Главная » Алгебра » Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике и алгебре и началам анализа за курс средней школы. 11 класс — Дорофеев Г.В.
Настоящий сборник заданий предназначен для итоговой аттестации в 11 классе по курсу Математика (курс А) и по курсу Алгебра и начала анализа (курс В). Тексты заданий предполагаются открытыми для использования в обычном учебном процессе или при специальной подготовке (например, в системе экстерната). Экзаменационная работа, составляемая на основе сборника, содержит десять заданий.
- Рубрика: Алгебра / 11 класс
- Автор: Дорофеев Г.В.
- Год: 2008
- Для учеников: 11 класс
- Язык учебника: Русский
- Формат: PDF
- Страниц: 161
- 60
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
скачать учебник Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена, курс средней школы. 11 класс
Комментариев (0)
Добавить комментарий
СБОРНИК ТРЕНИРОВОЧНЫХ ЗАДАНИЙ
К ЭКЗАМЕНАМ ПО МАТЕМАТИКЕ В ФОРМАТЕ ЕГЭ
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ СПО И НПО
Преобразование степенных и дробно-иррациональных выражений.
- Степени и корни
Степень с целым показателем
(n раз, 
),
Свойства:
Корень n-й степени
— арифметический корень n-й степени из числа 
Свойства:
В частности, 
— арифметический квадратный корень:
Степень с дробным (рациональным) показателем
Свойства степени с действительным показателем
ВЫЧИСЛИТЕ:
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
- Логарифмы. Логарифмические уравнения
ВЫЧИСЛИТЬ:
; 
; 
; 
; 
; 
;
|
Найдите корень уравнения log2(4 – x)=7 ; log2(15 + x) =log23 ; log4(x + 3) = log4(4x – 15); log5(5 – x) = 2log53 ; |
|
- Показательные неравенства
Неравенство вида
в зависимости от основания эквивалентно следующему:
при a>1 f(x)>g(x);
при 0.
Неравенство вида
эквивалентно следующему неравенству:
при a>1 f(x);
при 0g(x).
Чтобы пользоваться свойством монотонности показательной функции следует путем надлежащих преобразований добиться одинаковых оснований в левой и правой частях неравенства
РЕШИТЬ НЕРАВЕНСТВА
0,42х+1≥0,16; 5(x2 — 2*x — 1) = 25; 
; 
; 
; 
; 
- Тригонометрические уравнения
sin x = a
Если | a | > 1, то уравнение sin x = a не имеет корней. (Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней
Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ( —1)n arcsin a + πn, n ∈ Z.
Частные случаи:
1. sin x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ Z.
2. sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
3. sin x = -1 ⇒ x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z.
cos x = a
Если | a | > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. (Например, уравнение cos x = —1,5 не имеет корней)
Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ±arccos a + πn, n ∈ Z.
Частные случаи:
1. cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn, n ∈ Z.
2. cos x = 1 ⇒ x = 2πn, n ∈ Z.
3. cos x = -1 ⇒ x = π + 2πn, n ∈ Z.
tg x = a
Уравнение tg x = a имеет корни при любом значении a.
Корни уравнения выражаются формулой x = arctg a + πn, n ∈ Z.
ctg x = a
Уравнение ctg x = a имеет корни при любом значении a.
Корни уравнения выражаются формулой x = arcctg a + πn, n ∈ Z.
; 
; 
; 
- Производная функции. Исследование функции.
Если функция f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Следствие. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.
Достаточные признаки монотонности функции.
- Еслиf ‘( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале.
- Если f ‘( x ) < 0 в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция f ( x ) убывает на этом интервале.
Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.
Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.
Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.
Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум).
Необходимое условие экстремума. Если x0 — точка экстремума функции f ( x ) и производная f’ существует в этой точке, то f’ ( x0 ) = 0.
Эта теорема — необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке.
Достаточные условия экстремума.
- Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума.
- Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.
Найдите наибольшее значение функции y = e2x – 6ex + 3 на отрезке [1; 2]
Найдите наименьшее значение функции 
Найдите точку максимума функции 
Найдите точку минимума функции 
Найдите точку минимума функции 
- Чтение графиков
При ответе на вопрос необходимо: использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, анализировать реальные числовые данные; осуществлять практические расчеты по формулам, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах; описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках.
На графике, изображенном на рисунке, представлено изменение биржевой стоимости акций газодобывающей компании в первые две недели ноября. 2 ноября бизнесмен приобрел 10 акций этой компании. Шесть из них он продал 7 ноября, а 13 ноября — остальные 4. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций (все операции проводились в момент открытия биржи)?
Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением, которое можно менять, поворачивая рукоятку в салоне машины. При этом меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя – чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и тем быстрее вращается мотор отопителя. На рисунке показана зависимость силы тока от величины сопротивления. На оси абсцисс откладывается сопротивление (в Омах), на оси ординат – сила тока в Амперах. Сколько Ампер составляет сила тока в цепи при сопротивлении 2,5 Ом?
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде (Горьком) за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в 1994 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
- Реальная математика (Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни)
- В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,4 рубля. Во втором банке 30 фунтов — за 1446 рублей. В третьем банке 12 фунтов стоят 561 рубль. Какую наименьшую сумму (в рублях) придется заплатить за 10 фунтов стерлингов?
- В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10000 руб., он получает сертификат на 1000 рублей, который можно обменять в том же магазине на любой товар ценой не выше 1000 руб. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель И. хочет приобрести пиджак ценой 9500 руб., рубашку ценой 800 руб. и галстук ценой 600 руб.
В каком случае И. заплатит за покупку меньше всего:
1) И. купит все три товара сразу.
2) И. купит сначала пиджак и рубашку, галстук получит за сертификат.
3) И. купит сначала пиджак и галстук, получит рубашку за сертификат.
4)В ответ запишите, сколько рублей заплатит И. за покупку в этом случае. ?
3. В среднем гражданин А. в дневное время расходует 120 кВт·ч электроэнергии в месяц, а в ночное время — 185 кВт·ч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,40 руб. за кВт·ч. Год назад А. установил двухтарифный счётчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,40 руб. за кВт·ч, а ночной расход оплачивается по тарифу 0,60 руб. за кВт·ч. В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А. за этот период, если бы не поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях.
4. Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за 28 секунд. Петя загружает файл размером 28 Мб за 24 секунды, а Миша загружает файл размером 38 Мб за 32 секунды. Сколько секунд будет загружаться файл размером 665 Мб на компьютер с наибольшей скоростью загрузки?
8. Теория вероятности. (Классическое определение теории вероятности)
Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m к n, где n – это число всех возможных исходов эксперимента, а m – это число всех благоприятных исходов.P(A) = m/n, где m — число благоприятствующих событию A исходов, n – число всех элементарных равновозможных исходов. Формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша.
- В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
- На соревнования по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Швейцарии, 6 из Великобритании и 2 из Чехии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает девятым, будет из Чехии.
- Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 качественных сумок приходится две сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
- Конкурс исполнителей длится 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день запланировано 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса.
- В среднем из 150 аккумуляторов, поступивших в продажу, 9 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.
ВАРИАНТЫ ВЫПУСКНЫХ ЭКЗАМЕНОВ ЗА КУРС СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
с 1967 до 2008 года
В 1967 был проведён эксперимент, а с 1968 года устные выпускные экзамены по алгебре и началам анализа во всех советских школах стали письменными. С 1967 до начала 70-х годов экзамен состоял из четырёх, затем пяти, а с 1990 года — шести неизвестных заранее задач, составляемых министерством образования. С 2002 по 2008 год этот способ проверки знаний использовался только для учащихся математических и физико-математических классов. Для тех, кто занимался по базовой или гуманитарной программе, в 2001 году был вновь был проведен эксперимент, а с 2002 года проводился экзамен по открытым текстам: вариант состоял из 10 заданий, взятых из заранее опубликованного задачника. Продолжительность экзаменов составляла 5 астрономических часов.
Ниже мы приводим задания выпускных экзаменов по математике, проводившихся в России с 1967 до 2008 год включительно, пока эта форма экзамена не уступила место единому новой, в формате ЕГЭ и ГВЭ. Для базовых, физико-математических и математических классов ежегодно составлялось несколько экзаменационных работ по нескольким часовым поясам, каждая в двух равноценных вариантах. Обозначение 1991-Э1-2 означает второй вариант первой работы 1991 года. Варианты углубленной программы до 1977 года и те, у которых стоит метка «ищем», мы найти не смогли. Если они у вас есть — присылайте.
Базовые классы (1940, 1942, 1948, 1967—2003)
Не следует считать, что варианты для учащихся, изучавших математику на базовом уровне, очень уж простые. В каждом из них есть задания на производные и интегралы, а пятые и шестые задачи иногда могут поставить в тупик даже хорошо подготовленного ученика.
Задания для базовых классов по задачнику Г. В. Дорофеева (2002—2008)
C 2002 года проводился экзамен по открытым текстам: вариант состоял из 10 заданий, взятых из заранее опубликованного задачника, составленного авторским коллективом под редакцией Г. В. Дорофеева. В сборнике было несколько частей, содержащих как самые простые задания, так и довольно трудные. Ежегодно экзаменационная комиссия формировала несколько десятков комплектов заданий из разных частей сборника. В день экзамена в прямом эфире телевидения каждого региона в лототроне разыгрывался номер комплекта. Затем номера заданий выпавшего комплекта записывались на доску, а школьники решали задания, пользуясь розданными им задачниками.
Физико-математические классы (1996—2008)
Базовая программа математике была рассчитана на 3 урока алгебры и начал анализа и 2 урока геометрии в неделю. Учащиеся, у которых было 6 уроков математики в неделю изучали ее на повышенном уровне. Темы для изучения были те же, что и по базовой программе, однако уровень задач был более сложным и приближенным к вариантам вступительных экзаменов технических вузов.
Математические классы (?—2008)
Углубленная программа изучения математики была рассчитана минимум на 5 уроков алгебры и начал анализа и 3 урока геометрии в неделю. Этот курс отличался гораздо большей глубиной и широтой изучения материала. В частности, в курс входила комбинаторика, многочлены, метод математической индукции, производные высших степеней, теории вероятностей, пределы, комплексные числа. Знания этих разделов проверялись на выпускных экзаменов, которые тем самым зачастую превосходили по сложности уровень вступительных испытаний рядового технического вуза.
C 1990 по 2002 год в Санкт-Петербурге проводились необычные экзамены по математике. Они составлялись на французский манер из четырех-пяти заданий-сюжетов, объединенных общей темой — так проводят экзамены во Франции. В каждом сюжете было по четыре задания. Два первых сюжета были обязательными, а из оставшихся ученик выбирал один по своему усмотрению. Пятерка выставлялась за верное решение любых 10 из 12 полученных заданий. Экзамены проводились на гуманитарном, базовом (с 1993 года по 2001 год, кроме 1998 года), углубленном (с 1992 по 2001 год, кроме 1998 года) и профильно-элитарном уровнях (с 1991 по 2002 год). Последний вариант проводился в конце мая и был добровольным, если «школьная» оценка за этот экзамен не устраивала ученика, он сдавал обычный выпускной экзамен в июне, а успешная сдача засчитывалась как выпускной экзамен и как вступительный экзамен в Санкт-Петербургский государственный университет.
Санкт-петербургские экзамены для базовых классов (1993—2001)
Санкт-петербургские экзамены для изучавших математику на повышенном и углубленном уровне (для физико-математических и математических классов) (1992—2001)
Санкт-петербургские профильно-элитарные экзамены (1990—2002)
С 2009 по 2015 год выпускные экзамены из школ были объединены со вступительными экзаменами в вузы и проводились в формате Единого государственного экзамена. С 2016 года ЕГЭ по математике стал проводиться в двух форматах: к прежнему (профильному) экзамену, объединяющему в себе выпускной и вступительный экзамен, добавился экзамен другой структуры и сложности, называвшийся ЕГЭ по базовой математике.
В 2020 году ЕГЭ по базовой математике был отменен (школьники могли выпуститься из школы, не сдавая экзаменов), а в 2021 году экзаменом для выпускников школ, не планирующих поступать в университеты, был ГВЭ — государственный выпускной экзамен. ЕГЭ профильного уровня по-прежнему сочетает в себе функции впускного экзамена из школ и вступительного экзамены в вузы.
Варианты ЕГЭ-профиль, ЕГЭ-база и различные варианты ГВЭ представлены на сайте Решу ЕГЭ.