Профильная математика — один из самых сложных экзаменов для большинства выпускников, от которого зависит аттестат. Именно стоит узнать, как решается вторая часть профильной математики ЕГЭ, так как именно за нее даются баллы, необходимые для результата 85+.
Что из себя представляет вторая часть в 2021
В 2021 году вторая часть профильной математики ЕГЭ состоит из одиннадцати номеров (четыре с кратким ответом, семь — с развернутым). Для их решения необходимо приобрести определенные знания и навыки:
- умение решать задачи (текстовые, прикладные, экономические, олимпиадные),
- умение анализировать функции,
- умение составлять и решать выражения,
- умение решать уравнения,
- умение решать неравенства,
- умение работать с параметром,
- знание стереометрии,
- знание планиметрии.
Критерии оценивания
Вторая часть профильной математики ЕГЭ весит 24 первичных балла из 32 возможных:
- № 9-12 — 1б,
- № 13-15 — 2б,
- № 16-17 — 3б,
- № 18-19 — 4б.
Для получения балла за № 9-12 необходимо записать правильный ответ в бланк, решение номера не рассматривается, однако по сложности это все же вторая часть профильной математики ЕГЭ.
В №13 балл могут дать за написание верного ответа или верного хода решения при неверном ответе.
В №14 балл дадут за решение одного из двух пунктов.
В №15 балл дадут за вычислительную ошибку или неверное исключение точки.
В №16 можно получить баллы за решение одного из пунктов: более сложного (2 балла) или более простого (1 балл).
В №17 баллы дают за верную математическую модель: два — за доведенное до конца решение с вычислительной ошибкой или недостаточным обоснованием, один — за не доведенное до конца решение.
В №18 три балла можно получить, если назвать два верных решения (и два неверных или недостаточно их обосновать), два балла за одно верное решение и один балл за верный ход мысли.
В №19 три балла дадут за три верных ответа, два — за два, один — за один (с обоснованием, если решение легкое).
Как решать вторую часть ЕГЭ по профильной математике
Вторая часть профильной математики ЕГЭ требует углубленных знаний в области дисциплины. При этом, каждый номер направлен на отработку каких-то конкретных знаний и навыков. Поэтому готовиться стоит к каждому номеру отдельно.
Задание 9
Задание №9 — это проверка простейших вычислений, для которых необходимо знать свойства логарифмов, тригонометрических функций, корней и степеней. Чтобы решить этот номер, можно воспользоваться приложенным к КИМ списком формул. Заранее стоит научиться выводить из них другие полезные формулы, это избавит от лишнего заучивания и поможет подготовиться к решению более сложных задач.
Задание 10
Вторая часть профильной математики ЕГЭ включает также задачу прикладного характера с формулой для ее решения. Нужно проследить, чтобы все значения измерялись однотипно (все время в секундах, например), а переменные представлялись в общем виде. Также лучше попробовать сократить выражение, если это возможно: так можно исключить вычислительную ошибку при подставлении.
Обязательно следует перепроверять свое решение.
Задание 11
В №11 может встретиться задача на один из шести типов. Решение любой из этих типов задач начинается с составления уравнения: искомая величина — Х. Оно чаще всего выходит линейным или квадратным. Для составления уравнения стоит пользоваться основными формулами: пути, работы и концентрации.
Задание 12
Для подготовки к заданию на точки экстремумов необходимо изучить таблицу основных производных и их графики, а также их свойства. Помимо этого, стоит попрактиковаться в нахождении нулей производных. Они помогут определить все точки экстремумов, из которых можно будет найти наибольшее и наименьшее значения функций.
Задание 13
Задание № 13, с которого начинается настоящая (с проверкой решения) вторая часть профильной математики ЕГЭ, проверяет умение выпускников ориентироваться в тригонометрии. Чтобы выполнить этот номер на максимум, необходимо, во-первых, найти ОДЗ, а во-вторых, с ее учетом решить полученное уравнение. Для этого может пригодится огромное количество формул и свойств, запомнить которые поможет мнемотехника. Так, одним из полезный упражнений на запоминание будет правило лошади: если она качает головой по вертикали, получается кивок — «да», поэтому вдоль оси ординат функция меняется; а вот качание головой по горизонтали, это «нет», функция не меняется.
Задание 14
№14 содержит два задания: на доказательство и вычисление. С первым могут помочь теорема Фалеса и подобие треугольников, а в последнем очень выручают теоремы синусов и косинусов, Пифагора, о трех перпендикулярах и тригонометрические функции в частности.
Задание 15
Неравенства задания №15 решаются благодаря постоянности логарифмической функции. От изменчивого основания можно избавиться, если перейти к новому постоянному основанию. Отдельное внимание стоит уделить ОДЗ, которое может меняться.
При решении важно помнить про методы интервалов и рационализации, правила замены тригонометрических функций.
Задание 16
Лучше запомнить все теоремы, свойства и аксиомы, связанные с треугольниками, так как они содержатся в любой фигуре и, соответственно, будут полезны при решении любого номера, который содержит вторая часть профильной математики ЕГЭ. Также особое внимание в №16 следует уделить рисунку: он должен быть наглядным, содержать необходимые пометки. Это поможет в решении любой задачи по планиметрии.
Задание 17
Вторая часть профильной математики ЕГЭ под видом №17 может предложить три типа задач:
- вклад,
- кредит,
- оптимизация.
Для их решения следует постепенно преобразовывать каждое условие задачи в уравнение или его часть. При подготовке следует заранее ознакомиться со схемами кредитования (дифференцированные и аннуитетные платежи), к задаче на оптимизацию нужно будет попрактиковаться в работе с целевыми функциями с точками экстремумов.
Задание 18
Этот номер проверяет умение мыслить логически и составлять схему рассуждений. Каждая из задач под этим номером нестандартна, поэтому помочь в их решении может только регулярная практика по вариантам прошлых лет. Однако стоит отметить, что в задании допустимо и графическое решение: так, в уравнениях с двумя переменными часто прячутся фигуры, которые могут оказаться ответом на задание.
Задание 19
№19 — последний, который включает вторая часть профильной математики ЕГЭ. Это задание олимпиадного уровня, поэтому оно требует нестандартного мышления. Для подготовки к нему можно изучить признаки делимости чисел (четное окончание как признак деления на «2» — это недостаточно для экзамена), а также формулы арифметической и геометрической прогрессий. Отлично помогут также решение заданий из вариантов прошлых лет, разборы олимпиадных заданий похожего типа.
Таким образом, видно, что вторая часть профильной математики ЕГЭ — это действительно сложные задачи, решить которые под силу не каждому выпускнику. Поэтому для того, чтобы сдать экзамен на 85+ баллов, необходимо усердно готовиться.
ЕГЭ по профильной математике необходимо сдавать тем выпускникам, которые планируют поступить в вуз на специальность, связанную с точными науками. Корректность решения профильной математики может влиять не только на зачисление в университет – от результатов экзамена зависит выдача красного аттестата, добавляющего абитуриентам до 10 дополнительных баллов. Именно поэтому так важны грамотные методы подготовки к ЕГЭ, охватывающие все типы заданий.
Содержание
Структура второй части экзамена по профильной математике
Вторая часть ЕГЭ по профильной математике состоит из 7 заданий. Решения всех задач обязательно должны быть развернутыми, чтобы эксперты смогли отследить ход мыслей экзаменуемого и проверить работу на соответствие всем критериям.
Уровень сложности заданий во второй части ЕГЭ по профильной математике:
- Задачи 12-16 – повышенный;
- Задачи 17-18 – высокий.
Максимальный первичный балл за экзамен – 31, 20 из которых составляет вторая часть.
Особенности оценивания заданий, максимальные баллы за верное решение:
- Задание 12 – два балла;
- Задача 13 – три балла;
- Задание 14 – два балла;
- Задача 15 – два балла;
- Задание 16 – три балла;
- Задача 17 – четыре балла;
- Задание 18 – четыре балла.
Что нужно знать и уметь решать, чтобы сдать ЕГЭ по профильной математике? Особенности, требования, которые можно обнаружить в документах ФИПИ
- Решение уравнений и неравенств;
- Методы работы с математическими моделями;
- Решение задач с геометрическими фигурами (планиметрия и стереометрия);
- Методы работы с точками координат;
- Методы работы с векторами;
- Решение выражений с вычислениями и преобразованиями;
- Решение заданий по функциям: степенные функции; показательные функции; логарифмические функции; тригонометрические функции; обратные тригонометрические функции.
Регулярные курсы по подготовке к олимпиадам и ЕГЭ
Поступаем в вуз мечты без проблем!
В части номер два графики функций отсутствуют, но их трижды можно встретить в тесте:
- Номер 6 – найти количество точек на графике функции;
- Номер 9 – найти на графике функций определенное значение, учитывая отмеченные точки;
- Номер 11 – найти наименьшее/наибольшее значение функции на отрезке.
Типы заданий во второй части ЕГЭ по профильной математике
❗️Особенности❗️
Для получения максимальных баллов нужно решить уравнение, а также найти его корни, принадлежащие определенному отрезку.
Какие виды уравнений №12 могут встретиться в ЕГЭ в части номер два:
- Рациональные уравнения;
- Иррациональные уравнения;
- Логарифмические уравнения;
- Показательные уравнения;
- Тригонометрические уравнения.
❗️Особенности❗️
Стереометрическая задача включает в себя два пункта, первым из которых всегда идет доказательство. Во второй части вопроса можно обнаружить разные формулировки заданий.
Что может требоваться в пункте «б»:
- Расстояние между прямыми и плоскостями;
- Расстояние от точки до прямой;
- Расстояние от точки до плоскости;
- Периметр или площадь сечения многогранников;
- Объемы многогранников;
- Углы: угол между плоскостями; угол между прямой и плоскостью; угол между скрещивающимися прямыми.
❗️Особенности❗️
В данном задании нужно найти решение неравенства, а также подробно расписать метод выполнения.
Какие виды неравенств могут встретиться в части номер два:
- Рациональные неравенства;
- Неравенства, содержащие радикалы;
- Показательные неравенства;
- Логарифмические неравенства;
- Неравенства с логарифмами по переменному основанию;
- Неравенства с модулем.
❗️Особенности❗️
Во второй части ЕГЭ по профильной математике встречаются задачи разного рода, например, задачи на оптимальный выбор, вклады, а также кредиты.
❗️Особенности❗️
В основе 16 номера заложена задача по планиметрии, в которой могут попасться многоугольники, окружности, окружности с треугольниками, окружности с четырехугольниками.
Задание состоит из двух подпунктов: в первом нужно расписать доказательство, во втором требуется найти отношение, длину, радиус, площадь, сумму квадратов, расстояние.
❗️Особенности❗️
№17 в ЕГЭ по профильной математике – задача, в которой нужно найти значение параметра.
Какие типы задач могут встретиться:
- Уравнения с параметром;
- Неравенства с параметром;
- Системы с параметром;
- Расположение корней квадратного трехчлена;
- Координаты;
- Функции, зависящие от параметра.
❗️Особенности❗️
Последная задача во второй части ЕГЭ по профильной математике – одно из самых сложных заданий, с которым школьники справляются реже всего. В №18 3 подпункта, влияющих на итоговые баллы. Чтобы получить максимальные 4 балла, необходимо дать развернутый ответ на каждый вопрос.
Типы задач, которые нужно уметь решать:
- Числа и их свойства;
- Числовые наборы на карточках и досках;
- Последовательности и прогрессии;
- Сюжетные задачи.
План подготовки к ЕГЭ по профильной математике
Оптимальное время для подготовки к ЕГЭ по профильной математике – 2 года. Чтобы сдать экзамен на высокие баллы и решить всю часть номер два, потребуется знание целых блоков теории по алгебре и геометрии. Но одной теорией ограничиться нельзя – нужна регулярная практика с помощью решения демоверсий и заданий прошлых лет. И чем меньше времени будет до начала ЕГЭ, тем больше усилий придется приложить, чтобы побороть вторую часть.
Иногда написание экзамена по профильной математике становится вынужденной мерой – вузы в начале учебного года меняют требования к абитуриентам, включая «профиль» в список обязательных предметов для зачисления.
За год возможно освоить алгебру, планиметрию, стереометрию, научиться применять формулы, выучить все свойства и признаки, усвоить алгоритмы решения задач, если готовиться к ЕГЭ под руководством опытных преподавателей.
Советы по подготовке к ЕГЭ по профильной математике
Совет №1. При решении заданий всегда обращайтесь к формулам
Формулы значительно облегчают процесс нахождения ответа, убирая лишние действия, требующие длительных сложных расчетов. На ЕГЭ с собой нельзя взять справочник с формулами (можно проносить только два типа канцелярских принадлежностей – черные гелевые ручки и линейку), поэтому придется запоминать все в ходе подготовки.
Что пригодится, чтобы решить весь ЕГЭ, включая часть номер два:
- Формулы сокращенного умножения;
- Формулы прогрессии (арифметической, а также геометрической);
- Свойства степеней;
- Свойства логарифмов;
- Формулы для нахождения вероятности;
- Тригонометрические формулы (двойного угла, суммы и разности аргументов, а также другие тригонометрические сведения);
- Формулы по геометрии;
- Производные;
- Первообразные.
Совет №2. Для исследования функций и геометрических фигур требуются качественные рисунки
Функции и фигуры обязательно должны быть изображены разборчиво и отражать все условия задачи. Рисунки не нужно делать мелкими – большая картинка дает больше пространства для внесения записей. Качественная передача функций, точек и геометрических фигур помогает проецировать информацию в мозг для поиска решений.
Совет №3. Выучите свойства фигур и формулы нахождения площадей, объемов, периметров
Зачастую трудности возникают из-за путаницы в элементах и свойствах фигур, что осложняет решения и подстановку чисел в формулы. В ходе подготовки нужно выучить и понять теорию, которая требуется на практике.
Также запомните 3 пункта – виды углов при параллельных прямых и секущей:
- Накрест лежащие углы;
- Соответственные углы;
- Односторонние углы.
Как поступить в МФТИ?
Стать студентом топового технического вуза – реально!
Совет №4. Разбивайте все задачи на пункты
После прочтения задачи выписывайте все вопросы, на которые требуется дать ответ. Ставьте галочки напротив пунктов по мере выполнения. Такая тактика может очень выручить, предотвратив невнимательность и забывчивость при решении.
Совет №5. Можно (и даже нужно!) решать олимпиадные задачи
Вторая часть ЕГЭ по математике по силам тем ученикам, которые в ходе подготовки решили сотни задач, развивающих логику. Вопросы повышенной сложности в экзамене можно сопоставить с заданиями из олимпиад, поэтому претендентам на высокие баллы нужно обязательно прибегать к сборникам с задачами из математических интеллектуальных соревнований.
Пособия для подготовки к ЕГЭ по профильной математике
- А. Р. Рязановский «Математика. Профильный уровень. Тематический тренажер. Теория вероятностей и элементы статистики. ЕГЭ-2023»
- С. А. Шестаков «ЕГЭ-2023. Математика. Профильный уровень. 30 типовых вариантов экзаменационных заданий»
- В. В. Митрошин «ЕГЭ-2023. Математика. Профильный уровень. Тренировочные варианты»
Выводы
Часть номер два в ЕГЭ по профильной математике могут решить только те выпускники, которые усердно готовились к экзаменам, используя эффективные подходы к пониманию непростой науки, а также применяя различные методы выполнения задач.
Поделиться в социальных сетях
Какое задание из второй части вам дается сложнее всего?
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Читайте также
Татьяна Петрова,
аспирантка механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова,
преподаватель математики учебного центра Challenge
Задание № 9
Что требуется
Выполнить вычисления и преобразования.
Особенности
Это задача на вычисление значения числового или буквенного выражения. Здесь достаточно уметь выполнять действия с числами и знать определение и простейшие свойства степеней с рациональным показателем, тригонометрических функций, корней n-степени и логарифмов.
Советы
Нужно знать базовые формулы и уметь их применять.
Задание № 10
Что требуется
Решить задачу с прикладным содержанием.
Особенности
Здесь предлагаются задачи прикладного характера, связанные с такими областями науки, как физика, химия, биология. В этом задании можно встретить все типы уравнений и неравенств: линейные, квадратные, степенные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические. Ваша задача — выразить требуемую величину из заданной формулы.
Советы
Внимательно читайте условие и старайтесь его понять. Следите, чтобы единицы измерения были приведены к одному виду. Выражайте ту или иную переменную в общем виде и только потом подставляйте числовые значения. Не спешите считать в лоб, пробуйте сокращать.
Задание № 11
Что требуется
Решить текстовую задачу.
Особенности
Всего существует шесть типов текстовых задач. Они могут быть на движение, на совместную работу, на проценты, на смеси, растворы и сплавы, на прогрессии, на оптимальный выбор и целые числа. Соответственно, нужно знать основные законы и формулы для каждого типа. Традиционная текстовая задача сводится к составлению уравнения и его решению.
| Задачи на движение | (S = V cdot t) |
| Задачи на совместную работу | (A = p cdot t) |
| Задачи на смеси, растворы и сплавы | (C = frac{V_{1}}{ V} cdot 100%) |
Советы
Обратите внимание, что формулы в задачах на движение и на работу очень похожи. Производительность — это аналог скорости. Для задач на смеси и растворы не забывайте формулу концентрации. В качестве неизвестной выбирайте искомую величину. Составленное уравнение будет рациональным и в основном сводится к линейному или квадратному.
Задание № 12
Что требуется
Найти наибольшее или наименьшее значение функции.
Особенности
Здесь требуется уметь находить производную функции, а также исследовать функцию с помощью производной. Вопрос может быть двух типов: найти точку минимума/максимума функции или найти наибольшее/наименьшее значение функции. Многие школьники не различают этих понятий, а ведь ответ будет совершенно разный. Еще в этом задании мы сталкиваемся с задачей нахождения минимума/максимума на отрезке или на всей действительной прямой. Если вас ограничивают отрезком, то не забывайте находить значения на его концах и сравнивать их с локальными минимумами/максимумами функции на отрезке.
Советы
Выучите базовую таблицу производных, а также формулы производной произведения, частного и композиции функций. Помните, что если производная положительна, то функция растет, если производная отрицательна — функция убывает. Когда производная меняет свой знак с плюса на минус, это значит, что мы попали в точку максимума. Если производная поменяла свой знак с минуса на плюс, значит, мы попали в точку минимума.
Задание № 13
Что требуется
Решить тригонометрическое, рациональное, показательное, логарифмическое уравнение, уравнение с радикалом или смешанное уравнение, содержащее одновременно логарифмы, модули, радикалы.
Особенности
Для решения любого уравнения существует два основных правила. Во-первых, решение всегда должно начинаться с нахождения ОДЗ — области допустимых значений, то есть всех значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Во-вторых, нужно помнить основные методы решения уравнений и уметь применять их. Как правило, решение данной задачи требует замены, позволяющей свести уравнение к квадратному.
Советы
Для решения тригонометрических уравнений важно знать формулы приведения и знаки тригонометрических функций на четвертях окружности. Формулы приведения позволяют упростить вычисления, привести сложные аргументы тригонометрических функций к аргументам первой четверти. Помните про мнемоническое правило («правило лошади»), которое позволит вам не заучивать все многообразие формул приведения: если вы откладываете угол от вертикальной оси, то «лошадь говорит вам „да“», то есть кивает головой вдоль оси ординат, тем самым вы меняете функцию. Если вы откладываете угол от горизонтальной оси, то «лошадь говорит вам „нет“», то есть кивает головой вдоль оси абсцисс, следовательно, приводимая функция не меняет своего названия (не забудьте про знак, он совпадает со знаком исходной функции!).
Задание № 14
Что требуется
Решить стереометрическую задачу.
Особенности
Это задача на построение сечения многогранника и нахождение его площади, а также на нахождение расстояний и углов в пространстве, нахождение объемов различных многогранников и круглых тел (цилиндр, конус, шар). Здесь нужно хорошо владеть формулировками аксиом и определений, уметь формулировать и доказывать теоремы, признаки, свойства, знать формулы площадей и объемов. Также в этом задании нужно понимать, что такое угол между прямыми, угол между скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью и угол между плоскостями (вспомните, что такое линейный угол двугранного угла).
Советы
В этой задаче, как правило, два пункта. В первом пункте нужно либо что-то построить, либо доказать. Для доказательства очень часто используются признаки подобия треугольников и теорема Фалеса. Во втором пункте нужно найти угол, расстояние или площадь. Вспомните основные формулы расстояний: расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя плоскостями. Вы должны знать основные тригонометрические функции, теорему синусов и косинусов, теорему Пифагора и теорему о трех перпендикулярах. Нужно уметь проводить дополнительные построения и владеть координатным и векторным методами.
Задание № 15
Что требуется
Решить тригонометрическое, рациональное, показательное, логарифмическое (в том числе с переменным основанием) неравенство, неравенство с радикалом, смешанное неравенство, содержащее одновременно логарифмы, модули, радикалы.
Особенности
Здесь необходимо свести сложное неравенство к простейшему. Часто для этого используются замены показательных и тригонометрических функций (не забывайте про ограничения!). Также нужно знать метод интервалов и метод рационализации для логарифмических, показательных неравенств и неравенств, содержащих модуль.
Советы
Метод решения логарифмических неравенств опирается на монотонность логарифмической функции. Помните, что если у логарифма переменное основание, то нужно рассматривать два случая: а) основание лежит в диапазоне от 0 до 1 (функция убывает), б) основание больше единицы (функция возрастает). Если основание переменное, то можно избавиться от перебора случаев, перейдя к новому, постоянному основанию.
В логарифмических неравенствах внимательно следите за областью допустимых значений, применяя формулы действий с логарифмами, она может как расширяться, так и сужаться. И если первую ситуацию легко исправить, то вторая приведет к потере решений, что недопустимо.
Задание № 16
Что требуется
Решить планиметрическую задачу.
Особенности
Под этим номером может быть два варианта задания. Первый вариант: в задаче два пункта — а и b. В пункте a требуется что-то доказать, в пункте b — что-то найти. Могу сказать, что чаще всего надо начинать решать эту задачу именно с пункта b, а уже решение этого пункта поможет доказать пункт а. Как правило, абитуриентам проще что-то найти, чем доказать.
Второй вариант: задача без подпунктов. Здесь чаще всего скрыт подводный камень: задача требует рассмотрения двух случаев и приводит к двум разным ответам. Например, в условии задачи сказано, что окружности касаются в точке A, но не сказано каким образом, внешним или внутренним. Часто бывает так, что выпускник рисует один рисунок и возможно даже находит правильный ответ. А второй случай он не рассматривает, в результате чего получает ровно половину баллов за это задание.
Советы
Необходимое условие для решения этой задачи — хорошее владение теоретическим материалом, например, из классического учебника по геометрии для 7-9 классов (Л.С. Атанасян). Необходимо знать формулировки аксиом и определений, уметь формулировать и доказывать теоремы, признаки, свойства и формулы. Изучите дополнительные методы: метод дополнительного построения, метод подобия, метод замены, метод введения вспомогательного неизвестного, метод удвоения медианы, метод вспомогательной окружности, метод площадей.
Также здесь важен рисунок. 80% успеха геометрической задачи — это правильно нарисованный рисунок. Сделайте большой, хороший, наглядный рисунок, не экономьте на нем место.
И последнее, лайфхак для абитуриента — для решения задач по планиметрии выучите пять формул площади треугольника: через высоту и основание, через две стороны и угол между ними, через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формулу Герона.
| Площадь треугольника через высоту и основание | (S = frac{1}{2}a cdot h_{a}) |
| Площадь треугольника через две стороны и угол между ними | (S = frac{1}{2}a cdot b cdot sin alpha) |
| Площадь треугольника через радиус вписанной окружности | (S = p cdot r), где (p = frac{a+b+c}{2}), (r) — радиус вписанной окружности |
| Площадь треугольника через радиус описанной окружности | (S = frac{a cdot b cdot c}{4R}), где (R) — радиус описанной окружности |
| Формула Герона | (S = {sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}), где (p = frac{a+b+c}{2}) |
Задание № 17
Что требуется
Решить текстовую задачу преимущественно экономического содержания на кредиты, вклады и оптимальный выбор.
Особенности
Задача на злобу дня, которая появилась на ЕГЭ только в последние годы. Задания на банковские проценты могут быть двух типов: задачи на проценты по вкладам (депозитам) и задачи на проценты по кредитам. Помимо них под этим номером на ЕГЭ могут дать задачу на оптимизацию производства товаров и услуг, в которой необходимо будет либо использовать графическую интерпретацию, либо решать аналитически с помощью производной, чтобы понять, как минимизировать расходы или максимизировать прибыль.
Советы
Внимательно читайте условие задачи, вникайте в процедуры выдачи кредита или открытия вклада, которые там описываются. Каждый пункт условия сразу переводите в уравнение. Таким образом вы получите уравнение или систему уравнений, которые вам останется только решить. Чтоб подготовиться, изучите основные схемы кредитования с дифференцированными и аннуитетными платежами. В задачах оптимизации нужно уметь работать с линейными/нелинейными целевыми функциями с целочисленными/нецелочисленными точками экстремумов.
Задание № 18
Что требуется
Решить уравнение или неравенство с параметрами, систему уравнений или неравенств с параметрами.
Особенности
Эти задачи сложно классифицировать и дать общий алгоритм решения, поскольку каждая из них является нестандартной, но можно изучить основные приемы и методы. Не забывайте про особенности функций: монотонность, непрерывность, четность/нечетность, ограниченность, инвариантность и т. д. Для того чтобы осилить задачу с параметром, необходимо произвести несложные, но последовательные рассуждения и составить логическую схему решения. Самое главное в этом задании — логика.
Советы
Чтобы подготовиться к заданиям с параметрами, я рекомендую решать задачи из учебников С.А. Шестакова «Задачи с параметрами», А.И. Козко и В.Г. Чирского «Задачи с параметрами для абитуриентов». Также хочется дать лайфхак для уравнений с двумя неизвестными: как правило, там спрятана геометрическая фигура, построй ее и получишь честное графическое решение.
Задание № 19
Что требуется
Решить задачу на числа и их свойства.
Особенности
Это самая сложная задача экзамена, олимпиадного уровня, она оценивается в четыре первичных балла. Тем не менее материал для ее решения школьники проходят еще в 6-8 классе. Задание требует хорошего логического мышления и математической культуры.
Советы
Повторите основные признаки делимости целых чисел, вспомните понятия «НОК/НОД», выучите формулы арифметической и геометрической прогрессии. «Прорешайте» типовые задания из сборника Г.И. Вольфсона и М.Я. Пратусевича «Арифметика и алгебра». Последние два задания (№ 18 и № 19) — это прямая заявка на 100 баллов.
Если вы участвуете в конкурсе от Максима Олеговича
— решайте задачи
в полном тестировании ЭГЭ с бланком ответов.
14. Задачи по стереометрии
1
Дана прямая четырехугольная призма (ABCDA_1B_1C_1D_1), основаниями которой являются равнобедренные трапеции (ABCD) и (A_1B_1C_1D_1) с основаниями (AD) и (BC) и (A_1D_1) и (B_1C_1) соответственно. Известно, что (AA_1=AD) и (BC=2AA_1), а диагонали каждого основания взаимно перпендикулярны.
а) Найдите сечение пирамиды плоскостью (MDN), где (M) – середина ребра (AA_1), (N) – середина ребра (CC_1) (то есть определите вид сечения и отношения, в которых вершины сечения делят ребра призмы).
б) Найдите угол между плоскостью (MDN) и плоскостью основания призмы.
Добавить задание в избранное
2
Решите неравенство
[begin{aligned}
log_{4}(x+5)^4cdotlog_{16}(x+4)^2+log_{2}dfrac{(x+4)^3}{x+5}-3>0.
end{aligned}]
(репетиционный ЕГЭ 2011)
Добавить задание в избранное
16. Задачи по планиметрии
3
Окружность, вписанная в треугольник (MNK), касается сторон (MN), (NK) и (MK) в точках (A), (B) и (C) соответственно.
а) Докажите, что (NB = dfrac{MN + NK — MK}{2}).
б) Найдите отношение (MA : AN), если известно, что (NB : NK = 1 : 3) и (angle MNK = 60^circ).
(ЕГЭ 2016, досрочная волна)
Добавить задание в избранное
17. Сложные задачи прикладного характера
4
Планируется открыть вклад в банке в размере (10) млн рублей на (4) года. В конце каждого года банк добавляет (10%) к той сумме, которая была на счете в банке на начало года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет счет на целое число (m) млн рублей. Найдите наименьшее значение (m), при котором банк за (4) года начислит на вклад более (7) млн рублей.
(резервный день, 2016)
Добавить задание в избранное
5
Найдите все значения (a), при каждом из которых система [begin{cases}
(a-1)x^2+2ax+a+4leqslant 0\
ax^2+2(a+1)x+a+1geqslant 0 end{cases}]
имеет единственное решение.
(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018)
Добавить задание в избранное
19. Задачи на теорию чисел
6
На доске были написаны несколько натуральных чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, разность которых делится на (5).
а) Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться (70), если изначально на доске по одному разу были написаны все натуральные числа от (27) до (38) включительно?
б) Могло ли на доске остаться ровно два числа, произведение которых оканчивается на цифру (6), если изначально на доске по одному разу были написаны квадраты целых чисел от (112) до (217) включительно?
в) Пусть известно, что на доске осталось ровно два числа, а изначально по одному разу были написаны квадраты целых чисел от (112) до (217) включительно. Какое наибольшее значение может иметь отношение оставшихся на доске чисел?
Добавить задание в избранное
Математика — обязательный для сдачи на ЕГЭ предмет, без которого не получишь аттестат. Это также один из самых сложных экзаменов для выпускников. Почти 8% сдающих в 2021 году не прошли минимальный порог, а количество высокобалльников составило лишь 2,4%.
Как повысить свои шансы на успешную сдачу ЕГЭ по математике и на каких заданиях легче набрать баллы, разбираем в этой статье вместе с преподавателем онлайн-школы Вебиум.
ЕГЭ по математике — обязательный предмет
ЕГЭ по математике — обязательный для сдачи предмет. В 2015 году его разделили на два уровня сложности — базовый и профильный. Это упростило жизнь выпускникам, которым не нужна математика для поступления в вуз. В основном, ЕГЭ по базовой математике сдают те, кто идёт в медицинские вузы или на некоторые гуманитарные специальности: рекламу, юриспруденцию, издательское дело, остальные сдают профиль.
Чтобы получить аттестат, нужно успешно сдать ЕГЭ либо по профильной математике, либо по базовой. Но выбрать профиль и базу «для подстраховки» нельзя: с 2018 года запретили сдавать оба уровня.
В 2022 году в ЕГЭ по математике также появились изменения, о них подробно рассказали в нашей статье.
Базовая математика: структура экзамена
В базовой математике всего 21 задание, из них 16 — по алгебре и началам анализа, пять — по геометрии. За каждое можно получить 1 балл. Этот ЕГЭ пишут 3 часа.
Это единственный экзамен, результат которого переводится не в 100-балльную систему, а в оценки по 5-балльной шкале. Для получения аттестата нужно набрать семь баллов.
Подготовьтесь к базовой математике на 5 за шесть недель с нашим спецкурсом.
Профильная математика: структура экзамена
Количество заданий в ЕГЭ по профильной математике — 18. Их делят на три блока: восемь заданий по алгебре и началам анализа, четыре — по геометрии и шесть — по реальной математике.
При этом номеров базового уровня сложности шесть, повышенного — десять, высокого — два. Время на их выполнение — 3 часа 55 минут.
Список тем, которые нужно знать для экзамена, собрали в нашей шпаргалке. Также рекомендуем посмотреть разбор демоверсии ЕГЭ 2022 по профильной математике.
Для получения аттестата нужно преодолеть минимальный порог в 27 вторичных баллов — то есть решить шесть заданий тестовой части.
Есть и особенности: сдать ЕГЭ по профильной математике на 100 баллов вы можете, даже если допустите ошибку. Дело в том, что первичный балл, которому соответствуют 100 вторичных баллов, — 30. Но максимальное количество вторичных баллов, которое вы можете получить, — 31, то есть у вас есть запас в 1 балл.
Перевод баллов: сколько я получу, если решу N заданий
Если вы решите всю первую часть без единой ошибки, то получите 11 первичных баллов. Согласно шкале перевода, это соответствует 56 вторичным баллам по 100-балльной системе.
Чтобы получить 60+ баллов (62–68), вам нужно суммарно с верно решённой тестовой частью набрать ещё 1–2 первичных балла соответственно. Набор задач может быть таким: вся первая часть + 12 или 14 задание.
Вы можете решить первую часть с двумя ошибками — тогда нужно будет выполнить 12 и 14 номер на максимальный балл или суммарно потерять в них не более одного балла.
Если вы решите верно всю первую часть, а также 12 и 14 задания, то сдадите ЕГЭ по профилю на 72 вторичных балла. Добавив к этому набору задачу по финансовой математике, вы получите 76 вторичных баллов.
Решив верно тестовую часть, 12,14,15 задания и задачу с параметром вы получите 80+ баллов. Вместо полностью правильной 17 задачи можно решить пункты а) и б) в 13 задании и пункт а) в 18 задании.
Простые задания в ЕГЭ по профильной математике
Несмотря на то, что профиль — достаточно сложный экзамен, к которому нужно долго и упорно готовиться, в нём есть лёгкие задания. Это задачи из первой части КИМа.
Задание 1
Это задание на решение простейших уравнений. Здесь нужны базовые знания в работе с линейными, квадратными, показательными, логарифмическими уравнениями. Если повезёт, то нужно будет всего лишь разделить одно число на другое.
Задание 2
Здесь встречаются простейшие задачи на теорию вероятности, для решения которых нужна одна формула: число благоприятных событий разделить на количество всех событий. Подробнее об этом — в шпаргалке по теории вероятности. Также можно пройти бесплатный курс по этой теме.
Задание 4
Задача проверяет ваше умение выполнять простейшие вычисления и преобразования. Вы должны понимать, как работать с дробями, иррациональными, степенными, логарифмическими, тригонометрическими выражениями, а потом вычислять их значение, подставив числа.
Освежить в памяти тему логарифмов и степеней поможет наша шпаргалка, а тему тригонометрических преобразований — статья с основными формулами.
Задание 7
Это задача с прикладным содержанием. Здесь от вас требуется лишь умение верно считать и подставлять значение в формулу, которая даётся в условии.
Задания по геометрии из первой части
Планиметрия и стереометрия — достаточно пугающие разделы для большинства выпускников, но подождите паниковать: справиться с задачами первой части под силу каждому. Вы должны знать лишь основные свойства и формулы площадей плоских фигур — треугольников, параллелограммов, трапеций, разбираться в центральных и вписанных углах и знать основные свойства и формулы площадей объёмных тел — параллелепипедов, призм, конусов, шаров, цилиндров, пирамид.
Основные лайфхаки по решению тестовой части мы собрали в этой статье.
Самые сложные задания в ЕГЭ по профильной математике
Чтобы гарантированно сдать ЕГЭ по профильной математике на 80+ баллов, необходимо решать не только первую часть, уравнение из 12 задания и неравенство из 14, но и более сложные задания: стереометрию, планиметрию, задачу с параметром и олимпиадную задачу на свойства чисел.
Забудьте про «Либо всё, либо ничего» — на ЕГЭ по математике так не работает. Вы должны бороться за каждый балл: записать половину решения с идеей, которая пришла вам в голову за пять минут до конца и кажется вам глупой, или сделать только пункт А) в задаче. Возможно, именно эти драгоценные баллы помогут вам с поступлением.
Сложная стереометрия (13 задание)
Это задача даётся, как правило, легче, чем задание на сложную планиметрию, но не всё так просто. Не стоит сразу решать задания ЕГЭ, если у вас есть пробелы в стереометрии. Перед этим повторите необходимый объём теоретического материала — свойства объёмных фигур, теоремы, научитесь строить сечения, находить расстояние между прямыми и плоскостями или от точки до прямой и до плоскости, находить углы: между плоскостями, между прямой и плоскостью, между скрещивающимися прямыми. И только потом приступайте к задачам, начиная с самых простых. Постепенно вы научитесь применять теорию и будете видеть случаи, когда можно использовать ту или иную теорему.
Ключ к успеху в том, чтобы перестать думать, что геометрия вам не по силам. Начните с простых заданий, дайте себе время, чтобы подумать над задачей — вы можете вернуться к ней даже через день. Поверьте, регулярный труд даст свои плоды через некоторое время.
Сложная планиметрия (16 задание)
В этой задаче, как и в предыдущей, не стоит сразу открывать типовые варианты — скорее всего, вы подумаете, что это очень сложно, и запал пропадёт. Помимо базовых свойств и теорем, обратите внимания на «экзотику» — теоремы, которые вы, скорее всего, не встречали в школьных учебниках. Это, например, теоремы Менелая или Чевы. Больше теорем вы найдёте в нашей шпаргалке.
Не игнорируйте пункт на доказательство: он может быть простым и подарить драгоценный балл. Однако если вы решили пункт б), но не притронулись к а) — вы все равно получите балл за него.
Задача с параметром (17 задание)
То, что пугает выпускников больше, чем геометрия. За это задание дают четыре первичных балла — столько же вы получите только за последнюю олимпиадную задачу, но решают его только 2% сдающих ЕГЭ по профильной математике.
К сожалению, в школе это задание зачастую не объясняют, поэтому вам придётся изучать это самому или на курсах.
Начните с повторения элементарных функций, далее — с равносильных преобразований неравенств и их систем. Поймите, при каких ограничениях параметра вы можете выполнить определённое преобразование. Идеальный вариант для практики — начать с заданий вида «Для каждого значения параметра решить…»
После этого начните подробнее знакомиться с аналитическим методом решения задач с параметром: познакомьтесь с заданиями вида, например, «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет N решений».
Теперь приступайте к изучению графического метода решения. Для этого обязательно повторите графики, уравнение прямой и окружности, области определения и значения функции, чётность, периодичность, параллельный перенос.
Пройдите спецкурс по параметрам от Вебиума, чтобы разложить эту тему по полочкам
Олимпиадная задача на свойства чисел (18 задание)
За верное решение этого номера вы получите четыре первичных балла. Но здесь нужно пробовать ухватить и один балл — иногда это может быть достаточно легко.
Что нужно знать? Теорию чисел, их свойства, признаки делимости чисел, прогрессии — арифметическую и геометрическую, среднее арифметическое. Когда вы освоите более простые задания, можно изучить метод кругов Эйлера, метод математической индукции и принцип Дирихле.
Как получить 1 балл? Традиционно этот номер содержит в себе три пункта — а), б) и в). В первом пункте обычно предлагается решить несложную задачу, где вы должны привести пример. Обычно их существует несколько, но вы можете привести только один. Если пример будет верным, то вы получите желанный балл. Вот, как может выглядеть задание:
На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 7.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 231?
Решение:
а) Да, может. Числа 27, 57 и 147 дают в сумме 231.
Как видите, ничего сверхъестественного от вас в первом пункте не требуют, и получить 1 первичный балл достаточно легко.
Пункт б) тоже стоит 1 первичный балл, но решить его будет немного сложнее. Зачастую вопрос этого пункта очень похож на вопрос пункта а), но есть исключение: чаще всего пример привести невозможно, и это нужно доказать. Делают это обычно «от противного»
За верное решение пункта в) вы получите 2 первичных балла, но это уже достаточно высокий уровень сложности. Чаще всего в задании требуют найти минимальное значение какой-нибудь величины. К решению пункта в) стоит приступать, когда предыдущие начнут стабильно получаться.
Как готовиться, если осталось два месяца
Начинать подготовку нужно с составления плана занятий. Самостоятельно сделать это достаточно сложно, но вот основные рекомендации:
- Нарешайте тестовую часть так, чтобы стабильно не допускать в ней ошибок. Её верное решение даст вам 56 вторичных баллов, в то время как потерю придётся компенсировать сложными заданиями второй части.
- Вы должны уметь решать все виды 12 и 14 заданий, а также задачи на финансовую математику. Не стоит забывать про 2018 год: составители добавили новую задачу на кредиты, и её смогли решить только те, кто понимал суть, а не следовал алгоритму.
- Когда вы перейдёте к подготовке ко второй части, рекомендуем раз в 3–5 дней прорешивать полный вариант. Иначе вы рискуете забыть что-нибудь простое, уделяя время только сложному.
- Используйте сборники и пособия для подготовки к ЕГЭ по профильной математике. Анализ ресурсов и подборку лучших мы сделали в этой статье.
- Изучите типичные ошибки, которые допускают участники ЕГЭ, — вы научитесь видеть недочёты и совершите их с меньшей вероятностью.
Подготовка будет эффективной, если ваши работы будет проверять человек с опытом — иногда верный ответ не даёт максимальный балл за задание. Именно поэтому мы запустили спецкурсы с проверкой от наставников по заданию 14 и по заданию 12.
На курсах Вебиума мы поможем вам подготовиться к ЕГЭ на максимальный балл: разберём актуальные задания, ты получишь обратную связь и ответы на вопросы по домашкам и закроешь пробелы во всех темах.
Какие задания реже всего выполняют на ЕГЭ по профилю
Мы проанализировали статистику с официального сайта ФИПИ за 2021 год и составили рейтинг заданий в соответствии со средним процентов выполнения. Номера заданий приведены согласно новой демоверсии ЕГЭ по профильной математике.
| Номер задания | Тема | Средний процент выполнения, % |
| 1 | Простейшие уравнения и неравенства | 95,0% |
| 2 | Теория вероятности | 92,9% |
| 7 | Задачи с прикладным содержанием | 78,3% |
| 3 | Планиметрия | 70,6% |
| 4 | Вычисления и преобразования | 68,8% |
| 5 | Стереометрия | 66,3% |
| 6 | Производная и первообразная | 58,8% |
| 11 | Наибольшее и наименьшее значение функции | 55,5% |
| 8 | Текстовые задачи | 53,8% |
| 12 | Уравнения | 36,1% |
| 14 | Неравенства | 22,3% |
| 16 | Экономическая задача | 19,0% |
| 18 | Задача на теорию чисел | 11,4% |
| 13 | Сложная стереометрия | 7,20% |
| 15 | Сложная планиметрия | 3,50% |
| 17 | Задача с параметром | 2,00% |
Как сдать ЕГЭ по математике на 80+ баллов: советы от Эйджея Гаусса
Преподаватель математики в Вебиуме Эйджей Гаусс поделился советами, как правильно готовиться к ЕГЭ по профилю.
- Внимательно изучите критерии заданий второй части, особенно связанные с оформлением! Даже если вам кто-то сказал, что именно в вашей области «вот это можно не писать», — это не гарантия того, что эксперт, проверяющий вашу работу, закроет глаза на мелкие нарушения.
- Запаситесь терпением и готовьте свои нервы к атмосфере экзамена. Советую заранее спланировать, в каком порядке вы будете решать задания: это поможет избежать паники в стрессовой ситуации.
- Не забывайте решать пробники. Так вы поймёте, сколько времени вам требуется для решения определённого типа заданий, что вызывает наибольшие трудности и какие номера вы точно должны успеть решить. В стрессовых ситуациях время течёт иначе, поэтому будьте готовы к любому развитию событий — в этом поможет регулярная практика.
Решайте бесплатные варианты ЕГЭ по профильной математике на сайте Вебиума, чтобы набить руку.
- Осознайте важную вещь: прорешать все задания, пробники, просмотреть все видео-разборы, которые вы сохранили на будущее, не получится! Сколько бы вы ни готовились, не опирайтесь на паттерны заданий и внимательно читайте условия. Даже в таком экзамене, как ЕГЭ, важна изворотливость ума и умение применять все свои знания. Шаблонно решать номера не получится, и пытаться не стоит — кто знает, что взбредёт составителям в голову. Именно поэтому нужно понимать логику решения, а не заучивать алгоритм.
- Сохраните здравомыслие. Можно каждый месяц говорить себе: «О ужас! Осталось N дней до экзамена, а я ничего не знаю и ничего не сдам!» Однако задайте себе вопрос: чем паника и необоснованное недовольство собой помогут вам сдать ЕГЭ по профильной математике? Каждый день времени становится меньше, но ведь в сутках целых 24 часа! Стоит ли расстраиваться и накручивать себя из-за потерянной минуты? Конечно же, нет. Подготовиться с нуля можно, даже начав в апреле. Главное — верить в себя, в свои силы и прилагать усилия, чтобы достичь результата.
- Не доводите себя до изнеможения! Находясь в постоянном напряжении, ваш мозг будет перегружаться. Это может привести к сильной усталости, нежеланию что-либо делать и даже к эмоциональному выгоранию. О том, как с этим справиться, рассказывали в этой статье.
- Когда вы находитесь на пике стрессовой активности, у вас снижаются концентрация и внимание: даже простые задания перестанут получаться. А это ещё больше способствует самобичеванию. Так что не забывайте отдыхать и проводить время не только с учебниками.
Для тех, кто сдаёт ЕГЭ по профильной математике и не знает, куда поступать, мы сделали подборки из десяти топовых технических вузов России и пяти лучших социально-экономических вузов России.
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!
Как сдать ЕГЭ по профильному уровню
Ошибки в ЕГЭ по математике
Задания 13-19
Как решить задание 13
Решение уравнений. Отбор корней.
2 балла
Здесь вам необходимо решить уравнение и часто требуется отобрать корни, входящие в указанные промежуток. Уравнение может быть любого типа: тригонометрическое, логарифмическое, показательное, рациональное или смешанного типа, содержащего одновременно степени, логарифмы и тригонометрические функции. Но чаще всего это уравнения на тригонометрию. Это задание требуется хорошо оформить.
Что нужно знать в задании №13:
-
Решение уравнения нужно начинать с нахождения ОДЗ.
-
Нужно хорошо знать тригонометрические формулы: формулы приведения, двойного угла, основное тригонометрическое тождество, нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус.
-
Знание основных формул для преобразования показательных функций и логарифмов.
-
Умение использовать основные способы решения уравнений. Очень часто нужно использовать замену переменной, сводящей уравнение к квадратному.
-
Отбор корней. Рекомендуем делать отбор при помощи двойного неравенства — долго, но надежно. Если же вы решаете через единичную окружность, то внимательно отмечайте точки и промежутки на окружности, за неправильные промежутки могут снять баллы.
Частые ошибки в задании 13:
-
Вычислительные ошибки, проверяйте свое решение несколько раз.
-
Неумение решать простейшие тригонометрические уравнения.
-
Ошибки при определении знака тригонометрической функции. При использовании формул приведения помните про так называемое «правило лошади».
-
Ошибки при проведении обратной замены.
-
Отбор корней. Без достаточной аргументации этот пункт могут не засчитать.
Процент выполнения задания 13:
Максимальный балл – 23%
Ненулевой балл – 6%
Как решить задание 14 по стереометрии
Задача по стереометрии
2 балла
Считается задачей повышенного уровня сложности. Обычно полностью ее решает очень малый процент экзаменуемых.
Здесь вы можете столкнуться с любыми темами, входящими в курс по стереометрии 10-11 класса: построение сечений, доказательства, нахождение углов, расстояний, площадей и объемов.
Как правило, задача состоит из двух пунктов, за каждый из которых дают 1 балл. Важно помнить, что если вы не можете решить пункт под буквой А (это обычно доказательство), то вы можете использовать его при решении пункта под буквой Б, за это вам дадут 1 балл.
При решении задачи по стереометрии вам поможет отличное знание теории, она подскажет, на что нужно обратить внимание. Например, если требуется доказать перпендикулярность прямой и плоскости, то нужно помнить, что прямая перпендикулярна плоскости тогда, когда перпендикулярная двум пересекающимся прямым в этой плоскости – значит нужно искать две пересекающиеся прямые, лежащие в указанной плоскости, и перпендикулярные исходной прямой.
Что нужно знать по стереометрии:
-
Определения, теоремы и свойства:
• Перпендикулярность и параллельность прямых, плоскостей, прямой и плоскости; расстояние;
• Расстояния между двумя точками, от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми;
• Угол между прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями; -
Площади и объемы. Обязательное знание всех формул площадей и объемов основных фигур.
-
Желательно знание метода координат. Большую часть задач по стереометрии можно решить при помощи этого метода. Он вычислительно достаточно трудоемкий, но часто его очень удобно использовать, как универсальный метод решения задания 14.
-
Знание основных методов нахождения расстояний и углов. Иногда очень удобно найти радиусы, длины сторон, углов через формулы площадей и объемов, применив для одной и той же фигуры, но разными способами.
Частые ошибки в задании 14:
-
В использовании метода координат. Нерациональный выбор системы координат, неверное нахождение координат точек.
-
Неумение грамотно доказывать.
-
Непонимание взаимосвязи геометрических элементов.
-
Ошибки при построении чертежа.
-
Логические ошибки. Например, «предположим, что две точки лежат в одной плоскости» — это нужно доказывать, а не предполагать.
Процент выполнения задания 14:
Максимальный балл – 0,53%
Ненулевой балл – 6,5%
Как решить неравенство в задании 15
Чаще всего можно встретить логарифмические или показательные неравенства. Но надо быть готовым и к рациональным неравенствам и неравенствам с модулем или тригонометрии, радикалам и к переменному основанию в логарифмах. Иногда бывают смешанные примеры, то есть, например, в одном неравенстве одновременно можно встретить показательную функцию и модули.
Обычно, чтобы решить 15-й номер нужно преобразовать исходное неравенство к более простому. Нужно избавиться от логарифмов, показательных функций, радикалов и т.д. Для этого очень часто используется метод замены переменной. Обязательно нужно хорошо владеть методом интервалов, без него неравенства решить проблематично. В показательных, логарифмических уравнениях и неравенствах с модулем вам может помочь метод рационализации.
Что нужно знать при решении неравенств:
-
Идеальное владение методом интервалов.
-
Метод рационализации. Особенно в случае переменного основания у логарифма или показательной функции.
-
Знание основных логарифмических, показательных и тригонометрических формул.
-
Нахождения ОДЗ. Внимательно следить за преобразованиями. Важно, чтобы ОДЗ не сужалось при применении формул.
-
Уметь раскрывать модуль и избавляться от радикала.
Частые ошибки при решении неравенств:
-
Неумение раскладывать на множители. В том числе многочлены третьей степени.
-
Ошибки при преобразованиях дробей и приведению к общему знаменателю.
-
Потеря промежутков при использовании метода интервалов.
-
Забывают поменять знак неравенства при умножении всего неравенства на минус единицу.
-
Незнание метода интервалов. В частности, учащиеся забывают знаменатель.
Процент выполнения задания 15:
Максимальный балл – 5%
Ненулевой балл – 15%
Как решить планиметрию в задании 16
Планиметрия
3 балла
Одна из самых сложных задач ЕГЭ по математике профильного уровня. Как правило, можно встретить два основных типа задачи по планиметрии:
Задача состоит из двух пунктов A и B, под A нужно что-то доказать, под B – что-то найти. Здесь важно помнить, что, если даже вы не смогли доказать пункт A, то можете решать пункт B, использую пункт A, как доказанный – за это вам дадут 1 балл. Иногда даже проще начинать решение с пункта B, школьникам обычно проще что-то найти, чем доказать.
И второй тип – это задачи с многовариантностью. Здесь нет разделения на пункты, и с первого взгляда, кажется, что дана одна цельная задача, но это не так. В условии может быть не сказано четко, что дано, и нужно рассмотреть все варианты. Например:
- не сказано какой стороны треугольника касается окружность;
- не дано внешним или внутренним образом касаются две окружности;
- не дано через какую именно вершину проходит прямая;
- точка делит сторону в каком-то отношении, и не сказано от какой вершины;
- дана касательная, и не сказано внешняя или внутренняя;
- даны стороны треугольника, но не сказано какие именно
Надо быть внимательным, если вы не заметите многовариантности, то получите половину баллов.
Что нужно знать, чтобы решить планиметрию:
-
Отличное знание теории (аксиомы, теоремы, свойства, признаки, формулы). Желательно уметь доказывать теоремы. Именно теория будет служить вам проводником и подсказывать, в каком направлении двигаться при решении задачи.
-
Знание основных методов решений задач по планиметрии. Метод площадей, удвоения медианы, вспомогательной окружности, подобия, введения вспомогательного неизвестного, замены.
-
Очень важно уметь качественно и грамотно нарисовать чертеж к задаче. Более 50% успеха – это именно чертеж.
-
Настоятельно рекомендуем выучить ВСЕ формулы нахождения площади треугольника.
-
Практика и еще раз практика. Чем больше вы решите задач по планиметрии до экзамена, тем больше у вас шансов. Геометрии учатся своими руками.
Частые ошибки при решении планиметрии:
-
Абсолютно неверное понимание логики доказательства задач по планиметрии.
-
Невнимательное чтение условия.
-
Ошибки при построении чертежа.
-
Пропуск шагов решения. Все выкладки должны быть строго доказаны, либо при помощи известной теории, с указанием ссылки, либо самостоятельным грамотным доказательством. Ничего нельзя предполагать или «очевидно видеть» из рисунка.
Процент выполнения задания 16:
Максимальный балл – 0,4%
Ненулевой балл – 1,5%
Как решить финансовую математику в задании 17
На наш взгляд третья по уровню сложности задача во второй части ЕГЭ. Здесь вам будет представлена экономическая текстовая задача, как правило, на вклады и кредиты, но может встретиться задача на оптимальный выбор. Для решения задачи на кредиты необходимо четкое понимание дифференцированных и аннуитететных платежей.
Обязательно нужно уметь выводить нужные формулы– ни в кое случае нельзя пользоваться готовыми формулами из учебников, все нужно самостоятельно выводить, а для этого нужно хорошо разбираться в алгоритме расчета обоих видов платежей. Кроме этого здесь часто встречается задача на кредиты не в классическом виде, а с добавлением каких-то нюансов – без умения выводить и понимания формул тут точно никуда.
В задачах на оптимальный выбор нужно хорошо уметь пользоваться графиками для анализа функций и считать достаточно сложные производные.
Что нужно знать в финансовой математике:
-
Что такое процент и как его считать.
-
Дифференцированные и аннуитетные платежи по кредиту.
-
Умение делать расчет выплат по кредиту по любой схеме выплат.
-
Уметь считать сумму членов арифметической прогрессии.
-
Для задач на оптимальный выбор – знание производной сложной функции.
Частые ошибки при решении задач по финансовой математике:
-
Невнимательное или неверное чтение условия.
-
Неправильная модель расчета.
-
Непонимание алгоритма выплат по кредиту.
-
Необоснованность выводов.
-
Самая частая ошибка – использование готовых формул!
-
Неумение считать сумму арифметической прогрессии.
-
Неумение брать производную (задача на оптимизацию).
Процент выполнения задания 17:
Максимальный балл – 7%
Ненулевой балл – 5%
Как решить параметр в задании 18
Еще одна очень сложная задача, ориентированная на школьников высокого уровня подготовки по математике.
Нужно решить уравнение, неравенство или систему с параметром. Как правило, задача сводится к более простому виду после преобразований – нужно искать закономерности. Существует несколько основных способов решения задач с параметром, и два основных это аналитический и графический методы. Часто бывает, что можно решить, используя любой из этих методов, но использование одного из них может быть неразумно в виду сложности вычислений. Поэтому нужно обязательно освоить оба, чтобы найти самый простой путь решения.
Для того, чтобы аналитически осилить это задание, необходимо уметь анализировать функцию: монотонность, четность, ограниченность, непрерывность и т.д. Уметь применять различные методы преобразования выражений, особенно замену переменной. Очень важно уметь проводить анализ квадратного многочлена — как выглядит парабола, куда направлены ветки, есть ли пересечения с осью абсцисс, расположение вершины, варианты расположения корней квадратного многочлена в зависимости от параметра.
Для графического метода нужно уметь хорошо строить графики различного уровня сложности. И увидеть, что в данном задание можно применить графический метод.
Самое главное – логика, построить правильную логическую цепочку рассуждений, применяя аналитические методы.
Что нужно знать, чтобы решить параметр:
-
Решение уравнений, неравенств, систем различного вида, на различные темы и разного уровня сложности.
-
Анализ функции. Монотонность, четность/нечетность, ограниченность, область определения, область значений.
-
Анализ квадратного многочлена.
-
Умение грамотно находить ОДЗ.
-
Метод геометрической интерпретации. Построение графиков
-
Вид уравнений всех стандартных функций: парабола, прямая, гипербола, окружность, корень и т.д.
Частые ошибки при решении параметра:
-
Отсутствие ограничений при замене переменной.
-
Неумение строить графики.
-
И самое главнное — большинство школьников просто не умеет решать задания такого уровня.
Процент выполнения задания 18:
Максимальный балл – 0,4%
Ненулевой балл – 2,6%
Как решить задание 19
Олимпиадная задача. Теория чисел
4 балла
Задание олимпиадного уровня, рассчитанное на учеников, учащихся в классах с углубленным и олимпиадным уклоном. Материал необходимый для решения этого номера проходят еще, начиная с 7го класса. Здесь недостаточно знаний формул и теории, задание рассчитано на определенное умение самостоятельно математически моделировать ситуацию. Вспомните, что такое НОК и НОД, разложение числе на десятки сотни и т.д., признаки делимости, четность/нечетность. Подготовка к этому номеру занимает достаточно много времени, и если вы планируете его решить на полный балл, то начните готовиться заранее.
19 задание, как правило, состоит из 3 пунктов. Пункты А и Б часто можно решить, даже не готовясь к 19 номеру — обычно там достаточно подобрать пример, подтверждающий или опровергающий высказывание. За каждый дают по 1 баллу. Пункт В значительно сложнее — здесь необходимо предоставить развернутое доказательство с длинной логической цепочкой рассуждений (2 балла). Настоятельно рекомендуем всегда пытаться решать 19 номер — пункты А и Б бывают очень легкими и очевидными.
Что нужно знать в задании 19:
-
Теория чисел. НОК, НОД, четность, нечетность, десятичная запись числа, признаки делимости.
-
Среднее арифметическое и среднее геометрическое.
-
Арифметическая и геометрическая прогрессии.
-
Различные методы решения уравнений.
Частые ошибки в задании 19:
-
Неверная логика рассуждений.
-
Пропуск логических шагов.
-
Ответы «Да», «Нет» без приведения обоснования.
Процент выполнения задания 19:
Максимальный балл – 0,8%
Ненулевой балл – 40%
Полезные ссылки на теорию
Основные ошибки, что нужно знать, статистика прошлых лет в первой части ЕГЭ по математике профильного уровня.
Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.
Теория для решения заданий 15 по финансовой математике. Аннуитетные и дифференцированные платежи, понятие сложного процента. Основные методы решения задач на проценты.
Как решать номер 18 (С6) из ЕГЭ по математике профильного уровня. Разбор основных методов и типов решения задач с параметром. Графический и аналитические методы.
Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.
Курсы эффективной подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике и физике. Занятия индивидуально и в группах по 2-4 человека. Преподаватели высшей категории. Прирост от обучения на 42 балла.
Задание 2 Профильного ЕГЭ по математике – это основы стереометрии. Это задачи на вычисление объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения.
Ничего сложного здесь нет. Все эти задачи доступны даже десятикласснику. И даже гуманитарию.
Как решать задания по стереометрии из первой части Профильного ЕГЭ?
Повторим формулы для вычисления объемов и площадей поверхности многогранников (призмы, пирамиды… ) и тел вращения (цилиндра, конуса и шара)
Проверим себя – умеем ли мы рисовать чертежи?
Посмотрим, как решаются простые задачи по стереометрии и задачи с секретами.
Запоминаем один из главных лайфхаков решения задач по стереометрии:
Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.
Если все линейные размеры объемного тела увеличить в k раз, то его площадь увеличится в 
раз, а объем в 
раз.
И решаем задачи. У нас все получится!
1. Во сколько раз увеличится площадь поверхности и объем куба, если его ребро увеличить в два раза?
Отношение площадей поверхности подобных тел равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов – кубу коэффициента подобия. При увеличении ребра в 2 раза площадь поверхности увеличится в 4 раза, а объем – в 8 раз.
2. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Плоскость, параллельная основанию, отсекает от конуса меньший конус, все линейные размеры которого в 3 раза меньше, чем у большого. Поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Она равна 2.
3. Объем пирамиды равен 10. Через середину высоты параллельно основанию пирамиды проведено сечение, которое является основанием меньшей пирамиды с той же вершиной. Найдите объем меньшей пирамиды.
Меньшая пирамида подобна большой, коэффициент подобия 
Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Поэтому объем меньшей пирамиды в 8 раз меньше объема исходной пирамиды. Он равен 
4. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.
Площадь основания пирамиды ЕАВС в 2 раза меньше, чем у пирамиды ABCDS. Высота пирамиды ЕАВС равна половине высоты пирамиды ABCDS. Значит, объем пирамиды ЕАВС в 4 раза меньше объема пирамиды ABCDS. Он равен 
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка E – середина ребра AB, боковое ребро SC равно 4, длина отрезка SE равна 
Найти объем пирамиды SABCD .
Найдем сторону основания пирамиды. По теореме Пифагора, для треугольника SAE получаем, что 
Соответственно, сторона основания пирамиды равна 
Если обозначить центр основания за H, то высоту пирамиды найдем по теореме Пифагора, для треугольника SHE – она равна 2.
Применяя формулу для объема пирамиды 
, получаем ответ: 16.
Многие задания №2 Профильного ЕГЭ по математике можно считать подготовительными – для того, чтобы научиться решать задачу 14 из второй части ЕГЭ.
Для решения некоторых из них стоит выучить основные определения и теоремы стереометрии. В общем, то, что входит в программу по стереометрии.
6. Стороны основания треугольной пирамиды равны 15, 16 и 17. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углами 45°. Найдите объем пирамиды.
Пусть точка О – проекция точки S на плоскость основания пирамиды. Прямоугольные треугольники АОS, ВОS, СОS равны (по общему катету ОS и острому углу). Значит, АО = ВО = СО. Точка О, равноудаленная от вершин основания, – это центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Тогда АО = ВО = СО = OS = R, где R – радиус этой окружности.
Радиус описанной окружности найдем по формуле
Площадь 
найдем по формуле Герона:
, где 
– полупериметр.
Заметим, что если боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то вершина проецируется в центр основания.
7. В правильной треугольной призме 
, все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми 
и 
. Ответ дайте в градусах.
Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости. Поскольку 
и параллельны, найдем угол между и . Он равен 45 градусов, так как грань – квадрат.
Ответ: 45.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023