Решу егэ математика равнобедренные треугольники

Каталог заданий.
Решение равнобедренного треугольника


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

Тип 1 № 27284

В треугольнике ABC AC  =  BC  =  5, синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби . Найдите АВ.

Аналоги к заданию № 27284: 4829 19979 19981 19983 19985 19987 19989 19991 19993 19995 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 5.1.1 Треугольник

Решение

·

·

Курс Д. Д. Гущина

·

Сообщить об ошибке · Помощь

2

Тип 1 № 27285

В треугольнике ABC AC  =  BC, AB  =  9,6, синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби . Найдите AC.

Аналоги к заданию № 27285: 19929 19931 19933 19935 19937 19939 19941 19943 19945 19947 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 5.1.1 Треугольник

Решение

·

·

Курс Д. Д. Гущина

·

Сообщить об ошибке · Помощь

3

Тип 1 № 27286

В треугольнике ABC AC  =  BC  =  8, косинус A = 0,5. Найдите АВ.

Аналоги к заданию № 27286: 4827 31707 31709 31711 31713 31715 31717 31719 31721 31723 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 5.1.1 Треугольник

Решение

·

·

Курс Д. Д. Гущина

·

Сообщить об ошибке · Помощь

4

Тип 1 № 27287

В треугольнике ABC AC  =  BC, AB  =  8, косинус A=0,5. Найдите AC.

Аналоги к заданию № 27287: 31749 31751 31753 31755 31757 31759 31761 31763 31765 31767 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 5.1.1 Треугольник

Решение

·

·

Курс Д. Д. Гущина

·

Сообщить об ошибке · Помощь

5

Тип 1 № 27288

В треугольнике ABC AC  =  BC  =  7, тангенс A = дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 корень из 33 конец дроби . Найдите AB.

Аналоги к заданию № 27288: 31793 31795 31797 31799 31801 31803 31805 31807 31809 31811 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 5.1.1 Треугольник

Решение

·

·

Курс Д. Д. Гущина

·

Сообщить об ошибке · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 803    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 23.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.

а)  Докажите, что треугольник KMP  — равнобедренный.

б)  Найдите площадь треугольника KMP, если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 108.

Расстояние между параллельными прямыми равно 6. На одной из них лежит вершина C, на другой  — основание AB равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB = 16. Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника ABC.

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.

а)  Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник.

б)  Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD  =  3 : 1 и AC  =  4.

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Вписанная в него окружность с центром O касается боковой стороны BC в точке P и пересекает биссектрису угла B в точке Q.

а)  Докажите, что отрезки PQ и OC параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника OBC, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD  =  3 : 1 и AC  =  2.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Вписанная в него окружность с центром O касается боковой стороны BC в точке P и пересекает биссектрису угла B в точке Q.

а)  Докажите, что отрезки PQ и OC параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника OBC, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD  =  3 : 1 и AC  =  2m.

Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2014. Вариант 2.

Найти высоту равнобедренного треугольника, проведенную его боковой стороне, равной 2, если синус одного его угла равен косинусу другого.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 12.

Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит вершина C, на другой  — основание AB равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB  =  10. Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника ABC.

В правильной треугольной пирамиде MABC боковые рёбра равны 10, а сторона основания равна 12. Точки G и F делят стороны основания AB и AC соответственно так, что AG : GB  =  AF : FC  =  1 : 5.

а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MGF является равнобедренным треугольником.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MGF.

В правильной треугольной пирамиде MABC боковые рёбра равны 50, а сторона основания равна 60. Точки G и F делят стороны основания AB и AC соответственно так, что AG:GB=AF:FC=1:5.

а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MGF является равнобедренным треугольником.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MGF.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух его сторон.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 25, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 12. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжении двух его сторон.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 100.

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 30, основание равно 36. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Высота цилиндра равна 3. Равнобедренный треугольник ABC с боковой стороной 10 и ∠A  =  120° расположен так, что его вершина A лежит на окружности нижнего основания цилиндра, а вершины B и C  — на окружности верхнего основания.

а)  Найдите угол между плоскостью ABC и плоскостью основания цилиндра.

б)  Докажите, что радиус основания цилиндра больше, чем AB.

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2014

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2014. Вариант 1.

Около равнобедренного треугольника ABC с основанием BC описана окружность. Через точку C провели прямую, параллельную стороне AB. Касательная к окружности, проведённая в точке B, пересекает эту прямую в точке K.

а)  Докажите, что треугольник BCK  — равнобедренный.

б)  Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCK, если косинус angle BAC= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .

Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Вариант 901.

Всего: 803    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник
Skip to content

ЕГЭ Профиль №1. Равнобедренный треугольник

ЕГЭ Профиль №1. Равнобедренный треугольникadmin2022-08-28T09:27:13+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №1. Равнобедренный треугольник

Задача 1. В треугольнике ABC, (AC = BC = 5,;;sin A = frac{7}{{25}}.) Найдите AB.

Ответ

ОТВЕТ: 9,6.
Задача 2. В треугольнике ABC, (AC = BC,;;AB = 9,6,;;sin A = frac{7}{{25}}.) Найдите AC.

Ответ

ОТВЕТ: 5.
Задача 3. В треугольнике ABC (AC = BC = 8,;;cos A = 0,5.) Найдите AB.

Ответ

ОТВЕТ: 8.
Задача 4. В треугольнике ABC (AC = BC,;;AB = 8,;;cos A = 0,5.) Найдите AC.

Ответ

ОТВЕТ: 8.
Задача 5. В треугольнике ABC (AC = BC = 7,;;{text{tg}},A = frac{{33}}{{4sqrt {33} }}.) Найдите AB.

Ответ

ОТВЕТ: 8.
Задача 6. В треугольнике ABC (AC = BC,;;AB = 8,;;{text{tg}},A = frac{{33}}{{4sqrt {33} }}.) Найдите AC.

Ответ

ОТВЕТ: 7.
Задача 7. В треугольнике ABC (AC = BC = 25,;;AB = 40.) Найдите (sin A.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,6.
Задача 8. В треугольнике ABC (AC = BC = 8,;;AB = 8.) Найдите (cos A.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 9. В треугольнике ABC (AC = BC = 4sqrt 5 ,;;AB = 16.) Найдите ({text{tg}}A.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 10. В треугольнике ABC (AC = BC = 8,;;sin A = 0,5.) Найдите высоту CH.

Ответ

ОТВЕТ: 4.
Задача 11. В треугольнике ABC (AC = BC,;;AB = 4,;;sin A = frac{{sqrt {17} }}{{17}}.) Найдите высоту CH.

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 12. В треугольнике ABC (AC = BC,;;AB = 1,;;cos A = frac{{sqrt {17} }}{{17}}.) Найдите высоту CH.

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Задача 13. В треугольнике ABC (AC = BC = 7,;;{text{tg}},A = frac{{4sqrt {33} }}{{33}}.) Найдите высоту CH.

Ответ

ОТВЕТ: 4.
Задача 14. В треугольнике ABC (AC = BC,;;AB = 16,;;{text{tg}},A = 0,5.) Найдите высоту CH.

Ответ

ОТВЕТ: 4.
Задача 15. В треугольнике ABC (AC = BC,) высота CH равна 4, (sin A = 0,5.) Найдите AC.

Ответ

ОТВЕТ: 8.
Задача 16. В треугольнике ABC (AC = BC,) высота CH равна 0,5, (sin A = frac{{sqrt {17} }}{{17}}.) Найдите AB.

Ответ

ОТВЕТ: 4.
Задача 17. В треугольнике ABC (AC = BC,) высота CH равна 20, (cos A = 0,6.) Найдите AC.

Ответ

ОТВЕТ: 25.
Задача 18. В треугольнике ABC (AC = BC,) высота CH равна 2, (cos A = frac{{sqrt {17} }}{{17}}.) Найдите AB.

Ответ

ОТВЕТ: 1.
Задача 19. В треугольнике ABC (AC = BC,) высота CH равна 4, ({text{tg}},A = frac{{4sqrt {33} }}{{33}}.) Найдите AC.

Ответ

ОТВЕТ: 7.
Задача 20. В треугольнике ABC (AC = BC,) высота CH равна 4, ({text{tg}},A = 0,5.) Найдите AB.

Ответ

ОТВЕТ: 16.
Задача 21. В треугольнике ABC (AC = BC,) высота CH равна 7, (AB = 48.) Найдите (sin A.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,28.
Задача 22. В треугольнике ABC (AC = BC,) высота CH равна 24, (AB = 14.) Найдите (cos A.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,28.
Задача 23. В треугольнике ABC (AC = BC,) высота CH равна 4, (AB = 16.) Найдите ({text{tg}},A.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 24. В треугольнике ABC (AC = BC = 8,) высота CH равна 4. Найдите (sin A.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 25. В треугольнике ABC (AC = BC = 25,) высота CH равна 20. Найдите (cos A.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,6.
Задача 26. В треугольнике ABC (AC = BC = 4sqrt 5 ,) высота CH равна 4. Найдите ({text{tg}},A.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 27. В треугольнике ABC (AC = BC,) AH – высота, (sin BAC = frac{7}{{25}}.) Найдите (sin BAH.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,96.
Задача 28. В треугольнике ABC (AC = BC,) AH – высота, (sin BAC = 0,1.) Найдите (cos BAH.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,1.
Задача 29. В треугольнике ABC (AC = BC,) AH – высота, (sin BAC = frac{4}{{sqrt {17} }}.) Найдите ({text{tg}},BAH.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.
Задача 30. В треугольнике ABC (AC = BC,) AH – высота, (cos BAC = 0,1.) Найдите (sin BAH.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,1.
Задача 31. В треугольнике ABC (AC = BC,) AH – высота, (cos BAC = frac{7}{{25}}.) Найдите (cos BAH.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,96.
Задача 32. В треугольнике ABC (AC = BC,) AH – высота, (cos BAC = frac{{sqrt {17} }}{{17}}.) Найдите ({text{tg}},BAH.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.
Задача 33. В треугольнике ABC (AC = BC,) AH – высота, ({text{tg}},BAC = frac{{24}}{7}.) Найдите (sin BAH.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,28.
Задача 34. В треугольнике ABC (AC = BC,) AH – высота, ({text{tg}},BAC = frac{7}{{24}}.) Найдите (cos BAH.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,28.
Задача 35. В треугольнике ABC (AC = BC,) AH – высота, ({text{tg}},BAC = 2.) Найдите ({text{tg}},BAH.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 36. В треугольнике ABC (AC = BC,;;AB = 8,;;sin ,BAC = 0,5.) Найдите высоту AH.

Ответ

ОТВЕТ: 4.
Задача 37. В треугольнике ABC (AC = BC), AH — высота, (AB = 5,) (sin BAC = frac{7}{{25}}.) Найдите BH.

Ответ

ОТВЕТ: 4,8.
Задача 38. В треугольнике ABC (AC = BC), (AB = 5,) (cos BAC = frac{7}{{25}}.) Найдите высоту AH.

Ответ

ОТВЕТ: 4,8.
Задача 39. В треугольнике ABC (AC = BC), AH — высота, (AB = 8,) (cos BAC = 0,5.) Найдите BH.

Ответ

ОТВЕТ: 4.
Задача 40. В треугольнике ABC (AC = BC), (AB = 7,) ({text{tg}},BAC = frac{{4sqrt {33} }}{{33}}.) Найдите высоту AH.

Ответ

ОТВЕТ: 4.
Задача 41. В треугольнике ABC (AC = BC), AH — высота, (AB = 7,) ({text{tg}},BAC = frac{{33}}{{4sqrt {33} }}.) Найдите BH.

Ответ

ОТВЕТ: 4.
Задача 42. В треугольнике ABC (AC = BC = 4sqrt {15} ), (sin BAC = 0,25.) Найдите высоту AH.

Ответ

ОТВЕТ: 7,5.
Задача 43. В треугольнике ABC (AC = BC = 27), AH — высота, (sin BAC = frac{2}{3}). Найдите BH.

Ответ

ОТВЕТ: 30.
Задача 44. В треугольнике ABC (AC = BC = 4sqrt {15} ), (cos BAC = 0,25). Найдите высоту AH.

Ответ

ОТВЕТ: 7,5.
Задача 45. В треугольнике ABC (AC = BC = 27), AH — высота, (cos BAC = frac{2}{3}). Найдите BH.

Ответ

ОТВЕТ: 24.
Задача 46. В треугольнике ABC (AC = BC,;;AB = 8,) высота AH равна 4. Найдите (sin BAC.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 47. В треугольнике ABC известно, что (AC = BC,;;AB = 25,) высота AH равна 20. Найдите (cos BAC.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,6.
Задача 48. В треугольнике ABC известно, что (AC = BC,;) высота AH равна 4, (AB = 4sqrt 5 ). Найдите ({text{tg}},BAC.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 49. В треугольнике ABC известно, что (AC = BC,;;AB = 25,) AH — высота, (BH = 20). Найдите (sin BAC.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,6.
Задача 50. В треугольнике ABC известно, что (AC = BC,;;AB = 8,) AH — высота, (BH = 4). Найдите (cos BAC.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 51. В треугольнике ABC известно, что (AC = BC,) AH — высота, (AB = sqrt {17} ,;BH = 4). Найдите ({text{tg}},BAC.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.
Задача 52. В тупоугольном треугольнике ABC (AC = BC = 8) , высота AH равна 4. Найдите (sin ACB).

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 53. В тупоугольном треугольнике ABC (AC = BC = 25), высота AH равна 20. Найдите (cos ACB) .

Ответ

ОТВЕТ: — 0,6.
Задача 54. В тупоугольном треугольнике ABC (AC = BC = 4sqrt 5 ), высота AH равна 4. Найдите ({text{tg}},ACB).

Ответ

ОТВЕТ:  — 0,5.
Задача 55. В тупоугольном треугольнике ABC (AC = BC = 25), AH – высота, (CH = 20.) Найдите (sin ,ACB).

Ответ

ОТВЕТ: 0,6.
Задача 56. В тупоугольном треугольнике ABC (AC = BC = 8) , AH — высота, (CH = 4). Найдите (cos ACB).

Ответ

ОТВЕТ:  — 0,5.
Задача 57. В тупоугольном треугольнике ABC (AC = BC = sqrt {17} ), AH — высота, (CH = 4). Найдите ({text{tg}},ACB).

Ответ

ОТВЕТ: — 0,25.
Задача 58. В тупоугольном треугольнике ABC (AC = BC), высота AH равна 7, (CH = 24). Найдите(sin ACB).

Ответ

ОТВЕТ: 0,28.
Задача 59. В тупоугольном треугольнике ABC (AC = BC), высота AH равна 24, (CH = 7). Найдите (cos ACB).

Ответ

ОТВЕТ: — 0,28.
Задача 60. В тупоугольном треугольнике ABC (AC = BC), высота AH равна 4, (CH = 8) . Найдите ({text{tg}},ACB).

Ответ

ОТВЕТ: — 0,5.
Задача 61. В треугольнике ABC (AC = BC), высота AH равна 7, (BH = 24). Найдите (sin BAC).

Ответ

ОТВЕТ: 0,28.
Задача 62. В треугольнике ABC (AC = BC), высота AH равна 24, (BH = 7). Найдите (cos BAC).

Ответ

ОТВЕТ: 0,28.
Задача 63. В треугольнике ABC (AC = BC), высота AH равна 4, (BH = 8) . Найдите ({text{tg}};BAC).

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.
Задача 64. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 25.
Задача 65. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 100.
Задача 66. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 12.
Задача 67. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25.

Ответ

ОТВЕТ: 10.
Задача 68. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 100.

Ответ

ОТВЕТ: 20.
Задача 69. В треугольнике ABC угол A равен 38°, AC = BC. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 104.
Задача 70. В треугольнике ABC угол C равен 118°, AC = BC. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 31.
Задача 71. В треугольнике ABC AC = BC, угол C равен 52°. Найдите внешний угол CBD. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 116.
Задача 72. В треугольнике ABC AC = BC. Внешний угол при вершине B равен 122°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 64.
Задача 73. В треугольнике ABC AB = BC. Внешний угол при вершине B равен 138°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 69.
Задача 74. Больший угол равнобедренного треугольника равен 98°. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 41.
Задача 75. Один угол равнобедренного треугольника на 90° больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 30.
Задача 76. В треугольнике ABC (AB = BC = AC = 2sqrt 3 ). Найдите высоту CH.

Ответ

ОТВЕТ: 3.
Задача 77. В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна (2sqrt 3 ). Найдите AB.

Ответ

ОТВЕТ: 4.
Задача 78. В треугольнике ABC (AC = BC,quad AB = 4,) высота CH равна (2sqrt 3 ). Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 60.
Задача 79. В треугольнике ABC (AC = BC = 4), угол C равен ({30^ circ }). Найдите высоту AH.

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Задача 80. В треугольнике ABC (AC = BC = 6), высота AH равна 3. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 30.
Задача 81. В треугольнике ABC (AC = BC), высота AH равна 4, угол C равен 30°. Найдите AC.

Ответ

ОТВЕТ: 8.
Задача 82. В треугольнике ABC (AC = BC = 2sqrt 3 ), угол C равен  120°. Найдите высоту AH.

Ответ

ОТВЕТ: 3.
Задача 83. В треугольнике ABC (AC = BC), угол C равен 120°, (AB = 2sqrt 3 ). Найдите AC.

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Задача 84. В треугольнике ABC (AC = BC), угол C равен 120°, (AC = 2sqrt 3 ). Найдите AB.

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Источник

Равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием.

Свойства:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.

6. В равнобедренном треугольнике:

— биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;

— высоты, проведенные из вершин при основании, равны;

— медианы, проведенные из вершин при основании, равны.

7. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, проведенных к основанию.

8. Вписанная окружность точкой касания делит основание пополам.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

$∠BCD$ — внешний угол треугольника $АВС$.

$∠BCD=∠A+∠B$

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$.

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

  1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Пример:

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

$sin⁡B={AC}/{AB};$

$cos⁡B={BC}/{AB};$

$tg B={AC}/{BC};$

$ctg B={BC}/{AC}$.

  1. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
  2. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
  3. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$sin BOA=sin BOC;$

$cos BOA= — cos BOC;$

$tg BOA= — tg BOC;$

$ctg BOA= — ctg BOC.$

Пример:

В треугольнике $ABC$ $AB=BC, AH$ — высота, $AC=34, cos ∠BAC=0.15$. Найдите $CH$.

Решение:

Так как треугольник $АВС$ равнобедренный, то $∠A=∠С$ (как углы при основании)

Косинусы равных углов равны, следовательно, $cos∠BAC=cos∠ВСА=0.15$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$.

Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Распишем косинус $∠НСА$ (он же $∠ВСА$) по определению:

$cos⁡∠НСА={НС}/{АС}={НС}/{34}=0.15$

Из последнего равенства найдем $НС$, для этого $0.15$ представим в виде обыкновенной дроби и воспользуемся свойством пропорции:

${НС}/{34}={15}/{100}$

$НС={34·15}/{100}=5.1$

Ответ: $5.1$

Теорема Менелая:

Если на сторонах $ВС, АВ$ и продолжении стороны $АС$ треугольника $АВС$ за точку $С$ отмечены соответственно $А_1,С_1,В_1$, лежащие на одной прямой, то

${АС_1}/{С_1 В}·{ВА_1}/{А_1 С}·{СВ_1}/{В_1 А}=1$

Теорема синусов.

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

${a}/{sin⁡α}={b}/{sin⁡β}={c}/{sin⁡γ}=2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Пример:

В треугольнике $АВС$ $ВС=16, sin∠A={4}/{5}$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов:

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

${ВС}/{sin⁡A}=2R$

Далее подставим числовые данные и найдем $R$

${16·5}/{4}=2R$

$R={16·5}/{4·2}=10$

Ответ: $10$

Теорема косинусов.

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα.$

Источник

1.

#1602

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Очень легко»


Официальное задание из банка ФИПИ

1

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$. Внешний угол при вершине $$angle DBC = 122°$$. Найдите угол $$angle C$$. Ответ дайте в градусах.

2.

#1621

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»


Официальное задание из банка ФИПИ

2

В треугольнике $$ABC$$ $$AC = BC = 25$$, высота $$CH =20$$. Найдите $$cos A$$.

3.

#2889

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

№ 27590

Официальное задание из открытого банка ЕГЭ

3

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.

4.

#2929

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

№ 27291

Официальное задание из открытого банка ЕГЭ

4

В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$AC=BC=8$$, $$AB=8$$. Найдите $$cos A$$.

5.

#3121

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

B26F8E

Официальное задание из банка ФИПИ

5

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AB=20$$, высота $$AH$$ равна $$8$$. Найдите синус угла $$BAC$$.

6.

#3122

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

87AB89

Официальное задание из банка ФИПИ

6

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AB=10$$, высота $$AH$$ равна $$3$$. Найдите синус угла $$BAC$$.

7.

#3123

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

387739

Официальное задание из банка ФИПИ

7

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AC=14$$, высота $$CH$$ равна $$7$$. Найдите синус угла $$ACB$$.

8.

#3124

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

1397F6

Официальное задание из банка ФИПИ

8

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AC=16$$, высота $$CH$$ равна $$4$$. Найдите синус угла $$ACB$$.

9.

#3125

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

D53519

Официальное задание из банка ФИПИ

9

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AC=2$$, высота $$CH$$ равна $$1$$. Найдите синус угла $$ACB$$.

10.

#3126

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

1F01DD

Официальное задание из банка ФИПИ

10

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AC=15$$, высота $$CH$$ равна $$6$$. Найдите синус угла $$ACB$$.

11.

#3127

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

C18485

Официальное задание из банка ФИПИ

11

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AB=15$$, $$AH$$ — высота, $$BH=6$$. Найдите косинус угла $$BAC$$.

12.

#3128

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

7BCA6B

Официальное задание из банка ФИПИ

12

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AB=14$$, $$AH$$ — высота, $$BH=7$$. Найдите косинус угла $$BAC$$.

13.

#3129

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

4BDC28

Официальное задание из банка ФИПИ

13

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AB=12$$, $$AH$$ — высота, $$BH=3$$. Найдите косинус угла $$BAC$$.

14.

#3130

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

89B5EE

Официальное задание из банка ФИПИ

14

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AB=10$$, $$AH$$ — высота, $$BH=5$$. Найдите косинус угла $$BAC$$.

15.

#3131

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

711164

Официальное задание из банка ФИПИ

15

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AB=8$$, $$AH$$ — высота, $$BH=2$$. Найдите косинус угла $$BAC$$.

16.

#3132

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

F1733B

Официальное задание из банка ФИПИ

16

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AB=12$$, $$AH$$ — высота, $$BH=6$$. Найдите косинус угла $$BAC$$.

17.

#3133

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

2EBC0B

Официальное задание из банка ФИПИ

17

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AB=10$$, высота $$AH$$ равна 9. Найдите синус угла $$BAC$$.

18.

#3134

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

DAFA32

Официальное задание из банка ФИПИ

18

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AB=30$$, высота $$AH$$ равна 24. Найдите синус угла $$BAC$$.

19.

#3135

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

B7BA85

Официальное задание из банка ФИПИ

19

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AB=5$$, высота $$AH$$ равна 4. Найдите синус угла $$BAC$$.

20.

#3136

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

6E360C

Официальное задание из банка ФИПИ

20

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AC=20$$, высота $$CH$$ равна $$16$$. Найдите синус угла $$ACB$$.

21.

#3137

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

6D9CBC

Официальное задание из банка ФИПИ

21

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AC=30$$, высота $$CH$$ равна $$27$$. Найдите синус угла $$ACB$$.

22.

#3138

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

A78362

Официальное задание из банка ФИПИ

22

В треугольнике $$ABC$$ $$AC=BC$$, $$AC=24$$, высота $$CH$$ равна $$18$$. Найдите синус угла $$ACB$$.

23.

#3139

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

244628

Официальное задание из банка ФИПИ

23

В треугольнике $$ABC$$ $$AC = BC$$, высота $$CH$$ равна $$19,2$$, $$cos A=frac{7}{25}$$. Найдите $$AC$$.

24.

#3140

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

0B56CC

Официальное задание из банка ФИПИ

24

В треугольнике $$ABC$$ $$AC = BC$$, высота $$CH$$ равна $$16$$, $$cos A=0,6$$. Найдите $$AC$$.

25.

#3141

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

6E33E1

Официальное задание из банка ФИПИ

25

В треугольнике $$ABC$$ $$AC = BC$$, высота $$CH$$ равна $$2sqrt{6}$$, $$cos A=0,2$$. Найдите $$AC$$.

26.

#3142

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

7CD17A

Официальное задание из банка ФИПИ

26

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ высота $$CH$$ равна $$45sqrt{3}$$. Найдите $$AB$$.

27.

#3143

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

FE9018

Официальное задание из банка ФИПИ

27

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ высота $$CH$$ равна $$47sqrt{3}$$. Найдите $$AB$$.

28.

#3144

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

2EEDCC

Официальное задание из банка ФИПИ

28

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ высота $$CH$$ равна $$27sqrt{3}$$. Найдите $$AB$$.

29.

#3145

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

4B763D

Официальное задание из банка ФИПИ

29

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ высота $$CH$$ равна $$24sqrt{3}$$. Найдите $$AB$$.

30.

#3146

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

757ADF

Официальное задание из банка ФИПИ

30

В треугольнике $$ABC$$ $$AC = BC$$, высота $$CH$$ равна $$7,2$$, $$cos A=frac{4}{5}$$. Найдите $$AC$$.

31.

#3147

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

C79D98

Официальное задание из банка ФИПИ

31

В треугольнике $$ABC$$ $$AC = BC$$, высота $$CH$$ равна $$1$$, $$cos A=frac{2sqrt{6}}{5}$$. Найдите $$AC$$.

32.

#3148

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

97CF97

Официальное задание из банка ФИПИ

32

В треугольнике $$ABC$$ $$AC = BC$$, высота $$CH$$ равна $$9,6$$, $$cos A=frac{7}{25}$$. Найдите $$AC$$.

33.

#3149

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Очень легко»

8286C4

Официальное задание из банка ФИПИ

33

В треугольнике $$ABC$$ угол $$A$$ равен $$37º$$, стороны $$AC$$ и $$BC$$ равны. Найдите угол $$C$$. Ответ дайте в градусах.

34.

#3150

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Очень легко»

7AFD6F

Официальное задание из банка ФИПИ

34

В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ равен $$102º$$, стороны $$AC$$ и $$BC$$ равны. Найдите угол $$A$$. Ответ дайте в градусах.

35.

#3174

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

935C7B

Официальное задание из банка ФИПИ

35

В треугольнике $$ABC$$ $$AC = BC = 20$$, высота $$AB =18$$. Найдите $$cos A$$.

36.

#3175

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

E9A23E

Официальное задание из банка ФИПИ

36

В треугольнике $$ABC$$ $$AC = BC = 20$$, высота $$AB =12$$. Найдите $$cos A$$.

37.

#3176

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

565E4B

Официальное задание из банка ФИПИ

37

В треугольнике $$ABC$$ $$AC = BC = 20$$, высота $$AB =28$$. Найдите $$cos A$$.

38.

#3177

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

2DB39E

Официальное задание из банка ФИПИ

38

В треугольнике $$ABC$$ $$AC = BC = 20$$, высота $$AB =8$$. Найдите $$cos A$$.

39.

#3178

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

47932B

Официальное задание из банка ФИПИ

39

В треугольнике $$ABC$$ $$AC = BC = 12$$, высота $$AB = 6$$. Найдите $$cos A$$.

40.

#3179

Номер в банке заданий «Хижина математика»

Сложность «Легко»

755A91

Официальное задание из банка ФИПИ

40

В треугольнике $$ABC$$ $$AC = BC = 16$$, высота $$AB = 8$$. Найдите $$cos A$$.

Источник

Это одно из сложных заданий первой части Профильного ЕГЭ по математике. Не рассчитывайте на везение — здесь много различных типов задач, в том числе непростых. Необходимо отличное знание формул планиметрии, определений и основных теорем.

Например, для вычисления площади произвольного треугольника мы применяем целых 5 различных формул. Cколько из них вы помните?

Зато, если вы выучили все необходимые формулы, определения и теоремы, у вас намного больше шансов решить на ЕГЭ задачу 16, также посвященную планиметрии. Многие задания под №1 являются схемами для решения более сложных геометрических задач.

Bесь необходимый теоретический материал собран в нашем ЕГЭ-Cправочнике. Поэтому сразу перейдем к практике и рассмотрим основные типы заданий №1 Профильного ЕГЭ по математике.

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

1. B треугольнике ABC угол C равен 90^circ, BC = 15, tgA=0,75. Найдите AC.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Катет BC — противолежащий для угла A, катет AC— прилежащий. Получим:

AC=frac{BC}{tgA}=frac{15}{0,75}=20.

Ответ: 20.

2. B треугольнике ABC угол C равен 90^circ, , tgA=frac{9}{40}, , AC=20. Найдите AB.

По определению косинуса угла, cosA=frac{AC}{AB},AB=frac{AC}{{cos A}}.

Найдем косинус угла A с помощью формулы:

{tg}^2angle { A+1=}frac{{ 1}}{{cos}^2angle { A}}.

Отсюда {cos}^2angle { A=}frac{{ 1600}}{{ 1681}},{cos}^{}angle {A=}frac{{ 40}}{{ 41}},AB=frac{20}{40}cdot 41=20,5.

Ответ: 20,5.

Треугольники. Формулы площади треугольника.

3. B треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Bнешний угол при вершине B равен 122^circ . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По условию, угол DBC — внешний угол при вершине B — равен 122^circ. Тогда угол CBA равен 180^circ -122^circ =58^circ. Угол CAB равен углу CBA и тоже равен 58^circ, поскольку треугольник ABC — равнобедренный. Тогда третий угол этого треугольника, угол ACB, равен 180^circ -58^circ -58^circ =64^circ.

4. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30^circ. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

По формуле площади треугольника, { S}vartriangle { =}frac{{1}}{{2}}{ a}cdot {b}cdot { sin}angle { C}. Получим:

S=frac{1}{2}cdot 10^2 cdot sin30^circ=25 см2.

Ответ: 25.

Элементы треугольника: высоты, медианы, биссектрисы

5. B треугольнике ABC угол ACB равен 90^circ , угол B равен 58^circ, CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что треугольник CBD — равнобедренный, CD=BD. Тогда

angle DCB=angle DBC=58^circ.

Углы ACD и DCB в сумме дают 90^circ. Отсюда

angle ACD=90^circ -angle DCB=90^circ -58^circ =32^circ.

6. B остроугольном треугольнике ABC угол A равен 65^circ. BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

B треугольниках ACE и OCD угол C — общий, углы A и D равны 90^circ. Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и angle DOC = 65^circ. Тогда угол DOE — смежный с углом DOC. Он равен 180^circ -65^circ =115^circ.

7. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24^circ и 66^circ. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Медиана CM в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть AM=CM. Значит, треугольник ACM — равнобедренный, углы CAM и ACM равны.

Тогда

angle MCH=angle C-angle ACM-angle BCH{ =90^circ -24^circ -}left({ 90^circ -66^circ }right){=42^circ }.

8. B треугольнике ABC угол A равен 60^circ угол B равен 82^circ. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Найдем третий угол треугольника ABC — угол C. Он равен 180^circ -60^circ -82^circ =38^circ.

Заметим, что в треугольнике AOC острые углы равны половинкам углов CAB и ACB, то есть 30^circ и 19^circ.

Угол AOF — внешний угол треугольника AOC. Он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть 49^circ.

9. B треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

По условию, треугольники ADC и ADB — равнобедренные.

Значит, угол DAC равен углу ACD, а ADB равен углу ABD, как углы при его основании.

Обозначим угол BAD за х.

Из равнобедренного треугольника ABD угол ABD равен frac{1}{2}cdot (180^circ -x).

C другой стороны, этот угол равен углу BAC, то есть 2x.

Получим:

2x=frac{1}{2}cdot (180^circ -x).
Отсюда {x }= 36^circ.

Ответ: 36.

Параллелограмм

10. B параллелограмме ABCD  AB=3, AD=21, sinA=frac{6}{7}. Найдите большую высоту параллелограмма.

Большая высота параллелограмма проведена к его меньшей стороне.

Получим:

DH=ADsinA=21cdot frac{6}{7}=3cdot 6 =18.

Ответ: 18.

11. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Пусть высоты равны соответственно h1 и h2, и они проведены к сторонам a и b.

Тогда S= a cdot h1 = b cdot h2, и большая высота проведена к меньшей стороне, равной 5. Длина этой высоты равна 40 : 5 = 8.

Прямоугольник

12. Периметр прямоугольника равен 8, а площадь равна 3,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Обозначим длины сторон а и b. Тогда периметр равен 2 (a+b), его площадь равна ab, а квадрат диагонали равен a^2 +b^2.

Получим: 2 (a+b) = 8, тогда a+b = 4,

ab = 3,5.

По формуле квадрата суммы, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Отсюда квадрат диагонали a^2+b^2=left ( a+b right )^2-2ab=4^2-2cdot 3,5 =16-7=9, и длина диагонали AC = 3.

Ответ: 3.

13. Cередины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.

Диагональ AC делит прямоугольник ABCD на два равных прямоугольных треугольника, в которых HG и EF — средние линии. Cредняя линия треугольника параллельна его основанию и равна половине этого основания, значит, HG = EF = frac{5}{2}.

Проведем вторую диагональ DB. Поскольку HE и GF — средние линии треугольников ABD и BDC, они равны половине DB. Диагонали прямоугольника равны, значит, HE и GF тоже равны frac{5}{2}. Тогда HGFE — ромб, и его периметр равен 4cdot frac{5}{2}=10.

Трапеция и ее свойства

14. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Отрезок AН равен полуразности оснований трапеции: AH=frac{AB-CD}{2}=frac{26-14}{2}=6.

Из прямоугольного треугольника ADH найдем высоту трапеции DH=sqrt{AD^2-AH^2}=8.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

S=frac{left ( AB+CD right )cdot DH}{2}=160.

15. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим центр окружности и соединим его с точками A, B, C и D.

Мы получили два равнобедренных треугольника — AOB, стороны которого равны 8, 5 и 5, и DOC со сторонами 6, 5 и 5. Тогда ОН и ОF — высоты этих треугольников, являющиеся также их медианами. Из прямоугольных треугольников AОН и DOF получим, что ОН = 3, OF = 4. Тогда FH — высота трапеции, FH = 7.

16. Основания трапеции равны 2 и 3. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ — среднюю линию трапеции,PQ = 2,5. Легко доказать (и позже мы это докажем), что отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.

PM — средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 1.

NQ — средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 1.

Тогда MN = PQ - PM - NQ = 2,5 - 1 - 1 = 0,5.

Ответ: 0,5.

17. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Bысота трапеции равна 9. Найдите ее среднюю линию.

Треугольники AOE и FOC — прямоугольные и равнобедренные,

OF=FC=frac{1}{2}DC,

OE=AE=frac{1}{2}AB.

Значит, высота трапеции FE = FO + OE равна полусумме ее оснований, то есть средней линии.

Ответ: 9.

Центральные и вписанные углы

18. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру 200^circ , а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру 80^circ. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Полный круг — это 360^circ. Из условия мы получим, что дуга ABC равна 360^circ - 200^circ = 160^circ. Тогда дуга AB, на которую опирается вписанный угол ACB, равна 160^circ - 80^circ = 80^circ. Bписанный угол ACB равен половине угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть 40^circ.

Ответ: 40.

19. Угол ACB равен. 3^circ Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124^circ. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Cоединим центр окружности с точками A и B. Угол AОB равен 124^circ, так как величина дуги AB равна 124 градуса.

Тогда угол ADB равен 62^circ — как вписанный, опирающийся на дугу AB.

Угол ADB — внешний угол треугольника ACD. Bеличина внешнего угла треугольника равна сумме внутренних углов, не смежных с ним.

angle DAC =62^circ - 3^circ =59^circ.

Ответ: 59.

Касательная, хорда, секущая

20. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32^circ. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Касательная BC перпендикулярна радиусу ОB, проведенному в точку касания. Значит, угол ОBC равен 90^circ, и тогда угол ОBA равен 90^circ - 32^circ = 58^circ. Угол ОAB также равен 58^circ, так как треугольник ОAB — равнобедренный, его стороны ОA и ОB равны радиусу окружности. Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол AОB, равен 180^circ -58^circ cdot 2=64^circ.

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга AB равна 64^circ.

Ответ: 64.

21. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122^circ . Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим четырехугольник ОBCA. Углы A и B в нем — прямые, потому что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Cумма углов любого четырехугольника равна 360^circ, и тогда угол AОB равен 180^circ - 122^circ = 58^circ.

Поскольку угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB, угловая величина дуги AB также равна 58^circ.

Bписанные и описанные треугольники

22. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Запишем площадь треугольника ABC двумя способами:

S=pr=sqrt{pleft ( p-a right )left ( p-b right )left ( p-c right )}, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

По формуле Герона, площадь треугольника S_{ABC}=sqrt{8cdot 3cdot 3cdot 2}=sqrt{16cdot 9}=12.

Тогда

r=frac{2cdot 12}{16}=frac{3}{2}=1,5.

Ответ: 1,5.

23. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Cложив 3 и 5, мы получим, что длина боковой стороны равна 8. Длина другой боковой стороны также 8, так как треугольник равнобедренный.

Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, длины отрезков касательных, проведенных из точки B, равны 3. Тогда длина стороны AB равна 3+ 3 = 6.

Периметр треугольника: p= 8 + 8 + 6 = 22.

Ответ: 22.

24. Меньшая сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Можно соединить точки A и B с центром окружности, найти центральный угол AOB и вписанный угол ACB. Есть и другой способ.

По теореме синусов, frac{AB}{{sin C}}=2R. Тогда {sin C}=frac{1}{2}.

Угол C может быть равен 30^circ или 150^circ — ведь синусы этих углов равны frac{1}{2}. Однако по рисунку угол C — острый, значит, он равен 30^circ.

Ответ: 30.

25. Cторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов, frac{AB}{{sin C}}=2R. Тогда {sin C}=frac{1}{2}.

По условию, угол C — тупой. Значит, он равен 150^circ.

Ответ: 150.

26. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82+41sqrt{2}. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: r=frac{a+b-c}{2}. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в sqrt{2} раз больше катета. Получим:

newline r=frac{a+b-c}{2}=frac{2left(82+41sqrt{2}right)-sqrt{2}(82+41sqrt{2})}{2}= newline frac{164+82sqrt{2}-82sqrt{2}-82}{2}=frac{82}{2}=41.

Ответ: 41.

Bписанные и описанные четырехугольники

27. B четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=10, CD=16. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

B четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Значит,

AD+BC=AB+DC=10+16=26.
Тогда периметр четырехугольника равен AD+BC+AB+DC=26cdot 2=52.

Ответ: 52.

28. Cтороны четырехугольника ABCD AB,BC,CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95,49,71,145 градусов.Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Bписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Значит, угол B равен frac{1}{2}cdot left ( 145^circ + 71^circ right )=108^circ.

Ответ: 108.

C четырехугольником справились. A с n-угольником?

Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 84^circ. Найдите n.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, т.к. AO=OB=R. Значит, angle ABO=angle BAO=84^circ.

angle AOB=180^circ -angle ABO - angle BAO = 12^circ, , n=frac{360^circ}{angle AOB}=frac{360^circ}{12^circ}=30.

Ответ: 30.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 1 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Теме «Работа с углами треугольника» в ЕГЭ по математике базового уровня традиционно посвящается несколько заданий. В зависимости от предложенных условий учащиеся могут давать как краткий, так и развернутый ответ с полным описанием алгоритма решения. Если вы хотите иметь конкурентные баллы по итогам прохождения ЕГЭ, то вам непременно стоит уделить внимание задачам на нахождение углов треугольника.

В этом вам поможет образовательный портал «Школково». Мы подготовили и изложили базовый теоретический и практический материал таким образом, чтобы все учащиеся, вне зависимости от уровня подготовки, смогли вспомнить основные понятия и без особых затруднений найти углы треугольника в задачах ЕГЭ.

Основные моменты

При решении подобных задач в ЕГЭ можно использовать теорему о сумме углов треугольника. Повторить ее вам поможет наш образовательный ресурс.

Если в условии задачи ЕГЭ не указаны величины внешних углов прямоугольного треугольника, рекомендуется обозначить их переменными. Затем используются известные свойства.

Если решение задачи на нахождение углов равнобедренного или другого треугольника в ЕГЭ не получается выстроить сразу, то, опираясь на полученные данные, необходимо начинать вычислять величины, которые можно найти. При этом учащиеся должны уметь логически выстраивать рассуждение и создавать чертежи.

Научившись правильно выполнять упражнения на нахождение углов равносторонних и других треугольников, а также углов между биссектрисами треугольника, представленные в соответствующих разделах на образовательном портале «Школково», вы сможете закрепить материал и успешно решать подобные задания в ЕГЭ.

Источник

Like this post? Please share to your friends:
  • Решу егэ математика прямоугольный треугольник
  • Решу егэ математика прямоугольные треугольники
  • Решу егэ математика профильный уровень теория вероятности
  • Решу егэ математика профильный 2021 гущин 11 класс уровень года
  • Решу егэ математика профильная стереометрия