Главная » ЕГЭ » ЕГЭ 2021. Математика. Профильный уровень. 36 типовых экзаменационных вариантов — Под ред. Ященко И.В.
Пособие прошло научно-методическую оценку ФГБНУ «ФИПИ». Серия подготовлена разработчиками контрольных измерительных материалов (КИМ) единого государственного экзамена. В сборнике представлены: • 36 типовых экзаменационных вариантов, составленных в соответствии с проектом демоверсии КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня 2021 года; • инструкция по выполнению экзаменационной работы; • ответы ко всем заданиям; • решения и критерии оценивания заданий 13-19. Выполнение заданий типовых экзаменационных вариантов предоставляет обучающимся возможность самостоятельно подготовиться к государственной итоговой аттестации, а также объективно оценить уровень своей подготовки. Учителя могут использовать типовые экзаменационные варианты для организации контроля результатов освоения школьниками образовательных программ среднего общего образования и интенсивной подготовки обучающихся к ЕГЭ.
- Рубрика: ЕГЭ / ЕГЭ по математике
- Автор: Под ред. Ященко И.В.
- Год: 2021
- Для учеников: 11 класс
- Язык учебника: Русский
- Формат: PDF
- Страниц: 256
Задание 1
Показания счётчика электроэнергии 1 января составляли 53848 кВт*ч, а 1 февраля — 54107 кВт*ч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за январь, если 1 кВт*ч электроэнергии стоит 2 руб. 80 коп.? Ответ дайте в рублях.
Ответ: 725,2
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Разница в кВт*ч: $$54107-53848=259$$.
Стоимость: $$259cdot 2,8=725,2$$ рубля.
Задание 2
На диаграмме показан уровень инфляции в России в 2018 и 2019 годах. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали — уровень инфляции (в процентах) за каждый месяц соответствующего года. Определите количество месяцев, когда инфляция в 2019 году была ниже, чем инфляция в соответствующем месяце 2018 года.
Ответ: 9
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Это месяцы с апреля по декабрь: 9 месяцев.
Задание 3
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите его площадь.
Ответ: 12
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Найдем диагонали по теореме Пифагора $$d_1=sqrt{2^2+2^2}=2sqrt{2}; d_2=sqrt{6^2+6^2}=6sqrt{2}$$. $$S=frac{1}{2} d_1cdot d_2=frac{1}{2} cdot 2sqrt{2} cdot 6sqrt{2}=12$$
Задание 4
В гонке с раздельным стартом участвуют 25 лыжников, среди которых 7 спортсменов из Норвегии. Порядок старта определяется с помощью жребия случайным образом. Один из норвежских лыжников получил стартовый номер «5». Найдите вероятность, что он будет стартовать за своим соотечественником.
Ответ: 0,25
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Вероятность, что 4-ый будет из Норвегии: $$Pleft(Aright)=frac{6}{24}$$ (т.к. после того, как один получит номер «5» лыжников из Норвегии осталось 6, а всего лыжников 24). Т.е. 0,25.
Задание 5
Найдите корень уравнения $$frac{1}{2x-3}=frac{1}{8}$$.
Ответ: 5,5
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$frac{1}{2x+3}=frac{1}{8}leftrightarrow 2x-3=8leftrightarrow 2x=11leftrightarrow x=5,5$$
Задание 6
В треугольнике АВС угол С равен $$46{}^circ $$, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 113
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$angle A+angle B=180{}^circ -angle C=134{}^circ to frac{angle A}{2}+frac{angle B}{2}=frac{134}{2}=67{}^circ to$$ $$to angle AOB=180-67=113{}^circ $$
Задание 7
На рисунке изображён график $$у = f'(x)$$ — производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-9; 6). Найдите количество точек минимума функции $$f(x)$$, принадлежащих отрезку $$[-8; 5].$$
Ответ: 2
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Точка минимума там, где $$f’left(xright)=0$$ при возрастании $$f’left(xright)$$, т.е. $$approx -1,8; approx 1,5; approx 5,6$$. Но на $$xin [-8;5]$$ их 2 точки.
Задание 8
В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ найдите угол между прямыми $$DC_1$$ и $$BD$$. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 60
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Рассмотрим $$triangle BC_1D:BC_1=DC_1=BC_1=BD$$ (диагонали равных квадратов)$$to triangle BC_1D$$ — равносторонний $$to angle BDC_1=60{}^circ $$.
Задание 9
Найдите значение выражения $$4^{1-2{{log }_{0,5} 3 }}$$
Ответ: 324
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$4^{1-2{{log }_{0,5} 3 }}=frac{4^1}{4^{2{{log }_{0,5} 3 }}}=frac{4^1}{{(2^2)}^{{{log }_{2^{-1}} 3 }}}=frac{4}{2^{-2{{log }_2 9 }}}=frac{4}{2^{{{log }_2 frac{1}{81} }}}=frac{4}{frac{1}{81}}=324$$
Задание 10
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $$a$$ в км/ч$${}^{2}$$. Скорость $$v$$ (в км/ч) вычисляется по формуле $$v=sqrt{2la}$$, где $$l$$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,8 км, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ дайте в км/ч$${}^{2}$$.
Ответ: 6250
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Подставим известные в формулу: $$100=sqrt{2cdot 0,8cdot a}leftrightarrow 10000=1,6aleftrightarrow a=6250$$.
Задание 11
Катер в 8:40 вышел из пунтка А в пункт В, расположенный в 48 км от А. Пробыв 40 минут в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 16:20 того же дня. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.
Ответ: 14
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Прошло времени: 7 часов 40 минут. При этом 40 минут стоял, т.е. в движении 5 часов. Пусть $$x$$ км/ч — собственная скорость катера.
Тогда: $$frac{48}{x+2}+frac{48}{x-2}=7leftrightarrow 48x-96+48x+96=7x^2-28leftrightarrow 7x^2-96x-28=0to $$ $$to frac{D}{4}=2304+196=2500to left[ begin{array}{c}
x_1=frac{48+50}{7} \
x_2<0 end{array}
right.leftrightarrow x=14$$
Задание 12
Найдите наименьшее значение функции $$y=4{sin x }-6x+7$$ на отрезке $$left[-frac{3pi }{2};0right]$$
Ответ: 7
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Найдем производную: $$y’=4{cos x }-6$$. Т.к. $$left|{cos x }right|le 1$$, то $$y'<0$$ при любом $$x$$, тогда функция убывает на всем $$Dleft(xright)to y_{min}=y(0)$$. $$yleft(0right)=4{sin 0 }-6cdot 0+7=7$$
Задание 13
а) Решите уравнение $$2{{sin }^{{rm 2}} (frac{pi }{2}-x) }+{sin 2x }=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[3pi ;frac{9pi }{2}]$$
Ответ: а)$$frac{pi }{2}+pi n,nin Z$$; $$-frac{pi }{4}+pi n,nin Z$$ б) $$1)3pi +frac{pi }{2}=frac{7pi }{2};2)4pi +frac{pi }{2}=frac{9pi }{2} ;3)4pi -frac{pi }{4}=frac{15pi }{4} $$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
а) $$2{{sin }^{{rm 2}} (frac{pi }{2}-x) }+{sin 2x }=0leftrightarrow 2{{cos }^{{rm 2}} x }+2{sin x }{cos x }=0leftrightarrow$$ $$leftrightarrow 2{cos x }left({cos x }+{sin x }right)=0leftrightarrow left[ begin{array}{c} {cos x=0 } \ {cos x }+{sin x }=0 end{array} right.leftrightarrow left[ begin{array}{c} {cos x=0 } \ 1+{tan x }=0 end{array} right.leftrightarrow$$ $$leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=frac{pi }{2}+pi n,nin Z \ x=-frac{pi }{4}+pi n,nin Z end{array} right.$$
б) С помощью единичной окружности отберем корни на $$left[3pi ;frac{9pi }{2}right]:1)3pi +frac{pi }{2}=frac{7pi }{2};2)4pi +frac{pi }{2}=frac{9pi }{2} ;3)4pi -frac{pi }{4}=frac{15pi }{4} $$
Задание 14
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка М — середина ребра АВ. Плоскость $$alpha $$ перпендикулярна плоскости АВС и содержит точки М и D. Прямая SC пересекает плоскость $$alpha $$ в точке К.
а) Докажите, что KM = KD.
б) Найдите объём пирамиды CDKM.
Ответ: $$frac{3sqrt{5}}{4}$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
А) 1) Пусть $$FCcap DM=L$$. Т.к. $$alpha bot ABC$$, то ч/з L пойдет $$LKbot ABC$$. Пусть $$CBcap DM=H$$, $$KHcap SB=Rto left(DKRMright)$$ — искомая плоскость.
2) FC равноудалена от ED и AB $$to $$ т.к. $$EDparallel AB$$, то $$angle XDL=angle LZB$$ (накрест лежащие) $$to triangle XDL=triangle LMZto DL=LMto KL$$ — высота и медиана $$to $$ $$triangle DKM$$ — равнобедренный $$to KM=KD$$.
Б) 1) $$V_{CDKM}=frac{1}{3}S_{CDKM}cdot KL$$. $$S_{ABCDEF}=6S_{AOB}=6cdot frac{1}{2}cdot 2cdot 2cdot frac{sqrt{3}}{2}=6sqrt{3}to S_{MNDCB}=3sqrt{3}.$$ $$S_{MND}=frac{1}{2}MNcdot ND=frac{1}{2}cdot 2cdot 2cdot frac{sqrt{3}}{2}=6sqrt{3}.$$ $$S_{MBC}=frac{1}{2}MBcdot BC{sin angle B }=frac{1}{2}cdot 1cdot 2cdot frac{sqrt{3}}{2}=frac{sqrt{3}}{2}to S_{CDM}=3sqrt{3}-sqrt{3}-frac{sqrt{3}}{2}=$$ $$=frac{3sqrt{3}}{2}.$$
2) $$NX=OLto LC=2-frac{1}{2}=frac{3}{2}to frac{KL}{SO}=frac{LC}{OC}=frac{frac{3}{2}}{2}=frac{3}{4}$$ (т.к. $$triangle SOCsim triangle KLC$$ по острому углу) — $$SO=sqrt{SB^2-OB^2}=sqrt{8^2-2^2}=sqrt{60}=2sqrt{15}to KL=frac{3sqrt{15}}{2}to$$ $$to V_{CDKM}=frac{1}{3}cdot frac{3sqrt{3}}{2}cdot frac{3sqrt{15}}{2}=frac{3sqrt{5}}{4}$$.
Задание 15
Решите неравенство $$x^2{{log }_{64} (3-2x) }ge {{log }_2 left(4x^2-12x+9right) }$$
Ответ: $$xin left(-infty ;-sqrt{12}right];[1;1,5)$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$x^2{{log }_{64} (3-2x) }ge {{log }_2 left(4x^2-12x+9right) }leftrightarrow frac{x^2}{6}{{log }_2 left(3-2xright) }-{{log }_{64} {left(2x-3right)}^2 }ge 0leftrightarrow $$ $$leftrightarrow $$ т.к. $$3-2x>0$$, то: $$frac{x^2}{6}{{log }_2 left(3-2xright) }-2{{log }_2 left(3-2xright) }ge 0leftrightarrow (x^2-12)({{log }_2 (3-2x) })ge 0leftrightarrow $$ $$leftrightarrow left{ begin{array}{c}
3-2x>0 \
(x^2-12)(3-2x-1)ge 0 end{array}
right.leftrightarrow left{ begin{array}{c}
x<1,5 \
(x-sqrt{12})(x+sqrt{12})(x-1)le 0 end{array}
right.$$.
$$xin left(-infty ;-sqrt{12}right];[1;1,5)$$
Задание 16
Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите АС, если радиусы окружностей равны 3 и 4.
Ответ: 4,8
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
а) По т.о. касательной и хорде $$angle LCD=angle CAD$$ (для меньшей) и $$angle LCD=angle CED$$ (для большей) $$to angle CAD=angle CED$$, а они накрест лежащие $$to ADparallel BE$$.
б) $$angle CDA$$ и $$angle EBE$$ — прямоугольные, $$angle CAD=angle CEDto triangle CDAsim triangle CBEto frac{CD}{CB}=frac{CA}{CE}=frac{AD}{BE}$$. При этом AD и BE — диаметры ($$angle C$$ — вписан и прямой) $$to AD=6;BE=8to frac{CD}{CB}=frac{3}{4}$$. Пусть $$CA=CB=xto CD=frac{3}{4}x$$. Из $$triangle ADC:AD^2=CD^2+CA^2to 36=x^2+frac{9x^2}{16}to x^2=frac{36cdot 16}{25}to x=4,8$$.
Задание 17
В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;
— выплаты в 2026 и 2027 годах равны;
— к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.
На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
Ответ: 500 т.р.
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Раз первые 3 года долг не менялся, то платили только проценты, т.е. $$1050cdot 0,1=105$$ т.р. Пусть крайние 2 выплаты по $$x$$ т.р. Тогда: $$left(1050cdot 1,1-xright)cdot 1,1-x=0leftrightarrow 1270,5-2,1x=0to x=605$$ т.р. Тогда разница: $$605-105=500$$ т.р.
Задание 18
Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$left{ begin{array}{c} sqrt{16-y^2}=sqrt{16-a^2x^2} \ x^2+y^2=8x+4y end{array} right.$$ имеет ровно два различных решения.
Ответ: $$ain left(-infty ;-2right);(-2;+infty )$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$left{ begin{array}{c} sqrt{16-y^2}=sqrt{16-a^2x^2} \ x^2+y^2=8x+4y end{array} right.leftrightarrow left{ begin{array}{c} 16-y^2ge 0 \ 16-y^2=16-{left(axright)}^2 \ x^2+y^2-8x-4y=0 end{array} right.leftrightarrow$$ $$leftrightarrow left{ begin{array}{c} yin [-4;4] \ y=ax \ y=-ax \ x^2+y^2-8x-4y=0 end{array} right.$$
При $$y=ax:x^2+{a^2x}^2-8x-4ax=0leftrightarrow xleft(x+a^2x-8-4aright)=0leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=0 \ x=frac{4a+8}{a^2+1} end{array} right.leftrightarrow $$ $$leftrightarrow left[ begin{array}{c} y=0 \ y=frac{4a^2+8a}{a^2+1} end{array} right.$$.
При $$y=-ax: x^2+{a^2x}^2-8x+4ax=0leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=0 \ x=frac{-4a+8}{a^2+1} end{array} right.leftrightarrow left[ begin{array}{c} y=0 \ y=frac{4a^2-8a}{a^2+1} end{array} right.$$.
Получим: $$left(0:0right):left(frac{4a+8}{a^2+1};frac{4a^2+8a}{a^2+1}right);(frac{8-4a}{a^2+1};frac{4a^2-8a}{a^2+1})$$.
При этом $$left(0:0right)$$ всегда, т.к. $$yin [-4;4]$$ выполняется.
Вторая пара существует при: $$-4le frac{4a^2+8a}{a^2+1}le 4to left{ begin{array}{c} 4a^2+8age -4a^2-4 \ 4a^2+8ale 4a^2+4 end{array} right.leftrightarrow left{ begin{array}{c} 8a^2+8a+4ge 0 \ ale frac{1}{2} end{array} right.leftrightarrow ale frac{1}{2}$$.
Третья пара существует при: $$-4le frac{4a^2-8a}{a^2+1}le 4to left{ begin{array}{c} 4a^2-8age -4a^2-4 \ 4a^2-8age 4a^2+4 end{array} right.$$$$leftrightarrow left{ begin{array}{c} 8a^2-8a+4ge 0 \ age -frac{1}{2} end{array} right.leftrightarrow age -frac{1}{2}$$.
При этом первая и вторая совпадают при $$frac{4a+8}{a^2+1}=0to a=-2.$$
Первая и третья: $$frac{8-4a}{a^2+1}=0to a=2$$.
Вторая и третья: $$frac{4a+8}{a^2+1}=frac{8-4a}{a^2+1}to a=0$$. т.е. должно быть только 2: $$ain left(-infty ;-2right);(-2;+infty )$$.
Задание 19
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Ответ: а)да б)нет в)$$frac{232}{21}$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
А) Пусть было три числа $$A,B,Cin N,Ane Bne Cle 9$$. Получим $$Ato 10A+3;Bto 10B+7$$. Следовательно, $$frac{10A+3+10B+7+C}{A+B+C}=8to 2A+2B+10-7C=0$$. Пусть $$A=2,B=8,C=4to $$ Да, могла.
Б) Пусть в 1-ой группе $$x$$ чисел, их сумма $$A$$, во 2-ой $$y$$ чисел, сумма $$B$$, в 3-ей $$Z$$ чисел, сумма $$C$$. Тогда $$frac{10A+3x+10B+7y+C}{A+B+C}=17to 3x+7y=7A+7B+16C.$$ При этом $$Age x,Bge y$$, тогда $$3x+7y<7A+7Bto $$ равенство невозможно.
В) Пусть в 1,2 и 3 группах x, y и 7 чисел соответственно, их сумма $$A,B,C$$. Тогда $$frac{10A+3x+10B+7y+C}{A+B+C}=Qto frac{10left(A+B+Cright)+3x+7y-9C}{A+B+C}=Qto$$ $$to Q=10+frac{3x+7y-9c}{A+B+C}$$ т.к. при переносе чисел из первой или третьей группы во вторую $$A+B+C$$ не меняется, но $$3x+7y-9C$$ увеличивается, то и Q увеличится. Следовательно, $$Qto max$$, при $$xto min$$. А $$x_{min}=1$$. $$Cto min$$, т.е. $$Zto min, Z=1(C=1)$$. При этом общее число чисел тогда $$y+2$$. Получим: $$Q=10+frac{3x+7y-9c}{A+B+C}$$. Т.к. числа разные натуральные, то $$A+B+Cge 2+1+frac{2cdot 3+1left(y-1right)}{2}cdot y$$ (т.к. минимальная сумма будет у подряд идущих натуральных чисел с единицы). Т.е. $$A+B+Cge 3+frac{left(5+yright)y}{2}$$ или $$A+B+Cge frac{y^2+5y+6}{2}=frac{left(y+2right)left(y+3right)}{2}$$. Тогда: $$Q=10+frac{left(7y-6right)cdot 2}{(y+2)(y+3)}$$. Найдем максимальное значение $$frac{14y-12}{(y+2)(y+3)}=f(y)$$ при $$yin N$$. $$f’left(yright)=frac{14left(y^2+5y+6right)-left(14y-12right)left(2y+5right)}{{left((y+2)(y+3)right)}^2}=0to $$ $$to 14y^2+70y+84-28y^2-70y+24y+60=0$$. $$-14y^2+24y+144=0to -7y^2+12y+72=0to frac{D}{4}=540in ({23}^2;{24}^2)$$. $$left[ begin{array}{c} y_1=frac{-6+sqrt{540}}{-7} \ y_2=frac{-6-sqrt{540}}{-7}-max end{array} right..$$
При этом $$y_2=frac{6+sqrt{540}}{7}approx frac{6+23}{7}approx frac{29}{7}to y=4$$ или $$y=5$$. При $$y=4:fleft(4right)=frac{14cdot 4-12}{6cdot 7}=frac{44}{6cdot 7}=frac{22}{21}$$.
При $$y=5:fleft(5right)=frac{14cdot 5-12}{7cdot 8}=frac{58}{7cdot 8}=frac{29}{28}$$. $$fleft(4right)>fleft(5right)to Q_{max}=10+frac{22}{21}=frac{232}{21}.$$
Укажите регион, чтобы мы точнее рассчитали условия доставки
Начните вводить название города, страны, индекс, а мы подскажем
Например:
Москва,
Санкт-Петербург,
Новосибирск,
Екатеринбург,
Нижний Новгород,
Краснодар,
Челябинск,
Кемерово,
Тюмень,
Красноярск,
Казань,
Пермь,
Ростов-на-Дону,
Самара,
Омск