Решу егэ математика профиль задание 6 номер - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат  — крутящий момент в Н · м. Чтобы автомобиль начал движение, крутящий момент должен быть не менее 60 Н · м. Какое наименьшее число оборотов двигателя в минуту достаточно, чтобы автомобиль начал движение?

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат  — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался от температуры 60 °C до температуры 90 °C.

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали  — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Источник: Досрочный ЕГЭ по математике (Центр) 30.03.2018

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали  — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 27 апреля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали  — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало миллиметров осадков.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Выделите в таблице ячейки, соответствующие тем типам задач, которые вас интересуют.
B1	B2	B3	B4	B5	B6
B7	B8	B9	B10	B11	B12

Версия для печати и копирования в MS WordВерсия для печати и копирования в MS Word

Найдите значение выражения

Тип 6 № 541510 (задание учителя)

Это задание могут просматривать только пользователи из списка учеников учителя.

Источник/автор: Марианна Субочева

Найдите значение выражения

Найдите значение выражения:

Найдите значение выражения

Найдите значение выражения при b=4.

Тип 17 № 512550 (задание учителя)

Это задание могут просматривать только пользователи из списка учеников учителя.

Источник/автор: Анна

Источник

Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых нужно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11. Или почти всю.

Например, задание №6 Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических. Задачи на определение модуля и понятие функции. В общем, типов задач здесь множество, по всему курсу алгебры.

И помните, что в ответе в заданиях первой части Профильного ЕГЭ по математике у вас должны получаться целые числа или конечные десятичные дроби.

Дробно-рациональные выражения. Формулы сокращенного умножения

Темы для повторения: Формулы сокращенного умножения, Приемы быстрого счета

Если вам встретится такое задание на ЕГЭ – значит, повезло!

1. Найдите значение выражения $frac{2,88cdot 44,5}{0,288cdot 4,45}.$

Не спешите перемножать десятичные дроби. Посмотрите на задачу внимательно.

$frac{2,88cdot 44,5}{0,288cdot 4,45}=frac{2,88cdot 44,5}{2,88cdot 0,445}=frac{44,5}{0,445}=100.$

Первый множитель в знаменателе умножили на 10, а второй поделили на 10, просто передвинув запятую.

Ответ: 100.

2. Найдите значение выражения $7frac{9}{13}:frac{5}{13}.$

$7frac{9}{13}:frac{5}{13}=frac{100}{13}cdot frac{13}{5}=20.$

Ответ: 20.

Корни и степени. Иррациональные выражения

Темы для повторения: Арифметический квадратный корень.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

$left ( sqrt{a} right )^{2}=a;;sqrt{a}geq 0;;ageq 0$ .

3. Вычислите .

Применили одну из формул сокращенного умножения.

Ответ: 8.

4. Вычислите:

Упростим множители:

$=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )cdot sqrt{left ( sqrt{7} right )^{2}+2sqrt{3}cdot sqrt{7}+left ( sqrt{3} right )^{2}}=$

$=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )cdot sqrt{left ( sqrt{7}+sqrt{3}right )^{2}}=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )left ( sqrt{7}+sqrt{3} right )=$

Ответ: 8.

Действия со степенями

Темы для повторения:
Вспомним правила действий со степенями.

$a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}.$

$frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$

$left ( a^{m} right )^{n}=left ( a^{n} right )^{m}=a^{mn}.$

$a^{n}b^{n}=left ( ab right )^{n}.$

$frac{a^{n}}{b^{n}}=left ( frac{a}{b} right )^{n}.$

5. Найдите значение выражения: $frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}$ при a=4.

$frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}=a^{8,9-4,9}=a^{4}=4^{4}=256.$

Применили формулу частного степеней $frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$

Ответ: 256.

6. Вычислите $left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{sqrt[12]{2}} right )^{2}.$

$left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{sqrt[12]{2}} right )^{2}=left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{2^{frac{1}{12}}} right )^{2}=left ( 2^{frac{1}{3}+frac{1}{4}-frac{1}{12}} right )^{2}=left ( 2^{frac{4}{12}+frac{3}{12}-frac{1}{12}} right )^{2}=$

$=left (2^{frac{1}{2}} right )^{2}=2.$

Ответ: 2.

7. Вычислите $frac{5left ( m^{6} right )^{5}+13left ( m^{10} right )^{3}}{left ( 2m^{15} right )^{2}}$ , если .

Спокойно, не пугаемся. И конечно, не спешим подставлять значение m=3,7. Сначала упростим выражение.

$frac{5left ( m^{6} right )^{5}+13left ( m^{10} right )^{3}}{left ( 2m^{15} right )^{2}}=frac{5m^{30}+13m^{30}}{4m^{30}}=frac{18m^{30}}{4m^{30}}=4,5.$

Ответ: 4,5.

8. Вычислите $0,75^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 12^{frac{7}{8}}.$

$0,75^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 12^{frac{7}{8}}=left ( frac{3}{4} right )^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot left ( 3cdot 4 right )^{frac{7}{8}}=frac{3^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 3^{frac{7}{8}}cdot 4^{frac{7}{8}}}{4^{frac{1}{8}}}=3cdot 4=12.$

Применили формулу для произведения степеней: $a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}.$

Ответ: 12.

9. Вычислите $frac{sqrt[28]{3}cdot 3cdot sqrt[21]{3}}{sqrt[12]{3}}.$

$frac{sqrt[28]{3}cdot 3cdot sqrt[21]{3}}{sqrt[12]{3}}=frac{3^{frac{1}{28}}cdot 3cdot 3^{frac{1}{21}}}{3^{frac{1}{12}}}=3^{frac{1}{28}+1+frac{1}{21}-frac{1}{12}}=3^{frac{3}{84}+1+frac{4}{84}-frac{7}{84}}=3.$

Записали корни в виде степеней (это удобно!) и применили формулу произведения степеней.

Ответ: 3.

Логарифмические выражения

Темы для повторения:
Логарифмы

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

$log _{a}b=cLeftrightarrow a^{c}=b$ .

При этом > 0, > 0, aneq 1.

Основные логарифмические формулы:

Основное логарифмическое тождество: $boldsymbol{log _{a}a^{c}=c, ; a^{log _{a}b}=b}.$

Логарифм произведения равен сумме логарифмов: $boldsymbol{log _{a}left ( bc right )=log _{a}b+log _{a}c}.$

Логарифм частного равен разности логарифмов: $boldsymbol{log _{a}left ( frac{b}{c} right )=log _{a}b-log _{a}c}.$

Формула для логарифма степени: $boldsymbol{log _{a}b^{m}=mlog_{a}b}.$

Формула перехода к новому основанию: $boldsymbol{log _{a}b=frac{1}{log _{b}a},; log _{a}b=frac{log _{c}b}{log _{c}a}}.$

10. Вычислите: $log _{5}7cdot log _{7}25$ .

$log _{5}7cdot log _{7}25=log _{5}7cdot log _{7}5^{2}=2log _{5}7cdot log _{7}5=2.$

Снова формула перехода к другому основанию.

$log _{a}b=frac{1}{log _{b}a}$ , поэтому
$log _{a}bcdot log _{b};a=1.$

11. Найдите $log _{a}frac{a^{6}}{b^{4}}$ , если $log _{a}b=-2$ .

$log _{a}frac{a^{6}}{b^{4}}=log _{a}a^{6}-log _{a}b^{6}=6-4log _{a}b=6-4cdot left ( -2 right )=6+8=14.$

12. Найдите значение выражения $frac{log _{2}80}{3+log _{2}10}$ .

$frac{log _{2}80}{3+log _{2}10}=frac{log _{2}left (8cdot 10 right )}{3+log _{2}10}=frac{log _{2}8+log _{2}10}{3+log _{2}10}=frac{3+log _{2}10}{3+log _{2}10}=1.$

13. Найдите значение выражения $frac{log _{9}sqrt[10]{8}}{log _{9}8}$ .

$frac{log _{9}sqrt[10]{8}}{log _{9}8}=frac{log _{9}8^{frac{1}{10}}}{log _{9}8}=frac{1}{10}=0,1$ .

14. Найдите значение выражения $left ( 1-log _{3}18 right )left ( log _{6}54 -1right )$ .

$left ( 1-log _{3}18 right )left ( log _{6}54 -1right )=-left ( log _{3}18-log _{3}3 right )cdot left ( log _{6}54-log _{6}6 right )=-log _{3}6cdot log _{6}9=-2log _{3}6cdot log _{6}3=-2.$

Тригонометрия. Формулы тригонометрии и формулы приведения

Темы для повторения:
Тригонометрический круг.
Формулы тригонометрии.
Формулы приведения.

15. Вычислите: $44sqrt{3}tgleft ( -480^{circ} right ).$

$44sqrt{3}tgleft ( -480^{circ} right )=44sqrt{3}cdot frac{sin left ( -480^{circ} right )}{cos left ( -480^{circ} right )}=-44sqrt{3}cdot frac{sin 480^{circ}}{cos 480^{circ}}=-44sqrt{3}cdot frac{sin 120^{circ}}{cos 120^{circ}}=-44sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{2}:left ( -frac{1}{2} right )=132.$

16. Найдите , если $sin alpha =-frac{2sqrt{2}}{3}$ и $alpha in left ( frac{3pi }{2};;2pi right )$ .

$cos ^{2}alpha =1-sin ^{2}alpha =1-left ( -frac{2sqrt{2}}{3} right )^{2}=1-frac{8}{9}=frac{1}{9}.$

Т.к. $alpha in left ( frac{3pi }{2};;2pi right )$ , то $cos alpha =frac{1}{3}.$
$3cos alpha =3cdot frac{1}{3}=1.$

17. Найдите , если $sin alpha =-frac{1}{sqrt{5}}$ и

$cos ^{2}alpha =1-sin ^{2}alpha =1-left ( -frac{1}{sqrt{5}} right )^{2}=1-frac{1}{5}=frac{4}{5}.$

Т.к. , то
$cos alpha =frac{2}{sqrt{5}}.$

$tgalpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=-frac{1}{sqrt{5}}:frac{2}{sqrt{5}}=-2.$

18. Найдите значение выражения: $frac{13sin 152^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}.$

$frac{13sin 152^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}=frac{13cdot 2sin 76^{circ}cdot cos 76^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}=frac{26sin 76^{circ}}{cos 14^{circ}}=frac{26sin left ( 90^{circ}-14^{circ} right )}{cos 14^{circ}}=$

$=frac{26cos 14^{circ}}{cos 14^{circ}}=26.$

Применили формулу приведения.

19. Упростите выражение: $frac{3cos(pi - beta)+sin(frac{pi}{2}+beta)}{cos(beta+3pi)}.$

$frac{3cos left ( pi -beta right )+sin left ( frac{pi }{2}+beta right )}{cos left ( beta +3pi right )}=frac{-3cos beta +cos beta }{-cos beta }=frac{-2cos beta }{-cos beta }=2.$

Применили формулу приведения.

20. Найдите , если .

$2cos 2alpha =2left ( 1-2sin ^{2}alpha right )=2-4sin ^{2}alpha =2-4cdot left ( -0,7 right )^{2}=0,04.$

21. Вычислите $frac{1-cos 2alpha +sin 2alpha }{1+cos 2alpha +sin 2alpha }$ , если

$frac{1-cos 2alpha +sin 2alpha }{1+cos 2alpha +sin 2alpha }=frac{1-cos ^{2}alpha +sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }{1+cos ^{2}alpha -sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }=$

$=frac{2sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }{2cos ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }=frac{sin alpha left ( sin alpha +cos alpha right )}{cos alpha left ( cos alpha +sin alpha right )}=frac{sin alpha }{cos alpha }=tgalpha =0,3.$

Алгебраические выражения, корни, степени и логарифмы. И еще тригонометрия. Это всё, что может встретиться в задании 6 Профильного ЕГЭ по математике?

Оказывается, и это не всё! Еще нужно знать, что такое модуль. И как найти $sqrt{a^{2}}$ .

Другие типы заданий

Темы для повторения:
Модуль числа.
Что такое функция.

22. Найдите значение выражения
$sqrt{left ( a-2 right )^{2}}+sqrt{left ( a-4 right )^{2}}$ при .

Запомним: $sqrt{a^{2}}=left | a right |.$

$sqrt{left ( a-2 right )^{2}}+sqrt{left ( a-4 right )^{2}}=left | a-2 right |+left | a-4 right |$ .

Если , то и .

При этом и .

При получаем: .

Ответ: 2.

23. Найдите значение выражения

$x+sqrt{x^{2}-24x+144}$ при xleq 12 .

При xleq 12 получим:

$x+sqrt{x^{2}-24x+144}=x+sqrt{left ( x-12 right )^{2}}=x+left | x-12 right |=x+12-x=12.$

Ответ: 12.

24. Найдите $frac{gleft ( 5-x right )}{gleft ( 5+x right )}$ , если , при .

Что такое ? Это функция, каждому числу ставящая в соответствие число . Например, ;

Тогда:

Заметим, что .

Значит, при
$frac{gleft ( 5-x right )}{gleft ( 5+x right )}=1$ .

25. Найдите $frac{pleft ( b right )}{pleft ( frac{1}{b} right )}$ , если $pleft ( b right )=left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ , при .

$pleft ( b right )=left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ — функция, каждому числу b ставящая в соответствии число
$left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ .

Тогда при bneq 0.

$pleft ( frac{1}{b} right )=left ( frac{1}{b}-9b right )left ( -frac{9}{b} +bright )=left ( b-frac{9}{b} right )left (-9b +frac{1}{b} right )=pleft ( b right )$ , и значение выражения $frac{pleft ( b right )}{pleft ( frac{1}{b} right )}$ равно 1.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 6 ЕГЭ по математике. Вычисления и преобразования» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 6: Уметь выполнять действия с функциями. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ Профиль. Задание № 6

АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание № 6 ЕГЭ профиль проверяет умение применять производную для решения прикладных задач. Такие задачи часто встречаются в физике и технических областях науки.

Задание состоит из текстовой задачи на определение физического, геометрического смысла производной, промежутков возрастания и убывания функции по её графику и графику её производной или первообразной. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.

При подготовке необходимо повторить правила нахождения производной, физический и геометрический смысл производной, понятие возрастания и убывания функции, понятие первообразной.

План выполнения задания № 6:

Внимательно прочитайте задачу.
Рассмотрите график. Определите, какой из графиков вам дан: функции, производной функции или первообразной функции. От ответа на данный вопрос зависит ход решения задачи.
Определите по графику необходимые значения.
Запишите полученное число в поле ответа КИМ и бланк ответов № 1.

1) Задачи на Физический смысл производной

Задачи на применение физического смысла производной состоят из текста и выражения, описывающего уравнение движения материальной точки или тела.

Производная перемещения по времени выражает скорость движения: v(t) = x'(t) = at + v₀.
Производная скорости по времени выражает ускорение движения: a(t) = v'(t).

Задача № 6 (1). Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t² – 8t – 9, где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в м/с) в момент времени t = 5с.
Решение: Найдём закон изменения скорости: v(t) = x'(t) = 4t – 8.
При t = 5 имеем: v(5) = 4 • 5 – 8 = 12.
Ответ: 12.
Комментарий. Иногда в ответе получаются отрицательные числа, которые учащиеся рассматривают как ошибочный ответ.

Задача № 6 (2). Тело движется прямолинейно по закону: x(t) = 2t³ + t – 1. В какой момент времени (в секундах) его ускорение будет равно 12 м/с²?
Решение: Найдём закон изменения скорости: v(t) = x'(t) = 6t² + 1.
Ускорение — это производная скорости по времени: a(t) = v'(t) = 12t.
Чтобы найти, в какой момент времени ускорение было 12 м/с², решим уравнение: 12t = 12. Отсюда t = 1 c.
Ответ: 1.
Комментарий. Обратите внимание: в задании нужно найти, в какой момент времени ускорение (не скорость!) будет равно 12 м/с².

2) Задачи на Геометрический смысл производной

Задание ориентировано на умение выпускников читать и анализировать графики, содержит задачи на определение или вычисление величин по графику, рассчитано на умение использовать знания в практической деятельности. При подготовке нужно повторить понятия: точка максимума, точка минимума, точки экстремума, убывание и возрастание функции, уравнение касательной к графику функции.

Геометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀ равен производной этой функции в точке х₀.
Геометрический смысл производной: k = tg a = f'(x)

Производная функции в точке с абсциссой х есть тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику этой функции в точке (х₀; f(x₀)). При tg a > 0 производная функции положительна, при tg a < 0 производная отрицательна. При tg a = 0 производная равна нулю.

Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая окрестность точки х₀, что для любого х из этой окрестности верно неравенство f(x) < f(x₀) (f(x) > f(x₀)).

Задача № 6 (3). На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: х₁, х₂, х₃, х₄, х₅. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Решение: Производная функции отрицательна в тех точках, которые принадлежат участкам убывания функции. Это точки х₂, х₄ — всего 2 точки.
Ответ: 2.

Задача № 6 (4). На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами А, В, С и D. Пользуясь графиком, определите, в какой из данных точек значение производной наибольшее. В ответе укажите число, которое ей соответствует по таблице.

Решение: Производная функции положительна в точках А и D, так как в данных точках функция возрастает.

Угол 1 больше угла 2, значит, тангенс первого угла больше тангенса второго угла, соответственно, значение производной в точке А больше значения производной в точке D.
Ответ: 1.

Задача № 6 (5). На рисунке изображён график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой у = 3х–2 или совпадает с ней.

Решение: Поскольку касательная параллельна прямой у = 3х – 2 или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент, равный 3 (у’ = 3). Найдём, при каких х производная принимает значение 3. Из графика видно, что значению у = 3 соответствует точка х = 4.
Ответ: 4.

3) Задачи на Применение
производной к исследованию функций

Задание содержит задачи на определение или вычисление величин по графику, рассчитано на умение использовать знания в практической деятельности. При подготовке нужно повторить понятия: точка максимума, точка минимума, точки экстремума, убывание и возрастание функции, уравнение касательной к графику функции.

Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке х₀, то в этой точке производная равна нулю или не существует.
Если f'(x) = 0 и при переходе через точку х₀ значения производной меняют знак с «+» на «–», то х₀ — точка максимума.
Если f'(x) = 0 и при переходе через точку х₀ значения производной меняют знак с «–» на «+», то х₀ — точка минимума.
Если f'(x) = 0 и при переходе через точку х₀ значения производной не меняют знак, то х₀ не является точкой экстремума.
Если в каждой точке х некоторого промежутка f'(х) > 0, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.
Если в каждой точке х некоторого промежутка f'(х) < 0, то функция f{x) убывает на этом промежутке.

Задача № 6 (6). На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (–7; 7). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение: Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная положительна, то есть промежуткам (–7; –6); (–4; –2); (2; 4); (6; 7). Данные промежутки содержат целые числа –3; 3. Их сумма равна 0.
Ответ: 0.
ПРИМЕЧАНИЕ: В ответе нужно указать сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания.

4) Задачи на Первообразную

Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на заданном промежутке х, если для всех х из этого промежутка верно равенство F'(x) = f(x).

Если функция y = F(x) является первообразной для функции y = f(x) на некотором промежутке, то и функция y = F(x) + C (С — постоянная) является первообразной для функции f на этом промежутке.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b]. Тогда площадь трапеции, ограниченной линиями y = f(x); у = а; у = b и у = 0, равна F(b) – F(a), где F(x) — первообразная функции f(x).

Задача № 6 (7). На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F(5) – F(1), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Решение: Разность значений первообразной в точках 5 и 1 равна площади выделенной на рисунке трапеции.
Площадь трапеции ограничена точками 1 и 5.
Площадь трапеции вычисляется по формуле S = h • (a + b)/2.
Из рисунка видно, что а =2, b = 4, h = 4. Значит, F(5) – F(1) = 4 • (2 + 4)/2 = 12.
Ответ: 12.
ПРИМЕЧАНИЕ: Если результат отрицательный или равен нулю, значит, в вычислениях была допущена ошибка.

Тренировочные задания с самопроверкой

№ 6.1. На рисунке изображён график у = f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–5; 7). В какой точке отрезка [–3; 2] f(x) принимает наименьшее значение?

Открыть ОТВЕТ

№ 6.2. Прямая у = 5х + 4 параллельна касательной к графику функции у = х² – 4х – 12. Найдите абсциссу точки касания.

Открыть ОТВЕТ

№ 6.3. На рисунке изображён график у = f‘(х) – производной функции f(х), определённой на интервале (–5; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(х) параллельна прямой у = 2х – 4 или совпадает с ней.

Открыть ОТВЕТ

№ 6.4. На рисунке изображён график у = f‘(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–7; 8). Найдите, в какой точке отрезка [–4; 4] функция принимает наибольшее значение.

Открыть ОТВЕТ

№ 6.5. На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x₀. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции g(х) = 4f(x) – 12 в точке x₀.

Открыть ОТВЕТ

Вы смотрели: ЕГЭ по математике Профиль. Задание 6: Уметь выполнять действия с функциями. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

Источник

: ЕГЭ по математике профиль

Прототипы задания №6 ЕГЭ по математике профильного уровня — производная и первообразная. Практический материал для подготовки к экзамену в 11 классе.

Для успешного выполнения задания №6 необходимо уметь выполнять действия с функциями.

Практика

Примеры заданий:

Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору) — 4.1–4.3

Уровень сложности задания — базовый.

Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на профильном уровне (в мин.) — 4

Связанные страницы:

Источник

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 5 минут. Уровень сложности: повышенный.
Средний процент выполнения: 74.8%
Ответом к заданию 6 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Разбор сложных заданий в тг-канале

Задачи для практики

Задача 1

Найдите значение выражения $log_5 27 ⋅ log_3 25$.

Решение

$ log_5 3^3· log_3 5^2 = 3 log_5 3 · 2 log_3 5 $

Воспользуемся свойством: $log _b (a)= 1/{log _a (b)}$

$6 · log_5 3 · {1}/{log_5 3} = 6$.

Ответ: 6

Задача 2

Найдите значение выражения $ {14} / {sin^2 25°+ cos^2 205°}$.

Решение

Учитывая, что $cos(180° + 25) = — cos 25$,

$cos^2 (180° + 25) = (- cos 25°)⋅(- cos 25°)=cos^2 25°$

получим ${14}/{sin^2 25° + cos^2 (180° + 25°)} = {14}/{sin^2 25° + cos^2 25°} = 14$.

Ответ: 14

Задача 3

Найдите значение выражения $ {5} / {cos^2 33°+ cos^2 123°}$.

Решение

Учитывая, что $cos(90°+α)=-sinα$, получим:

$cos^2 (123°)=cos^2 (90°+33°)=(-sin 33°)⋅(-sin 33°)=sin^2 33°$, таким образом

$ {5} / {cos^2 33°+ cos^2 (90°+33°)}= {5} / {cos^2 33°+ sin^2 33°}= 5$.

Ответ: 5

Задача 4

Найдите значение выражения ${18(sin^2 16°- cos^2 16°)} / {cos 32°}$.

Решение

Применив формулу двойного аргумента $cos 2α = cos^2 α — sin^2 α$, получим

$cos 32°=cos^2 16° — sin^2 16°$

${18(sin^2 16° — cos^2 16°)}/{cos^2 16° — sin^2 16°} = {18(sin^2 16° — cos^2 16°)}/{-( sin^2 16°-cos^2 16° )}=-18$.

Ответ: -18

Задача 5

Найдите значение выражения $(1-log_3 18)(1-log_6 18)$.

Решение

$(log__3 3 — log_3 18)(log_6 6 — log_6 18) = log_3 {1}/{6} · log_6 {1}/{3} = log_3 6^(-1) · log_6 3^(-1) = log_3 6 · log_6 3 = log_3 6 · 1/(log_3 6) = 1$.

Ответ: 1

Задача 6

Найдите значение выражения $ {log_{3} 36} / {2+log_{3} 4}$.

Решение

$ {log_{3} (9⋅4)} / {2+log_{3}4} ={log_{3} 9+log_3 4} / {2+log_{3}4} ={2+log_3 4} / {2+log_{3}4} =1$.

Ответ: 1

Задача 7

Найдите значение выражения $ log_2 (log_5 625)$.

Решение

$log_2(log_5 5^4) = log_2 4 = 2$.

Ответ: 2

Задача 8

Найдите значение выражения ${7^{log_5 50}} / {7^{log_{5}2 }}$.

Решение

${7^{log_5(2·25)}}/{7^{log_5 2}} = {7^{log_5 2+log_5 25}}/{7^{log_5 2}} = 7^{log_ 5 2+log_5 5^2 -log_ 5 2} = 7^2 = 49$.

Ответ: 49

Задача 9

Найдите значение выражения ${log_7 23} / {log_{49}23} $.

Решение

${log_7 23} / {log_{7^2}23} ={log_7 23} / {{1} / {2}log_{7 }23}=2$.

Ответ: 2

Задача 10

Найдите значение выражения ${15 cos 19°} / {cos341°}$.

Решение

Применив формулу приведения $cos(360° -α) = cosα$, получим ${15cos19°}/{cos(360° — 19°)} = {15cos19°}/{cos19°} = 15$.

Ответ: 15

Задача 11

Найдите значение выражения ${3 cos 39°} / {sin51°}$.

Решение

Применив формулу приведения $sin(90° -α) = cosα$, получим ${3cos39°}/{sin(90° — 39°)} = {3 cos 39°}/{cos 39°} = 3$.

Ответ: 3

Задача 12

Найдите значение выражения ${15√ {x}-3} / {√ {x}}+{3√ {x}} / {x}+2x-8$ при $x=3$.

Решение

${15√x}/{√x} — {3}/{√x} + {3√x}/{(√x)^2} + 2x — 8 = 15 — {3}/{√x} + {3}/{√x} + 2x — 8 = 7 + 2x$.

При $x = 3$ получим $7 + 2·3 = 13$.

Ответ: 13

Задача 13

Найдите значение выражения ${f(x+3)} / {f(x-3)}$, если $f(x)=5^x$.

Решение

$f(x)=5^x$

${f(x+3)}/{f(x-3)}={5^{x+3}}/{5^{x-3}}=5^6=15 625$

Ответ: 15625

Задача 14

Найдите значение выражения $(√ {23} — √ {15})(√ {23}+√ {15})$.

Решение

$(√{23} — √{15})(√{23} + √{15}) = (√{23})^2 — (√{15})^2 = 23 — 15 = 8$.

Ответ: 8

Задача 15

Найдите значение выражения ${6^{3√2+2}·6^{2√2}}/{6^{5√2-1}}$.

Решение

${6^{3√2+2}·6^{2√2}}/{6^{5√2-1}}=6^{3√2+2+2√2-(5√2-1)} = 6^{5√2+2-5√2+1} = 6^3 = 216$.

Ответ: 216

Задача 16

Найдите значение выражения $8^{3√ {5}-1}⋅ 8^{1-√ {5} }: 8^{2√ {5}-1}$.

Решение

$8^{(3√5-1)+(1-√5)-(2√5-1)} = 8^1 = 8$.

Ответ: 8

Задача 17

Найдите значение выражения $6x⋅(2x^9)^4:{(4x^{12})}^3$ при $x=5$.

Решение

$6x·(2x^9)^4 : (4^3 · (x^{12})^3) = 6x · (2^4 · x^{36}) : ((2^2)^3 · x^{36}) = {6x · 2^4 · x^{36}}/{2^6·x^{36}} = {6x}/{4} = 1.5x$.
При $х=5$, $1.5·х=1.5·5=7.5$

Ответ: 7.5

Задача 18

Найдите значение выражения $x⋅5^{2x+1}⋅ 25^{-x}$ при $x=3$.

Решение

$x⋅5^{2x+1}⋅ (5^2)^{-x}=x⋅5^{2x+1-2x}=x⋅5$. При $x=3$ получим $3⋅5=15$.

Ответ: 15

Задача 19

Найдите значение выражения ${3sin β +15cos β -8} / {sinβ +5cosβ +2}$, если $tg β = — 5$.

Решение

$tgβ={sinβ}/{cosβ}=-5$
$ sinβ=-5cosβ$
$ (3sinβ+15cosβ−8)/(sinβ+5cosβ+2)=(3⋅(-5cosβ)+15cosβ-8)/(-5cosβ+5cosβ+2)=(-15cosβ+15cosβ-8)/2=-8/2=-4$

Ответ: -4

Планиметрия. Углы.

Задание №6 профильного уровня ЕГЭ по математике – решение геометрических задач. В данном задании необходимо справиться с задачей по планиметрии на определение углов.

Теория к заданию №6

Немного стоит напомнить об углах в окружности, так как в задачах это достаточно популярная тематика.

Центральный и вписанный углы:

Разбор типовых вариантов заданий №6 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

[su_note note_color=”#defae6″]

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Угол BAC равен 32°. Найдите угол BOC . Ответ дайте в градусах.

[/su_note]

Алгоритм решения:

Выполняем рисунок.
Определяем вид угла.
Применяем свойство вписанных углов и вычисляем искомый угол.
Записываем ответ.

Решение:

1. Выполняем рисунок.

2. Угол, который нужно найти является центральным. Он опирается на ту же дугу, что и угол АВС.

3. Вспомнить правило: “центральный угол в два раза больше вписанного, который опирается на ту же дугу”.

4. Вписанный угол АВС, согласно условию, равен 32⁰. Тогда центральный угол BOC равен 32⁰∙ 2 = 64⁰

Ответ: 64⁰.

Второй вариант задания (из Ященко, №1)

[su_note note_color=”#defae6″]

Площадь треугольника ABC равна 152. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

[/su_note]

Алгоритм решения:

Устанавливаем подобие треугольников.
Используем свойство площадей подобных треугольников.
Записываем ответ.

Решение:

1. DE – средняя линия треугольника, следовательно, все стороны в треугольнике CDE меньше соответствующих сторон в треугольнике ABC. Это означает, что треугольники подобны, и коэффициент подобия равен 2.

2. Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия, следовательно, площадь треугольника CDE в раза меньше, чем площадь треугольника ABC. Имеем:

152 / 4 = 38

Ответ: 38.

Третий вариант задания (из Ященко, №23)

[su_note note_color=”#defae6″]

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 36°, угол CAD равен 52°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

[/su_note]

Алгоритм решения:

Отмечаем на рисунке углы, которые ланы в задаче.
Используем свойство вписанных углов.
Находим угол АВС.
Записываем ответ.

Решение:

1. Отмечаем углы ABD и CAD на рисунке. Эти углы вписаны в окружность.

2. Воспользуемся свойством вписанных в окружность углов: они равны градусной меры дуги, на которую опираются.

Тогда угол ABD, опирающийся на дугу AD. Градусная мера ее равна 36⁰∙2=72⁰, второй – угол CAD опирается на дугу CD с градусной мерой 52⁰∙2=104⁰.

3. Дуга AC=AD+CD. Она имеет градусную меру: АС=72⁰+104⁰=176⁰, а угол АВС, который на нее опирается, определяется как половина величины дуги: 176⁰:2=88⁰.

Ответ: 88.

Четвертый вариант задания (из Ященко, №10)

[su_note note_color=”#defae6″]

Угол АСВ равен 54°. Градусная мера дуги АВ окружности, не содержащей точек D и Е, равна 138°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

[/su_note]

Алгоритм решения:

Вычисляем угол BDA.
Определяем величину угла ADC,
Рассматриваем треугольник ADC, определяем искомый угол.
Записываем ответ.

Решение:

1. Вычислим угол BDA. Он вписан в окружность, опирается на дугу AB. Тогда по свойству вписанных углов, его градусная мера равна половине градусной величины дуги AB. Тогда .

2. Рассматриваем угол ADC. Он смежный с углом BDA, значит,

3. Рассматриваем треугольник ADC. В нем известны два угла. По свойству суммы углов треугольника третий угол DAC можно найти так:

Из рисунка видно, что угол DAC совпадает с углом DAE, следовательно, угол DAE тоже равен 15⁰.

Ответ: 15⁰.

Даниил Романович | Просмотров: 12.1k

Источник

ЕГЭ Профиль. Задание № 6

АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ

1) Задачи на Физический смысл производной

2) Задачи на Геометрический смысл производной

3) Задачи на Применение производной к исследованию функций

4) Задачи на Первообразную

Тренировочные задания с самопроверкой

Задачи для практики

Задача 1

Решение

Задача 2

Решение

Задача 3

Решение

Задача 4

Решение

Задача 5

Решение

Задача 6

Решение

Задача 7

Решение

Задача 8

Решение

Задача 9

Решение

Задача 10

Решение

Задача 11

Решение

Задача 12

Решение

Задача 13

Решение

Задача 14

Решение

Задача 15

Решение

Задача 16

Решение

Задача 17

Решение

Задача 18

Решение

Задача 19

Решение

Рекомендуемые курсы подготовки

Планиметрия. Углы.

Теория к заданию №6

Разбор типовых вариантов заданий №6 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Алгоритм решения:

Решение:

Второй вариант задания (из Ященко, №1)

Алгоритм решения:

Решение:

Третий вариант задания (из Ященко, №23)

Алгоритм решения:

Решение:

Четвертый вариант задания (из Ященко, №10)

Алгоритм решения:

Решение:

3) Задачи на Применение
производной к исследованию функций