Решу егэ математика векторы в пространстве

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1.  В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2.  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и :

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

.

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

;

.

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

.

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике»

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA₁ = √3

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

«Использование метода координат в пространстве для решения задачи №13 Единого государственного экзамена»

Как всем известно, для учеников старших классов самой насущной проблемой является Единый государственный экзамен. Причём, тех учеников, которые с уверенностью могут сказать: «Я могу решить 13 или 16 задачу», всего единицы. Да и те, кто действительно могут решить их, об этом громко не заявляют.

Анализируя данную проблему, можно сказать, что большая часть выпускников ограничивается заданием 13 пункта а). А при решении пункта б) уже возникают проблемы.

Как вы знаете, в задании 13 чаще всего требуется найти:

1) угол между двумя скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями;

2) расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости.

В своей работе я предлагаю использовать один из универсальных приёмов решения геометрических задач – метод координат в пространстве. Мы уже хорошо знакомы с векторами, координатами и их свойствами. Цель моей работы: научиться применять знания для решения задач стереометрии.

Однако формальное применение координатно-векторного метода может значительно затруднить решение даже самой простой задачи. Поэтому я привожу несколько общих указаний, которые помогут сориентироваться и решить, можно ли в данной задаче использовать векторы и координаты.

Во-первых, естественно, нужно применять координатный или векторный метод, если в условиях задачи говорится о векторах или координатах;

Во-вторых, очень полезно применить координатный метод, если из условия задачи не понятно, как расположены те или иные точки;

В-третьих, что для нас особенно важно, полезно и удобно применять координаты и векторы для вычисления углов и расстояний;

В-четвертых, вообще, часто, когда не видно ни каких подходов к решению задачи, можно попробовать применить координатный метод. Он не обязательно даст решение, но поможет разобраться с условиями и даст толчок к поиску другого решения.

2.1. Кратко из теории⁴

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Существует множество систем координат: аффинная, полярная, биполярная, коническая, параболическая, проективная, сферическая, цилиндрическая и др. Наиболее используемая из них — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). Ею мы и будем пользоваться для решения задач.

Прямоугольная (декартова) система координат – совокупность точки О (называемой началом координат), единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямых Ox, Oy и Oz (называемых осями координат: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат), на каждой из которых указано направление положительного отсчёта. Плоскости хОу, уОz и zOx называют координатными плоскостями. Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел, называемых её координатами.

Применение метода координат даёт нам множество возможностей для решения задач.

1. Нахождение расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

где d=AB, A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂)

2. Нахождение координаты середины С(x; y; z) отрезка АВ, A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂). , ,

3. Нахождение косинуса, а, следовательно, и самого угла, между двумя векторами, заданными своими координатами.

где .

4. Нахождение угла между плоскостями путем составления уравнения каждой плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 и определения угла между нормалями к плоскостям. Нормаль n при этом имеет координаты .

5.Нахождение расстояния от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀)  до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно.

6. Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок , ограниченный точками (, , ) и (, , ), в отношении , определяется по формулам

, , .

2.2. Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

• Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.
• 0˚<(a,α)<90˚.

При нахождении угла между прямыми используют:

формулу или в координатной форме

для нахождения угла φ между прямыми m и l, если векторы и параллельны соотвественно этим прямым; в частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы или .

Пример 1.⁵ Сторона основания правильной четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁ D₁ равна 2, высота — 4. Точка E — середина отрезка CD, точка F — середина отрезка AD. Найдите угол между прямыми CF и B₁E.

х

у

z

B₁

A₁

C₁

D₁

B C

A E

F D

Решение.

Для начала сделаем чертёж и проанализируем задачу.

Прямые CF и B₁E являются скрещивающимися, поэтому, чтобы найти угол между ними геометрическим способом, было бы необходимо параллельно перенести одну из прямых так, чтобы обе прямые лежали на одной плоскости. При этом было бы довольно сложно определить, в каком соотношении они будут пересекаться, и решить эту задачу поэтапно-вычислительным методом.

Я предлагаю поместить параллелепипед в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке, и найти искомый угол как угол между векторами.

Выпишем координаты точек B₁, E, C, F в этой системе координат:

B₁ (0; 0; 4), E(1; 2; 0), C(0; 2; 0), F (2; 1; 0).

Тогда {2; -1; 0}, {1; 2; -4}. Найдём угол между этими векторами по формуле:

То есть искомый угол α=90˚.

Как видите, задачу, которую довольно-таки сложно решить геометрическим путём, можно быстро и красиво решить аналитически.

Ответ: 90˚.

Пример 2.² Точка О лежит на ребре DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁ D₁, точка Р является точкой пересечения диагоналей грани ABCD. DO : DD₁ = 1 : 5. Найдите косинус угла между прямой ОР и прямой, содержащей диагональ куба, выходящую из вершины С.

Решение.

Поместим куб в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Условно обозначим грани куба за единицу. Если обозначить её какой-либо буквой, она всё равно сократится. Определим координаты точек Р, О, С и А₁:

О

Р

Р(0,5; 0,5; 0), О(1; 1; 0,5), С(0; 1; 0), А₁(1; 0; 1).

Отсюда .

Ответ: .

Пример 3.⁵ Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и и середину ребра DC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB.

Решение.

Поместим пирамиду в декартову систему координат. Найдём координаты точек S, L, C и M: S(0;0;1), L(0;;0), C(0;0;0). Чтобы найти координаты точки М, воспользуемся геометрией: в равностороннем треугольнике все углы равны 60˚, а т.М, которая делит сторону АВ пополам, является не только медианой, но и биссектрисой, поэтому .

Для равностороннего треугольника , х(СМ)=СМ·соs60˚=, у(СМ)=СМ·соs30˚=, {}, SL{0;;-1}

Решая аналогично предыдущим примерам, находим, что .

Ответ: 45˚.

2.3. Нахождение угла между прямой и плоскостью

• Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
• 0˚<(a,α)<90˚.

Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить:

по формуле или в координатах , где

— вектор нормали к плоскости α,

— направляющий векор прямой l;

Пример 4.⁵ В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра АВ и АА₁ равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В₁С₁. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью АВ₁С.

Решение. Для решения этой задачи необходимо воспользоваться уравнением плоскости, имеющим общий вид

ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали к плоскости.

Чтобы составить это уравнение, необходимо определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В₁(0;0;1), С(0;2;0).

Решая систему

находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0: а= -d, b=,

c=-d. Таким образом, уравнение примет вид или, после упрощения, 2х+у+2z-2=0. Значит нормаль n к этой плоскости имеет координаты .

Длину вектора легко найти геометрически: . Но его координаты нам всё равно необходимы. Из простых вычислений находим, что .

Найдем угол между вектором и нормалью к плоскости по формуле скалярного произведения векторов:

.

Ответ: 45˚

2.4. Нахождение угла между двумя плоскостями

• Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
• Величина двугранного угла принадлежит промежутку(0˚; 180˚)
• Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0˚; 90˚].
• Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить:

как угол между нормалями по формуле или в координатной форме , где — вектор нормали плоскости А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0, — вектор нормали плоскости A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

Пример 5.¹ В единичном кубе АВСDA₁В₁С₁D₁ найдите угол между плоскостями АD₁ Е и D₁FC, где точки Е и F-середины ребер А₁В₁ и В₁С₁ соответственно.

Решение.

Введём прямоугольную систему координат. Тогда А(0;0;0), С(1;1;0), D₁(1;0;1), E(0;0,5;1), F(0,5;1;1).

1) Решая систему

, составляем уравнение плоскости (АD₁E): x+2y-z=0.

2) плоскость CFD₁:

отсюда находим уравнение 2x+y+z-3=0. Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей.

, , откуда φ=60˚ Ответ: 60˚

2.5. Нахождение расстояния между двумя точками.

Расстояние между точками А и В можно вычислить:

по формуле ,

где A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂);

по формуле .

Пример 6.⁶ В основании пирамиды SABCD лежит ромб со стороной 2 и острым углом в 60˚. Боковое ребро SA перпендикулярно основанию пирамиды и равно 4. Найдите расстояние от середины Н ребра SD и серединой М ребра ВС.

Решение. Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке.

Найдём координаты точки Н как координаты середины отрезка SD: S(0; 0; 4), D(0; 2; 0).

Чтобы найти координаты точек В и С, найдём координаты их проекций на оси. АВ_х=AC_x=2·cos30˚=, AB_y=AC_у–2=2·cos60˚=1.

Отсюда В(; 1; 0), С(; 3;0). Тогда координаты точки М равняются:

.

Теперь находим расстояние между точками, заданными своими координатами:

Ответ: .

Пример 7.¹ В единичном кубе АВСDA₁В₁С₁D₁ точки Е и К – середины ребер АА₁ и СD соответственно, а точка М расположена на диагонали В₁D₁ так, что В₁М = 2МD₁. Найдите расстояние между точками Q и L, где Q – середина отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК такая, что ML=2LK

Решение. Введём декартову систему координат. E(1;0;0,5), K(0,5;1,0), В₁(0;0;1), D₁(1;1;1). Чтобы вычислить координаты т.М, воспользуемся формулой для нахождения координат точки, которая делит отрезок B₁D₁ в отношении λ=2:1:

, , .

Аналогично находим координаты точки L:

.

Координаты точки Q находим по формуле координат середины отрезка:

, , .

Ответ: .

2.6. Нахождение расстояния от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости , не содержащей эту точку , есть длина отрезка перпендикуляра , опущенного из этой точки на плоскость .

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Расстояние от точки М до плоскости α

вычисляется по формуле , где М(х₀;у₀;z₀), плоскость α задана уравнением ax+by+cz+d=0;

Пример 8.² В кубе АВСDA₁B₁C₁D₁ проведена диагональ B₁D. В каком отношении, считая от вершины B₁, плоскость А₁BC₁ делит диагональ B₁D?

Решение. Составим уравнение плоскости А₁BC₁ и найдём расстояние от этой плоскости до каждой из точек B₁ и D. Пусть l – ребро куба.

В(0;0;0), А₁(l;0;l), С₁(0;l;l).

Решив систему определяем, что уравнение плоскости имеет вид: x+y–z=0 → а=1, b=1, c= –1. B₁(0;0;1), D(1;1;0).

Теперь найдём расстояние от каждой точки до плоскости по формуле

:

Ответ: 2:1.

Пример 9.⁵ Основание прямой призмы АВСА₁В₁С₁ – равнобедренный треугольник АВС, основание АС и высота ВD которого равны 4. Боковое ребро равно 2. Через середину К отрезка В₁С проведена плоскость, перпендикулярная к этому отрезку. Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости.

Решение. Выберем систему координат как показано на рисунке и выпишем координаты вершин данной призмы и точки К в этой системе координат: А(0;–2;0), В(0;0;0), С(0;2;0), В₁(4;0;2), К(2;1;1). Тогда . Этот вектор перпендикулярен плоскости, значит, он является его нормалью. К тому же плоскость проходит через точку К. То есть уравнение плоскости имеет вид –2(x–2)+2(у–1)–2(z–1)=0 или, после упрощения, 2x–y+z-4=0.

Теперь находим расстояние от т.А(0;-2;0) до плоскости:

. Ответ: .

Заключение

Представляю вашему вниманию свою работу, которой я занималась в течение последних месяцев: я искала формулы, подбирала для каждого случая именно те задачи, геометрическое решение которых перегружено формулами, редко используемыми теоремами, сложными преобразованиями и вычислениями.

Конечно, эту работу нельзя считать авторитетным пособием по решению задания 13 ЕГЭ, так как в ней рассмотрено лишь небольшое количество задач, и ограниченное количество приёмов.

Конечно, я не настаиваю на том, что все задачи стереометрии надо решать методом координат, иногда это просто нецелесообразно. Но согласитесь, настолько простое и изящное решение не только освободит время для решения других заданий, но и будет высоко оцениваться проверяющим учителем.

Список использованной литературы

1. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010: Математика /авт.-сост . И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров и др.; под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: АСТ: Астрель , 2009. – (ФИПИ).

2. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011: учебно-методическое пособие/ под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова. – Ростов-на-Дону: Легион – М., 2010.

3. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект -Центр, 2010.

4. Большая универсальная школьная энциклопедия/ гл. редактор М.Аксёнова – М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2008.

5. www.fmclass.ru – образовательный портал «Физ/мат класс»

6. www.mathege.ru – открытый банк заданий.

7. www.problems.ru – каталог задач.