Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Найдите все значения параметра k, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение на интервале 
2
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение на отрезке 
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 4. (Часть C).
3
Определите, при каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно два решения.
Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.
4
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).
5
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].
Пройти тестирование по этим заданиям
Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике
Анна Малкова
Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №17.
И знать здесь действительно нужно много.
Лучше всего начать с темы «Элементарные функции и их графики».
Повторить, что такое функция, что такое четные и нечетные функции, периодические, взаимно обратные.
Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).
Освоить преобразования графиков функций и приемы построения графиков.
И после этого – учимся решать сами задачи №17 Профильного ЕГЭ.
Вот основные типы задач с параметрами:
Что такое параметр? Простые задачи с параметрами
Базовые элементы для решения задач с параметрами
Графический способ решения задач с параметрами
Квадратичные уравнения и неравенства с параметрами
Использование четности функций в задачах с параметрами
Условия касания в задачах с параметрами
Метод оценки в задачах с параметрами
Вот пример решения и оформления задачи с параметром
Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 18
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 18
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 18
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 18
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 18
И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:
1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.
— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.
— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.
2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.
Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…» Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».
3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.
4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.
На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 17 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи с параметром
Задание
1
#1220
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите уравнение (ax+3=0) при всех значениях параметра (a).
Уравнение можно переписать в виде (ax=-3). Рассмотрим два случая:
1) (a=0). В этом случае левая часть равна (0), а правая – нет, следовательно, уравнение не имеет корней.
2) (ane 0). Тогда (x=-dfrac{3}{a}).
Ответ:
(a=0 Rightarrow xin varnothing; \
ane 0 Rightarrow
x=-dfrac{3}{a}).
Задание
2
#1221
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите уравнение (ax+a^2=0) при всех значениях параметра (a).
Уравнение можно переписать в виде (ax=-a^2). Рассмотрим два случая:
1) (a=0). В этом случае левая и правая части равны (0), следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной (x).
2) (ane 0). Тогда (x=-a).
Ответ:
(a=0 Rightarrow xin mathbb{R}; \
ane 0 Rightarrow x=-a).
Задание
3
#1222
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите неравенство (2ax+5cosdfrac{pi}{3}geqslant 0) при всех значениях параметра (a).
Неравенство можно переписать в виде (axgeqslant -dfrac{5}{4}). Рассмотрим три случая:
1) (a=0). Тогда неравенство принимает вид (0geqslant
-dfrac{5}{4}), что верно при любых значениях переменной (x).
2) (a>0). Тогда при делении на (a) обеих частей неравенства знак неравенства не изменится, следовательно, (xgeqslant
-dfrac{5}{4a}).
3) (a<0). Тогда при делении на (a) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, (xleqslant -dfrac{5}{4a}).
Ответ:
(a=0 Rightarrow xin mathbb{R}; \
a>0 Rightarrow xgeqslant -dfrac{5}{4a}; \
a<0 Rightarrow xleqslant -dfrac{5}{4a}).
Задание
4
#1223
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите неравенство (a(x^2-6) geqslant (2-3a^2)x) при всех значениях параметра (a).
Преобразуем неравенство к виду: (ax^2+(3a^2-2)x-6a geqslant 0). Рассмотрим два случая:
1) (a=0). В этом случае неравенство становится линейным и принимает вид: (-2x geqslant 0 Rightarrow xleqslant 0).
2) (ane 0). Тогда неравенство является квадратичным. Найдем дискриминант:
(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2).
Т.к. (a^2 geqslant 0 Rightarrow D>0) при любых значениях параметра.
Следовательно, уравнение (ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0) всегда имеет два корня (x_1=-3a, x_2=dfrac{2}{a}). Таким образом, неравенство примет вид:
[(ax-2)(x+3a) geqslant 0]
Если (a>0), то (x_1<x_2) и ветви параболы (y=(ax-2)(x+3a)) направлены вверх, значит, решением являются (xin (-infty; -3a]cup
big[dfrac{2}{a}; +infty)).
Если (a<0), то (x_1>x_2) и ветви параболы (y=(ax-2)(x+3a)) направлены вниз, значит, решением являются (xin big[dfrac{2}{a};
-3a]).
Ответ:
(a=0 Rightarrow xleqslant 0; \
a>0 Rightarrow xin (-infty; -3a]cup big[dfrac{2}{a}; +infty);
\
a<0 Rightarrow xin big[dfrac{2}{a}; -3abig]).
Задание
5
#1851
Уровень задания: Легче ЕГЭ
При каких (a) множество решений неравенства ((a^2-3a+2)x
-a+2geqslant 0) содержит полуинтервал ([2;3)) ?
Преобразуем неравенство: ((a-1)(a-2)x geqslant a-2). Получили линейное неравенство. Рассмотрим случаи:
1) (a=2). Тогда неравенство примет вид (0 geqslant 0), что верно при любых значениях (x), следовательно, множество решений содержит полуинтервал ([2;3)).
2) (a=1). Тогда неравенство примет вид (0 geqslant -1), что верно при любых значениях (x), следовательно, множество решений содержит полуинтервал ([2;3)).
3) ((a-1)(a-2)>0 Leftrightarrow ain (-infty;1)cup (2;+infty)). Тогда:
(xgeqslant dfrac{1}{a-1}). Для того, чтобы множество решений содержало полуинтервал ([2;3)), необходимо, чтобы
(dfrac{1}{a-1} leqslant 2 Leftrightarrow dfrac{3-2a}{a-1}
leqslant 0
Rightarrow ain (-infty; 1)cup [1,5; +infty)).
Учитывая условие (ain (-infty;1)cup (2;+infty)), получаем (ain
(-infty;1)cup (2;+infty)).
4) ((a-1)(a-2)<0 Leftrightarrow ain (1;2)). Тогда:
(xleqslant dfrac{1}{a-1} Rightarrow dfrac{1}{a-1} geqslant 3).
Действуя аналогично случаю 3), получаем (ain (1;
dfrac{4}{3}big]).
Ответ:
(ain (-infty;dfrac{4}{3}big]cup [2;+infty)).
Задание
6
#1361
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Определить количество корней уравнения (ax^2+(3a+1)x+2=0) при всех значениях параметра (a).
Рассмотрим два случая:
1) (a=0). Тогда уравнение является линейным: (x+2=0 Rightarrow
x=-2). То есть уравнение имеет один корень.
2) (ane 0). Тогда уравнение является квадратным. Найдем дискриминант: (D=9a^2-2a+1).
Рассмотрим уравнение (9a^2-2a+1=0): (D’=4-36<0), следовательно, уравнение (9a^2-2a+1=0) не имеет корней. Значит, выражение ((9a^2-2a+1)) принимает значения строго одного знака: либо всегда положительно, либо отрицательно. В данном случае оно положительно при любых (a) (в этом можно убедиться, подставив вместо (a) любое число).
Таким образом, (D=9a^2-2a+1>0) при всех (ane 0). Значит, уравнение (ax^2+(3a+1)x+2=0) всегда имеет два корня: (x_{1,2}=dfrac{-3a-1pm
sqrt D}{2a})
Ответ:
(a=0Rightarrow) один корень
(ane 0 Rightarrow) два корня.
Задание
7
#1363
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решить уравнение (sqrt{x+2a}cdot (3-ax-x)=0) при всех значениях параметра (a).
Данное уравнение равносильно системе:
[begin{cases}
xgeqslant -2a\
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x=-2a \
&3-(a+1)x=0 qquad (*)
end{aligned} end{gathered} right.
end{cases}]
Рассмотрим два случая:
1) (a+1=0 Rightarrow a=-1). В этом случае уравнение ((*)) равносильно (3=0), то есть не имеет решений.
Тогда вся система равносильна (
begin{cases}
xgeqslant 2\
x=2
end{cases} Leftrightarrow x=2)
2) (a+1ne 0 Rightarrow ane -1). В этом случае система равносильна: [begin{cases}
xgeqslant -2a\
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x_1=-2a \
&x_2=dfrac3{a+1}
end{aligned} end{gathered} right.
end{cases}]
Данная система будет иметь одно решение, если (x_2leqslant -2a), и два решения, если (x_2>-2a):
2.1) (dfrac3{a+1}leqslant -2a Rightarrow a<-1 Rightarrow ) имеем один корень (x=-2a).
2.2) (dfrac3{a+1}>-2a Rightarrow a>-1 Rightarrow ) имеем два корня (x_1=-2a, x_2=dfrac3{a+1}).
Ответ:
(ain(-infty;-1) Rightarrow x=-2a\
a=-1 Rightarrow x=2\
ain(-1;+infty) Rightarrow xin{-2a;frac3{a+1}})
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Пора начать разбираться с один и самых сложных заданий на ЕГЭ – с параметрами. Этот номер может принести целых 4 балла.
Итак, параметр – это буква (обычно в заданиях используют букву а), вместо которой можно подставить число.
Решить задачу с параметром – значит найти такое значение параметра а, при котором будет выполняться условие задачи. Стоит отметить, что существует огромное количество различных вариантов формулировки задачи. Самым популярным является: «Найти все значения параметра а, при котором уравнение такое-то имеет столько-то корней».
Что нужно знать, чтобы научиться решать параметры?
Таким вопросом задаются многие школьники. Ответ прост: буквально всё. Параметры – самая обширная тема ЕГЭ, тут может быть и тригонометрия, и функции (здесь надо уметь исследовать функцию при помощи производной), и степени, и логарифмы, и дроби и всё-всё-всё остальное, а возможно и все темы сразу. Причём не только в уравнениях, но и в неравенствах.
Так что прежде чем браться за параметры, убедись, что ты отлично решаешь обычные уравнения, щёлкаешь неравенства, а первая часть занимает у тебя не более 15-ти минут.
Краткий алгоритм решения параметров, где дробь равна нулю:
1) необходимо перейти к системе, состоящей из двух условий: знаменатель не равен 0, а числитель равен 0.
2) далее нужно дать условие, чтобы уравнение (числитель) имело два корня, следовательно его дискриминант больше 0.
3) выписать дискриминант, обозначить, что он больше 0 и решить неравенство.
4) выразить из неравенства (которое вышло из знаменателя) а и подставить в уравнение (числитель).
5) дать условие, что при подстановке а в уравнение не должно получаться верное равенство.
6) выписать промежуток из пункта 3 и выколоть точки, которые получились в пункте 5. Это и будет ответ.
Параметры с модулем
Для начала стоит вспомнить, что же такое модуль и как его раскрыть.
Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:
|a| > 0
Модуль положительного числа равен самому числу.
|a| = a, если a > 0
Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
|−a| = a
Модуль нуля равен нулю.
|0| = 0, если a = 0
Противоположные числа имеют равные модули.
|−a| = |a| = a
Когда писать систему, а когда совокупность?
Многие ученики, решая параметры (и не только их) задаются вопросом: тут ставить систему или совокупность?
В двух словах это можно прокомментировать так:
Если надо пересечь решения, то будет система, а если объединить – совокупность. Или, сформулировав по-другому, скажем: система – это когда мы говорим «выполняется и одно условие, и другое», а совокупность – «и то, и другое».
Допустим, мы решаем квадратное уравнение, в котором дискриминант больше нуля. Следовательно оно будет иметь два корня. Но ведь х не может быть двумя числами одновременно, а значит мы говорим, что х – это такое-то число или другое число.
(по оформлению: такое-то число и другое число сделать более бледным, серым)
В этом случае мы используем совокупность.
Заметим, что когда мы решаем квадратное уравнение по теореме Виета (а кто-то вообще использует теорему Виета вместо дискриминанта?), то условие о сумме и произведении мы записываем в системе, ведь они должны выполняться одновременно:
x2+px+q=0
{ x1+x2=-p
x1*x2=q
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!
23 апреля 2017
В закладки
Обсудить
Жалоба
Параметры. От простого к сложному. Практикум по решению задач
Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики и требует большого количества времени на их изучение.
Теоретическое изучение физических процессов, решение экономических задач часто приводит к различным уравнениям или неравенствам, содержащим параметры, и необходимой частью их решения является исследование характера процесса в зависимости от значений параметров. Таким образом, задачи с параметрами представляют собой небольшие исследовательские задачи.
Автор: Агашкова Надежда Анатольевна.
pr-sl-p.pdf