Сборник формул для егэ по математике профильный уровень

Ученики, сдающие базовую математику, почти не тратят времени на подготовку к ней, ведь в экзамене нужно решить лишь задания, которые требуют самых основ. Тем же выпускникам, которые хотят поступать в технические вузы, предстоит готовиться не только к предметам по выбору, но и к профилю. В этой статье мы расскажем, какие формулы для ЕГЭ по математике (профильный уровень) сделают подготовку легче, а баллы на экзамене — выше.

Формулы вероятности для егэ по профильной математике

Какие формулы необходимы для сдачи ЕГЭ по профильной математике?

Помимо очевидного, что для сдачи профиля нужно уметь складывать, вычитать и умножать, необходимы еще некоторые знания. Все это проходится в течение школы, но повторить или заполнить пробелы перед экзаменом нужно обязательно. Вот, что пригодится:

  • Формулы сокращенного умножения;
  • Арифметическая и геометрическая прогрессии;
  • Вероятность;
  • Свойства степеней;
  • Свойства логарифмов;
  • Тригонометрия;
  • Производные;
  • Первообразные.

Список внушительный, но вполне реальный, чтобы его выучить. Для того, чтобы лишний раз не гуглить в интернете «формулы для ЕГЭ по математике профильный уровень», приложим их ниже. А начнем по порядку из списка выше.

Формулы сокращённого умножения

Первые в нашем списке – формулы сокращенного умножения – нужны для решения задания №9 из профильного уровня. Вам встретятся задачи на преобразование выражений, поэтому умение это делать будет вознаграждено баллами.

Вот то, что будет вашим спасательным кругом:

Есть те, которые знать не обязательно. Но чем большими знаниями вы будете обладать, тем легче вам будет на экзамене. Вот они:

Умея применять эти формулы для ЕГЭ по математике, профильный уровень вам уже будет решить легче. Но это далеко не все, что нужно знать, чтобы получить сто баллов за ЕГЭ.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Для задания №19 нужно знание арифметической и геометрической прогрессии. Прикладываем формулы для ЕГЭ по математике, профильный уровень которой невозможен без их знания:

Вероятность

Вероятность встречается в задании №4, а ведь в самом начале обычно ставят легкие задания. Тем не менее, придется применять знания, которые представлены ниже:

Перейдем к свойствам степеней, ведь в них тоже есть, что запомнить.

Свойства степеней

Эти свойства нужно знать и для того, чтобы решить «базу», так что гуманитарии тоже могут обратить внимание на это:

Как вы видите, запоминать не очень много, зато формулы не самые простые. Но есть еще сложнее, и сейчас узнаем, какие они.

Свойства логарифмов

Формулы логарифмов лучше всего начать с их определения:

Теперь перейдем к более сложному:

Тригонометрия

Тригонометрические уравнения встречаются в задании №13. Для того, чтобы заработать баллы, нужно знать это:

Но это еще не все. Есть такая вещь, как основное тригонометрическое тождество. Вот оно:

Формулы двойного угла:

Формулы суммы и разности аргументов:

Преобразование суммы и разности в произведение:

Формулы половинного аргумента:

На этом с тригонометрией все.

Производные

Начнем с основных правил дифференцирования:

Уравнение касательной: 

Производные элементарных функций:

Закончим эту статью первообразными.

Первообразные

Она выглядит так:

Таблица первообразных:

Формулы для производных егэ по профильной математике

Итог

То, что работа предстоит колоссальная — и правда, и нет. Да, придется хорошо постараться, чтобы набрать высокие баллы, так как составители ЕГЭ все больше усложняют экзамен. С другой стороны, хотя бы часть формул, описанных выше, вы уже знаете. А значит, работы хоть на немного, но меньше. А это ли не счастье в такие тяжелые времена подготовки?

Геометрия

  • Треугольник
  • Четырехугольники
  • Окружность и круг
  • Призма
  • Пирамида
  • Усеченная пирамида
  • Цилиндр
  • Конус
  • Усеченный конус
  • Сфера и шар

1. Формулы сокращённого умножения

 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате =a в квадрате плюс 2ab плюс b в квадрате

 левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате =a в квадрате минус 2ab плюс b в квадрате

 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в кубе =a в кубе плюс 3a в квадрате b плюс 3ab в квадрате плюс b в кубе

 левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в кубе =a в кубе минус 3a в квадрате b плюс 3ab в квадрате минус b в кубе

a в квадрате минус b в квадрате = левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка

a в кубе плюс b в кубе = левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате минус ab плюс b в квадрате правая круглая скобка

a в кубе минус b в кубе = левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс ab плюс b в квадрате правая круглая скобка

Наверх

2. Модуль числа

Определение: left| a |= система выражений новая строка a,a больше или равно 0, новая строка минус a,a меньше 0. конец системы .

Основные свойства модуля:

|a| больше или равно 0;

|a|=| минус a|;

 система выражений новая строка |a| больше или равно a, новая строка |a| больше или равно минус a; конец системы .

|a|=a равносильно a больше или равно 0;

|a|= минус a равносильно a меньше или равно 0.

Наверх

3. Степень с действительным показателем

Свойства степени с действительным показателем

Пусть a больше 0,b больше 0,x принадлежит R ,y принадлежит R . Тогда верны следующие соотношения:

Наверх

4. Корень n-ой степени из числа

Корнем n-ой степени  левая круглая скобка n принадлежит N ,n больше или равно 2 правая круглая скобка из числа a называется число, n-ая степень которого равна a.
Арифметическим корнем четной степени n  левая круглая скобка n=2k,k принадлежит N правая круглая скобка из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.

Основные свойства арифметического корня:

a больше или равно 0: левая круглая скобка корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =a, корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =a, корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка = левая круглая скобка корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка , корень m степени из левая круглая скобка корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка правая круглая скобка = корень mn степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка ;

a принадлежит R : корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка = |a|;

a больше или равно 0,b больше или равно 0: корень n степени из левая круглая скобка ab правая круглая скобка = корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка умножить на корень n степени из левая круглая скобка b правая круглая скобка , корень n степени из левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка , знаменатель: корень n степени из левая круглая скобка b правая круглая скобка конец дроби  левая круглая скобка b не равно 0 правая круглая скобка ;

a меньше 0,b меньше 0: корень n степени из левая круглая скобка ab правая круглая скобка = корень n степени из левая круглая скобка минус a правая круглая скобка умножить на корень n степени из левая круглая скобка минус b правая круглая скобка , корень n степени из левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: корень n степени из левая круглая скобка минус a правая круглая скобка , знаменатель: корень n степени из левая круглая скобка минус b правая круглая скобка конец дроби ;

a больше или равно 0,b больше или равно 0:a корень n степени из левая круглая скобка b правая круглая скобка = корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка b;

a меньше 0,b больше или равно 0:a корень n степени из левая круглая скобка b правая круглая скобка = минус корень n степени из левая круглая скобка a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка b.

Наверх

5. Логарифмы

Определение логарифма: log _ab=cunderseta больше 0,a не равно 1mathop равносильно a в степени левая круглая скобка c правая круглая скобка =b.

Основное логарифмическое тождество: a в степени левая круглая скобка log правая круглая скобка _ab=b.

Основные свойства логарифмов

Пусть a больше 0, a не равно 1, b больше 0, b не равно 1, x больше 0, y больше 0, p принадлежит R . Тогда верны следующие соотношения:

Наверх

6. Арифметическая прогрессия

Формула n-го члена арифметической прогрессии: a_n=a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .

Характеристическое свойство арифметической прогрессии: a_n= дробь: числитель: a_n минус 1 плюс a_n плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби ,n больше или равно 2.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии: S_n= дробь: числитель: a_1 плюс a, знаменатель: 2 конец дроби n.

При решении задач, связанных с арифметической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:

S_n= дробь: числитель: 2a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби n;

S_n= дробь: числитель: 2a_n минус d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби n;

a_n= дробь: числитель: a_n минус k плюс a_n плюс k, знаменатель: 2 конец дроби ,k меньше n;

a_k плюс a_n=a_k минус m плюс a_n плюс m,m меньше k;

d= дробь: числитель: a_n минус a_k, знаменатель: n минус k конец дроби .

Наверх

7. Геометрическая прогрессия

Формула n-го члена геометрической прогрессии: a_n=a_1q в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .

Характеристическое свойство геометрической прогрессии: a_n в квадрате =a_n минус 1a_n плюс 1,n больше или равно 2.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии: S_n= дробь: числитель: a_1 минус a_nq, знаменатель: 1 минус q конец дроби , q не равно 1.

При решении задач, связанных с геометрической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:

S_n= дробь: числитель: a_1 левая круглая скобка 1 минус q в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус q конец дроби ;

a_n в квадрате =a_n минус ka_n плюс k,k меньше n;

a_ka_n=a_k минус ma_n плюс m,m меньше k;

|q|= корень n минус k степени из левая круглая скобка дробь: числитель: a правая круглая скобка _n, знаменатель: a_k конец дроби .

Наверх

8. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S= дробь: числитель: a_1, знаменатель: 1 минус q конец дроби .

Наверх

9. Основные формулы тригонометрии

Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента:

 синус в квадрате альфа плюс косинус в квадрате альфа =1;

 тангенс альфа = дробь: числитель: синус альфа , знаменатель: косинус альфа конец дроби ;

ctg альфа = дробь: числитель: косинус альфа , знаменатель: синус альфа конец дроби ;

 тангенс альфа ctg альфа =1;

1 плюс тангенс в квадрате альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате альфа конец дроби ;

1 плюс ctg в квадрате альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: синус в квадрате альфа конец дроби .

Формулы сложения:

 косинус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка = косинус альфа косинус бета минус синус альфа синус бета ;

 косинус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка = косинус альфа косинус бета плюс синус альфа синус бета ;

 синус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка = синус альфа косинус бета плюс косинус альфа синус бета ;

 синус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка = синус альфа косинус бета минус косинус альфа синус бета ;

 тангенс левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка = дробь: числитель: тангенс альфа плюс тангенс бета , знаменатель: 1 минус тангенс альфа тангенс бета конец дроби ;

 тангенс левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка = дробь: числитель: тангенс альфа минус тангенс бета , знаменатель: 1 плюс тангенс альфа тангенс бета конец дроби ;

ctg левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка = дробь: числитель: ctg альфа ctg бета минус 1, знаменатель: ctg бета плюс ctg альфа конец дроби ;

ctg левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка = дробь: числитель: ctg альфа ctg бета плюс 1, знаменатель: ctg бета минус ctg альфа конец дроби .

Формулы тригонометрических функций двойного аргумента: синус 2 альфа =2 синус альфа косинус альфа ;

 синус 2 альфа = дробь: числитель: 2 тангенс альфа , знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате альфа конец дроби ;

 косинус 2 альфа = косинус в квадрате альфа минус синус в квадрате альфа ;

 косинус 2 альфа =2 косинус в квадрате альфа минус 1;

 косинус 2 альфа =1 минус 2 синус в квадрате альфа ;

 косинус 2 альфа = дробь: числитель: 1 минус тангенс в квадрате альфа , знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате альфа конец дроби ;

 тангенс 2 альфа = дробь: числитель: 2 тангенс альфа , знаменатель: 1 минус тангенс в квадрате альфа конец дроби ;

ctg2 альфа = дробь: числитель: ctg в квадрате альфа минус 1, знаменатель: 2ctg альфа конец дроби .

Формулы понижения степени:

 синус в квадрате альфа = дробь: числитель: 1 минус косинус 2 альфа , знаменатель: 2 конец дроби ;

 косинус в квадрате альфа = дробь: числитель: 1 плюс косинус 2 альфа , знаменатель: 2 конец дроби ;

 тангенс в квадрате альфа = дробь: числитель: 1 минус косинус 2 альфа , знаменатель: 1 плюс косинус 2 альфа конец дроби ;

ctg в квадрате альфа = дробь: числитель: 1 плюс косинус 2 альфа , знаменатель: 1 минус косинус 2 альфа конец дроби .

Формулы приведения

Все формулы приведения получаются из соответствующих формул сложения. Например:

 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа правая круглая скобка = косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби косинус альфа минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби синус альфа = минус синус альфа .

Применение формул приведения укладывается в следующую схему:

— определяется координатная четверть, в которой лежит аргумент приводимой функции, считая, что  альфа принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ;

— определяется знак приводимой функции;

— определяется название приведенной функции по следующему правилу: если аргумент приводимой функции имеет вид  левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби pm альфа правая круглая скобка или  левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби pm альфа правая круглая скобка , то функция меняется на сходственную функцию, если аргумент приводимой функции имеет вид  левая круглая скобка Пи pm альфа правая круглая скобка , то функция названия не меняет.

Например, получим формулу  тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа правая круглая скобка :

 дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая круглая скобка — IV четверть;

— в IV четверти тангенс отрицательный;

— аргумент приводимой функции имеет вид  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа , следовательно, название функции меняется. Таким образом,  тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа правая круглая скобка = минус ctg альфа .

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

 синус альфа плюс синус бета =2 синус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби ;

 синус альфа минус синус бета =2 синус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби ;

 косинус альфа плюс косинус бета =2 косинус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби ;

 косинус альфа минус косинус бета = минус 2 синус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби синус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби ;

 тангенс альфа плюс тангенс бета = дробь: числитель: синус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка , знаменатель: косинус альфа косинус бета конец дроби ;

 тангенс альфа минус тангенс бета = дробь: числитель: синус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка , знаменатель: косинус альфа косинус бета конец дроби ;

ctg альфа плюс ctg бета = дробь: числитель: синус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка , знаменатель: синус альфа синус бета конец дроби ;

ctg альфа минус ctg бета = дробь: числитель: синус левая круглая скобка бета минус альфа правая круглая скобка , знаменатель: синус альфа синус бета конец дроби .

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

 косинус альфа косинус бета = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка правая круглая скобка ;

 синус альфа синус бета = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка правая круглая скобка ;

 синус альфа косинус бета = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка синус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка правая круглая скобка .

Наверх

10. Производная и интеграл

Таблица производных некоторых элементарных функций

Правила дифференцирования:

1.  левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка prime правая круглая скобка =f' левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс g' левая круглая скобка x правая круглая скобка ;

2.  левая круглая скобка cf левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка prime правая круглая скобка =cf' левая круглая скобка x правая круглая скобка ;

3.  левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка prime правая круглая скобка =f' левая круглая скобка x правая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка x правая круглая скобка g' левая круглая скобка x правая круглая скобка ;

4.  левая круглая скобка дробь: числитель: f левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: g левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка prime правая круглая скобка = дробь: числитель: f' левая круглая скобка x правая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка g' левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: g в квадрате левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби ;

5.  левая квадратная скобка f левая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка правая квадратная скобка в степени левая круглая скобка prime правая круглая скобка =f' левая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка g' левая круглая скобка x правая круглая скобка .

Уравнение касательной к графику функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка в его точке  левая круглая скобка x_0;f левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка правая круглая скобка :

y=f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_0 правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка .

Таблица первообразных для некоторых элементарных функций

Правила нахождения первообразных

Пусть F левая круглая скобка x правая круглая скобка ,G левая круглая скобка x правая круглая скобка ― первообразные для функций f левая круглая скобка x правая круглая скобка и g левая круглая скобка x правая круглая скобка соответственно, a, b, k ― постоянные, k не равно 0. Тогда:

F левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс G левая круглая скобка x правая круглая скобка ― первообразная для функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс g левая круглая скобка x правая круглая скобка ;

aF левая круглая скобка x правая круглая скобка ― первообразная для функции af левая круглая скобка x правая круглая скобка ;

 дробь: числитель: 1, знаменатель: k конец дроби F левая круглая скобка kx плюс b правая круглая скобка ― первообразная для функции f левая круглая скобка kx плюс b правая круглая скобка ;

— Формула Ньютона-Лейбница:  принадлежит t пределы: от a до b, f левая круглая скобка x правая круглая скобка dx=F левая круглая скобка b правая круглая скобка минус F левая круглая скобка a правая круглая скобка .

1. Треугольник

Пусть a,b,c ― длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC соответственно; p= дробь: числитель: a плюс b плюс c, знаменатель: 2 конец дроби ― полупериметр треугольника ABC; A, B, C ― величины углов BAC, ABC, ACB треугольника ABC соответственно; h_a,h_b,h_c ― длины высот AA2, BB2, CC2 треугольника ABC соответственно; R ― радиус окружности, описанной около треугольника ABC; r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC; S_vartriangle ABC ― площадь треугольника ABC. Тогда имеют место следующие соотношения:

 дробь: числитель: a, знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: b, знаменатель: синус B конец дроби = дробь: числитель: c, знаменатель: синус C конец дроби =2R (теорема синусов);

c в квадрате =a в квадрате плюс b в квадрате минус 2ab косинус C (теорема косинусов);

S_vartriangle ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ah_a;

S_vartriangle ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ab синус C;

S_vartriangle ABC= дробь: числитель: abc, знаменатель: 4R конец дроби ;

S_vartriangle ABC=pr;

S_vartriangle ABC= корень из p левая круглая скобка p минус a правая круглая скобка левая круглая скобка p минус b правая круглая скобка левая круглая скобка p минус c правая круглая скобка .

Наверх
2. Четырёхугольники

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны. Из определения следует, что квадрат является ромбом, следовательно, он обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.

Площадь четырехугольника

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Наверх

3. Окружность и круг

Соотношения между элементами окружности и круга

Пусть r — радиус окружности, d — ее диаметр, C — длина окружности, S — площадь круга, l_n градусов  — длина дуги в n градусов, l_ альфа  — длина дуги в  альфа радиан, S_n градусов  — площадь сектора, ограниченного дугой в n градусов, S_ альфа  — площадь сектора, ограниченного дугой в  альфа радиан. Тогда имеют место следующие соотношения:

Вписанный угол

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Вписанная окружность

Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка равноудаленная от всех сторон этого многоугольника, ― точка пересечения биссектрис углов этого многоугольника. Таким образом, в многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну, тогда и только тогда, когда биссектрисы его углов пересекаются в одной точке.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Описанная окружность

Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка равноудаленная от всех вершин этого многоугольника, ― точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника. Таким образом, около многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры к сторонам этого многоугольника пересекаются в одной точке.

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180 градусов.

Наверх

4. Призма

Пусть H ― высота призмы, AA1 ― боковое ребро призмы, P_осн ― периметр основания призмы, S_осн ― площадь основания призмы, S_бок ― площадь боковой поверхности призмы, S_полн ― площадь полной поверхности призмы, V ― объем призмы, P_bot  ― периметр перпендикулярного сечения призмы, S_bot  ― площадь перпендикулярного сечения призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:

S_бок=P_bot AA_1;

S_полн=2S_осн плюс S_бок;

V=S_bot AA_1;

V=S_оснH.

Свойства параллелепипеда:

— противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны;

— диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам;

— квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Наверх

5. Пирамида

Пусть H ― высота пирамиды, P_осн ― периметр основания пирамиды, S_осн ― площадь основания пирамиды, S_бок ― площадь боковой поверхности пирамиды, S_полн ― площадь полной поверхности пирамиды, V ― объем пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:

S_полн=S_осн плюс S_бок;

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_оснH .


Замечание.
Если все двугранные углы при основании пирамиды равны  бета , а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны h_бок, то S_бок= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби P_оснh_бок= дробь: числитель: S_осн, знаменатель: косинус бета конец дроби .

Наверх

6. Усечённая пирамида

Пусть H ― высота усеченной пирамиды, P_1 и P_2 ― периметры оснований усеченной пирамиды, S_1 и S_2 ― площади оснований усеченной пирамиды, S_бок ― площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, S_полн ― площадь полной поверхности усеченной пирамиды, V ― объем усеченной пирамиды.

Тогда имеют место следующие соотношения:

S_полн=S_1 плюс S_2 плюс S_бок;

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби H левая круглая скобка S_1 плюс S_2 плюс корень из S_1S_2 правая круглая скобка .

Замечание. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны  бета , а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны h_бок, то: S_бок= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка P_1 плюс P_2 правая круглая скобка h_бок= дробь: числитель: |S_1 минус S_2|, знаменатель: косинус бета конец дроби .

Наверх

7. Цилиндр

Пусть h ― высота цилиндра, r ― радиус цилиндра, S_бок ― площадь боковой поверхности цилиндра, S_полн ― площадь полной поверхности цилиндра, V ― объем цилиндра.

Тогда имеют место следующие соотношения:

S_бок=2 Пи rh;

S_полн=2 Пи r левая круглая скобка r плюс h правая круглая скобка ;

V= Пи r в квадрате h.

Наверх

8. Конус

Пусть h ― высота конуса, r ― радиус основания конуса, l ― образующая конуса, S_бок ― площадь боковой поверхности конуса, S_полн ― площадь полной поверхности конуса, V ― объем конуса.

Тогда имеют место следующие соотношения:

S_бок= Пи rl;

S_полн= Пи r левая круглая скобка r плюс l правая круглая скобка ;

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи r в квадрате h.

Наверх

9. Усечённый конус

Пусть h ― высота усеченного конуса, r и r_1 ― радиусы основания усеченного конуса, l ― образующая усеченного конуса, S_бок ― площадь боковой поверхности усеченного конуса, V ― объем усеченного конуса. Тогда имеют место следующие соотношения:

S_бок= Пи левая круглая скобка r плюс r_1 правая круглая скобка l;

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи h левая круглая скобка r в квадрате плюс rr_1 плюс r_1 в квадрате правая круглая скобка .

Наверх

10. Сфера и шар

Пусть R ― радиус шара, D ― его диаметр, S ― площадь ограничивающей шар сферы, S_h ― площадь сферической поверхности шарового сегмента (шарового слоя), высота которого равна h, V ― объем шара, V_сегм ― объем сегмента, высота которого равна h, V_сект ― объем сектора, ограниченного сегментом, высота которого равна h. Тогда имеют место следующие соотношения:

Наверх

Формулы ЕГЭ по математике

27.09.2013

Полный сборник красиво оформленных школьных формул по алгебре и геометрии.

В пособии содержатся все разделы школьной математики, все формулы и даны подробные описания к каждому из них.

Смотреть в PDF:

Скачайте в pdf файле.

По разделам:

Комментарии  


+30


#1
Плотников А.
04.06.2014 20:58

Класный сайт!


Цитировать


-4


#2
Гость
18.09.2014 11:22

Цитирую лоло:

:-x :-x

школоло не осилило :P


Цитировать


+10


#6
Ann
10.04.2015 19:04

Благодарю за формулы :)


Цитировать


+6


#7
Мария
25.04.2015 08:05

Спасибо огромное за такой хороший сайт! ;-)


Цитировать


+1


#9
настюша
16.05.2015 10:03

не все формулы по заданиям :cry:


Цитировать


+20


#10
Алина
30.05.2015 10:52

Очень помогли формулы. Ребята, кто ссдает ЕГЭ, удачи нам!


Цитировать


+2


#12
Анон
02.08.2015 12:30

Спасибо.
Прошу выложить так же и в разрешении .jpg
Так удобнее просматривать и использовать на разных девайсах.


Цитировать


-2


#13
Анон
02.08.2015 12:32

Цитирую Анон:

Спасибо.
Прошу выложить так же и в разрешении .jpg
Так удобнее просматривать и использовать на разных девайсах.

Оказалось они под катом, я имел в виду весь pdf-файл в формате .jpg КАЖДУЮ картинку.
Спасибо.


Цитировать


+5


#15
Мария
30.09.2015 06:52

Здравствуйте! Спасибо за формулы и такое яркое цветное оформление — это помогает запомнить. Не могли бы вы еще дополнить свой список формул формулами, связанными с прогрессиями — это тоже очень важно.


Цитировать


+4


#16
Мария
30.09.2015 07:18

и еще нет формул поверхности, боковой и общей, у пирамиды.


Цитировать


0


#17
настя
01.03.2016 15:18

Цитирую galaxe:

спасиб большое
:D

кто сдает гиа тому сюда


Цитировать


+4


#18
настя
01.03.2016 15:18

думаю мне пригодится для подготовки к гиа


Цитировать


-4


#21
а
03.03.2017 18:44

а это на профильный матан ил на базу?


Цитировать


+2


#23
Саша
28.01.2019 20:56

спасибо большое, очень помогли :roll: :roll:


Цитировать


+3


#24
Алексей Алексеевич
05.02.2019 14:23

Спасибо. А то нихера не помню а ЕГЭ уже скороо!!!!


Цитировать


-2


#25
Glebasta_Rhymes
13.05.2019 19:41

а где формулы призмы????????? ???????? :-?


Цитировать


0


#26
Татьяна
16.05.2019 04:06

А векторная часть? В 9 классе есть раздел векторов, координат векторов. Не нашла у вас этот раздел(((


Цитировать


+5


#27
Татьяна
16.05.2019 04:13

Не сказала вам огромное спасибо!!!! Работа проделана очень большая, поэтому благодарность вам за помощь :-) !!!


Цитировать


+1


#28
Мария
11.06.2019 12:07

Интересно ,мне эта информация поможет на экзамене по математике профиль?


Цитировать


0


#29
Нико
26.04.2022 06:55

Ещё бы среднюю линию, и было бы прекрасно


Цитировать

Добавить комментарий

Комментарии без регистрации. Несодержательные сообщения удаляются.

Формулы для профильного ЕГЭ-2022 по математике

Формулы сокращённого умножения
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Вероятность
Свойства степеней
Свойства логарифмов
Тригонометрия
Производные
Первообразные
Геометрия

Формулы сокращённого умножения

`(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2`  
`(a − b)^2=a^2 − 2ab + b^2`  
`a^2 − b^2=(a + b)(a − b)`  
   
`a^3 + b^3=(a + b)(a^2 − ab + b^2)`  
`a^3 − b^3=(a − b)(a^2 + ab + b^2)`  
   
`(a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3`
`(a − b)^3=a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3`

Прогрессии

Арифметическая прогрессия:

`a_n=a_(n-1)+d`
`a_n=a_1+(n-1)*d`
`S_n=((a_1+a_n)*n)/2`

Геометрическая прогрессия:

`b_n=b_(n-1)*q`
`b_n=b_1*q^(n-1)`
`S_n=((q^n-1)*b_1)/(q-1)`
Бесконечно убывающая: `S=b_1/(1-q)`

Вероятность

Вероятность события A: `P(A)=m/n`
     
События происходят A и B происходят одновременно `A*B`  
Независимые события: `P(A*B)=P(A)*P(B)`
Зависимые события: `P(A*B)=P(A)*P(B|A)`
     
Происходит или событие A, или B `A+B`  
Несовместные события: `P(A+B)=P(A)+P(B)`
Совместные события: `P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)`

Свойства степеней

`a^0=1` `a^1=a`
`a^(-1)=1/a` `a^(-n)=1/a^n`
`a^(1/2)=sqrt(a)` `a^(1/n)=root(n)(a)`
`a^m*a^n=a^(m+n)` `a^m/a^n=a^(m-n)`
`(a*b)^n=a^n*b^n` `(a/b)^n=a^n/b^n`
`(a^m)^n=a^(m*n)` `a^(m/n)=root(n)(a^m)`

Свойства логарифмов

`log_ab=c``a^c=b`
`log_a1=0`  
`log_aa=1`  
`log_a(b*c)=log_ab+log_ac`  
`log_a(b/c)=log_ab-log_ac`  
`log_ab^n=n*log_ab`  
`log_(a^m)b=1/m*log_ab`  
`log_ab=1/(log_ba)`  
`log_ab=(log_cb)/(log_ca)`  
`a^(log_cb)=b^(log_ca)`  
`a^(log_ab)=b`  

Тригонометрия

`alpha` `0` `pi/6` `pi/4` `pi/3` `pi/2` `pi` `(3pi)/2` `2pi`
`0^circ` `30^circ` `45^circ` `60^circ` `90^circ` `180^circ` `270^circ` `360^circ`
`sinalpha` `0` `1/2` `sqrt(2)/2` `sqrt(3)/2` `1` `0` `-1` `0`
`cosalpha` `1` `sqrt(3)/2` `sqrt(2)/2` `1/2` `0` `-1` `0` `1`
`text(tg)alpha` `0` `sqrt(3)/3` `1` `sqrt(3)` `infty` `0` `infty` `0`
`text(ctg)alpha` `infty` `sqrt(3)` `1` `sqrt(3)/3` `0` `infty` `0` `infty`

Основные соотношения

`sin^2alpha+cos^2alpha=1`
`text(tg)alpha=sinalpha/cosalpha=1/(text(ctg)alpha)`  

Формулы двойного угла

`cos2alpha={(cos^2alpha-sin^2alpha),(1-2sin^2alpha),(2cos^2alpha-1):}`
`sin2alpha=2sinalphacosalpha`  
`text(tg)2alpha=(2text(tg)alpha)/(1-text(tg)^2alpha)`  

Формулы суммы и разности аргументов

`sin(alpha+-beta)=sinalphacosbeta+-cosalphasinbeta`
`cos(alpha+-beta)=cosalphacosbeta∓sinalphasinbeta`
`text(tg)(alpha+-beta)=(text(tg)alpha+-text(tg)beta)/(1∓text(tg)alpha*text(tg)beta)`

Преобразование суммы и разности в произведение

`sinalpha+-sinbeta=2sin((alpha+-beta)/2)cos((alpha∓beta)/2)`
`cosalpha+cosbeta=2cos((alpha+beta)/2)cos((alpha-beta)/2)`
`cosalpha-cosbeta=-2sin((alpha+beta)/2)sin((alpha-beta)/2)`

Формулы половинного аргумента

`sin(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/2)`
`cos(alpha/2)=+-sqrt((1+cosalpha)/2)`
`text(tg)(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/(1+cosalpha))=(1-cosalpha)/sinalpha=sinalpha/(1+cosalpha)`  

Обратные тригонометрические функции

`sinx=A` `x=(-1)^k*arcsinA + pik`
или
`{(x=arcsinA + 2pik),(x=pi-arcsinA+2pik):}`
`kinZZ`
`cosx=A` `x=±arccosA + 2pik` `kinZZ`
`tg x=A` `x=text(arctg) A + pik` `kinZZ`
`ctg x=A` `x=text(arcctg) A + pik` `kinZZ`

Также некоторые тригонометрические соотношения смотрите в разделе Геометрия.

Производные

Основные правила дифференцирования

`(u+-v)’=u’+-v’`  
`(u*v)’=u’*v+u*v’`  
`(u/v)^’=(u’*v-u*v’)/v^2`  
`[f(g(x))]’=f'(g(x))*g'(x)`

Уравнение касательной

`y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)`
 

Производные элементарных функций

`C’=0` `(C*x)’=C`  
`(x^m)’=mx^(m-1)` `(sqrtx)’=1/(2sqrtx)`  
`(1/x)^’=-1/x^2`  
`(e^x)’=e^x` `(lnx)’=1/x`  
`(a^x)’=a^x*lna` `(log_ax)’=1/(xlna)`
`(sinx)’=cosx` `(cosx)’=-sinx`  
`(text(tg)x)’=1/cos^2x` `(text(ctg)x)’=-1/sin^2x`  
`(arcsinx)’=1/sqrt(1-x^2)` `(arccosx)’=-1/sqrt(1-x^2)`
`(text(arctg))=1/(1+x^2)’` `(text(arcctg))’=-1/(1+x^2)`  

Также некоторые сведения про производные смотрите в описании задач
№14 (база), №7 (профиль), №12 (профиль).

Первообразные

Первообразная: `F'(x)=f(x)`      
Неопределённый интеграл: `intf(x)dx=F(x)+C`    
Определённый интеграл (формула Ньютона-Лейбница): `int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)`

Таблица первообразных

`f(x)` `F(x)` `f(x)` `F(x)`
`a` `ax`      
`x^n` `x^(n+1)/(n+1)`   `1/x` `lnx`
`e^x` `e^x`   `a^x` `a^x/lna`
`sinx` `-cosx`   `cosx` `sinx`
`1/cos^2x` `text(tg)x`   `1/sin^2x` `-text(ctg)x`
`1/(x^2+a^2)` `1/atext(arctg)x/a`   `1/(x^2-a^2)` `1/(2a)ln|(x-a)/(x+a)|`
`1/sqrt(a^2-x^2)` `text(arcsin)x/a`   `1/sqrt(x^2+a)` `ln|x+sqrt(x^2+a)|`

Геометрия

Планиметрия (2D)

Площади фигур:

Окружность: `S=pir^2`  
Треугольник: `S=1/2ah`  
Параллелограмм: `S=ah`  
Четырёхугольник: `S=1/2d_1d_2sinvarphi`
Трапеция: `S=(a+b)/2*h`  

Стереометрия (3D)

Призма: `V=S_(осн)h`  
Пирамида: `V=1/3S_(осн)h`  
Конус: `V=1/3S_(осн)h`  
`S_(бок)=pirl`  
Цилиндр: `V=pir^2h`
  `S_(бок)=2pirh`
Шар: `V=4/3pir^3`  
`S=4pir^2`  

Как выучить все формулы по математике к ЕГЭ

Чтобы сдать ЕГЭ по математике, необходимо знать математические формулы из школьного курса алгебры и геометрии.

Для того, чтобы запомнить формулы школьной математики, желательно держать в течение всего года на видном месте шпаргалку с красиво написанными формулами. Таким образом подключается зрительная память и формулы лучше запоминаются.

Проверяйте себя время от времени: попробуйте написать все важные математические формулы по памяти, а затем проверьте. На самом деле, формул, которые надо выучить наизусть, не так много. И целого учебного года вполне достаточно, чтобы все выучить.

Многие алгебраические, геометрические, тригонометрические формулы можно быстро вывести прямо на экзамене, если Вы их забыли. Но на это придется потратить какое-то время. Поэтому преимущество получают те школьники, которые выучили формулы.
Зная математические формулы наизусть, можно гораздо быстрей решить сложные задачи по алгебре, тригонометрии и геометрии на ЕГЭ.

Мы собрали самые важные формулы из школьного курса математики, которые надо выучить для успешной сдачи ЕГЭ.

Математические формулы школьного курса алгебры

Степени и корни

Формулы сокращенного умножения

Квадратный трехчлен: квадратное уравнение, формулы Виета, разложение на множители

Логарифмические формулы

Формулы тригонометрии

Основные формулы тригонометрии

Тригонометрические уравнения

Значения тригонометрических функций

Формулы приведения

Сумма и разность углов

Формулы двойного и тройного аргумента

Формулы половинного аргумента

Сумма и разность тригонометрических функций

Произведение тригонометрических функций

Формулы дифференциального исчисления

Формулы векторной алгебры из школьного курса математики

Формулы арифметической и геометрической прогрессии

Геометрические формулы школьного курса математики для ЕГЭ

Планиметрия

Стереометрия

Выучить формулы по математике – это еще не все, что надо для успешной сдачи ЕГЭ. Опыт решения задач, знания правил оформления заданий на экзамене не менее важны. Приглашаем всех школьников 11-х классов на курсы подготовки к ЕГЭ ПАРАГРАФ. С нами Вы подготовитесь к ЕГЭ наиболее продуктивно.

Учите формулы по математике и сдавайте ЕГЭ на максимальные баллы!

DOC-шпаргалка — подборка всех основных формул по разделам, которые нужны при решении заданий ЕГЭ по математике базового или профильного уровня…

Скачать шпаргалку


Скриншот:


Все правила и формулы для егэ по математике профиль

Рейтинг: 3.6 из 5.0
Проголосовало: 17

Комментарии

Всего комментариев: 0

Полный сборник красиво оформленных школьных формул по алгебре и геометрии.

В пособии содержатся все разделы школьной математики, все формулы и даны подробные описания к каждому из них.

Смотреть в PDF: Скачайте pdf файл.

Можете записаться на занятия к репетитору математики, если что-то не понятно.

По разделам:

Степени и корни:

степени и корни

  Сокращенное умножение

:

сокращенное умножение

  Квадратный трехчлен: квадратное уравнение, формулы Виета, разложение на множители:
 квадратный трехчлен


 

Логарифмы:
 логарифмы

 

Формулы тригонометрии, тождества:
 формулы тригонометрии, тождества

 

Тригонометрические уравнения:
 тригонометрические уравнения, простейшие

 

Значения тригонометрических функций:
 значения тригонометрических функций

 

Формулы приведения:
 формулы приведения

 

Сумма и разность углов:
 сумма и разность углов

 

Формулы двойного и тройного аргумента:
 формулы двойного и тройного аргумента

 

Формулы половинного аргумента:
 формулы половинного аргумента

 

Сумма и разность тригонометрических функций:
 сумма и разность в тригонометрии

 

Произведение тригонометрических функций:
 произведение в тригонометрии

 

Производная: признаки возрастания, убывания, минимума функции:
 производные

 

Дифференциальное исчисление:
 дифферецниальное исчесление

 

Геометрия: формулы площадей. Прямоугольники, окружности, трапеции:
 
геометрия
 

Стереометрия: объёмы, площади поверхностей:

стереометрия

Обратиться к репетитору по математике.

Формулы для ЕГЭ по математике

На ЕГЭ формулами пользоваться нельзя, нужно их помнить! 

В этой подборке формул использованы 3 основных принципа, для упрощения запоминания:

  • Выбраны только те формулы, которые могут встретиться на ЕГЭ по математике (это лишь часть того, что изучено в школе);
  • Формулы разобраны на тематические блоки;
  • Блоки формул выделены цветовым фоном, который позволяет, всего после нескольких обращений, вспоминать картинку и буквально читать с нее нужную формулу.

Как легко запомнить именно нужные формулы из всего курса математики? 

Для подготовки нужно выбрать такое оформление математических формул, чтобы они отложились в памятки наиболее эффективно. 

Все формулы по математике. Скачать

Все формулы для подготовки к ЕГЭ по математике в одном PDF-документе. 

  • Числа, дроби, модули
  • Формулы сокращенного умножения
  • Степени и корни
  • Квадратные уравнения
  • Прогрессии
  • Логарифмы
  • Тригонометрия
    • Основные соотношения
    • Перевод из радианной меры углов в градусную и обратно
    • Основные значения тригонометрических функций
    • Знаки тригонометрических функций
    • Формулы сложения
    • Формулы двойных углов
    • Формулы тройных углов
    • Формулы половинных углов
    • Формулы приведения
    • Формулы преобразования суммы и разности
    • Формулы преобразования произведения
    • Обратные тригонометрические функции
    • Простейшие тригонометрические уравнения
  • Основные элементарные функции
    • Таблица основных элементарных функций
    • Графики основных элементарных функций
  • Планиметрия
    • Треугольник
      • Основные величины и соотношения
      • Замечательные точки и линии в треугольнике
      • Формулы площади треугольника
      • Прямоугольный треугольник
      • Правильный треугольник
    • Четырехугольники
      • Квадрат
      • Прямоугольник
      • Параллелограмм
      • Ромб
      • Трапеция
    • Окружность и круг
  • Стереометрия
    • Куб
    • Параллелепипед
    • Пирамида
    • Усеченная пирамида
    • Цилиндр
    • Конус
    • Усеченный конус
    • Сфера и шар
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

Оценка: 3.4 из 18

Комментарии

Всего комментариев: 0

ВСЕ формулы по математике для ЕГЭ

Кто сдаёт ЕГЭ по профильной математике? Это вам! 🎁 

Собрали в удобном мини-формате все формулы, которые пригодятся при подготовке к ЕГЭ! 🙂

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!

Редакция Без Сменки

Редакция Без Сменки

Вам также будет интересно

Достижения Вавилова

Почему Вавилов — гений?

У него есть 2 основных заслуги и личная трагедия с репрессиями —…

СССР накануне войны

❗️август 1939 г. — подписание руководителями внешнеполитических ведомств СССР и Германии В.М….


0 комментария

Авторизуйтесь, чтобы оставить комментарий.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Сборник форм егэ 2022 для ппэ
  • Сборник фипи по русскому языку 2023 егэ скачать
  • Сборник фипи по математике 2023 егэ профильный уровень
  • Сборник фипи по математике 2022 егэ профильный уровень
  • Сборник фипи по информатике егэ 2023