Каталог заданий.
Решение прямоугольного треугольника
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Тип 1 № 27238 
В треугольнике ABC угол C равен 90°, 
Найдите 
Аналоги к заданию № 27238: 4583 19737 635953 4584 4585 4586 4587 4588 4589 4590 … Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 5.1.1 Треугольник
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
2
Тип 1 № 27239
В треугольнике ABC угол C равен 90°, 
Найдите BC.
Аналоги к заданию № 27239: 4651 4787 4653 4655 4657 4659 4661 4663 4665 Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 5.1.1 Треугольник
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
3
Тип 1 № 27240
В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 4, 
Найдите АВ.
Аналоги к заданию № 27240: 26095 29575 29579 500952 29538 29539 29540 29541 29542 29543 … Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 5.1.1 Треугольник
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
4
Тип 1 № 27242
В треугольнике ABC угол C равен 90°, 
АС = 4. Найдите АВ.
Аналоги к заданию № 27242: 29651 29747 530665 530685 29650 29652 29653 29654 29655 29656 … Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 5.1.1 Треугольник
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
5
Тип 1 № 27243
В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 8, 
Найдите BC.
Аналоги к заданию № 27243: 29749 29791 29750 29751 29752 29753 29754 29755 29756 29757 … Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 5.1.1 Треугольник
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
Пройти тестирование по этим заданиям
в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах
Категория:
Атрибут:
Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно.
а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.
б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 4.
Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ
а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме длин катетов.
б) В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CH. Найдите сумму длин радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC, ACH и BCH, если известно, что 
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 123.
В прямоугольном треугольнике АВС точка M лежит на катете АС, а точка N лежит на продолжении катета ВС за точку С причем СМ = ВС и CN = AC.
а) Отрезки СH и CF — высоты треугольников АСВ и NCM соответственно. Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны.
б) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите LM если ВС = 4, а АС = 8.
Источник: Задания 16 ЕГЭ–2020, ЕГЭ по математике. Вариант 313
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 12, а косинус острого угла равен 
В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC = 3 и BC = 2 проведены медиана CM и биссектриса CL.
а) Докажите, что площадь треугольника CML составляет одну десятую часть от площади треугольника ABC.
б) Найдите угол MCL.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 122.
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 1 и 7. Найдите расстояние между их центрами.
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 21°. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 40°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Подмосковье
В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы AB, 
На катете BC взята точка K такая, что 
а) Докажите, что угол KMC прямой.
б) Пусть N — вторая (помимо M) точка пересечения прямой СМ и описанной окружности треугольника BMK. Найдите угол АNВ.
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 277., А. Ларин. Тренировочный вариант № 286.
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 38°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 26°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 20°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника.
Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Восток. Вариант 1.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, равны 0,6 и 0,8.
а) Докажите подобие треугольников ACD и BCD, ACD и ABC.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 68.
В основании прямой призмы 
лежит прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, причем 
Через точку 
перпендикулярно 
проведена плоскость α.
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является прямоугольный треугольник.
б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее делит плоскость α, если известно, что 
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 199.
Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника АВС вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке L. Прямая, проходящая через точку L и середину N гипотенузы АВ, пересекает катет ВС в точке М.
а) Докажите, 
б) Найдите площадь треугольника АВС, если AB = 20 и 
Источник: ЕГЭ по математике 25.07.2020. Резервная волна. Вариант 1, Задания 16 ЕГЭ–2020
Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC является хордой окружности ω радиуса 10. Вершина C лежит на диаметре окружности ω, который параллелен гипотенузе. Угол CAB равен 75°.
а) Найдите площадь треугольника ABC.
б) Найдите расстояние между центрами окружности ω и окружности, вписанной в треугольник ABC.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 251.
Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
ЕГЭ Профиль №1. Прямоугольный треугольник
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №1. Прямоугольный треугольник
| Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AB = 5), (sin A = frac{7}{{25}}). Найдите АС.
Ответ
ОТВЕТ: 4,8. |
Задача 2. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AB =  , (sin A = 0,5). Найдите ВС.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
| Задача 3. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AB = , (cos A = 0,5). Найдите AС.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
| Задача 4. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AB = 5), (cos A = frac{7}{{25}}). Найдите ВС.
Ответ
ОТВЕТ: 4,8. |
| Задача 5. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AB = 7), ({text{tg}},A = frac{{33}}{{4sqrt {33} }}). Найдите AС.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
| Задача 6. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AB = 7), ({text{tg}},A = frac{{4sqrt {33} }}{{33}}). Найдите BС.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
| Задача 7. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AC = 4,8), (sin A = frac{7}{{25}}). Найдите АB.
Ответ
ОТВЕТ: 5. |
| Задача 8. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AC = 2), (sin A = frac{{sqrt {17} }}{{17}}). Найдите BC.
Ответ
ОТВЕТ: 0,5. |
| Задача 9. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AC = 4), (cos A = 0,5). Найдите АB.
Ответ
ОТВЕТ: 8. |
| Задача 10. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AC = 0,5), (cos A = frac{{sqrt {17} }}{{17}}). Найдите BC.
Ответ
ОТВЕТ: 2. |
| Задача 11. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AC = 4), (tgA = frac{{33}}{{4sqrt {33} }}). Найдите АB.
Ответ
ОТВЕТ: 7. |
| Задача 12. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AC = , ({text{tg}},A = 0,5). Найдите BC.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
| Задача 13. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (BC = 4), (sin A = 0,5). Найдите АB.
Ответ
ОТВЕТ: 8. |
| Задача 14. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (BC = 0,5), (sin A = frac{{sqrt {17} }}{{17}}). Найдите AC.
Ответ
ОТВЕТ: 2. |
| Задача 15. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (BC = 4,8), (cos A = frac{7}{{25}}). Найдите AB.
Ответ
ОТВЕТ: 5. |
| Задача 16. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (BC = 2), (cos A = frac{{sqrt {17} }}{{17}}). Найдите AC.
Ответ
ОТВЕТ: 0,5. |
| Задача 17. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (BC = 4), ({text{tg}},A = frac{{4sqrt {33} }}{{33}}). Найдите AB.
Ответ
ОТВЕТ: 7. |
| Задача 18. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (BC = 4), ({text{tg}},A = 0,5). Найдите AC.
Ответ
ОТВЕТ: 8. |
| Задача 19. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AC = 24,;;BC = 7.) Найдите (sin A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,28. |
| Задача 20. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AC = 7,;;BC = 24.) Найдите (cos A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,28. |
| Задача 21. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AC = 8,;;BC = 4.) Найдите ({text{tg}},A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,5. |
| Задача 22. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AB = 8,;;BC = 4.) Найдите (sin A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,5. |
| Задача 23. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AB = 25,;;BC = 20.) Найдите (cos A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,6. |
| Задача 24. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AB = 4sqrt 5 ,;;BC = 4.) Найдите ({text{tg}},A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,5. |
| Задача 25. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AB = 25,;;AC = 20.) Найдите (sinA.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,6. |
| Задача 26. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AB = 8,;;AC = 4.) Найдите (cos A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,5. |
| Задача 27. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AB = 4sqrt 5 ,;;AC = 8.) Найдите ({text{tg}},A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,5. |
| Задача 28. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (AB = 27,;;sin A = frac{2}{3}.) Найдите AH.
Ответ
ОТВЕТ: 15. |
| Задача 29. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (AB = 27,;;sin A = frac{2}{3}.) Найдите BH.
Ответ
ОТВЕТ: 12. |
| Задача 30. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AB = 4sqrt {15} ,;;sin A = 0,25.) Найдите высоту СH.
Ответ
ОТВЕТ: 3,75. |
| Задача 31. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (AB = 27,;;cos A = frac{2}{3}.) Найдите AH.
Ответ
ОТВЕТ: 12. |
| Задача 32. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (AB = 27,;;cos A = frac{2}{3}.) Найдите BH.
Ответ
ОТВЕТ: 15. |
| Задача 33. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AB = 4sqrt {15} ,;;cos A = 0,25.) Найдите высоту СH.
Ответ
ОТВЕТ: 3,75. |
| Задача 34. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (AB = 13,;;{text{tg}},A = frac{1}{5}). Найдите AH.
Ответ
ОТВЕТ: 12,5. |
| Задача 35. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (AB = 13,;;{text{tg}},A = 5). Найдите BH.
Ответ
ОТВЕТ: 12,5. |
| Задача 36. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AB = 13,;;{text{tg}},A = frac{1}{5}). Найдите высоту CH.
Ответ
ОТВЕТ: 2,5. |
| Задача 37. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (BC = 3,;;sin ,A = frac{1}{6}). Найдите AH.
Ответ
ОТВЕТ: 17,5. |
| Задача 38. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (BC = 8,;;sin ,A = 0,5.) Найдите BH.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
| Задача 39. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (BC = 5,;;sin ,A = frac{7}{{25}}.) Найдите высоту CH.
Ответ
ОТВЕТ: 4,8. |
| Задача 40. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (BC = 3,;;cos ,A = frac{{sqrt {35} }}{6}.) Найдите AH.
Ответ
ОТВЕТ: 17,5. |
| Задача 41. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (BC = 5,;;cos ,A = frac{7}{{25}}.) Найдите BH.
Ответ
ОТВЕТ: 4,8. |
| Задача 42. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (BC = 8,;;cos ,A = 0,5.) Найдите высоту CH.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
| Задача 43. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (BC = 7,;{text{tg}},A = frac{{4sqrt {33} }}{{33}}.) Найдите BH.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
| Задача 44. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (BC = 7,;{text{tg}},A = frac{{33}}{{4sqrt {33} }}.) Найдите высоту СH.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
| Задача 45. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (AC = 3,;;sin ,A = frac{{sqrt {35} }}{6}.) Найдите BH.
Ответ
ОТВЕТ: 17,5. |
| Задача 46. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AC = 8,;sin A = 0,5.) Найдите высоту СH.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
| Задача 47. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (AC = 8,;;cos ,A = 0,5.) Найдите AH.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
| Задача 48. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (AC = 3,;;cos ,A = frac{1}{6}.) Найдите BH.
Ответ
ОТВЕТ: 17,5. |
| Задача 49. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AC = 5,;cos A = frac{7}{{25}}.) Найдите высоту СH.
Ответ
ОТВЕТ: 4,8. |
| Задача 50. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (AC = 7,;{text{tg}},A = frac{{33}}{{4sqrt {33} }}.) Найдите AH.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
| Задача 51. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), (AC = 7,;{text{tg}},A = frac{{4sqrt {33} }}{{33}}.) Найдите высоту СH.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
| Задача 52. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (BC = 8,;;BH = 4.) Найдите (sin A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,5. |
| Задача 53. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (BC = 25,;;BH = 20.) Найдите (cos A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,6. |
| Задача 54. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (BC = 4sqrt 5 ,;;BH = 4.) Найдите ({text{tg}},A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,5. |
| Задача 55. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), высота CH равна 20, (BC = 25.) Найдите (sin A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,6. |
| Задача 56. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), высота CH равна 4, (BC = 8.) Найдите (cos A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,5. |
| Задача 57. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), высота CH равна 4, (BC = sqrt {17} .) Найдите ({text{tg}},A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,25. |
| Задача 58. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), высота CH равна 24, (BH = 7.) Найдите (sin A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,28. |
| Задача 59. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), высота CH равна 7, (BH = 24.) Найдите (cos A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,28. |
| Задача 60. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), высота CH равна 8, (BH = 4.) Найдите ({text{tg}},A.)
Ответ
ОТВЕТ: 0,5. |
| Задача 61. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (AH = 27,;;{text{tg}},A = frac{2}{3}.) Найдите BH.
Ответ
ОТВЕТ: 12. |
| Задача 62. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (BH = 12,;;{text{tg}},A = frac{2}{3}.) Найдите AH.
Ответ
ОТВЕТ: 27. |
| Задача 63. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (BH = 12,;;sin A = frac{2}{3}.) Найдите AB.
Ответ
ОТВЕТ: 27. |
| Задача 64. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, (AH = 12,;;cos A = frac{2}{3}.) Найдите AB.
Ответ
ОТВЕТ: 27. |
| Задача 65. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10.
Ответ
ОТВЕТ: 24. |
| Задача 66. Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.
Ответ
ОТВЕТ: 6. |
| Задача 67. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), угол В равен ({58^ circ }), CD медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Ответ
ОТВЕТ: 32. |
| Задача 68. Острый угол прямоугольного треугольника равен ({32^ circ }). Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ
ОТВЕТ: 61. |
| Задача 69. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ
ОТВЕТ: 45. |
| Задача 70. Один из углов прямоугольного треугольника равен ({29^ circ }). Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Ответ
ОТВЕТ: 16. |
| Задача 71. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 21°. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах. |
| Задача 72. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. |
| Задача 73. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 40°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах. |
| Задача 74. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. |
| Задача 75. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах. |
| Задача 76. В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 30°, (AB = 2sqrt 3 ). Найдите высоту CH. |
| Задача 77. В треугольнике ABC угол C равен ({90^ circ }), CH — высота, угол A равен 30°, (AB = 2). Найдите AH. |
| Задача 78. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, угол A равен 30°, (AB = 4). Найдите BH. |
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).
Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.
5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$
6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$
7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$АС^2+ВС^2=АВ^2$
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:
$sinB={AC}/{AB};$
$cosB={BC}/{AB};$
$tgB={AC}/{BC};$
$ctgB={BC}/{AC}.$
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.
$sin BOA=sin BOC;$
$cos BOA=-cos BOC;$
$tg BOA=-tg BOC;$
$ctg BOA=-ctg BOC.$
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
| $α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
| $sinα$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ |
| $cosα$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ |
| $tgα$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ |
| $ctgα$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ |
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
$S={AC∙BC}/{2}$
Пример:
В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√{91}$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.
Решение:
Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то
$cosABD=-cosABC$
Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:
$cosABC={ВС}/{АВ}$
Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:
$ВС=√{10^2-√{91}^2}=√{100-91}=√9=3$
Подставим найденное значение в формулу косинуса
$cos ABC = {3}/{10}=0,3$
$cos ABD = — 0,3$
Ответ: $-0,3$
Пример:
В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sinA={4}/{5}, AC=9$. Найдите $АВ$.
Решение:
Распишем синус угла $А$ по определению:
$sinA={ВС}/{АВ}={4}/{5}$
Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.
Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$
$АС^2+ВС^2=АВ^2$
$9^2+(4х)^2=(5х)^2$
$81+16х^2=25х^2$
$81=25х^2-16х^2$
$81=9х^2$
$9=х^2$
$х=3$
Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$
Ответ: $15$
В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:
Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.
$CD^2=DB∙AD$
В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
$CB^2=AB∙DB$
$AC^2=AB∙AD$
Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.
$AC∙CB=AB∙CD$
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Прямоугольный треугольник»
Открытый банк заданий по теме прямоугольный треугольник. Задания B6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Производная и первообразная функции
Задание №893
Тип задания: 6
Тема:
Прямоугольный треугольник
Условие
В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, BC=8, tg A=0,4. Найдите AC.
Показать решение
Решение
tg A=frac{BC}{AC},
frac{8}{AC}=0,4,
AC=8:0,4=20.
.png)
Ответ
20
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №296
Тип задания: 6
Тема:
Прямоугольный треугольник
Условие
В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, CH — высота, BH=7, sin A=frac13. Найдите AB.
Показать решение
Решение
По условию sin A=frac13. angle A=angle BCH, значит, sinangle BCH=frac13 и frac{BH}{BC}=frac13.
BC=3BH=3cdot7=21.
Высота CH проведена из вершины прямого угла triangle ABC, поэтому она делит его на два подобных треугольника CBH и ABC.
Из подобия frac{BH}{BC}=frac{BC}{BA}, BA=frac{BC^2}{BH}=frac{21^2}{7}=63.
Ответ
63
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №290
Тип задания: 6
Тема:
Прямоугольный треугольник
Условие
В треугольнике ABC:angle C=90^{circ}, CH — высота, BC=14,, sin A=0,7. Найдите BH.
Показать решение
Решение
В прямоугольном треугольнике ABC:angle A=90^{circ}-angle B,, sin A=sin(90^{circ}-angle B)=cos angle B=0,7.
В triangle BHC:cosangle B=frac{BH}{BC}, BH=BCcdotcos angle B=14cdot0,7=9,8.
Ответ
9,8
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №70
Тип задания: 6
Тема:
Прямоугольный треугольник
Условие
Треугольник ABC имеет прямой угол C = 90^{circ}, AC = 12, cos A=frac{sqrt{51}}{10}. Найдите высоту CH.
.png)
Показать решение
Решение
Рассмотрим треугольник ACH. Мы знаем, что косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, значит:
cos A = frac{AH}{AC}
AH=ACcdot cos A=12cdotfrac{sqrt{51}}{10}
Используя теорему Пифагора, найдем высоту CH:
CH^2=AC^2-AH^2=144-frac{144 cdot 51}{100}=frac{7056}{100}
CH=sqrt{frac{7056}{100}}=frac{84}{10}=8,4
Ответ
8,4
Задание №67
Тип задания: 6
Тема:
Прямоугольный треугольник
Условие
Треугольник ABC имеет прямой угол C = 90^{circ}, cos A = 0,41. Найдите sin B.
.png)
Показать решение
Решение
Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, т.е. cos A=frac{AC}{AB}.
Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, т.е. sin B=frac{AC}{AB}.
В силу данных утверждений, получаем, что sin B = cos A = 0,41
Ответ
0,41
Задание №65
Тип задания: 6
Тема:
Прямоугольный треугольник
Условие
Треугольник ABC имеет прямой угол C = 90^{circ}, AC = 5, cos A = frac45. Найдите высоту CH.
Показать решение
Решение
Рассмотрим треугольник ACH. Мы знаем, что косинус угла равен отношениею прилежащего катета к гипотенузе, значит:
cos A = frac{AH}{AC}
AH=ACcdot cos A=5cdotfrac{4}{5}=4
Используя теорему Пифагора, найдем высоту CH:
CH^2=AC^2-AH^2=25-16=9
CH=sqrt{9}=3
Ответ
3
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Сложно со сдачей ЕГЭ?
Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928