Решу егэ математика решение треугольников

(blacktriangleright) Площади подобных треугольников относятся как (k^2), а периметры – как (k).

(blacktriangleright) Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон. Она равна половине третьей стороны.

Точка (E) лежит на стороне (AC) треугольника (ABC), причём (dfrac{EC}{AE} = 2). Точка (D) лежит на (BC), причём (EDparallel AB). Найдите (AB), если (ED = dfrac{4}{3}).

Так как (EDparallel AB), то (angle CED = angle CAB), (angle CDE = angle CBA) (как соответственные при параллельных прямых и секущей), тогда треугольники (CED) и (CAB) подобны.

Так как (EC = 2cdot AE), то (AC = 3cdot AE), следовательно, [dfrac{AC}{EC} = dfrac{3cdot AE}{2cdot AE} = dfrac{3}{2}.]

Так как стороны (EC) и (AC) лежат против равных углов (в треугольниках (CED) и (CAB) соответственно), то [dfrac{AB}{ED} = dfrac{AC}{EC} = dfrac{3}{2},] откуда [AB = dfrac{3}{2}cdot ED = dfrac{3}{2}cdotdfrac{4}{3} = 2.]

Ответ:

2

Точка (E) лежит на стороне (AC) треугольника (ABC), причём (dfrac{EC}{AE} = 3). Точка (D) лежит на (BC), причём (dfrac{CD}{CB} = 0,75). Найдите (angle CED — angle CAB). Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольники (CAB) и (CED):
(angle C) – общий,
[dfrac{CA}{CE} = dfrac{AE + CE}{CE} = dfrac{AE}{CE} + 1 = dfrac{1}{3} + 1 = dfrac{4}{3} = dfrac{CB}{CD},] тогда треугольники (CAB) и (CED) подобны по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними.

В подобных треугольниках против пропорциональных сторон лежат равные углы, тогда (angle CED = angle CAB), откуда (angle CED — angle CAB = 0^{circ}).

Ответ:

0

(F) – точка пересечения (AD) и (BE) – медиан треугольника (ABC). Известно, что (S_{ABF} = 1). Найдите (S_{DEF}).

(ED) – средняя линия треугольника (ABC), тогда (ED = 0,5cdot AB), (EDparallel AB).

Так как (EDparallel AB), то (angle DEF = angle ABF), (angle EDF = angle FAB) (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей), следовательно, треугольники (DEF) и (ABF) подобны (по двум углам). Так как (ED = 0,5cdot AB), причём стороны (ED) и (AB) лежат (в треугольниках (DEF) и (ABF) соответственно) против равных углов, то [dfrac{S_{DEF}}{S_{ABF}} = left(dfrac{ED}{AB}right)^2 = 0,5^2 = 0,25,] откуда с учётом того, что (S_{ABF} = 1) находим (S_{DEF} = 0,25).

Ответ:

0,25

Отрезок (BK) соединяет вершину (B) треугольника (ABC) с точкой на противоположной стороне, причем (angle AKB = angle B). При этом известно, что (BK = 10), (AB = 12), (AC = 18). Найдите (BC).

Рассмотрим треугольники (ABK) и (ACB):
(angle AKB = angle B),
(angle A) – общий, тогда треугольники (ABK) и (ACB) подобны по двум углам.

В подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны, тогда [dfrac{BK}{BC} = dfrac{AB}{AC},] откуда (dfrac{10}{BC} = dfrac{12}{18}), следовательно (BC = 15).

Ответ:

15

Отрезок (BK) соединяет вершину (B) треугольника (ABC) с точкой на противоположной стороне. При этом известно, что (angle AKB = 105^{circ}), (AB = 12), (AC = 24), (AK = 6). Найдите (angle ABC). Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольники (ABK) и (ACB):
(angle A) – общий,
[dfrac{AB}{AC} = dfrac{AK}{AB},] тогда треугольники (ABK) и (ACB) подобны по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними.

В подобных треугольниках против пропорциональных сторон лежат равные углы, тогда (angle ABC = angle AKB = 105^{circ}).

Ответ:

105

На сторонах (AB), (BC) и (AC) треугольника (ABC) лежат точки (D), (E) и (F) соответственно. Известно, что (dfrac{DF}{BC} = 0,5), (AC = 2cdot DE), (AB-EF=EF) (angle DEF = 61^{circ}), (angle EFD = 55^{circ}). Найдите (angle C). Ответ дайте в градусах.

Так как (angle DEF = 61^{circ}), (angle EFD = 55^{circ}), то (angle EDF = 180^{circ} — 61^{circ} — 55^{circ} = 64^{circ}).

Рассмотрим треугольники (ABC) и (EFD): по условию
[dfrac{DF}{BC} = 0,5 = dfrac{DE}{AC} = dfrac{EF}{AB},] тогда треугольники (ABC) и (EFD) подобны по пропорциональности трех сторон.

В подобных треугольниках против пропорциональных сторон лежат равные углы, тогда (angle C = angle EDF = 64^{circ}).

Ответ:

64

Отрезок (BK) соединяет вершину (B) треугольника (ABC) с точкой на противоположной стороне. При этом известно, что (AB = 12), (AC = 24), (AK = 6), (BK = 10), (BC = 20). Найдите (angle AKB — angle B). Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольники (ABK) и (ACB):
[dfrac{AB}{AC} = dfrac{AK}{AB} = dfrac{BK}{BC},] тогда треугольники (ABK) и (ACB) подобны по пропорциональности трех сторон.

В подобных треугольниках против пропорциональных сторон лежат равные углы, тогда (angle B = angle AKB), следовательно (angle AKB — angle B = 0^{circ}).

Ответ:

0