Решу егэ математика профиль разбор всех заданий

Структура профильного уровня ЕГЭ по математике

---

---

Разбор заданий ЕГЭ по математике (профиль)

В данном разделе мы занимаемся подготовкой к ЕГЭ по математике как базового, профильного уровня — у нас представлены разборы задач, тесты, описание экзамена и полезные рекомендации. Пользуясь нашим ресурсом, вы как минимум разберетесь в решении задач и сможете успешно сдать ЕГЭ по математике в 2020 году. Начинаем!

ЕГЭ по математике является обязательным экзаменом любого школьника в 11 классе, поэтому информация, представленная в данном разделе актуальна для всех. Экзамен по математике делится на два вида — базовый и профильный. В данном разделе я приведен разбор каждого вида заданий с подробным объяснением для двух вариантов. Задания ЕГЭ строго тематические, поэтому для каждого номера можно дать точные рекомендации и привести теорию, необходимую именно для решения данного вида задания. Ниже вы найдете ссылки на задания, перейдя по которым можно изучить теорию и разобрать примеры. Примеры постоянно пополняются и актуализируются.

---

Структура базового уровня ЕГЭ по математике

---

Экзаменационная работа по математике базового уровня состоит из одной части, включающей 20 заданий с кратким ответом. Все задания направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.

Ответом к каждому из заданий 1–20 является целое число, конечная десятичная дробь, или последовательность цифр.

Задание с кратким ответом считается выполненным, если верный ответ записан в бланке ответов №1 в той форме, которая предусмотрена инструкцией по выполнению задания.

---

Разбор заданий ЕГЭ по математике (база)

---

24 августа вышла демоверсия ЕГЭ 2023 по профильной математике. Для тех, кто пока не готов вникать в тему основательно, успокоительный спойлер: почти ничего не изменилось, принципиально новых заданий нет. Всё в порядке. 

А для тех, кто давно был на низком старте и ждал разбор демо ЕГЭ, математик Эйджей провёл стрим с решением заданий из демоверсии ЕГЭ 2023 по профильной математике. В этой статье собраны резюме по заданиям экзамена, которые составители ЕГЭ представили в демоверсии. 

https://youtu.be/RFQwP8DW8sA 

Что изменилось в ЕГЭ 2023 по профильной математике

По сути, никаких критически важных изменений в демоверсии ЕГЭ 2023 нет, о чём составители написали прямо: «Изменения в содержании КИМ отсутствуют». Но есть момент: все задания из первой части, кроме 11, изменили свои номера. 

Будем искать позитивные моменты: если в 2022 году вы не смогли запомнить номера заданий в тесте — ничего страшного, запомните новые в 2023 году. 

Главное, что новых заданий не появилось.

Важный момент в самостоятельной подготовке к ЕГЭ по профильной математике — выбор качественных сборников задач. Делимся лучшими ресурсами для повторения теории и отработки практики.

1, 2 задания

В демоверсии ЕГЭ 2023 по профильной математике всё начинается с простой геометрии и стереометрии. Составители хотят, чтобы геометрические задачи научились решать как можно больше ребят, поэтому поместили эти задания вперёд как одни из самых простых, чтобы поднять решаемость.

3, 4 задания

Задания 3–4 посвящены теории вероятности. 

Задание 3 — обычная задача наподобие задачи из ОГЭ, а задание 4 — задача про монеты и проценты из КИМа 2022 года. 

5, 6 задания

После вероятностей составители ЕГЭ 2023 по профильной математике решили поставить уравнения и выражения. Уравнения ожидаются не супер лёгкие, но вполне решаемые: будут корни, логарифмы и степени. В выражениях в демоверсии ЕГЭ встретилась тригонометрия и степени.

7 задание 

Ура, 7 задание осталось на своём месте: это задание с графиком и производными. Почему-то его не объединили в общий блок с 11 заданием, тоже посвящённым производным. 

Далее в разборе демоверсии ЕГЭ 2023 по профильной математике выпускников ждут две задачи. 

8 задание

8 задача на подстановку: нужно подставить в формулу известные числа и вычислить какую-либо величину. Ничего сложного, главное внимательность.

9 задание

Ещё одна текстовая задача. Здесь могут встретиться темы «Движение по прямой», «Движение по окружности», «Движение по реке» и «Сплавы, смеси, растворы». Такие задачи считаются не самыми простыми. Вместе с Эйджеем разберём этот номер в Телеграме.

10 задание

10 задание в демо ЕГЭ 2023 — «новое старое задание». Этот тип заданий с графиком впервые появился в 2022 году, и в КИМ 2023 попал без изменений. Возможно, стоит ждать усложнения этого задания. 

11 задание

Традиционное задание с производными и точками минимума и максимума, которое почему-то не объединили в блок с другим заданием на производные. 

Итак, обобщим всё, что мы узнали про первую часть демоверсии ЕГЭ по математике: в 2023 году в экзамене не появились ни вектора, ни комплексные числа. Можно немного расслабиться! Осталось выучить новую нумерацию, и всё будет хорошо.

Нумерация второй части в демоверсии ЕГЭ 2023 осталась без изменений, и это радует: не придётся переучивать номера и переживать. Посмотрим, что приготовили составители в этом году. 

12 задание

Традиционно в разборе демоверсии ЕГЭ 2023 по профильной математике в 12 задании выпускников ждёт тригонометрическое уравнение. 

13 задание

В 13 задании осталась стереометрия: в демоверсии представлена треугольная призма.

14 задание

В 14 задании всё по плану, там остались неравенства с логарифмами, ничего нового. 

Это задание вместе с 12-ым составляет «джентльменский набор» из второй части — их под силу решить каждому, и этому нужно обязательно научиться, чтобы набрать 70+ баллов за ЕГЭ по профильной математике. 

15 задание

15 задание также считается вполне решаемым. В демоверсии это экономическая задача про человека, который взял кредит в банке и рассчитывает выплаты и проценты.

16 задание

В задании 16 демоверсии ЕГЭ 2023 представлена планиметрическая задача про две окружности. 

17 задание

Задача на параметр. Как показывает практика прошлых лет, параметр — самое решаемое задание из сложных заданий ЕГЭ. 

18 задание

Задача на целые числа. Из трёх пунктов, А и Б решить может каждый, если хорошо подготовиться.

Чтобы получить 80+ баллов по профильной математике, нужно без ошибок решить первую часть и выполнить 12, 14, 15 и 18аб задания. А планиметрия, стереометрия, параметр и 18 задание полностью  помогут получить заветную сотку. Как повысить свои шансы на успешную сдачу ЕГЭ по математике, рассказали в нашей статье.

Мы разобрали демоверсию ЕГЭ 2023 по математике, и теперь вы знаете, что приготовили для вас составители экзамена. Можно смело начинать подготовку! Эйджей уже составил план занятий и ждёт вас на курсе «Основа». Это возможность разобраться во всех темах и набить руку в решении заданий в компании единомышленников и с личным наставником.

© 2020-2023, ege314.ru, ОГЭ и ЕГЭ по математике | Генератор вариантов ЕГЭ 2023.
Частичное или полное копирование решений (включая графические элементы) с данного сайта для распространения на других ресурсах, в том числе и бумажных, строго запрещено. Все решения являются собственностью сайта.

Экзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут). 

Минимальный порог — 27 баллов.

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий. 

Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:

• часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
• часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

---

Панова Светлана Анатольевна, учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:  

«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».

---

Задание № 1 — проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 — 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.

Пример 1.

В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня — 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м  холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.

Решение:

1)    Найдем количество потраченной воды за месяц:

177 — 172 = 5 (куб м)

2)    Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

Ответ: 170,85.

---

---

Задание № 2 —является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований — это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами  и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.

#ADVERTISING_INSERT#

Задание №  2 проверяет умение читать диаграммы.

Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции добывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько потерял бизнесмен в результате этих операций?

Решение: 

1)    340 · 1000 = 340000 (руб) — бизнесмен потратил 7 апреля при покупке 1000 акций.

2)    1000 · 3/4 = 750 (акций) — составляют  3/4 от всех купленных акций.

3)    330 · 750 = 247500 (руб) — бизнесмен получил 10 апреля после продажи 750 акций.

4)    1000 – 750 = 250 (акций) — остались после продажи 750 акций 10 апреля.

5)    310 · 250 = 77500 (руб) — бизнесмен получил 13 апреля после продажи 250 акций.

6)    247500 + 77500 = 325000 (руб) — бизнесмен получил после продажи 1000 акций.

7)    340000 – 325000 = 15000 (руб) — потерял бизнесмен в результате всех операций.

Ответ: 15000.

---

Задание № 3 — является заданием базового уровня первой части, проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами по содержанию курса «Планиметрия». В задании 3 проверяется умение вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге, умение вычислять градусные меры углов, вычислять периметры и т.п.

Пример 3. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: Для вычисления площади данной фигуры можно воспользоваться формулой Пика:

На рисунке справа B = 7 (красные точки), Г = 8 (зелёные точки),  Для вычисления площади данного прямоугольника воспользуемся формулой Пика:  где В = 10, Г = 6, поэтому Ответ: 20.

---

Читайте также: ЕГЭ по физике: решение задач о колебаниях

---

Задание № 4 — задача курса «Теория вероятностей и статистика». Проверяется умение вычислять вероятность события в простейшей ситуации.

Пример 4. На окружности отмечены 5 красных и 1 синяя точка. Определите, каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины красные, или тех, у которых одна из вершин синяя. В ответе укажите, на сколько одних больше, чем других.

Решение: 1) Воспользуемся формулой числа сочетаний из n элементов по k:

=	n!	.
k!(n – k)!

=	5!	=	3! · 4 · 5	=	4 · 5	= 10 треугольников,
3!(5 – 3)!	3!2!	1 · 2

у которых все вершины красные.

2)

=	5!	=	4! · 5	= 5 треугольников,
4!(5 – 4)!	4!1!

у которых все вершины красные.

3) Один пятиугольник, у которого все вершины красные.

4) 10 + 5 + 1 = 16 многоугольников, у которых все вершины красные.

5)

=	6!	=	3! · 4 · 5 · 6	=	4 · 5 · 6	= 20 треугольников,
3!(6 – 3)!	3!3!	1 · 2 · 3

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

6)

=	6!	=	4! · 5 · 6	=	5 · 6	= 15 четырёхуголников,
4!(6 – 4)!	4!2!	1 · 2

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

7)

=	6!	=	5! · 6	= 6 пятиугольников,
5!(6 – 5)!	5!1!

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

Один шестиуголник, у которого вершины красные с одной синей вершиной.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоуголника, у которых все вершины красные или с одной синей вершиной.

10) 42 – 16 = 26 многоугольников, в которых используется синяя точка.

11) 26 – 16 = 10 многоугольников – на сколько многоугольников, у которых одна из вершин — синяя точка, больше, чем многоугольников, у которых все вершины только красные.

Ответ: 10.

---

Задание № 5 — базового уровня первой части проверяет умения решать простейшие уравнения (иррациональные, показательные, тригонометрические, логарифмические).

Пример 5. Решите уравнение 2^3 + x = 0,4 · 5^3 + x.

Решение. Разделим обе части данного уравнения на 5^3 + х ≠ 0, получим

23 + x	= 0,4 или		2		3 + х	=	2	,
53 + х	5		5

откуда следует, что 3 + x = 1, x = –2.

Ответ: –2.

---

Задание № 6 по планиметрии на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей), моделирование реальных ситуаций на языке геометрии. Исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем. Источником трудностей является, как правило, незнание или неверное применение необходимых теорем планиметрии.

Пример 6. Площадь треугольника ABC равна 129. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

Решение. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам, так как угол при вершине C общий, угол СDE равен углу CAB как соответственные углы при DE || AB секущей AC. Так как DE – средняя линия треугольника по условию, то по свойству средней линии | DE = (1/2)AB. Значит, коэффициент подобия равен 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

SΔCDE	=		2		2	; SΔCDE  =	1	· 129 = 32,25.
SΔCAB	5		4

Следовательно, S_ABED = S_ΔABC – S_ΔCDE = 129 – 32,25 = 96,75. 

Ответ: 96,75.

---

Смотреть вебинары по алгебре

---

Задание № 7 — проверяет применение производной к исследованию функции. Для успешного выполнения необходимо содержательное, не формальное владение понятием производной.

Пример 7. К графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀ проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1) этого графика. Найдите f′(x₀).

Решение. 1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и найдём уравнение прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1).

(y – y₁)(x₂ – x₁) = (x – x₁)(y₂ – y₁)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x + 16| · (–1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x – 13, где k₁ = 4.

2) Найдём угловой коэффициент касательной k₂, которая перпендикулярна прямой y = 4x – 13, где k₁ = 4, по формуле:

k1 · k2 = –1, k2 =	–1	–0,25.
4

3) Угловой коэффициент касательной – производная функции в точке касания. Значит, f′(x₀) = k₂ = –0,25.

Ответ: –0,25.

---

Задание № 8 — проверяет у участников экзамена знания по элементарной стереометрии, умение применять формулы нахождения площадей поверхностей и объемов   фигур, двугранных углов, сравнивать объемы подобных фигур, уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами и т.п.

Пример 8. Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Решение. 1) V_куба = a³ (где а – длина ребра куба), поэтому

а³ = 216

а = ³√216

a = 6.

2) Так как сфера вписана в куб, значит, длина диаметра сферы равна длине ребра куба, поэтому d = a, d = 6, d = 2R, R = 6 : 2 = 3.

Ответ: 3.

---

Приемы подготовки к профильному ЕГЭ по математике

---

Задание № 9 — требует от выпускника навыков преобразования и упрощения алгебраических выражений. Задание № 9 повышенного уровня сложности с кратким ответом. Задания из раздела «Вычисления и преобразования» в ЕГЭ подразделяются на несколько видов:

1. преобразования числовых рациональных выражений;

2. преобразования алгебраических выражений и дробей;

3. преобразования числовых/буквенных иррациональных выражений;

4. действия со степенями;

5. преобразование логарифмических выражений;

6. преобразования числовых/буквенных тригонометрических выражений.

Пример 9. Вычислите tgα, если известно, что cos2α  = 0,6 и

Решение. 1) Воспользуемся формулой двойного аргумента: cos2α = 2 cos²α – 1 и найдём

cos2α =	cos2α + 1	=	0,6 + 1	=	1,6	= 0,8.
2	2	2

2) Воспользуемся формулой тригонометрических функций одного угла:

и найдём

tg2α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
cos2α	0,8	8	4	4	4

Значит, tg²α = ± 0,5.

3) По условию

значит, α – угол II четверти и tgα < 0, поэтому tgα = –0,5.

Ответ: –0,5.

---

#ADVERTISING_INSERT#

---

Задание № 10 — проверяет у учащихся умение использовать приобретенные раннее знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Можно сказать, что это задачи по физике, а не по математике, но все необходимые формулы и величины даны в условии. Задачи сводятся к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства. Поэтому необходимо уметь решать такие уравнения и неравенства, и определять ответ. Ответ должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Пример 10. Два тела массой m = 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 10 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q = mv²sin²α. Под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
Решение. Для решения задачи нам необходимо решить неравенство Q ≥ 50,  на  интервале 2α ∈ (0°; 180°). 

mv²sin²α ≥ 50

2· 10²sin²α ≥ 50

200 · sin²α ≥ 50

Решением данного неравенства являются два неравенства:

sinα ≥	1	и sinα ≤ –	1	.
2	2

Так как α ∈ (0°; 90°), то будем решать только

 Неравенство

 мы не рассматриваем, так как α для него будет более 180°. Итак:

Изобразим решение неравенства графически:

Так как по условию α ∈ (0°; 90°), значит 30° ≤ α < 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Ответ: 60.

---

Скачать бесплатно рабочие программы по алгебре

---

Задание № 11 — является типовым, но оказывается непростым для учащихся. Главным источником затруднений является построение математической модели (составление уравнения). Задание № 11 проверяет умение решать текстовые задачи.

Пример 11. На весенних каникулах 11-классник Вася должен был решить 560 тренировочных задач для подготовки к ЕГЭ. 18 марта в последний учебный день Вася решил 5 задач. Далее ежедневно он решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Определите, сколько задач Вася решил 2 апреля в последний день каникул.

Решение:

Обозначим a₁ = 5 – количество задач, которые Вася решил 18 марта, d – ежедневное количество задач, решаемых Васей, n = 16 – количество дней с 18 марта по 2 апреля включительно, S₁₆ = 560 – общее количество задач, a₁₆ – количество задач, которые Вася решил 2 апреля. Зная, что ежедневно Вася решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём, то можно использовать формулы нахождения суммы арифметической прогрессии:

560 = (5 + a₁₆) · 8,

5 + a₁₆ = 560 : 8,

5 + a₁₆ = 70,

a₁₆ = 70 – 5

a₁₆ = 65.

Значит, Вася решил 2 апреля 65 задач.

Ответ: 65.

---

Задание № 12 — проверяют у учащихся умение выполнять действия с функциями, уметь применять производную к исследованию функции.

Пример 12. Найти точку максимума функции y = 10ln(x + 9) – 10x + 1.

Решение: 1) Найдем область определения функции: x + 9 > 0, x > –9,  то есть x ∈ (–9; ∞).

2) Найдем производную функции:

3) Найдем нули производной:

y′= 0,	10	– 10 = 0, x = –8.
x + 9

4) Найденная точка принадлежит промежутку (–9; ∞). Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума  x = –8.

Ответ: –8.

---

Скачать бесплатно рабочую программу по математике к УМК Мерзляка А.Г. 5-11 класс

Скачать бесплатно рабочую программу по математике к линии УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной 10-11

---

---

Скачать бесплатно методические пособия по алгебре

---

 
Задание № 13 — повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяющее умение решать уравнения, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.

Пример 13. а) Решите уравнение  2log₃²(2cosx) – 5log₃(2cosx) + 2 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение: а) Пусть log₃(2cosx) = t, тогда 2t² – 5t + 2 = 0,

откуда  t = 2 или t =	1	.
2

	log3(2cosx)  =	2	⇔		2cosx = 9	⇔		cosx =	4,5	⇔  т.к.  |cosx| ≤ 1,
log3(2cosx)  =	1	2cosx = √3	cosx =	√3
2	2

	x  =	π	+ 2πk
6
x  = –	π	+ 2πk, k ∈ Z
6

б) Найдём корни, лежащие на отрезке .

Из рисунка видно, что заданному отрезку принадлежат корни

Ответ: а)	π	+ 2πk; –	π	+ 2πk, k ∈ Z; б)	11π	;	13π	.
6	6	6	6

---

Задание № 14 — повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить. 

Пример 14. Диаметр окружности основания цилиндра равен  20, образующая цилиндра равна  28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между хордами равно 2√197.

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Решение: а)  Хорда длиной 12 находится на расстоянии  = 8  от центра окружности основания, а хорда длиной 16, аналогично, – на расстоянии 6. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 8 + 6 = 14,  либо 8 − 6 = 2. 

Тогда расстояние между хордами составляет либо

 =  = √980 =  = 2√245 

либо

 =  = √788 =  = 2√197.

По условию реализовался второй случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее. Что требовалось доказать.

б) Обозначим центры оснований  за О₁ и О₂. Проведем из центра основания с хордой длины 12 серединный перпендикуляр к этой хорде (он имеет длину 8, как уже отмечалось) и из центра другого основания — к другой хорде. Они лежат в одной плоскости β, перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды B, большей  A и проекцию  A на второе основание — H (H ∈ β). Тогда  AB,AH ∈ β и значит, AB,AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.

Значит, искомый угол равен

∠ABH = arctg	AH	= arctg	28	= arctg14.
BH	8 – 6

Ответ: arctg 14.

---

Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ для учителей по алгебре

---

Задание № 15 — повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяет умение решать неравенства, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.

Пример 15. Решите неравенство |x² – 3x| · log₂(x + 1) ≤ 3x – x².

Решение: Областью определения данного неравенства является интервал (–1; +∞). Рассмотри отдельно три случая:

1) Пусть x² – 3x = 0, т.е. х = 0 или х = 3. В этом случае данное неравенство превращается в верное, следовательно, эти значения входят в решение.

2) Пусть теперь x² – 3x > 0, т.е. x ∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При этом данное неравенство можно переписать в виде (x² – 3x) · log₂(x + 1) ≤ 3x – x² и разделить на положительное выражение x² – 3x. Получим log₂(x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2^–1, x ≤ 0,5 –1 или x ≤ –0,5. Учитывая область определения, имеем x ∈ (–1; –0,5].

3) Наконец, рассмотрим x² – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). При этом исходное неравенство перепишется в виде (3x – x²) · log₂(x + 1) ≤ 3x – x². После деления на положительное выражение 3x – x², получим log₂(x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. Учитывая область, имеем x ∈ (0; 1].

Объединяя полученные решения, получаем x ∈ (–1; –0.5] ∪ [0; 1] ∪ {3}.

Ответ: (–1; –0.5] ∪ [0; 1] ∪ {3}.

---

Задание № 16 — повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить. 

Пример 16. В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E – на отрезке AB. а) Докажите, что FH = 2DH. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.

Решение: а)

1) ΔBEF – прямоугольный, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тогда EF =  BE по свойству катета, лежащего против угла 30°.

2) Пусть EF = DH = x, тогда BE = 2x, BF = x√3 по теореме Пифагора.

3) Так как ΔABC равнобедренный, значит, ∠B = ∠C = 30˚.

BD – биссектриса ∠B, значит   ∠ABD  =  ∠DBC = 15˚.

4) Рассмотрим ΔDBH – прямоугольный, т.к. DH⊥BC.

tg 15° = tg(45° – 30°) =	3 – √3	,
3 + √3

3 – √3	,	x
3 + √3	x√3 + FH

(x√3 + FH)(3 – √3) = x(3 + √3)

2√3x – 6x = √3FH – 3FH

2x(√3 – 3) = FH(√3 – 3)

FH = 2x

FH = 2DH

Что требовалось доказать.

б) 1) ΔAED ∼ ΔABC по двум углам, так как ∠B – общий, ∠AED = ∠ABC как соответственные при ED || BC секущей AB. Из подобия треугольников следует:

 √3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S_DEFH = ED · EF = (3 – √3) · 2(3 – √3)

S_DEFH = 24 – 12√3.

Ответ: 24 – 12√3.

---

Задание № 17 — задание с развернутым ответом, это задание проверяет применение знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни, умение строить и исследовать математические модели. Это задание — текстовая задача с экономическим содержанием.

Пример 17. Вклад в размере 20 млн  рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10%  по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн. рублей, где х — целое число. Найдите наибольшее значение  х, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.

Решение: В конце первого года вклад составит 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублей, а в конце второго – 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублей. В начале третьего года вклад (в млн рублей) составит  (24,2 + х), а в конце — (24,2 + х) + (24,2 + х) · 0,1 = (26,62 + 1,1х). В начале четвёртого года вклад составит (26,62 + 2,1х),  а в конце — (26,62 + 2,1х) + (26,62 + 2,1х) · 0,1 = (29,282 + 2,31х). По условию, нужно найти наибольшее целое х, для которого выполнено неравенство 

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Наибольшее целое решение этого неравенства — число 24. 

Ответ: 24.

---

Задание № 18 — задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности — это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 18 необходим, кроме прочных математических знаний, также высокий уровень математической культуры.

Пример 18. При каких a система неравенств

	x2 + y2 ≤ 2ay – a2 + 1
y + a ≤ |x| – a

имеет ровно два решения?

Решение: Данную систему можно переписать в виде

	x2 + (y – a)2 ≤ 1
y ≤ |x| – a

Если нарисовать на плоскости множество решений первого неравенства, получится внутренность круга (с границей) радиуса 1 с центром в точке (0, а). Множество решений второго неравенства – часть плоскости, лежащая под графиком функции y = |x| – a,причём последний есть график функции
y = |x|, сдвинутый вниз на а. Решение данной системы есть пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Следовательно, два решения данная система будет иметь лишь в случае, изображённом на рис. 1.

Точки касания круга с прямыми и будут двумя решениями системы. Каждая из прямых наклонена к осям под углом 45°. Значит, треугольник PQR – прямоугольный равнобедренный. Точка Q имеет координаты (0, а), а точка R – координаты (0, –а). Кроме того, отрезки PR и PQ равны радиусу окружности, равному 1. Значит,

---

Перейти в каталог продукции по алгебре

---

Задание № 19 — задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности — это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 19 необходимо уметь осуществлять поиск решения, выбирая различные подходы из числа известных, модифицируя изученные методы.

Пример 19. Пусть Sn сумма п членов арифметической прогрессии (а_п). Известно, что S_{n + 1} = 2n² – 21n – 23.

а) Укажите формулу п-го члена этой прогрессии.

б) Найдите наименьшую по модулю сумму S_n.

в) Найдите наименьшее п, при котором S_n будет квадратом целого числа.

Решение: а) Очевидно, что a_n = S_n – S_{n – 1}. Используя данную формулу, получаем:

S_n = S_{(n – 1) + 1} = 2(n – 1)² – 21(n – 1) – 23 = 2n² – 25n,

S_{n – 1} = S_{(n – 2) + 1} = 2(n – 1)² – 21(n – 2) – 23 = 2n² – 25n + 27

значит, a_n = 2n² – 25n – (2n² – 29n + 27) = 4n – 27.

б) Так как S_n = 2n² – 25n, то рассмотрим функцию S(x) = |2x² – 25x|. Ее график можно увидеть на рисунке.

Очевидно, что наименьшее значение достигается в целочисленных точках, расположенных наиболее близко к нулям функции. Очевидно, что это точки х = 1, х = 12 и х = 13. Поскольку, S(1) = |S₁| = |2 – 25| = 23, S(12) = |S₁₂| = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S₁₃| = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, то наименьшее значение равно 12.

в) Из предыдущего пункта вытекает, что Sn положительно, начиная с n = 13. Так как S_n = 2n² – 25n = n(2n – 25), то очевидный случай, когда данное выражение является полным квадратом, реализуется при n = 2n – 25, то есть при п = 25.

Осталось проверить значения с 13 до 25:

S₁₃ = 13 · 1, S₁₄ = 14 · 3, S₁₅ = 15 · 5, S₁₆ = 16 · 7, S₁₇ = 17 · 9, S₁₈ = 18 · 11, S₁₉ = 19 · 13, S₂₀ = 20 · 13, S₂₁ = 21 · 17, S₂₂ = 22 · 19, S₂₃ = 23 · 21, S₂₄ = 24 · 23.

Получается, что при меньших значениях п полный квадрат не достигается.

Ответ: а) a_n = 4n – 27; б) 12; в) 25.

Фото: nn.ucheba.ru

________________

*С мая 2017 года объединенная издательская группа «ДРОФА-ВЕНТАНА» входит в корпорацию «Российский учебник». В корпорацию также вошли издательство «Астрель» и цифровая образовательная платформа «LECTA». Генеральным директором назначен Александр Брычкин, выпускник Финансовой академии при Правительстве РФ, кандидат экономических наук, руководитель инновационных проектов издательства «ДРОФА» в сфере цифрового образования (электронные формы учебников, «Российская электронная школа», цифровая образовательная платформа LECTA). До прихода в издательство «ДРОФА» занимал позицию вице-президента по стратегическому развитию и инвестициям издательского холдинга «ЭКСМО-АСТ». Сегодня издательская корпорация «Российский учебник» обладает самым крупным портфелем учебников, включенных в Федеральный перечень — 485 наименований (примерно 40%, без учета учебников для коррекционной школы). Издательствам корпорации принадлежат наиболее востребованные российскими школами комплекты учебников по физике, черчению, биологии, химии, технологии, географии, астрономии — областям знаний, которые нужны для развития производственного потенциала страны. В портфель корпорации входят учебники и учебные пособия для начальной школы, удостоенные Премии Президента в области образования. Это учебники и пособия по предметным областям, которые необходимы для развития научно-технического и производственного потенциала России.

ЕГЭ по математике — Профиль 2023. Открытый банк заданий с ответами.admin2023-03-05T19:16:30+03:00