть ребро куба равно  О — центр куба, точки К и N — середины рёбер AD и AВ соответственно.

Заметим, что A₁N = NC =  , треугольник A₁NC равнобедренный, его медиана NO является высотой, поэтому NО — перпендикуляр к AС. Аналогично KO перпендикуляр к АС.

Найдём угол KON. Введем систему координат как показано на рисунке. В этой системе координат: 

Найдём угол между векторами из их скалярного произведения:

Следовательно, .

Ответ: 60°.

1. Точки  — середины ребер  и  соответственно куба  . Найти угол между прямой  и плоскостью, проходящей через точку  перпендикулярно прямой .

Решение

Координатно-векторный способ.

Пусть ребро куба равно 2.

Введем декартову систему координат, как показано на рис.

Найдем координаты необходимых точек:

Если  — искомый угол, то:

Элементарно-геометрический подход.

Угол между заданной плоскостью и ребром  будет равен углу между прямой , перпендикулярной к плоскости, и прямой PE, перпендикулярной к ребру 

Треугольник  — прямоугольный, к тому же равнобедренный. Следовательно, .

Ответ:  .

9. Площадь треугольника, образованного диагональным сечением правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S, вдвое больше площади её основания.

а) Постройте это сечение;

б) Найдите косинус плоского угла при вершине пирамиды.

Решение

а) Соединим точки B и D отрезком. Проведем плоскость через точки S, B и D, не лежащие на одной прямой. Сечение построено. Это — треугольник BSD. Но таких сечений будет два: можно было бы построить также сечение, проходящие через АС — диагональ основания. Поскольку диагонали квадрата (основания) равны, боковые ребра правильной пирамиды также равны, то получим два равных решения. Для нашего случая достаточно взять одно решение: треугольник BSD

б) Проведем высоту пирамиды SO, O — точка пересечения АС и BD.

Для удобства дальнейших вычислений пусть сторона квадрата ABCD будет равна .Тогда

В  по теореме косинусов будем иметь:

Ответ: 

1. В треугольной пирамиде два ребра, исходящие из одной вершины, равны по  а все остальные ребра равны по 2. Найдите объем пирамиды.

Решение

Пусть ребра пирамиды таковы, как показано на рисунке с точностью до обозначений вершин. (В основании пирамиды равносторонний треугольник со стороной 2). Пусть О — центр основания пирамиды.

Пусть K — середина отрезка AB. Проведем отрезки SK и CK.

Ясно, что 

Рассмотрим треугольник SKC. Он равнобедренный, поскольку SK = SC = 2. SO — высота этого треугольника. Очевидно, что этот же отрезок будет служить высотой заданной пирамиды, так как наклонные SA = SB, BO = AO, поскольку KC — серединный перпендикуляр к отрезку AB. Значит, О — ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость (ABC).

.

Итак, .

Ответ:  .