Сборник егэ профиль математика 2018

ВАРИАНТЫ ЕГЭ (1 июня 2018):

A,
B,
C,
D,
E,
F,
H,
G,
K,
L,
M,
N,
O,
P,
Q,
R,
S,
T,
U,
V,
X,
Z

=ЧАСТЬ 1=
1. ПРОСТЕЙШИЕ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
2. ЧТЕНИЕ ГРАФИКОВ И ДИАГРАММ
3. ПЛАНИМЕТРИЯ: ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН И ПЛОЩАДЕЙ
4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
5. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ
6. ПЛАНИМЕТРИЯ: ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С УГЛАМИ
7. ПРОИЗВОДНАЯ И ПЕРВООБРАЗНАЯ
8. ПРОСТЕЙШАЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ

=ЧАСТЬ 2=

9. ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
10. ЗАДАЧИ С ПРИКЛАДНЫМ СОДЕРЖАНИЕМ
11. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
12. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ

=С ПОДРОБНОЙ ЗАПИСЬЮ ОТВЕТА=
1. УРАВНЕНИЯ, СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
2. УГЛЫ И РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3. НЕРАВЕНСТВА
4. ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
5. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
6. УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРОМ
7. ЧИСЛА И ИХ СВОЙСТВА

13: Уравнения, системы уравнений

• 1. а) (frac{pi }{2}+pi k; , pm frac{2pi }{3}+2pi k;, kin mathbb{Z} )
     б) ( frac{9pi }{2};frac{14pi }{3};frac{16pi }{3};frac{11pi }{2} )
     а) Решите уравнение (2sin left ( 2x+frac{pi }{6} right )+ cos x =sqrt{3}sin (2x)-1 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [4pi;frac{11pi }{2} right ] ).
  2. а) (frac{pi }{2}+pi k; , pm frac{pi }{3}+2pi k;, kin mathbb{Z} )
     б) ( frac{5pi }{2};frac{7pi }{2};frac{11pi }{3} )
     а) Решите уравнение ( 2sin left ( 2x+frac{pi }{6} right )-cos x =sqrt{3}sin (2x)-1 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [frac{5pi }{2}; 4piright ] ).
  3. а) (frac{pi }{2}+pi k; , pm frac{3pi }{4}+2pi k;, kin mathbb{Z} )
     б) ( -frac{5pi }{2};-frac{3pi }{2};-frac{5pi }{4} )
     а) Решите уравнение ( sqrt{2}sinleft ( 2x+frac{pi }{4} right )+sqrt{2}cos x= sin (2x)-1 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [-frac{5pi }{2}; -pi right ] ).
  4. а) (frac{pi }{2}+pi k; , pm frac{5pi }{6}+2pi k;, kin mathbb{Z} )
     б) ( frac{7pi }{6};frac{3pi }{2};frac{5pi }{2} )
     а) Решите уравнение ( sqrt{2}sinleft ( 2x+frac{pi }{4} right )+sqrt{3}cos x= sin (2x)-1 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [ pi; frac{5pi }{2} right ] ).
  5. а) ( pm frac{pi }{2}+2pi k; pm frac{2pi }{3}+2pi k,kin mathbb{Z} )
     б) ( -frac{11pi }{2}; -frac{16pi }{3}; -frac{14pi }{3}; -frac{9pi }{2} )а) Решите уравнение ( sqrt{2}sinleft ( 2x+frac{pi }{4} right )+cos x= sin (2x)-1 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [-frac{11pi }{2}; -4pi right ] ).
  6. а) (frac{pi }{2}+pi k; , pm frac{pi }{6}+2pi k;, kin mathbb{Z} )
     б) ( -frac{23pi }{6};-frac{7pi }{2};-frac{5pi }{2} )
     а) Решите уравнение ( 2sinleft ( 2x+frac{pi }{3} right )-3cos x= sin (2x)-sqrt{3} ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [-4pi; -frac{5pi }{2} right ] ).
  7. а) (frac{pi }{2}+pi k; , pm frac{3pi }{4}+2pi k;, kin mathbb{Z} )
     б) ( frac{13pi }{4};frac{7pi }{2};frac{9pi }{2} )
     а) Решите уравнение (2sin left ( 2x+frac{pi }{3} right )+sqrt{6}cos x=sin (2x)-sqrt{3} ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [3pi ; frac{9pi }{2} right ] ).
• 1. а) ( (-1)^k cdot frac{pi}{4} +pi k, kin mathbb{Z} )
     б) ( -frac{13pi}{4} )
     а) Решите уравнение ( sqrt{2}sin x+2sinleft ( 2x-frac{pi}{6} right )=sqrt{3}sin(2x)+1 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [ -frac{7pi}{2}; -2pi right ] ).
  2. а) ( pi k; (-1)^{k+1} cdot frac{pi}{4} +pi k, kin mathbb{Z} )
     б) ( 2pi; 3pi; frac{7pi}{4} )
     а) Решите уравнение ( sqrt{2}sinleft ( 2x+frac{pi}{4} right )-sqrt{2}sin x=sin(2x)+1
     ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [ frac{3pi}{2}; 3pi right ] ).
  3. а) ( pi k, (-1)^k cdot frac{pi}{3} +pi k, kin mathbb{Z} )
     б) ( -3pi; -2pi; -frac{5pi}{3} )
     а) Решите уравнение ( sqrt{3}sin x+2sinleft ( 2x+frac{pi}{6} right )=sqrt{3}sin(2x)+1 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [ -3pi ; -frac{3pi}{2}right ] ).
  4. а) ( pi k; (-1)^{k} cdot frac{pi}{6}+pi k; kin mathbb{Z} )
     б) ( -frac{19pi }{6}; -3pi ; -2pi )
     а) Решите уравнение ( sin x+2sinleft ( 2x+frac{pi}{6} right )=sqrt{3}sin(2x)+1 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [ -frac{7pi}{2}; -2pi right ] ).
  5. а) ( pi k; (-1)^{k+1} cdot frac{pi}{6}+pi k; kin mathbb{Z} )
     б) ( frac{19pi }{6}; 3pi ; 2pi )
     а) Решите уравнение ( 2sin left ( 2x+frac{pi }{3} right )-sqrt{3}sin x = sin (2x)+sqrt{3} ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [2pi ; frac{7pi }{2} right ] ).
  6. а) ( pi k; (-1)^{k+1} cdot frac{pi}{4} +pi k, kin mathbb{Z} )
     б) ( -3pi; -frac{11pi}{4}; -frac{9pi}{4}; -2pi )
     а) Решите уравнение ( sqrt{6}sin x+2sin left ( 2x-frac{pi }{3} right ) = sin (2x)-sqrt{3}
     ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [ -frac{7pi}{2};-2pi right ] ).
• 1. а) (pm frac{pi}{2}+2pi k; pm frac{2pi}{3}+2pi k,kin mathbb{Z} )
     б) ( frac{7pi}{2};frac{9pi}{2};frac{14pi}{3} )
     а) Решите уравнение ( sqrt{2}sin(x+frac{pi}{4})+cos(2x)=sin x -1 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку (left [ frac{7pi}{2}; 5pi right ]).
  2. а) ( pm frac{pi }{2}+2pi k; pm frac{5pi }{6} +2pi k, kin mathbb{Z} )
     б) ( -frac{3pi}{2};-frac{5pi}{2} ;-frac{17pi}{6} )а) Решите уравнение ( 2sin(x+frac{pi}{3})+cos(2x)=sin x -1 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку (left [ -3pi;-frac{3pi}{2} right ] ).
  3. а) ( frac{pi}{2}+pi k; pm frac{pi}{3} +2pi k,kin mathbb{Z} )
     б) ( -frac{5pi}{2};-frac{5pi}{3};-frac{7pi}{3} )
     а) Решите уравнение ( 2sin(x+frac{pi}{3})-sqrt{3}cos(2x)=sin x +sqrt{3} ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку (left [ -3pi;-frac{3pi}{2} right ] ).
  4. а) ( frac{pi}{2}+pi k; pm frac{pi}{4} +2pi k,kin mathbb{Z} )
     б) ( frac{5pi}{2};frac{7pi}{2};frac{15pi}{4} )
     а) Решите уравнение ( 2sqrt{2}sin(x+frac{pi}{6})-cos(2x)=sqrt{6}sin x +1 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку (left [frac{5pi}{2}; 4pi; right ] ).
• 1. а)( (-1)^{k+1} cdot frac{pi }{3}+pi k ; pi k, kin mathbb{Z} )
     б) ( frac{11pi }{3}; 4pi ; 5pi )
     а) Решите уравнение ( sqrt{6}sinleft ( x+frac{pi }{4} right )-2cos^{2} x=sqrt{3}cos x-2 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [ frac{7pi }{2};5pi right ] ).
  2. а) ( pi k; (-1)^k cdot frac{pi }{4}+pi k, kin mathbb{Z} )
     б) ( -3pi; -2pi; -frac{7pi}{4} )
     а) Решите уравнение ( 2sqrt{2}sinleft ( x+frac{pi }{3} right )+2cos^{2} x=sqrt{6}cos x+2 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [ -3pi ; frac{-3pi }{2} right ] ).
  3. а) ( frac{3pi}{2}+2pi k, frac{pi}{6}+2pi k, frac{5pi}{6}+2pi k, kin mathbb{Z} )
     б) ( -frac{5pi}{2};-frac{11pi}{6} ;-frac{7pi}{6} )
     
     а) Решите уравнение ( 2sinleft ( x+frac{pi}{6} right )-2sqrt{3}cos^2 x=cos x -sqrt{3} ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку (left [ -frac{5pi}{2};-pi right ] ).
  4. а) ( 2pi k; frac{pi}{2}+pi k,kin mathbb{Z} )
     б) ( -frac{7pi}{2};;-frac{5pi}{2}; -4pi )
     а) Решите уравнение ( cos^2 x + sin x=sqrt{2}sinleft ( x+frac{pi}{4} right ) ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку (left [ -4pi; -frac{5pi}{2} right ]).
  5. а) ( pi k; (-1)^{k+1} cdot frac{pi}{6}+pi k, kin mathbb{Z} )
     б) ( -2pi; -pi ;-frac{13pi}{6} )
     
     а) Решите уравнение ( 2sinleft ( x+frac{pi}{6} right )-2sqrt{3}cos^2 x=cos x -2sqrt{3} ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку (left [ -frac{5pi}{2};-pi right ] ).
• 1. а) ( pi k; — frac{pi}{6}+2pi k; -frac{5pi}{6} +2pi k,kin mathbb{Z} )
     б) ( -frac{5pi}{6};-2pi; -pi )
     а) Решите уравнение ( 2sin^2 x+sqrt{2}sinleft ( x+frac{pi}{4} right )=cos x ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку (left [ -2pi;-frac{pi}{2} right ]).
  2. а) ( pi k; frac{pi}{4}+2pi k; frac{3pi}{4} +2pi k,kin mathbb{Z} )
     б) ( frac{17pi}{4};3pi; 4pi )
     а) Решите уравнение ( sqrt{6}sin^2 x+cos x =2sinleft ( x+frac{pi}{6} right ) ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку (left [ -2pi;-frac{pi}{2} right ]).
• 1. а) ( pi k; pm frac{pi}{3} +pi k, kin mathbb{Z} )
     б) ( 3pi; frac{10pi}{3};frac{11pi}{3};4pi; frac{13pi}{3} )
     а) Решите уравнение ( 4sin^3 x=3cosleft ( x-frac{pi}{2} right )
     ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [ 3pi; frac{9pi}{2} right ] ).
  2. а) ( frac{pi}{2} +pi k, pm frac{pi}{4} +pi k, kin mathbb{Z} )
     б) ( frac{5pi}{2}; frac{11pi}{4};frac{13pi}{4};frac{7pi}{2};frac{15pi}{4} )
     а) Решите уравнение (2sin^3 left ( x+frac{3pi}{2} right )+cos x=0 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [ frac{5pi}{2}; 4pi right ] ).
• 1. а) ( frac{pi}{2} +pi k, pm frac{pi}{4} +pi k, kin mathbb{Z} )
     б) ( -frac{15pi}{4};-frac{7pi}{2};-frac{13pi}{4};-frac{11pi}{4};-frac{5pi}{2}; )
     а) Решите уравнение ( 2cos^3 x=sin left ( frac{pi}{2}-x right ) ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [ -4pi; -frac{5pi}{2} right ] ).
  2. а) ( pi k, pm frac{pi}{6} +pi k, kin mathbb{Z} )
     б) ( -frac{19pi}{6};-3pi; -frac{17pi}{6};-frac{13pi}{6};-2pi; )
     а) Решите уравнение ( 4cos^3left ( x+frac{pi}{2} right )+sin x=0 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [ -frac{7pi}{2}; -2pi right ] ).
• 1. а) ( frac{pi}{2}+pi k; frac{pi}{4} +pi k,kin mathbb{Z} )
     б) ( -frac{7pi}{2};-frac{11pi}{4};-frac{9pi}{4} )
     а) Решите уравнение ( sin 2x+2sinleft ( 2x-frac{pi}{6} right )=sqrt{3}sin(2x)+1 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [ -frac{7pi}{2}; -2pi right ] ).
• 1. а) ( pi k; (-1)^k cdot frac{pi}{6} +pi k, kin mathbb{Z} )
     б) ( -3pi; -2pi; -frac{11pi}{6} )
     а) Решите уравнение ( 2sinleft ( x+frac{pi}{3} right )+cos(2x)=1+sqrt{3}cos x ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [ -3pi;-frac{3pi}{2} right ] ).
  2. а) (pi k; (-1)^{k+1} cdot frac{pi}{3} +pi k, kin mathbb{Z} )
     б) ( -3pi;-frac{8pi}{3};-frac{7pi}{3}; -2pi )
     а) Решите уравнение ( 2sqrt{3}sinleft ( x+frac{pi}{3} right )-cos(2x)=3cos x -1 ).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку ( left [ -3pi;-frac{3pi}{2} right ] ).

14: Углы и расстояния в пространстве

• 1. (frac{420}{29})
     В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки (A) и (B), а на окружности другого основания — точки ( B_1 ) и ( C_1 ), причем ( BB_1 )— образующая цилиндра, а отрезок ( AC_1 ) пересекает ось цилиндра.
     
     а) Докажите, что угол ( ABC_1 ) прямой.
     
     б) Найдите расстояние от точки (B) до прямой ( AC_1 ), если ( AB=21, B_1C_1=16, BB_1=12 ).
  2. 12
     В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки (A) и (B), а на окружности другого основания — точки ( B_1 ) и ( C_1 ), причем ( BB_1 )— образующая цилиндра, а отрезок ( AC_1 ) пересекает ось цилиндра.
     
     а) Докажите, что угол ( ABC_1 ) прямой.
     
     б) Найдите расстояние от точки (B) до прямой ( AC_1 ), если ( AB=15, B_1C_1=12, BB_1=16 ).
  3. (frac{120}{17})
     В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки (A) и (B), а на окружности другого основания — точки ( B_1 ) и ( C_1 ), причем ( BB_1 )— образующая цилиндра, а отрезок ( AC_1 ) пересекает ось цилиндра.
     
     а) Докажите, что угол ( ABC_1 ) прямой.
     
     б) Найдите расстояние от точки (B) до прямой ( AC_1 ), если ( AB=8, B_1C_1=9, BB_1=12 ).
  4. (frac{60}{13})
     В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки (A) и (B), а на окружности другого основания — точки ( B_1 ) и ( C_1 ), причем ( BB_1 )— образующая цилиндра, а отрезок ( AC_1 ) пересекает ось цилиндра.
     
     а) Докажите, что угол ( ABC_1 ) прямой.
     
     б) Найдите расстояние от точки (B) до прямой ( AC_1 ), если ( AB=12, B_1C_1=3, BB_1=4 ).
• 1. (arctan frac{17}{6})
     В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки (A) и (B), а на окружности другого основания — точки ( B_1 ) и ( C_1 ), причем ( BB_1 )— образующая цилиндра, а отрезок ( AC_1 ) пересекает ось цилиндра.
     
     а) Докажите, что угол ( ABC_1 ) прямой.
     
     б) Найдите угол между прямой ( AC_1 )и ( BB_1 ), если ( AB=8, B_1C_1=15, BB_1=6 ).
  2. (arctan frac{2}{3})В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки (A) и (B), а на окружности другого основания — точки ( B_1 ) и ( C_1 ), причем ( BB_1 )— образующая цилиндра, а отрезок ( AC_1 ) пересекает ось цилиндра.
     
     а) Докажите, что угол ( ABC_1 ) прямой.
     
     б) Найдите угол между прямой ( AC_1 )и ( BB_1 ), если ( AB=6, B_1C_1=8, BB_1=15 ).
• 1. 7.2В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки (A) и (B), а на окружности другого основания — точки ( B_1 ) и ( C_1 ), причем ( BB_1 )— образующая цилиндра, а отрезок ( AC_1 ) пересекает ось цилиндра.
     
     а) Докажите, что прямые (AB) и (B_1C_1) перпендикулярны.
     
     б) Найдите расстояние между прямыми (AC_1) и (BB_1), если (AB = 12, B_1C_1 = 9, BB_1 = 8).
  2. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки (A) и (B), а на окружности другого основания — точки ( B_1 ) и ( C_1 ), причем ( BB_1 )— образующая цилиндра, а отрезок ( AC_1 ) пересекает ось цилиндра.
     
     а) Докажите, что прямые (AB) и (B_1C_1) перпендикулярны.
     
     б) Найдите расстояние между прямыми (AC_1) и (BB_1), если (AB = 3, B_1C_1 = 4, BB_1 = 1).
• 1. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки (A) и (B), а на окружности другого основания — точки ( B_1 ) и ( C_1 ), причем ( BB_1 )— образующая цилиндра, а отрезок ( AC_1 ) пересекает ось цилиндра.
     
     а) Докажите, что прямые (AB) и (B_1C_1) перпендикулярны.
     
     б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15).
• 1. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки (A) и (B), а на окружности другого основания — точки ( B_1 ) и ( C_1 ), причем ( BB_1 )— образующая цилиндра, а отрезок ( AC_1 ) пересекает ось цилиндра.
     
     а) Докажите, что прямые (AB) и (B_1C_1) перпендикулярны.
     
     б) Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15).
• 1. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки (A) и (B), а на окружности другого основания — точки ( B_1 ) и ( C_1 ), причем ( BB_1 )— образующая цилиндра, а отрезок ( AC_1 ) пересекает ось цилиндра.
     
     а) Докажите, что прямые (AB) и (B_1C_1) перпендикулярны.
     
     б) Найдите объём цилиндра, если (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15).
  2. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки (A) и (B), а на окружности другого основания — точки ( B_1 ) и ( C_1 ), причем ( BB_1 )— образующая цилиндра, а отрезок ( AC_1 ) пересекает ось цилиндра.
     
     а) Докажите, что прямые (AB) и (B_1C_1) перпендикулярны.
     
     б) Найдите объём цилиндра, если (AB = 7, B_1C_1 = 24, BB_1 = 10).
  3. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки (A) и (B), а на окружности другого основания — точки ( B_1 ) и ( C_1 ), причем ( BB_1 )— образующая цилиндра, а отрезок ( AC_1 ) пересекает ось цилиндра.
     
     а) Докажите, что прямые (AB) и (B_1C_1) перпендикулярны.
     
     б) Найдите объём цилиндра, если (AB = 21, B_1C_1 = 15, BB_1 = 20).
• 1. (sqrt{5})
     В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки (A) , (B) и (C), а на окружности другого основания – точка (C_1), причем (CC_1) – образующая цилиндра, а (AC) – диаметр основания. Известно, что угол (ACB) равен 30 градусам.
     
     а) Докажите, что угол между прямыми (AC_1) и (BC_1) равен 45 градусам.
     
     б) Найдите расстояние от точки B до прямой (AC_1), если (AB = sqrt{6}, CC_1 = 2sqrt{3}).
• 1. (4pi)
     В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки (A) , (B) и (C), а на окружности другого основания – точка (C_1), причем (CC_1) – образующая цилиндра, а (AC) – диаметр основания. Известно, что угол (ACB) равен 30°, (AB = sqrt{2}, CC_1 = 2).
     
     а) Докажите, что угол между прямыми (AС_1) и (BC_1) равен 45 градусам.
     
     б) Найдите объём цилиндра.
  2. (16pi)
     В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки (A) , (B) и (C), а на окружности другого основания – точка (C_1), причем (CC_1) – образующая цилиндра, а (AC) – диаметр основания. Известно, что угол (ACB) равен 45°, (AB = 2sqrt{2}, CC_1 = 4).
     
     а) Докажите, что угол между прямыми (AC_1) и (BC) равен 60 градусам.
     
     б) Найдите объём цилиндра.
• 1. ( 2sqrt{3})В кубе (ABCDA_1B_1C_1D_1) все ребра равны 6.
     
     а) Докажите, что угол между прямыми (АС) и (BD_1) равен 60°.
     
     б) Найдите расстояние между прямыми (АС) и (BD_1).
• 1. ( frac{3sqrt{22}}{5} ) В правильной пирамиде (SABC) точки (M) и (N) – середины ребер (AB) и (BC) соответственно. На боковом ребре (SA) отмечена точка (K). Сечение пирамиды плоскостью (MNK) является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке (Q).
     
     а) Докажите, что точка (Q) лежит на высоте пирамиды.
     
     б) Найдите (QP), где (P) – точка пересечения плоскости (MNK) и ребра (SC), если (AB=SK=6 ) и (SA=8).
• 1. ( frac{24sqrt{39}}{7} ) В правильной пирамиде (SABC) точки (M) и (N) – середины ребер (AB) и (BC) соответственно. На боковом ребре (SA) отмечена точка (K). Сечение пирамиды плоскостью (MNK) является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке (Q).
     
     а) Докажите, что точка (Q) лежит на высоте пирамиды.
     
     б) Найдите объём пирамиды (QMNB), если (AB=12,SA=10 ) и (SK=2).
• 1. ( arctan 2sqrt{11} ) В правильной пирамиде (SABC) точки (M) и (N) – середины ребер (AB) и (BC) соответственно. На боковом ребре (SA) отмечена точка (K). Сечение пирамиды плоскостью (MNK) является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке (Q).
     
     а) Докажите, что точка (Q) лежит на высоте пирамиды.
     
     б) Найдите угол между плоскостями (MNK) и (ABC), если (AB=6, SA=12 ) и (SK=3).
• 1. ( frac{162sqrt{51}}{25} ) В правильной пирамиде (SABC) точки (M) и (N) – середины ребер (AB) и (BC) соответственно. На боковом ребре (SA) отмечена точка (K). Сечение пирамиды плоскостью (MNK) является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке (Q).
     
     а) Докажите, что точка (Q) лежит на высоте пирамиды.
     
     б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью (MNK), если (AB=12, SA=15 ) и (SK=6).

15: Неравенства

• 1. ( (-infty ;-12]cup left ( -frac{35}{8};0 right ])Решите неравенство ( log _{11} (8x^2+7)-log _{11} left ( x^2+x+1right )geq log _{11} left ( frac{x}{x+5}+7 right )
     ).
  2. ( (-infty ;-50]cup left ( -frac{49}{8};0 right ])Решите неравенство ( log _{5} (8x^2+7)-log _{5} left ( x^2+x+1right )geq log _{5} left ( frac{x}{x+7}+7 right )
     ).
  3. ( (-infty;-27]cup left ( -frac{80}{11};0 right ])Решите неравенство ( log _7 (11x^2+10)-log _7 left ( x^2+x+1right )geq log _7 left ( frac{x}{x+8}+10 right )
     ).
  4. ( (-infty ;-23]cup left ( -frac{160}{17};0 right ])Решите неравенство ( log _2 (17x^2+16)-log _2 left ( x^2+x+1right )geq log _2 left ( frac{x}{x+10}+16 right )
     ).
• 1. (left [frac{sqrt{3}}{3}; +infty right ) )Решите неравенство ( 2log _2 (xsqrt{3})-log _2 left ( frac{x}{x+1}right )geq log _2 left (3x^2+frac{1}{x} right )
     ).
  2. (left ( 0; frac{1}{4} right ]cup left [frac{1}{sqrt{3}};1 right ) )Решите неравенство ( 2log_3(xsqrt{3})-log_3left ( frac{x}{1-x} right )leq log_3 left ( 9x^{2}+frac{1}{x}-4 right )
     ).
  3. (left ( 0; frac{1}{5} right ]cup left [ frac{sqrt{2}}{2}; 1 right ) )Решите неравенство ( 2log_7(xsqrt{2})-log_7left ( frac{x}{1-x} right )leq log_7 left ( 8x^{2}+frac{1}{x}-5 right )
     ).
  4. (left ( 0; frac{1}{sqrt{5}} right ]cup left [frac{1}{2};1 right ) )Решите неравенство ( 2log_2(xsqrt{5})-log_2left ( frac{x}{1-x} right )leq log_2 left ( 5x^{2}+frac{1}{x}-2 right )
     ).
  5. (left ( 0; frac{1}{3} right ]cup left [frac{1}{2};1 right ) )Решите неравенство ( 2log_5(2x)-log_5left ( frac{x}{1-x} right )leq log_5 left ( 8x^{2}+frac{1}{x}-3 right )
     ).
• 1. ( (0; 1] cup [2; 1+sqrt{2}) )Решите неравенство ( log _7 (3-x)+log _7 left ( frac{1}{x}right )geq log _7 left ( frac{1}{x}-x+2 right )
     ).
  2. ( (0;1] cup left [3;frac{3+sqrt{13}}{2} right ) )Решите неравенство ( log _5 (4-x)+log _5 left ( frac{1}{x}right )geq log _5 left ( frac{1}{x}-x+3 right )
     ).
  3. ([1; 3] )Решите неравенство ( log _5 (4-x)+log _5 left ( frac{1}{x}right )leq log _5 left ( frac{1}{x}-x+3 right )
     ).
• 1. ((1; 1.5] cup [4;+infty) )Решите неравенство ( log _3 (x^2+2)-log _3 left ( x^2-x+12right )geq log _3 left ( 1-frac{1}{x} right )
     ).
  2. ( left (frac{1}{2}; frac{4}{3} right ]cup [3; +infty ) )Решите неравенство ( log _7 (2x^2+12)-log _7 left ( x^2-x+12right )geq log _7 left ( 2-frac{1}{x} right )
     ).
  3. ( (0.5;+infty) )Решите неравенство ( log _2 (2x^2+4)-log _2 left ( x^2-x+4right )geq log _2 left ( 2-frac{1}{x} right )
     ).
  4. ( (1; 2] cup [ 3.5;+infty) )Решите неравенство ( log _5 (x^2+4)-log _5 left ( x^2-x+14right )geq log _5 left ( 1-frac{1}{x} right )
     ).
  5. ( (1; 1.5] cup [ 4;+infty) )Решите неравенство ( log _3 (x^2+2)-log _3 left ( x^2-x+12right )geq log _3 left ( 1-frac{1}{x} right )
     ).
  6. ( left ( frac{1}{2}; frac{2}{3} right ] cup left [ 5; +infty right ) )Решите неравенство ( log _2 (2x^2+4)-log _2 left ( x^2-x+10right )geq log _2 left ( 2-frac{1}{x} right )
     ).
• 1. ( (-3; -2]cup [6; +infty) )Решите неравенство ( log_2 left (frac{3}{x}+2 right )-log_2(x+4)geq log_2left ( frac{x+3}{x^2} right )
     ).
  2. ([-2; -1.5)cup (0; 6] )Решите неравенство ( log_2 left (frac{3}{x}+2 right )-log_2(x+3)leq log_2left ( frac{x+4}{x^2} right )
     ).
  3. ( [-2; -1)cup (0; 9] )Решите неравенство ( log_5 left (frac{2}{x}+2 right )-log_5(x+3)leq log_5left ( frac{x+6}{x^2} right )
     ).
• 1. (left ( frac{sqrt{6}}{3};1 right )cup left ( 1; +infty right ))Решите неравенство ( log _5 (3x^2-2)-log _5 x< log _5 left ( 3x^2+frac{1}{x}-3 right ) ).
  2. (left ( frac{2}{5}; +infty right ))Решите неравенство ( log_3 (25x^2-4) -log_3 x leq log_3 left ( 26x^2+frac{17}{x}-10 right ) ).
  3. (left ( frac{5}{7}; +infty right ))Решите неравенство ( log_7 (49x^2-25) -log_7 x leq log_7 left ( 50x^2-frac{9}{x}+10 right ) ).
• 1. ( left [ -frac{1}{6}; -frac{1}{24} right )cup (0;+infty ) )Решите неравенство ( log_5(3x+1)+log_5 left ( frac{1}{72x^{2}}+1 right )geq log_5 left ( frac{1}{24x}+1 right )
     ).
  2. ( left [ -frac{1}{4}; -frac{1}{16} right )cup (0;+infty ) )Решите неравенство ( log_3(2x+1)+log_3 left ( frac{1}{32x^{2}}+1 right )geq log_3 left ( frac{1}{16x}+1 right )
     ).
• 1. (1)Решите неравенство ( log _2 (3-2x)+2log _2 left ( frac{1}{x}right )leq log _2 left ( frac{1}{x^{2}}-2x+2 right )
     ).
  2. ( (1; 3] )Решите неравенство ( log _2 (x-1)+log _2 left ( 2x+frac{4}{x-1}right )geq 2log _2 left (frac{3x-1}{2} right )
     ).
  3. ( left [ frac{1+sqrt{5}}{2}; +infty right ) )Решите неравенство ( log _2 (x-1)+log _2 left ( x^2+frac{1}{x-1}right )leq 2log _2 left (frac{x^2+x-1}{2} right )
     ).
  4. ( left [ 2; +infty right ) )Решите неравенство ( 2log _2 (x)+log _2 left ( x+frac{1}{x^2}right )leq 2log _2 left (frac{x^2+x}{2} right )
     ).
• 1. ( left [ frac{-5+sqrt{41}}{8}; frac{1}{2} right ) )Решите неравенство ( log _3 (1-2x)-log _3 left ( frac{1}{x}-2right )leq log _3 (4x^2+6x-1)
     ).
• 1. ( left [ frac{1}{6}; frac{1}{2} right ) )Решите неравенство ( 2log _2 (1-2x)-log _2 left ( frac{1}{x}-2right )leq log _2 (4x^2+6x-1)
     ).
• 1. ( (1; +infty) )Решите неравенство ( log _2 (x-1)+log _2 left ( 2x+frac{4}{x-1}right )geq log _2 left ( frac{3x-1}{2} right )
     ).
• 1. ( left [ frac{11+3sqrt{17}}{2}; +infty right ) )Решите неравенство ( log_2 (4x^2-1) -log_2 x leq log_2 left ( 5x+frac{9}{x}-11 right ) ).

18: Уравнения, неравенства, системы с параметром

• 1. $$ left ( -frac{4}{3}; -frac{3}{4}right ) cup left ( frac{3}{4}; 1right )cup left ( 1; frac{4}{3}right )$$
     Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     (x+ay-5)(x+ay-5a)=0
     \
     x^2+y^2=16
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

  2. $$ left ( -frac{3sqrt{7}}{7}; -frac{sqrt{7}}{3}right ) cup left ( frac{sqrt{7}}{3}; 1right )cup left ( 1; frac{3sqrt{7}}{7}right )$$
     Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     (x+ay-4)(x+ay-4a)=0
     \
     x^2+y^2=9
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

  3. $$ left ( -frac{3sqrt{5}}{2}; -frac{2sqrt{5}}{15}right ) cup left ( frac{2sqrt{5}}{15}; 1right )cup left ( 1; frac{3sqrt{5}}{2}right )$$ Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     (x+ay-7)(x+ay-7a)=0
     \
     x^2+y^2=45
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

  4. $$ left ( -2sqrt{2}; -frac{sqrt{2}}{4}right ) cup left ( frac{sqrt{2}}{4}; 1right )cup left ( 1; 2sqrt{2} right )$$ Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     (x+ay-3)(x+ay-3a)=0
     \
     x^2+y^2=8
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

• 1. $$ (1-sqrt{2}; 0) cup (0; 1.2) cup (1.2; 3sqrt{2}-3) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     x^2+y^2+2(a-3)x-4ay+5a^2-6a=0
     \
     y^2=x^2
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  2. $$ (4-3sqrt2; 1-frac{2}{sqrt5}) cup (1-frac{2}{sqrt5}; 1+frac{2}{sqrt5}) cup (frac{2}{3}+sqrt2; 4+3sqrt2) $$
     Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     x^2+y^2-4ax+6x-(2a+2)y+5a^2-10a+1=0
     \
     y^2=x^2
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

  3. $$ left ( -frac{2+sqrt{2}}{3}; -1 right )cup (-1; -0.6) cup (-0.6; sqrt{2}-2) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0
     \
     y^2=x^2
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

  4. $$ left ( frac{2}{9}; 2 right ) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2-8a+4=0
     \
     y^2=x^2
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

  5. $$ left ( 3-sqrt2; frac{8}{5} right ) cup left ( frac{8}{5}; 2 right ) cup left (2; frac{3+sqrt2}{ 2} right ) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     x^2+y^2-6(a-2)x-2ay+10a^2+32-36a=0
     \
     y^2=x^2
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

  6. $$ (1-sqrt2; 0) cup (0; 0.8 ) cup (0.8; 2sqrt2-2) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     x^2+y^2-2(a-4)x-6ay+10a^2-8a=0
     \
     y^2=x^2
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

• 1. $$ (2; 4)cup (6; +infty )$$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     x^4-y^4=10a-24
     \
     x^2+y^2=a
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  2. $$ (2; 6-2sqrt{2})cup(6+2sqrt{2};+infty) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     x^4-y^4=12a-28
     \
     x^2+y^2=a
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

• 1. $$ left ( -frac{3}{14}(sqrt2-4); frac{3}{5} right ]cup left [ 1; frac{3}{14}(sqrt2+4) right ) $$
     Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     x^4+y^2=a^2
     \
     x^2+y=|4a-3|
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

  2. $$ (4-2sqrt{2};frac{4}{3})cup(4;4+2sqrt{2}) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     x^4+y^2=a^2
     \
     x^2+y=|2a-4|
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

  3. $$ (5-sqrt{2};4)cup (4;5+sqrt{2})$$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     x^4+y^2=2a-7
     \
     x^2+y=|a-3|
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

  4. $$ left ( frac{1}{7}(4-sqrt2); frac{2}{5} right ) cup left ( frac{2}{5}; frac{1}{2} right ) cup left ( frac{1}{2} ; frac{1}{7}(sqrt2+4) right ) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     x^4+y^2=a^2
     \
     x^2+y=|4a-2|
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

• 1. $$ left ( frac{-2-sqrt{2}}{3}; -1 right )cup (-1; -0.6)cup (-0.6; sqrt{2}-2) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     (x-(2a+2))^2+(y-a)^2=1
     \
     y^2=x^2
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  2. $$(1-sqrt{2}; 0)cup(0; 1.2) cup (1.2; 3sqrt{2}-3) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     (x-(3-a))^2+(y-2a)^2=9
     \
     y^2=x^2
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

• 1. $$(-9.25; -3)cup (-3;3)cup (3; 9.25)$$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     y=(a+3)x^2+2ax+a-3
     \
     x^2=y^2
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

  2. $$(-4.25;-2)cup(-2;2)cup(2;4,25)$$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     y=(a+2)x^2-2ax+a-2
     \
     y^2=x^2
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

  3. $$(-4.25; -2)cup (-2;2)cup (2; 4.25)$$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     y=(a-2)x^2-2ax-2+a
     \
     y^2=x^2
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

• 1. $$ (-infty ; -3)cup (-3; 0)cup (3;frac{25}{8}) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

     (
     left{begin{matrix}begin{array}{lcl}
     ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0
     \
     x^2+y=xy+x
     end{array}end{matrix}right.
     )

     уравнений имеет ровно четыре различных решения.

• 1. $$left [ 0; frac{2}{3} right ]$$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

     (
     sqrt{x+2a-1}+sqrt{x-a}=1
     )

     имеет хотя бы одно решение.

19: Числа и их свойства

СПАСИБО

Проекты

1. «Ягубов.РФ» [Учителя]
2. «Ягубов.РФ» [Математика]
3. «Ягубов.РФ» [Группа ВК]
4. «РЕШУ ЕГЭ»
5. «Школково»
6. «Кот и Лис»
7. «AlexLarin»
8. «4ege»
9. «ЕГЭ 100БАЛЛОВ»

Люди

1. Никита Андреевич Рязанов
2. Ирина Витальевна Павлова
3. Татьяна Дмитриевна Реутская
4. Ларин Александр Александрович
5. Дмитрий Дмитриевич Гущин
6. Шеховцов Виктор Анатольевич
7. Ягубов Роман Борисович
8. Татьяна Вячеславовна
9. Диана Ермакова
10. Олег Суханов
11. Николай Гладышев
12. Галина Воробьёва
13. Давид Миносян
14. Жаннат Сидишева
15. Рамазан Саттаров
16. Андрей Иванов
17. Иван Зотов
18. Андрей Яковлев
19. Elena Khazhinskaya
20. Лёша Бывченко
21. Вадим Швець
22. Галина Васильевна
23. Галина Сосновская
24. Виктория Терехова
25. Minko Pheniko
26. Jack Williams