Решу егэ математика задачи на движение по воде

Пусть x км/ч – скорость течения, тогда скорость лодки против течения (11 — x) км/ч, а по течению (11 + x) км/ч.

Так как, на обратный путь по течению лодка затратила на 6 часов меньше, то:

(frac{{112}}{{11 — x}} — frac{{112}}{{11 + x}} = 6,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{112left( {11 + x} right) — 112left( {11 — x} right)}}{{left( {11 — x} right)left( {11 + x} right)}} = 6,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{112x + 112x}}{{121 — {x^2}}} = 6,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,224x = 6left( {121 — {x^2}} right),,left| {,:} right.2,,,, Leftrightarrow ,,,,3{x^2} + 112x — 363 = 0;)  

(D = {112^2} + 12 cdot 363 = 16900;,,,,sqrt D  = 130;)   ({x_1} = frac{{ — 112 + 130}}{6} = 3;,,,,{x_2} = frac{{ — 112 — 130}}{6} =  — frac{{121}}{3}.)

Так как (x > 0), то скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: 3.

Пусть x км/ч – скорость лодки в неподвижной воде, тогда скорость против течения (x — 1) км/ч, а по течению (x + 1) км/ч.

Так как на обратный путь по течению реки лодка затратила на 2 часа меньше, то:

(frac{{255}}{{x — 1}} — frac{{255}}{{x + 1}} = 2,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{255left( {x + 1} right) — 255left( {x — 1} right)}}{{left( {x — 1} right)left( {x + 1} right)}} = 2,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{510}}{{{x^2} — 1}} = 2,,,, Leftrightarrow )

(2left( {{x^2} — 1} right) = 510,,left| {,:} right.,2,,,, Leftrightarrow ,,,,{x^2} = 256,,,, Leftrightarrow ,,,,{x_1} = 16;,,,{x_2} =  — 16,,.)

Так как (x > 0), то скорость лодки в неподвижной воде равна 16 км/ч.

Ответ: 16.

Пусть x км/ч – скорость лодки в неподвижной воде, тогда скорость против течения (x — 1) км/ч, а по течению (x + 1) км/ч.

Так как лодка вышла из пункта А в 10:00, а вернулась в 18:00, то на весь путь со стоянкой она затратила 8 часов. Следовательно, время в пути равно: (8 — 2,5 = 5,5) часов.

(frac{{30}}{{x — 1}} + frac{{30}}{{x + 1}} = frac{{11}}{2},,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{30left( {x + 1} right) + 30left( {x — 1} right)}}{{left( {x — 1} right)left( {x + 1} right)}} = frac{{11}}{2},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{{60x}}{{{x^2} — 1}} = frac{{11}}{2},,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,11{x^2} — 11 = 120x,,,,, Leftrightarrow ,,,,,11{x^2} — 120x — 11 = 0;)

(D = {120^2} + 4 cdot 11 cdot 11 = {2^2} cdot {60^2} + {2^2} cdot {11^2} = 4 cdot left( {3600 + 121} right) = 4 cdot 3721;,,,,sqrt D  = 2 cdot 61 = 122;)({x_1} = frac{{120 + 122}}{{22}} = frac{{242}}{{22}} = 11;,,,,{x_2} = frac{{120 — 122}}{{22}} =  — frac{1}{{11}}.)

Так как (x > 0), то скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч.

Ответ: 11.

Пусть x км/ч – скорость течения реки, тогда скорость теплохода против течения (15 — x) км/ч, а скорость по течению (15 + x) км/ч.

На весь путь теплоход затратил  40–10=30  часов.

(frac{{200}}{{15 + x}} + frac{{200}}{{15 — x}} = 30,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{200left( {15 — x} right) + 200left( {15 + x} right)}}{{left( {15 + x} right)left( {15 — x} right)}} = 30,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{6000}}{{225 — {x^2}}} = 30,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,6000 = 30left( {225 — {x^2}} right),,left| , right.:30,,,, Leftrightarrow ,,,,200 = 225 — {x^2},,,, Leftrightarrow ,,,{x^2} = 25;,,,,{x_1} = 5;,,,,{x_2} =  — 5.)

Так как (x > 0), то скорость течения реки равна 5 км/ч.

Ответ: 5.

Пусть x км/ч – скорость первого теплохода, тогда (x + 1) км/ч  скорость второго.

Первый теплоход находился в пути на 1 час больше чем второй. Следовательно:

(frac{{420}}{x} — frac{{420}}{{x + 1}} = 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{420left( {x + 1} right) — 420x}}{{xleft( {x + 1} right)}} = 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{420}}{{xleft( {x + 1} right)}} = 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x^2} + x = 420,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,{x^2} + x — 420 = 0;,,,,,,D = 1 + 4 cdot 420 = 1681;,,,,,,sqrt D  = 41;)

({x_1} = frac{{ — 1 + 41}}{2} = 20;,,,,,{x_2} = frac{{ — 1 — 41}}{2} =  — 21.)

Так как (x > 0), то скорость первого теплохода равна 20 км/ч.

Ответ: 20.

Пусть x км/ч – скорость течения реки, тогда скорость баржи против течения(7 — x) км/ч, скорость по течению (7 + x) км/ч.

Так как баржа вышла из пункта А в 10:00, а вернулась назад в 16:00, то на весь путь со стоянкой она затратила 6 часов. Следовательно, время в пути равно: (6 — 1frac{1}{3} = 4frac{2}{3} = frac{{14}}{3}) часа.

(frac{{15}}{{7 — x}} + frac{{15}}{{7 + x}} = frac{{14}}{3},,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{15left( {7 + x} right) + 15left( {7 — x} right)}}{{left( {7 — x} right)left( {7 + x} right)}} = frac{{14}}{3},,,,, Leftrightarrow frac{{210}}{{49 — {x^2}}} = frac{{14}}{3},,,,, Leftrightarrow ,,,,,)

( Leftrightarrow ,,,,3 cdot 210 = 14 cdot left( {49 — {x^2}} right),,left| {,:,14,,,, Leftrightarrow ,,,,3 cdot 15 = 49 — {x^2},,,, Leftrightarrow ,,,,{x^2} = 4,,,, Leftrightarrow ,,,,{x_1} = 2;,,,,{x_2} =  — 2.} right.)

Так как (x > 0), то скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ: 2.

Пусть x км/ч – скорость баржи из А в В, тогда ее скорость из В в А равна(x + 3) км/ч.

Так как на обратном пути баржа сделала остановку на 9 часов и в результате затратила столько же времени, то:

(frac{{390}}{x} — frac{{390}}{{x + 3}} = 9,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{390left( {x + 3} right) — 390x}}{{xleft( {x + 3} right)}} = 9,,,,, Leftrightarrow frac{{390 cdot 3}}{{xleft( {x + 3} right)}} = 9,,,,, Leftrightarrow ,,,,,)

( Leftrightarrow ,,,,9xleft( {x + 3} right) = 390 cdot 3,,left| {,:,} right.9,,,,, Leftrightarrow ,,,,{x^2} + 3x — 130 = 0,,,,,,,D = 9 + 4 cdot 130 = 529;,)

({x_1} = frac{{ — 3 + 23}}{2} = 10;,,,,,{x_2} = frac{{ — 3 — 23}}{2} =  — 13.)

Так как (x > 0), то скорость баржи из А в В равна 10 км/ч.

Ответ: 10.

Пусть путь теплохода в одну сторону равен x км. Скорость теплохода по течению 25+3=28 км/ч, а скорость против течения 25–3=22 км/ч.

Время составляет 30 часов, из которых 5 часов – стоянка.

(frac{x}{{28}} + frac{x}{{22}} = 30 — 5,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{11x + 14x}}{{28 cdot 11}} = 25,,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{25x}}{{28 cdot 11}} = 25,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,25x = 25 cdot 28 cdot 11,,left| {,:,,25,,,,, Leftrightarrow ,,,,x = 308.} right.)

Таким образом, весь путь теплохода составляет (2 cdot x = 2 cdot 308 = 616) км.

Ответ: 616.

Пусть x км/ч – скорость яхты в неподвижной воде, тогда ее скорость по течению (x + 2) км/ч, а против течения (x — 2) км/ч.

Скорость плота равна скорости течения, то есть 2 км/ч. Следовательно, чтобы проплыть 24 км плот затратил (frac{{24}}{2} = 12) часов. Так как яхта оправилась через 1 час после плота, то она была в пути 12–1=11 часов.

(frac{{120}}{{x + 2}} + frac{{120}}{{x — 2}} = 11,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{120left( {x — 2} right) + 120left( {x + 2} right)}}{{left( {x + 2} right)left( {x — 2} right)}} = 11,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{240x}}{{{x^2} — 4}} = 11,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,11left( {{x^2} — 4} right) = 240x,,,, Leftrightarrow ,,,,11{x^2} — 240x — 44 = 0;)

(D = {240^2} + 4 cdot 11 cdot 44 = {4^2} cdot {60^2} + {4^2} cdot {11^2} = {4^2} cdot left( {3600 + 121} right) = {4^2} cdot 3721;,,,,sqrt D  = 4 cdot 61 = 244;)({x_1} = frac{{240 + 244}}{{22}} = frac{{484}}{{22}} = 22;,,,,{x_2} = frac{{240 — 244}}{{22}} =  — frac{2}{{11}}.)

Так как (x > 0), то скорость яхты в неподвижной воде равна 22 км/ч.

Ответ: 22.

Чтобы перейти из первого положения во второе, второй сухогруз должен пройти больше первого на 400+120+80+600=1200 м = 1,2 км.

Пусть первый сухогруз за 12 минут ((frac{1}{5}) часа) пройдет x км, тогда второй пройдет (x + 1,2) км, а скорости сухогрузов соответственно равны V₁ и V₂. Тогда:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {frac{1}{5}{V_1} = x;} \   {frac{1}{5}{V_2} = x + 1,2.} end{array}} right.)

Вычтем из второго уравнения первое:

(frac{1}{5}{V_2} — frac{1}{5}{V_1} = 1,2,,left| {, cdot 5,,,, Leftrightarrow ,,,,{V_2} — {V_1} = 6.} right.)

Следовательно, скорости сухогрузов отличаются на 6 км/ч.

Ответ: 6.

Пусть x км/ч – скорость течения реки весной, тогда скорость течения летом (x — 1) км/ч, а (y) км/ч – скорость катера.

Весной скорость катера по течению в (1frac{2}{3}) раза больше чем против течения, то есть (frac{{y + x}}{{y — x}} = frac{5}{3}), а летом в (1frac{1}{2}) раза больше, то есть (frac{{y + x — 1}}{{y — x + 1}} = frac{3}{2}). Таким образом, получаем систему уравнений:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {frac{{y + x}}{{y — x}} = frac{5}{3}} \   {frac{{y + x — 1}}{{y — x + 1}} = frac{3}{2}} end{array},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {5left( {y — x} right) = 3left( {y + x} right)} \   {3left( {y — x + 1} right) = 2left( {y + x — 1} right)} end{array}} right.} right.,,,,, Leftrightarrow ,)

( Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {y = 4x} \   {y — 5x + 5 = 0} end{array}} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,4x — 5x + 5 = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 5.)

Следовательно, скорость течения весной равна 5 км/ч.

Ответ: 5.