Сборник логарифмических неравенств егэ

ЕГЭ Профиль №15. Логарифмические неравенстваadmin2018-12-04T23:18:21+03:00

Нашли ошибку в заданиях? Оставьте, пожалуйста, отзыв.

15 заданием профильного ЕГЭ по математике является неравенство. Самым часто встречаемым неравенством, которое предлагают на реальных экзаменах в 15 задание, является логарифмическое неравенство. При решении логарифмических неравенств, в большинстве случаев (но не всегда) необходимо полностью находить область допустимых неравенств. Большая часть логарифмических неравенств, предлагаемых на реальных экзаменах, решается с помощью замен, методом интервалов или разложением на множители. Прежде чем решать логарифмические неравенства необходимо выучить свойства логарифмов, свойства логарифмической функции и уметь решать логарифмические уравнения. В данном разделе представлены логарифмические неравенства (всего 138) разбитые на два уровня сложности. Уровень А — это простейшие логарифмические неравенства, которые являются подготовительными для решения реальных логарифмических неравенств предлагаемых на ЕГЭ по профильной математике. Уровень В — состоит из неравенств, которые предлагали на реальных ЕГЭ и в диагностических работах прошлых лет.

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
НЕРАВЕНСТВА В ЕГЭ

Сечин Михаил Александрович

Малая академия наук учащейся молодежи РК
«Искатель»

МБОУ « Советская СШ №1», 11 класс, пгт.
Советский Советского района

Гунько Людмила Дмитриевна, учитель МБОУ «
Советская СШ №1»

Советского района

      Цель работы:
исследование механизма решения логарифмических неравенств С3 при помощи
нестандартных методов, выявление интересных фактов  логарифма.

      Предмет исследования:

1)Найти необходимые сведения о
нестандартных методах решения логарифмических неравенств. 

2)Найти дополнительные сведения о
логарифмах.

3)Научиться решать конкретные
логарифмические неравенства С3 с помощью нестандартных методов. 

      Результаты:

Практическая значимость заключается в
расширении аппарата для решения  задач С3. Данный материал можно будет
использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных
занятий по математике.

Проектным продуктом станет сборник
«Логарифмические неравенства С3 с решениями».

Содержание

Введение………………………………………………………………………….4

Глава 1. История вопроса………………………………………………………5

Глава 2. Сборник логарифмических
неравенств ………………………… 7

2.1. Равносильные переходы и обобщенный
метод интервалов……………    7

2.2. Метод рационализации    …………………………………………………
15

2.3. Нестандартная подстановка………………………………………………………..  
22

2.4. Задания с ловушками……………………………………………………    
27

Заключение……………………………………………………………………   30

Литература…………………………………………………………………….   31

Введение

    
     Я учусь в 11 классе и планирую поступить в ВУЗ,
где профильным предметом является математика. А поэтому много работаю с
задачами части С. В задании С3 нужно решить нестандартное неравенство или
систему неравенств, как правило, связанное с логарифмами. При подготовке к
экзамену я столкнулся с проблемой дефицита методов и приёмов решения
экзаменационных логарифмических неравенств, предлагаемых в С3. Методы, которые
изучаются в школьной программе по этой теме, не дают базу для решения заданий
С3. Учитель по математике предложила мне поработать с заданиями С3
самостоятельно под её руководством. Кроме этого, меня заинтересовал вопрос: а в
жизни нашей встречаются логарифмы?

        С учетом
этого и была выбрана тема:

                  
«Логарифмические неравенства в ЕГЭ»

      Цель работы:
исследование механизма решения задач С3 при помощи нестандартных методов, выявление
интересных фактов  логарифма.

      Предмет
исследования:

1)Найти необходимые
сведения о нестандартных методах решения логарифмических неравенств. 

2)Найти дополнительные
сведения о логарифмах.

3)Научиться решать
конкретные  задачи С3 с помощью нестандартных методов. 

      Результаты:

Практическая значимость
заключается в расширении аппарата для решения  задач С3. Данный материал можно
будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных
занятий по математике.

Проектным продуктом
станет сборник «Логарифмические неравенства С3 с решениями».

                           
      Глава 1. История вопроса

На
протяжении 16 века быстро возрастало количество приближённых  вычислений,
прежде всего, в астрономии. Совершенствование  инструментов, исследование
планетных движений и другие работы  потребовали колоссальных, иногда
многолетних, расчетов. Астрономии грозила реальная опасность утонуть в
невыполненных расчётах. Трудности возникали и в других областях, например, в
страховом деле нужны были таблицы сложных процентов для различных  значений
процента. Главную трудность представляли умножение, деление многозначных чисел,
особенно тригонометрических величин.

Открытие
логарифмов опиралось на хорошо известные к концу 16 века свойства прогрессий. О
связи между членами геометрической прогрессии q, q2, q3, … и арифметической
прогрессией их показателей 1, 2, 3,… говорил еще в «Псалмите»
Архимед. Другой предпосылкой было распространение понятия степени на
отрицательные и дробные показатели. Многие авторы указывали, что умножению,
делению, возведению в степень и извлечению корня в геометрической прогрессии
соответствуют в арифметической — в том же порядке — сложение, вычитание,
умножение и деление.

Здесь скрывалась идея
логарифма как показателя степени.

В истории развития учения
о логарифмах прошло несколько этапов.

1 этап

Логарифмы
были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским
бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги
(1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений,
хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил
логарифмическую     функцию   и, тем самым, вступил в новую область теории  
функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем,
определение логарифма у обоих не похоже на современное. Термин
«логарифм» (logarithmus) принадлежит Неперу. Он возник из сочетания
греческих слов: logos — «отношение» и ariqmo — «число»,
которое означало «число отношений». Первоначально Непер пользовался
другим термином: numeri artificiales- «искусственные числа», в
противоположность numeri naturalts -«числам естественным».

               В 1615
году в беседе с профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом
(1561-1631) Непер предложил принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм
десяти — 100, или, что сводится к тому же, просто 1. Так появились десятичные
логарифмы и были напечатаны первые   логарифмические   таблицы. Позже таблицы
Бригса дополнил голландский книготорговец и любитель математики Андриан Флакк
(1600-1667). Непер и Бригс, хотя пришли к логарифмам раньше всех, опубликовали
свои таблицы позже других — в 1620 году. Знаки log и Log были введены в 1624
году И. Кеплером. Термин «натуральный логарифм» ввели Менголи в 1659
г. и вслед за ним Н. Меркатор в 1668 г., а издал таблицы натуральных
логарифмов чисел от 1 до 1000 под названием «Новые логарифмы»
лондонский учитель Джон Спейдел.

              На русском
языке первые   логарифмические   таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех  
логарифмических   таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые
безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого
математика К. Бремикера (1804-1877).

2 этап

Дальнейшее
развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической
геометрии и исчисления бесконечно малых. К тому времени относится установление
связи между квадратурой равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом.
Теория логарифмов этого периода связана с именами целого ряда математиков.

Немецкий математик, астроном
и инженер Николаус Меркатор в сочинении

«Логарифмотехника»
(1668) приводит ряд, дающий разложение ln(x+1) по

степеням х:

Это
выражение в точности соответствует ходу его мысли, хотя он, конечно,
пользовался не знаками d, , … , а более громоздкой символикой. С открытием  
логарифмического   ряда изменилась техника вычисления логарифмов: они стали
определяться с помощью бесконечных рядов. В своих лекциях «Элементарная
математика с высшей точки зрения», прочитанных в 1907-1908 годах, Ф. Клейн
предложил использовать формулу в качестве исходного пункта построения теории
логарифмов.

3 этап

Определение  
логарифмической     функции   как   функции   обратной

показательной, логарифма
как показателя степени данного основания

было сформулировано не
сразу. Сочинение Леонарда Эйлера (1707-1783)

«Введение в анализ
бесконечно малых» (1748 г.) послужило дальнейшему

развитию теории  
логарифмической     функции. Таким образом,

прошло 134 года с тех
пор, как логарифмы впервые были введены

(считая с 1614
г.), прежде чем математики пришли к определению

понятия логарифма,
которое положено теперь в основу школьного курса.

                   Глава
2. Сборник логарифмических неравенств

              2.1.
Равносильные переходы и обобщенный метод интервалов.

Равносильные переходы

 ,
если   а > 1

,
если  0 <
а <
1

Обобщённый метод
интервалов

Данный способ наиболее
универсален при решении неравенств практически любого типа. Схема решения
выглядит следующим образом:

1. Привести неравенство к
такому виду, где в левой части находится функция , а в правой 0.

2. Найти область
определения функции .

3. Найти нули функции , то есть – решить уравнение  (а решать уравнение обычно
проще, чем решать неравенство).

4. Изобразить на числовой
прямой область определения и нули функции.

5. Определить знаки
функции  на полученных
интервалах.

6. Выбрать интервалы, где
функция принимает необходимые значения, и записать ответ.

Пример 1.

Решение:

Применим метод интервалов

При этих значениях все выражения, стоящие под
знаками логарифмов, положительны.

Ответ:

Пример 2.

Решение:

1-й способ. ОДЗ
определяется неравенством x > 3.
Логарифмируя при таких  x по основанию 10, получаем

Последнее неравенство
можно было бы решать,  применяя правила разложения, т.е. сравнивая с нулём сомножители.
Однако в данном случае легко определить интервалы знакопостоянства функции

поэтому можно применить
метод интервалов.

Функция f(x)
= 2x(x — 3,5)lgǀ x — 3ǀ непрерывна
при x > 3 и обращается в ноль в точках x₁ =
0, x₂ = 3,5, x₃ =
2, x₄ = 4. Таким образом, определяем интервалы
знакопостоянства функции  f(x):

 

Ответ:

2-й способ. Применим
непосредственно к исходному неравенству идеи метода интервалов.

Для этого напомним, что
выражения a^b — a^c и (a —
1)(b — 1) имеют один знак. Тогда наше неравенство при x > 3
равносильно неравенству

или

Поcледнее неравенство
решается методом интервалов

Ответ:

Пример 3.

Решение:

Неравенство равносильно
совокупности систем

Применим метод интервалов

Ответ:

Пример 4.

Решение:

Так как 2x² —
3x + 3 > 0 при всех действительных x, то неравенство
равносильно системе

Для решения второго
неравенства воспользуемся методом интервалов

В первом неравенстве
сделаем замену

тогда приходим к
неравенству 2y² — y — 1 < 0 и, применив
метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, которые
удовлетворяют неравенству -0,5 < y < 1.

Откуда, так как

получаем неравенство

которое выполняется при
тех x, для которых 2x² — 3x — 5
< 0. Вновь применим метод интервалов

Теперь с учетом решения
второго неравенства системы окончательно получаем

Ответ:

Пример 5.

Решение:

Неравенство равносильно
совокупности систем

или

Применим метод
интервалов                   или

Ответ:

Пример 6.

Решение:

Неравенство равносильно
системе

Пусть		тогда y > 0,		и первое неравенство
системы принимает вид		или, раскладывая
квадратный трехчлен на множители,

Применяя к последнему
неравенству метод интервалов,

видим, что его решениями,
удовлетворяющими условию y > 0 будут все y >
4.

Таким образом исходное
неравенство эквивалентно системе:

Итак, решениями неравенства являются все

                               
2.2. Метод рационализации.   

Раньше
методом рационализации неравенства не решали, его не знали. Это «новый
современный эффективный метод решения показательных и логарифмических
неравенств» (цитата из книжки Колесниковой С.И.)
И даже, если педагог его знал, была опаска — а знает ли его эксперт ЕГЭ, а
почему в школе его не дают? Были ситуации, когда учитель говорил ученику:
«Где взял? Садись — 2.»
         Сейчас метод повсеместно продвигается. И для экспертов есть
методические указания, связанные с этим методом, и в «Самых полных
изданиях типовых вариантов …» в решении С3 используется этот метод.
МЕТОД ЧУДЕСНЫЙ!

                                    
«Волшебная таблица»

В других источниках

если a>1
и b>1,
то log_ab>0
и  (a-1)(b-1)>0;

если a>1
и  0<b<1,
то log_ab<0
и  (a-1)(b-1)<0;

если 0<a<1
и b>1,
то log_ab<0
и (a-1)(b-1)<0;

если 0<a<1
и 0<b<1,
то  log_ab>0
и  (a-1)(b-1)>0.

Проведенные рассуждения
несложные, но заметно упрощающие решение логарифмических неравенств.

           

                 

                          

                  

                    

Пример 4.

                                        
log_x(x²-3)<0

Решение:

Пример 5.

                                
log_2x(2x²-4x+6)≤log_2x(x²+x)

Решение:

   Ответ. (0; 0,5)U[2;
3].

 Пример 6.

                                       

Для решения этого
неравенства вместо знаменателя запишем (х-1-1)(х-1), а вместо числителя —
произведение (х-1)(х-3-9+х).

  Ответ: (3;6)

     Пример
7.

Пример 8.

                          
 2.3. Нестандартная подстановка.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

                                 
log₄(3^x-1)log_0,25

Сделаем замену у=3^х-1;
тогда данное неравенство примет вид

Log₄log_0,25.

Так как log_0,25=
—log₄=
-(log₄y—log₄16)=2-log₄y,
то перепишем последнее неравенство в виде 2log₄y—log₄²y≤.

Сделаем замену t=log₄y
и получим неравенство t²-2t+≥0, решением которого являются
промежутки —<t≤ и ≤t<+.

Таким образом, для
нахождения значений у имеем совокупность двух простейших неравенств  Решение этой совокупности
есть промежутки 0<у≤2 и 8≤у<+.

Следовательно, исходное
неравенство равносильно совокупности двух показательных неравенств,    то есть совокупности

Решением первого
неравенства этой совокупности является промежуток 0<х≤1, решением второго –
промежуток 2≤х<+.
Таким образом, исходное неравенство выполняется для всех значений х из
промежутков 0<х≤1 и 2≤х<+.

Пример 8.

                          

Решение:

Неравенство равносильно
системе

Решением второго
неравенства, определяющего ОДЗ, будет множество тех x,

для которых x >
0.

Для решения первого
неравенства сделаем замену

Тогда получаем
неравенство

или

Множество решений
последнего неравенства находится методом

интервалов: -1 < t <
2. Откуда, возвращаясь к переменной x, получаем

или

Множество тех x,
которые удовлетворяют последнему неравенству

принадлежит ОДЗ (x >
0), следовательно, является решением системы,

а значит,
и исходного неравенства.

Ответ:

                             
2.4. Задания с ловушками.

Пример 1.

                                                     .

Решение.
ОДЗ неравенства есть все х, удовлетворяющие условию 0<x≤1.
Х=1 не является решением исходного неравенства. Для всех х из промежутка 0<x<1
имеем log₅x<0,
а .   Следовательно, все
х из промежутка 0<x<1 являются
решениями исходного неравенства.

Пример 2.

                                 log₂(2^x+1-x²)>log₂(2^x-1+1-x)+1.

Решение.
Отыскание ОДЗ в данном случае – непростая задача, поэтому поступим иначе.
Исходное неравенство равносильно системе неравенств

Последнее неравенство
системы равносильно неравенству х²-2х+1<0, не имеющему
решений. Следовательно, рассмотренная система неравенств не имеет решений,
значит, и исходное неравенство не имеет решений.

Пример 3.

 .

Ключевым моментом в
решении данного неравенства является поиск его области определения.

Решением данной системы
являются два числа,  и . Осталось подстановкой
выяснить, какие из этих чисел удовлетворяют неравенству.

1. При  неравенство принимает вид:  – истинно.

2. При  неравенство принимает вид: . Для установления истинности
или ложности этого неравенства сделаем ряд преобразований:  – ложно.

Ответ: .

Пример 4.

                          
               

Решение систем по технике
решения не отличается от решения неравенств. Однако иногда возникают трудности
с ответом, основанные на сравнении чисел.

Опустив решение каждого
из неравенств,  приведем только множества их решений. Первое , второе . Для нахождения пересечения этих множеств надо
сравнить два числа  и .

При затруднениях в
сравнении двух чисел обычно используют два приема. Во-первых, можно составить
разность этих чисел и преобразовать ее до вида, из которого очевиден ее знак.
Во-вторых, иногда можно найти граничное число такое, что одно из чисел больше
граничного, а другое меньше.

Воспользуемся первым вариантом.
Разность . Заметим, что
число , следовательно,  и .

Ответ: .

Пример 5.

                              

Решением первого
неравенства является множество . Второе неравенство сводится к виду . Решение неравенства с
учетом ОДЗ . Чтобы найти
пересечение множеств необходимо сравнить два числа  и . В данном случае можно заметить, что число  находится между этими
числами. Почему именно ?
Дело в том, что второе число с очевидностью больше чем , т.к. . Первое число находится между  и , но ближе к . Строго доказать, что , можно составив разность  и преобразовав ее к виду .    Ответ:

                                       
        Заключение

Было
не просто найти из большого обилия разных учебных источников особые методы
решения задач С3. В ходе проделанной работы мне удалось изучить нестандартные
методы решения сложных логарифмических неравенств. Это: равносильные переходы и
обобщённый метод интервалов, метод рационализации, нестандартная
подстановка, задания с ловушками на ОДЗ. В школьной программе эти методы
отсутствуют.

 Разными
методами я решил 27 неравенств, предлагаемых на ЕГЭ в части С, а именно С3. Эти
неравенства с решениями по методам легли в основу сборника «Логарифмические
неравенства С3 с решениями», который стал проектным продуктом моей
деятельности. Гипотеза, поставленная мною вначале проекта, подтвердилась:
задачи С3 можно эффективно решать, зная эти методы.

Кроме
этого,  я выявил интересные факты логарифмов. Мне это было интересно делать.
Мои проектные продукты будут полезны как для учащихся, так и для учителей.

Выводы:

         Таким образом,
поставленная цель проекта достигнута, проблема решена. А я получил
наиболее полный и разносторонний опыт проектной деятельности на всех этапах
работы. В ходе работы над проектом у меня основное развивающее воздействие 
было оказано на мыслительную компетентность, деятельность, связанную с
логическими мыслительными операциями, развитие творческой компетентности,
личной инициативы, ответственности, настойчивости, активности.

Гарантией
успеха при создании исследовательского проекта для  меня
стали: значительный школьный опыт, умение добывать информацию из различных
источников, проверять ее достоверность, ранжировать ее по значимости.

         Кроме
непосредственно предметных знаний по математике, расширил свои практические 
навыки  в области информатики, получил новые знания и опыт в области
психологии, наладил контакты с одноклассниками, научился сотрудничать с
взрослыми людьми. В ходе проектной деятельности развивались организационные,
интеллектуальные и коммуникативные  общеучебные умения и навыки.

                             
            Литература

1. Корянов А. Г.
,Прокофьев А. А. Системы неравенств с одной переменной (типовые задания С3).

2. Малкова А. Г. Подготовка
к ЕГЭ по математике.

3. Самарова С. С. Решение
логарифмических неравенств.

4. Математика. Сборник
тренировочных работ под редакцией А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. -М.: МЦНМО,
2009. — 72 с.- 

5. Математика .
Тематические тесты. Часть 2.  Подготовка  к  ЕГЭ -2010.10-11
классы /

Ф. Ф. Лысенко. —
Ростов-на-Дону: Легион, 2009. — 176 с. — (Готовимся  к   ЕГЭ )

6.Самое полное издание
типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ :
2010:  Математика /авт.-сост. И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и
др.;

7.ЯщенкоИ.В.,ШестаковС.А.,ЗахаровП.И.Подготовка  к  ЕГЭ   по   математике  в
2010 году. Методические рекомендации.

8.Универсальные материалы
для подготовки учащихся / ФИПИ — М: Интеллект-Центр, 2010. — 96 с. (Под
редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко).

9. Сайт Дмитрия Гущина
«РЕШУ ЕГЭ».

Блок 1. Логарифмические неравенства. Равносильные преобразования (схемы) для простых неравенств

Блок 2. Логарифмические неравенства. Равносильные преобразования (схемы) для более сложных неравенств

Блок 3. Логарифмические неравенства. Метод замены множителей (метод рационализации)

Блок 4. Логарифмические неравенства. Метод замены множителей (метод рационализации) и замена переменных

Блок 5. Логарифмические неравенства. Закрепление метода замены множителей (метода рационализации) и метода замены переменных

Блок 6. Логарифмические неравенства. Использование свойств логарифмической функции

По теме: методические разработки, презентации и конспекты