Сборник ларина егэ 2023 математика профиль

Задание 1

Ответ: 20

Задание 2

Ответ: 84

Скрыть

Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей параллелепипедов с ребрами 1, 6, 4 и 1, 4, 4 уменьшенной на удвоенную площадь квадрата стороной 4:

$$S=2(4cdot1+6cdot1+4cdot6)+2(4cdot1+4cdot1+4cdot4)-2(4cdot4)=84$$

Задание 3

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 35% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 60% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 55% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Ответ: 0,2

Скрыть

Сначала определим вероятность того, что было куплено яйцо высшего сорта у первого или второго хозяйства. Пусть событие $$A$$ означает яйцо высшей категории, а события $$B_1$$ и $$B_2$$ определяют то, что яйцо высшей категории было произведено 1-м и 2-м хозяйством соответственно. Тогда условные вероятности $$P(A|B_1)$$ и $$P(A|B_2)$$ будут означать, вероятности закупки яйца первой категории у 1-го и 2-го хозяйства соответственно. По формуле полной вероятности найдем вероятность того, что будет куплено яйцо высшей категории, имеем:

$$P(AB_1)+B(AB_2)=P(A|B_1)cdot P(B_1)+P(A|B_2)cdot P(B_2)=$$

$$=0,35cdot P(B_1)+0,6cdot(1-P(B_1))=-0,25cdot P(B_1)+0,6$$

По условию задачи эта вероятность равна 0,55, следовательно, вероятность того, что купленное яйцо произведено в первом хозяйстве, равна:

$$P(B_1)=(0,55-0,6):(-0,25)=0,2$$.

Задание 4

Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечётных чисел, а чётные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Ответ: 0,2

Скрыть

Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков, равна $$frac{1}{6}cdotfrac{1}{6}+frac{1}{6}cdotfrac{1}{6}=frac{1}{18}.$$ 

Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 4 и 6 встречаются по два раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков, равна $$frac{2}{6}cdotfrac{2}{6}+frac{2}{6}cdotfrac{2}{6}=frac{2}{9}.$$ 

Таким образом, искомая вероятность равна $$frac{frac{1}{18}}{frac{1}{18}+frac{2}{9}}=frac{1}{1+4}=0,2.$$

Задание 5

Решите уравнение $$sqrt[x]{64}-sqrt[x]{2^{3x+3}}+12=0.$$

Ответ: 3

Скрыть

$$sqrt[x]{64}-sqrt[x]{2^{3x+3}}+12=0$$

$$sqrt[x]{2^6}-sqrt[x]{2^{3x+3}}+12=0$$

$$(sqrt[x]{2^3})^2-2^{3}cdotsqrt[x]{2^3}+12=0$$

Замена: $$sqrt[x]{2^3}=y>0$$

$$y^2-8y+12=0Rightarrow (y-2)(y-6)=0Rightarrowleft[begin{matrix} y=2\ y=6 end{matrix}right.Leftrightarrowleft[begin{matrix} sqrt[x]{2^3}=2\ sqrt[x]{8}=6 end{matrix}right.Leftrightarrow x=3$$

Предполагается, что $$xin N,$$ поэтому $$sqrt[x]{8}=6$$ не имеет решений.

Задание 6

Найдите $$tg a,$$ если $$frac{5sin a-4cos a-2}{5sin a+cos a-3}=frac{2}{3}.$$

Ответ: 2,8

Скрыть

$$frac{5sin a-4cos a-2}{5sin a+cos a-3}=frac{2}{3}Leftrightarrow 15sin a-12cos a-6=10sin a+2cos a-6Rightarrow$$

$$Rightarrow5sin a=14cos a; |:cos aRightarrow 5tg a=14Rightarrow tg a=2,8$$

Задание 7

Ответ: 1

Скрыть

На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на правой границе отрезка, т. е. в точке $$1.$$

Задание 8

Ответ: 25

Скрыть

Необходимо рассчитать значение $$t,$$ при котором $$l(t)=l_0+3cdot10^{-3}$$ метров. Воспользуемся законом изменения длины рельс от температуры и выразим температуру, получим:

$$l_0+3cdot10^{-3}=l_0+l_0at$$

$$l_0at=3cdot10^{-3}$$

$$t=frac{3cdot10^{-3}}{l_0a}$$

$$t=frac{3cdot10^{-3}}{10cdot1,2cdot10^{-5}}=frac{3cdot10^{-3}}{12cdot10^{-5}}=25$$

Задание 9

Ответ: 4

Скрыть

Необходимо понять, как протекает данный процесс.

За точку, которая передвигается, принимается нос второго сухогруза. В таком случае он проходит сначала расстояние 300 метров, потом длину первого 120 метров, потом свою длину 80 метров, и только с этого момента начинает его опережать, то есть проходит еще 300 метров. В таком случае общий путь S=800 метров = 0,8 км.

Далее можно рассмотреть эту задачу немного иначе.

Раз один догоняет другого, мы можем представить, что первый стоит, а второй двигается к нему со скоростью, равной разности их скоростей, то есть то, что мы ищем.

Время представляем в часах: 0,2 часа и далее применяем стандартную формулу нахождения скорости через расстояние и время.

Получаем: $$v=frac{0,8}{0,2}=4$$

Задание 10

Ответ: -6

Скрыть

Очевидно, что это правый график (у $$f(x)$$: $$a=-4$$ — сужение как у левого). $$g(x)$$ проходит через $$(2;3)$$ и $$(1;5).$$ Получим:

$$left{begin{matrix} 3=acdot2^2+bcdot2+5\ 5=acdot1^2+bcdot1+5 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} 4a+2b=-2\ a+b=0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} 4a+2b=-2\ 4a+4b=0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} 2b=2\ 4a+4=0 end{matrix}right.Leftrightarrow$$

$$Leftrightarrowleft{begin{matrix} b=1\ a=-1 end{matrix}right.$$

Получим $$g(x)=-x^2+x+5.$$ Тогда:

$$-4x^2-23x-31=-x^2+x+5Leftrightarrow 3x^2+24x+36=0Rightarrow x^2+8x+12=0Rightarrow$$

$$Rightarrowleft[begin{matrix} x=-2\ x=-6 end{matrix}right.$$

Тогда $$B_x=-6$$

Задание 11

Ответ: 0

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$${y}’=frac{1}{2sqrt{2lg x-1}}*frac{2}{xln 10}-frac{1}{xln10}=0$$

$$frac{1}{xln 10}(frac{1}{2sqrt{2lg x-1}})=0$$

$$left{begin{matrix}xneq 0 \sqrt{2lg x-1}=1(1)end{matrix}right.$$

$$(1): sqrt{2lg x-1}=1Leftrightarrow$$ $$2lg x-1leq 1Leftrightarrow$$ $$2lg x=2Leftrightarrow$$ $$lg x=1Leftrightarrow x=10$$

$$y(10)=y=sqrt{2lg 10-1}-lg 10=1-1=0$$

А) Решите уравнение $$cos x+sqrt{frac{2-sqrt{2}}{2}cdot(sin x+1)}=0$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-frac{11pi}{2};-4pi]$$

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка L — середина бокового ребра SB. На ребре SA взята точка К так, что SK:KA=1:2.

А) Докажите, что плоскость DKL параллельна боковому ребру SC.

Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью DKL, если все ребра пирамиды равны 24.

Андрей планирует 19 декабря взять в банке кредит на 3 года в размере 2 029 000 рублей. Сотрудник банка предложил Андрею два различных плана погашения кредита, описание которых приведено в таблице.

На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат Андрея банку по более выгодному плану погашения кредита?

В трапеции ABCD известно, что $$BC || AD, angle ABC=90^{circ}.$$ Прямая, перпендикулярная стороне CD, пересекает сторону АВ в точке М, а сторону CD — в точке N, DH — перпендикуляр, опущенный из точки D на прямую МС.

А) Докажите, что расстояние от точки А до прямой BN равно $$frac{BNcdot DH}{MC}$$

Б) Найдите отношение боковых сторон трапеции, если $$MC = 4, BN = 2$$

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение

$$cossqrt{2pi ax-4x^2}+cos2sqrt{2pi ax-4x^2}=0$$

имеет ровно два решения.

А) Уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ и $$cx^2+bx+a=0$$ имеют корни, которые являются целыми числами. Коэффициенты уравнений являются натуральными числами (необязательно различными). Причем корни первого уравнения равны корням второго. Решите эти уравнения.

Б) Найдите квадратные уравнения $$ax^2+bx+c=0,$$ для которых коэффициенты $$a,b,c$$ являются корнями.

В) Три числа $$a,b,c$$ отличны от нуля. Квадратные уравнения

$$ax^2+bx+c=0$$

$$bx^2+cx+a=0$$

$$cx^2+ax+b=0$$

имеют общий корень. Решите эти уравнения.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.