Самые сложные тригонометрические уравнения егэ

Каталог заданий.
Сложные три­го­но­мет­ри­че­ские уравнения

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Сложная тригонометрия в кимах ЕГЭ

1. Решение простейших тригонометрических уравнений
2. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители
3. Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного
4. Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям
5. Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение
6. Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму
7. Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени
8. Решение тригонометрических уравнений как однородное
9. Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента
10. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки
11. Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Задания по теме «Тригонометрические уравнения»

Открытый банк заданий по теме тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1179

Условие

а) Решите уравнение 2(sin x-cos x)=tgx-1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left[ frac<3pi >2;,3pi right].

Решение

а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 sin x-2 cos x-tg x=0. Учитывая, что cos x neq 0, слагаемое 2 sin x можно заменить на 2 tg x cos x, получим уравнение 1+2 tg x cos x-2 cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 cos x)=0.

1) 1-tg x=0, tg x=1, x=fracpi 4+pi n, n in mathbb Z;

2) 1-2 cos x=0, cos x=frac12, x=pm fracpi 3+2pi n, n in mathbb Z.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку left[ frac<3pi >2;, 3pi right].

x_1=fracpi 4+2pi =frac<9pi >4,

x_2=fracpi 3+2pi =frac<7pi >3,

x_3=-fracpi 3+2pi =frac<5pi >3.

Ответ

а) fracpi 4+pi n, pmfracpi 3+2pi n, n in mathbb Z;

б) frac<5pi >3, frac<7pi >3, frac<9pi >4.

Задание №1178

Условие

а) Решите уравнение (2sin ^24x-3cos 4x)cdot sqrt =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left( 0;,frac<3pi >2right] ;

Решение

а) ОДЗ: begin tgxgeqslant 0\xneq fracpi 2+pi k,k in mathbb Z. end

Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений

left[!!begin 2 sin ^2 4x-3 cos 4x=0,\tg x=0. endright.

Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену cos 4x=t, t in [-1; 1]. Тогда sin^24x=1-t^2. Получим:

t_1=frac12, t_2=-2, t_2notin [-1; 1].

4x=pm fracpi 3+2pi n,

x=pm fracpi <12>+frac<pi n>2, n in mathbb Z.

Решим второе уравнение.

tg x=0,, x=pi k, k in mathbb Z.

При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.

Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.

Получим: x=pi k, k in mathbb Z; x=fracpi <12>+pi n, n in mathbb Z; x=frac<5pi ><12>+pi m, m in mathbb Z.

б) Найдём корни, принадлежащие промежутку left( 0;,frac<3pi >2right].

Ответ

а) pi k, k in mathbb Z; fracpi <12>+pi n, n in mathbb Z; frac<5pi ><12>+pi m, m in mathbb Z.

Задание №1177

Условие

а) Решите уравнение: cos ^2x+cos ^2fracpi 6=cos ^22x+sin ^2fracpi 3;

б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку left( frac<7pi >2;,frac<9pi >2right].

Решение

а) Так как sin fracpi 3=cos fracpi 6, то sin ^2fracpi 3=cos ^2fracpi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению cos^2x=cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению cos^2x-cos ^2 2x=0.

Но cos ^2x-cos ^22x= (cos x-cos 2x)cdot (cos x+cos 2x) и

cos 2x=2 cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид

(cos x-(2 cos ^2 x-1)),cdot (cos x+(2 cos ^2 x-1))=0,

(2 cos ^2 x-cos x-1),cdot (2 cos ^2 x+cos x-1)=0.

Тогда либо 2 cos ^2 x-cos x-1=0, либо 2 cos ^2 x+cos x-1=0.

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно cos x, получаем:

(cos x)_<1,2>=frac<1pmsqrt 9>4=frac<1pm3>4. Поэтому либо cos x=1, либо cos x=-frac12. Если cos x=1, то x=2kpi , k in mathbb Z. Если cos x=-frac12, то x=pm frac<2pi >3+2spi , s in mathbb Z.

Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо cos x=-1, либо cos x=frac12. Если cos x=-1, то корни x=pi +2mpi , m in mathbb Z. Если cos x=frac12, то x=pm fracpi 3+2npi , n in mathbb Z.

Объединим полученные решения:

x=mpi , m in mathbb Z; x=pm fracpi 3 +spi , s in mathbb Z.

б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.

Получим: x_1 =frac<11pi >3, x_2=4pi , x_3 =frac<13pi >3.

Ответ

а) mpi, m in mathbb Z; pm fracpi 3 +spi , s in mathbb Z;

б) frac<11pi >3, 4pi , frac<13pi >3.

Задание №1176

Условие

а) Решите уравнение 10cos ^2frac x2=frac<11+5ctgleft( dfrac<3pi >2-xright) ><1+tgx>.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу left( -2pi ; -frac<3pi >2right).

Решение

а) 1. Согласно формуле приведения, ctgleft( frac<3pi >2-xright) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что cos x neq 0 и tg x neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 cos ^2 frac x2=1+cos x. Получим уравнение: 5(1+cos x) =frac<11+5tgx><1+tgx>.

Заметим, что frac<11+5tgx><1+tgx>= frac<5(1+tgx)+6><1+tgx>= 5+frac<6><1+tgx>, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 cos x=5 +frac<6><1+tgx>. Отсюда cos x =frac<dfrac65><1+tgx>, cos x+sin x =frac65.

2. Преобразуем sin x+cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: sin x=cos left(fracpi 2-xright), cos x+sin x= cos x+cos left(fracpi 2-xright)= 2cos fracpi 4cos left(x-fracpi 4right)= sqrt 2cos left( x-fracpi 4right) = frac65.

Отсюда cos left(x-fracpi 4right) =frac<3sqrt 2>5. Значит, x-fracpi 4= arccos frac<3sqrt 2>5+2pi k, k in mathbb Z,

или x-fracpi 4= -arccos frac<3sqrt 2>5+2pi t, t in mathbb Z.

Поэтому x=fracpi 4+arccos frac<3sqrt 2>5+2pi k,k in mathbb Z,

или x =fracpi 4-arccos frac<3sqrt 2>5+2pi t,t in mathbb Z.

Найденные значения x принадлежат области определения.

б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=fracpi 4+arccos frac<3sqrt 2>5 и b=fracpi 4-arccos frac<3sqrt 2>5.

1. Докажем вспомогательное неравенство:

Заметим также, что left( frac<3sqrt 2>5right) ^2=frac<18> <25>значит frac<3sqrt 2>5

2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:

Отсюда fracpi 4+0

Аналогично, -fracpi 4

0=fracpi 4-fracpi 4 fracpi 4

При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2pi и b-2pi.

Bigg( a-2pi =-frac74pi +arccos frac<3sqrt 2>5,, b-2pi =-frac74pi -arccos frac<3sqrt 2>5Bigg). При этом -2pi

-2pi Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку left( -2pi , -frac<3pi >2right).

При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.

Действительно, если kgeqslant 1 и tgeqslant 1, то корни больше 2pi. Если kleqslant -2 и tleqslant -2, то корни меньше -frac<7pi >2.

Ответ

а) fracpi4pm arccosfrac<3sqrt2>5+2pi k, kinmathbb Z;

б) -frac<7pi>4pm arccosfrac<3sqrt2>5.

Задание №1175

Условие

а) Решите уравнение sin left( fracpi 2+xright) =sin (-2x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; pi ];

Решение

а) Преобразуем уравнение:

cos x+2 sin x cos x=0,

x =fracpi 2+pi n, n in mathbb Z;

x=(-1)^cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие отрезку [0; pi ], найдём с помощью единичной окружности.

Указанному промежутку принадлежит единственное число fracpi 2.

Ответ

а) fracpi 2+pi n, n in mathbb Z; (-1)^cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z;

б) fracpi 2.

Задание №1174

Условие

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку left[ -frac<3pi ><2>; -frac<pi >2 right].

Решение

а) Найдём ОДЗ уравнения: cos 2x neq -1, cos (pi +x) neq -1; Отсюда ОДЗ: x neq frac pi 2+pi k,

k in mathbb Z, x neq 2pi n, n in mathbb Z. Заметим, что при sin x=1, x=frac pi 2+2pi k, k in mathbb Z.

Полученное множество значений x не входит в ОДЗ.

Значит, sin x neq 1.

Разделим обе части уравнения на множитель (sin x-1), отличный от нуля. Получим уравнение frac 1<1+cos 2x>=frac 1<1+cos (pi +x)>, или уравнение 1+cos 2x=1+cos (pi +x). Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 cos ^2 x=1-cos x. Это уравнение с помощью замены cos x=t, где -1 leqslant t leqslant 1 сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=frac12. Возвращаясь к переменной x , получим cos x = frac12 или cos x=-1, откуда x=frac pi 3+2pi m, m in mathbb Z, x=-frac pi 3+2pi n, n in mathbb Z, x=pi +2pi k, k in mathbb Z.

б) Решим неравенства

1) -frac<3pi >2 leqslant frac<pi >3+2pi m leqslant -frac pi 2 ,

2) -frac<3pi >2 leqslant -frac pi 3+2pi n leqslant -frac pi

3) -frac<3pi >2 leqslant pi+2pi k leqslant -frac pi 2 , m, n, k in mathbb Z.

1) -frac<3pi >2 leqslant frac<pi >3+2pi m leqslant -frac pi 2 , -frac32 leqslant frac13+2m leqslant -frac12 -frac<11>6 leqslant 2m leqslant -frac56 , -frac<11> <12>leqslant m leqslant -frac5<12>.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left [-frac<11><12>;-frac5<12>right] .

2) -frac <3pi>2 leqslant -frac<pi >3+2pi n leqslant -frac<pi ><2>, -frac32 leqslant -frac13 +2n leqslant -frac12 , -frac76 leqslant 2n leqslant -frac1<6>, -frac7 <12>leqslant n leqslant -frac1<12>.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left[ -frac7 <12>; -frac1 <12>right].

3) -frac<3pi >2 leqslant pi +2pi kleqslant -frac<pi >2, -frac32 leqslant 1+2kleqslant -frac12, -frac52 leqslant 2k leqslant -frac32, -frac54 leqslant k leqslant -frac34.

Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-pi.

Ответ

а) frac pi 3+2pi m; -frac pi 3+2pi n; pi +2pi k, m, n, k in mathbb Z;

ЕГЭ Профиль №13. Тригонометрические уравнения

13 задания профильного ЕГЭ по математике представляет собой уравнение с отбором корней принадлежащих заданному промежутку. Одним из видов уравнений которое может оказаться в 13 задание является тригонометрическое уравнение. Как правило, это достаточно простое тригонометрическое уравнение для решения которого потребуется знания основных тригонометрических формул, и умение решать простейшие тригонометрические уравнения. Отбор корней тригонометрического уравнения принадлежащих заданному промежутку можно производить одним из четырех способов: методом перебора, с помощью тригонометрической окружности, с помощью двойного неравенства и графическим способом. В данном разделе представлены тригонометрические уравнения (всего 226) разбитые на три уровня сложности. Уровень А — это простейшие тригонометрические уравнения, которые являются подготовительными для решения реальных тригонометрических уравнений предлагаемых на экзамене. Уровень В — состоит из уравнений, которые предлагали на реальных ЕГЭ и диагностических работах прошлых лет. Уровень С — задачи повышенной сложности.

13 ноября 2020

В закладки

Обсудить

Жалоба

Сложная тригонометрия в кимах ЕГЭ

Исследовательская работа.

Содержание

1. Решение простейших тригонометрических уравнений
2. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители
3. Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного
4. Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям
5. Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение
6. Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму
7. Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени
8. Решение тригонометрических уравнений как однородное
9. Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента
10. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки
11. Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

sl-trig.doc
sl-trig.pdf

   Иногда приходится решать тригонометрические уравнения, в которые входят только сумма или разность синуса и косинуса одного и того же аргумента и их произведение. В таком случае целесообразно эту сумму (или разность) обозначить новой переменной.

Задача 1. Решите уравнение 3 (sin x + cos x) = 2 sin 2х.

Комментарий

Если в заданном уравнении привести все тригонометрические функции к одному аргументу х, то получим уравнение (1) (см. решение), в которое входят только сумма синуса и косинуса одного и того же аргумента х и их произведение. Для решения этого уравнения введем новую переменную sin x + cos x = y. Чтобы получить произведение sin x cos x, достаточно возвести в квадрат обе части равенства замены и учесть, что sin2 x + cos2 x = 1. Выполняя обратную замену, удобно также учесть, что

Решение

   Данное уравнение равносильно уравнению

                                  3 (sin x + cos x) = 4 sin х cos x.                                     (1)

Если обозначить sin x + cos x = у, то

Тогда  Подставляя эти значения в уравнение (1), получаем

Таким образом, sin x + cos x = 2 или sin x+cos x =

Тогда  или  Получаем  (корней нет, поскольку ) или  Отсюда  Тогда

Ответ:

   З а м е ч а н и е. При возведении обеих частей уравнения в квадрат можно получить посторонние корни (см. таблицу 7). Но возведение обеих частей равенства замены в квадрат является равносильным преобразованием. Действительно, в этом случае левая и правая части равенства имеют одинаковые знаки, и тогда a = b Если обе части равенства a = b положительны, то для положительных значений t функция y =возрастает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Таким образом, при a > 0, b > 0 из равенства a = b следует равенство и, наоборот, из равенства следует равенство a = b, что и гарантирует равносильность выполненного преобразования для положительных a и b. Аналогично для  используем то, что для не положительных значений t функция y =убывает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.

   Для решения некоторых тригонометрических уравнений могут применяться свойства функций (соответствующие общие подходы к решению были рассмотрены в § 3, пункт 3.2), в частности, оценка левой и правой частей уравнения.

Задача 2. Решите уравнение 

         Оценим область значений функции 

         Поскольку  то есть 

         Выясним, существуют ли такие значения х, при которых функция f (x) может принимать наибольшее значение 2. Если cos 6x будет меньше 1, то для того чтобы сумма равнялась 2, необходимо, чтобы значение было больше 1, что невозможно. Аналогично, если допустить, что меньше 1, то для того чтобы сумма равнялась 2, необходимо, чтобы значение cos 6x было больше 1, что невозможно. Таким образом, равенство в данном уравнении возможно тогда и только тогда, когда cos 6x и равны 1. Поэтому данное уравнение равносильно системе

         Приравнивая правые части этих равенств, получаем

         Поскольку k и n — целые числа, то для получения всех решений последнего уравнения в целых числах (см. § 9) достаточно подставить в правую часть последнего равенства вместо п все остатки при делении на 5 и найти, для каких значений п по этой формуле k также будет целым числом. Только при n = 1 получаем целое k = 3. В случае, когда коэффициент 12 при переменной n в числителе дроби и знаменатель 5 — взаимно простые числа, повторение делимости нацело будет только через знаменатель, то есть через 5. Поэтому последнее уравнение имеет решения в целых числах только вида n = 1 + 5m,. Подставляя значение п в одно из решений системы, получаем х = π + 4πm. Эти значения и являются решениями последней системы, а следовательно, и решениями данного уравнения.

Ответ: х = π + 4πm,.

Задача 3. Решите уравнение 

Комментарий

         Преобразуем левую часть по формуле  и оценим область значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Решая полученную систему двух уравнений с одним неизвестным, можно несколько упростить выкладки и решить только одно уравнение системы, а для другого проверить, удовлетворяют ли ему полученные решения.

Решение

         Данное уравнение равносильно уравнению

(1)

Обозначим: . Поскольку 

         Левая часть уравнения (1) меньше или равна 2, а правая часть больше или равна 2. Равенство между ними возможно тогда и только тогда, когда левая и правая части уравнения равны 2, то есть данное уравнение равносильно системе

         Из первого уравнения системы имеем , откуда 

         Проверим, удовлетворяют ли найденные значения второму уравнению системы. Если , тогда sin 8x=0 и поэтому 

Ответ:

   Иногда для решения тригонометрических уравнений приходится применять тригонометрические формулы, которые приводят к сужению ОДЗ данного уравнения. Такие преобразования могут приводить к потере корней уравнения. Чтобы этого не случилось, можно пользоваться таким о р и е н т и р о м:

если для решения уравнений (или неравенств) приходится выполнять преобразования, сужающие ОДЗ исходного уравнения (или неравенства), то те значения, на которые сужается ОДЗ, необходимо рассматривать отдельно.

   В таблице 42 указаны тригонометрические формулы, которые могут приводить к сужению ОДЗ, и соответствующие значения переменной, которые приходится проверять при использовании этих формул.

Чтобы убедиться, что приведенные формулы приводят к сужению ОДЗ, достаточно сравнить области допустимых значений их левых и правых частей.

Например, рассмотрим формулу 

ОДЗ левой части: . Для нахождения ОДЗ правой части формулы учитываем, что знаменатель дроби не равен нулю:, таким образом, . То есть ОДЗ правой части задается системой ограничений  Сравнивая ОДЗ левой и правой частей рассмотренной формулы, видим, что ОДЗ правой части содержит дополнительное ограничение. Таким образом, при переходе по этой формуле от ее левой части к правой происходит сужение ОДЗ (отбрасываются именно те значения, которые указаны в таблице: Чтобы не потерять корни данного уравнения, при использовании формулы, значение , необходимо рассмотреть отдельно (конечно, только в том случае, когда оно входит в ОДЗ данного уравнения).

Приведем пример использования указанного о р и е н т и р а.

Задача 4. Решите уравнение

Комментарий

Если воспользоваться первыми двумя формулами таблицы 42, то мы приведем все тригонометрические выражения в этом уравнении и к одному аргументу, и к одной функции — tg x. Но при использовании указанных формул происходит сужение ОДЗ на значение ,  и вследствие этого можно потерять корни уравнения, если числа такого вида входят в ОДЗ исходного уравнения и являются его корнями. Чтобы этого не случилось, разобьем решение на две части.

1. Подставляем те значения переменной, на которые сужается ОДЗ, в                уравнение (1). При вычислениях учитываем периодичность функций и формулы приведения.
2. При (на ОДЗ уравнения (1)) использование формул и приводит к уравнению (2) (см. решение), которое равносильно заданному (на той части ОДЗ, где ), потому что эти формулы сохраняют верное равенство как при переходе от равенства (1) к равенству (2), так и при обратном переходе от равенства (2) к равенству (1). Замена переменной (и обратная замена) также приводит к уравнению, равносильному заданному (на указанной части ОДЗ исходного уравнения).

   Заметим, что ОДЗ уравнения (2) отличается от ОДЗ уравнения (1) только тем, что в нее не входят значения , которые входят в ОДЗ уравнения (1). Поскольку эти «плохие» значения мы учли в процессе решения, то ОДЗ уравнения (1) можно в явном виде не фиксировать (как в приведенном решении). В ответе записываем все корни, которые были получены в первой и второй частях решения.

Решение

1. Если , то из данного уравнения получаем:

– верное равенство.

Таким образом, – корни уравнения (1).

1. Если , получаем:

(2)

        Замена tg x = t приводит к уравнению  которое при  и  равносильно уравнению . Тогда 

Обратная замена даёт: tg x= -1 или , то есть:

   Некоторые тригонометрические уравнения удается решить, исполь­зуя такой ориентир, который условно можно назвать «ищи квадратный трехчлен», то есть:

попробуйте рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно некоторой переменной (или относительно некоторой функции).

10 апреля 2014

Сегодня мы продолжаем рассматривать задачи на экстремумы из ЕГЭ по математике. Итак, задача:

Задача B15. Найдите точку максимума на отрезке (0; π/2):

y = (3 − 12x) sin x − 12 cos x + 16

Сразу сделаю небольшое лирическое отступление. Дело в том, что это предпоследний урок из серии уроков, посвященным производным в ЕГЭ по математике. И сразу скажу, что оба эти урока будут посвящены тригонометрии, а точнее, нестандартным задачам на тригонометрию.

Вот и сейчас перед нами довольно-таки нестандартная задача. Хотя, как мы убедимся через пару минут, решается она довольно просто.

Решение задач на точки максимума и минимума

Давайте в первую очередь посмотрим, что от нас требуется. А требуется найти точку максимума. Заметьте: не наибольшее или наименьшее значение, а именно точку максимума. Из этого сразу следует, что наши любимые приемы, чтобы как-то подобрать х, как-то выделить красиво значение функции — в данной задаче эти приемы не работают просто потому, что значение функции нас не интересует.

Давайте работать по старинке. Прежде всего, я запишу общий алгоритм решения подобных задач.

1. В первую очередь нас интересует производная: y‘ = ?
2. Второй шаг — производную мы приравниваем к нулю и решаем полученное уравнение, находим корни. Их редко получается больше, чем две штуки: y‘ = 0; x₁, x₂, …;
3. Третьим шагом мы берем эти корни и оставляем только те из них, которые лежат на интервале, указанном в условии задачи — в нашем случае речь идет об интервале (0; π/2). Итак, интересуют только те корни, которые лежат на обозначенном интервале или отрезке: x₁, x₂ ∈ (0; π/2);
4. Наконец, мы чертим прямую, отмечаем на ней концы отрезка, а также все корни, которые лежат внутри этого отрезка. Затем смотрим знаки. Там, где «плюс» переходит в «минус», будет точка максимума. И наоборот: там, где «минус» переходит в «плюс», будет точка минимума.

Вот и все, что нам нужно знать для решения сегодняшней задачи.

Замечание по поводу тригонометрических функций

Однако некоторые ученики скажут: «На третьем этапе мы отбираем корни только в тех задачах, где требуется найти значение функции, а не точку максимума или минимума. Зачем выполнять отбор корней?»

Согласен, в большинстве задач на поиск точки экстремума отбирать точки не нужно, однако в нашем случае речь идет о тригонометрических функциях, и, как следствие, уравнение y‘ = 0 будет иметь бесконечное множество корней. Вы что будете отмечать множество корней?

А еще нужно искать между ними знаки, смотреть, где «плюс» переходить в «минус». Это бред! Поэтому, когда вы видите, что в задаче требуется найти производную тригонометрической функции, просто запомните для себя: мы в любом случае отбираем корни на интервале, независимо от того, требуется ли от нас найти значение функции или просто точку минимума или максимума.

При вычислении точек максимума/минимума тригонометрической функции отбор корней на отрезке не просто желателен — такой отбор становится необходимостью!

Это замечание существенно упрощает задачу, потому что лучше отметить один или два корня и посмотреть знаки вокруг них, чем бегать по всей числовой прямой и выяснять, где стоят плюсы, а где — минусы.

Решение задачи B15 на тригонометрию

Все, с разъяснениями мы закончили, переходим к решению конкретной задачи.

Производная тригонометрической функции

Итак, первый шаг: нужно найти производную функции:

y‘ = ((3 − 12x) sin x − 12 cos x + 16)’ = ((3 − 12x) · sin x)’ − (12 cos x)’

Первое слагаемое у нас представляет собой произведение двух функций, в каждой из которых присутствует элемент х, следовательно, нам нужно посчитать производную произведения. Напомню формулу производной произведения:

(f · g)’ = f ‘ · g + f · g‘

Запомните, что производная произведения не равна произведению производных. Считаем:

((3 − 12x) · sin x)’ = (3 − 12x)’ · sin x + (3 − 12x) · (sin x)’ = −12 · sin x + (3 − 12x) · cos x

Все, мы посчитали первое слагаемое. Переходим ко второму:

(12 cos x)’ = −12 sin x

Теперь подставляем два значения в нашу исходную формулу. Получим:

y‘ = −12 · sin x + (3 − 12x) · cos x − (− 12 sin x) = (3 − 12x) cos x

Находим точки экстремума

Мы нашли производную и выполнили первый шаг нашего алгоритма. Переходим ко второму шагу:

(3 − 12x) cos x = 0

Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0. Получаем:

3 − 12x = 0
cos x = 0

Из первого уравнения легко находится х:

x = 3/12 = 1/4

А второе равнение — это обычное тригонометрическое равнение. Мы можем сразу записать ответ:

x = π/2 + πn, n ∈ Z

Прекрасно, второй шаг нашего алгоритма выполнен!

Отбор корней тригонометрического уравнения на отрезке

Итак, мы нашли вес корни. Теперь отбираем те корни, которые лежат на интервале (0; π/2).

Пока отложим корти, которые получились из тригонометрического уравнения, потому что это более сложная конструкция, и таких корней бесконечное множество.

Решать будем с помощью тригонометрического круга. Давайте отметим все точки в пределах (0; π/2):

Нижняя точка нас не устраивает, как и не устраивает верхняя точка, потому что они лежат на концах интервала. А сами концы нас не устраивает просто потому, что в исходном условии задачи концы интервала обозначены выколотыми точками, т. е. круглыми скобками. Следовательно, точка π/2 нас тоже не интересует, и поэтому нужно вычеркнуть весь набор корней.

Остается лишь один корень — 1/4. Возникает вопрос: принадлежит ли он интервалу (0; π/2)? Проверяется это очень просто: приравниваем 1/4 с 0 и π/2:

0 ∨ 1/4 ∨ π/2

То, что 1/4 больше, чем 0, а вот с π/2 придется немного повозиться.

1/4 ∨ π/2 > 2 · 3 = 6
0 < 1/4 < π/2

Следовательно, корень 1/4 принадлежит к интересующему нас интервалу (0; π/2). На этом можно было бы закончить решение, потому что мы нашли единственный корень, который нас интересует и который лежит на рассматриваемом интервале и, следовательно, только он может являться ответом.

Можно записать ответ: 1/4 или 0,25.

Проверка корней тригонометрического уравнения

Однако давайте убедимся, что это действительно точка максимума. Для этого начертим прямую, т. е. перейдем к 4-ому шагу, отметим точку 1/4, а также концы интервала 0 и π/2.

Здесь же отметим знаки. Для этого подставляем любое число в пределах от 0 до 1/4 в изначальную производную. Например, какую-нибудь одну тысячную:

y‘ (0,001) = (3 − 0, 012) ∙ cos 0,001 > 0

Очевидно, что это число будет больше 0. Кроме того, cos x в пределах промежутка (0; π/2) везде положительный.

Произведение двух положительных чисел является положительным числом. Следовательно, в пределах от 0 до 1/4 знак будет «плюс». А число 1/4 является корнем первой кратности, так как у нас нет никаких квадратов, т. е. при переходе через него знак поменяется:

Мы получаем, что в точке x = 1/4 знак производной меняется с «плюса» на «минус». Следовательно, точка x = 1/4 является точкой максимума. Теперь задача точно решена, и мы еще раз убедились, что ответом будет число 0,25.

Особенности решения задач B15 с тригонометрией

Итого, несмотря на довольно угрожающий вид функции, все решается просто и быстро. Главное — не забывайте, по какой формуле считается производная произведения, иначе ответ точно получится неправильный.

Кроме того, настоятельно рекомендую вам потренироваться в отборе корней на интервале, иначе вы замучаетесь отмечать бесконечный набор корней на числовой прямой.

В остальном же это стандартная задача B15 на экстремумы, которая решается классическими приемами из математического анализа и вполне доступна среднестатистическому ученику.

Надеюсь, этот урок поможет тем, кто готовится к ЕГЭ по математике. А у меня на сегодня все. С вами был Павел Бердов. До новых встреч!

Смотрите также:

1. Иррациональные функции в задаче B15: показательная функция и линейная замена
2. Задача B15: Линейные выражения под знаком тригонометрической функции
3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
4. Тест: простейшие показательные уравнения (1 вариант)
5. Задача B5: вычисление площади методом обводки
6. Обход точек в стереометрии — 2