1
2
3
4
5
6
На рисунке изображен график функции 
определенной на интервале 
Определите количество целых точек, в которых производная функции 
отрицательна.
Ответ:
7
8
На рисунке изображен график производной функции 
определенной на интервале 
Найдите промежутки возрастания функции 
В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ:
9
10
11
На рисунке изображен график функции определенной на интервале 
Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Ответ:
12
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Ответ:
13
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−1; 13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Ответ:
14
15
На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Ответ:
16
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 3). В какой точке отрезка [−3; 1] f(x), принимает наименьшее значение?
Ответ:
17
18
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 6). В какой точке отрезка [−5;−1] f(x) принимает наименьшее значение?
Ответ:
19
20
21
22
23
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−15; 2). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−11;0].
Ответ:
24
25
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].
Ответ:
26
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2].
Ответ:
27
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−3; 8].
Ответ:
28
29
30
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ:
31
На рисунке изображен график 
— производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ:
32
33
34
35
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ:
36
37
38
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−5; 4].
Ответ:
39
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Ответ:
40
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Ответ:
41
42
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?
Ответ:
43
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). В какой точке отрезка [−6; −1] функция f(x) принимает наибольшее значение?
Ответ:
44
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].
Ответ:
45
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13;1].
Ответ:
46
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
Ответ:
47
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ:
48
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ:
49
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ:
50
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ:
51
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].
Ответ:
52
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9) . Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
53
На рисунке изображен график функции y = f(x),определенной на интервале 
Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
54
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
55
На рисунке изображён график — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, …, x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?
Ответ:
56
57
На рисунке изображен график функции 
и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ:
58
На рисунке изображён график функции y = f(x) и семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x7. В скольких из этих точек производная функции положительна?
Ответ:
59
60
61
62
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ:
63
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −1, 1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ:
64
На рисунке изображен график функции и отмечены точки -2, -1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ:
65
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ:
66
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, x3, …, x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
Ответ:
67
68
На рисунке изображён график функции 
— производной функции f(x) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).
Ответ:
69
На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Ответ:
70
На рисунке изображён график производной y = f’(x) функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). В какой точке отрезка [−3; 1] функция y = f(x) принимает наименьшее значение?
Ответ:
71
Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5) ≥ f (5).
Ответ:
72
На рисунке изображен график функции — производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 6). В какой точке отрезка [−2; 4] функция f(x) принимает наименьшее значение?
Ответ:
73
74
75
На рисунке изображен график производной функции y = f(x). При каком значении x эта функция принимает свое наибольшее значение на отрезке [−4; −2]?
Ответ:
76
На рисунке изображён график функции y = f(x) и семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
Ответ:
77
На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Ответ:
78
На рисунке изображён график y = f ’(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−3; 11). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ:
79
На рисунке изображён график y = f '(x) — производной функции f (x), определённой на интервале (−5; 10). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ:
80
На рисунке изображён график функции y = f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
Ответ:
81
На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Ответ:
82
83
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, …, x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y = f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
Ответ:
84
На рисунке изображён график функции и шесть точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Ответ:
85
На рисунке изображён график функции y = f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
Ответ:
86
На рисунке изображён график функции y = f(x) и семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
Ответ:
87
88
89
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ:
90
На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12. В скольких из этих точек производная функции положительна?
Ответ:
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−8; 5). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Ответ:
103
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Ответ:
104
На рисунке изображен график y = f ‘(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−17; 5). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−15; 0].
Ответ:
105
На рисунке изображен график y = f ‘(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−12; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−8; 9].
Ответ:
106
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале 
Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
107
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале 
Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
108
109
110
111
112
113
114
115
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ:
116
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ:
117
118
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−3; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
119
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−3; 11). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
120
121
122
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−2; 12). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
123
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−11; 2). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
124
На рисунке изображён график функции y = f'(x) — производной функции f (x), определённой на интервале (−3; 10). В какой точке отрезка [0; 4] функция f (x) принимает наибольшее значение.
Ответ:
125
126
127
128
129
130
На рисунке изображён график функции определённой на интервале (−5; 7). Найдите наименьшее значение функции f(x) на отрезке [1; 6,5].
Ответ:
131
На рисунке изображён график — производной функции определенной на интервале (−11; 2). В какой точке отрезка [−9; 1] функция принимает наибольшее значение?
Ответ:
132
На рисунке изображён график — производной функции определенной на интервале (−5; 6). В какой точке отрезка [−3; 4] функция принимает наибольшее значение?
Ответ:
133
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 10). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Ответ:
134
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−1; 13). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Ответ:
135
136
На рисунке изображён график функции — производной функции f(x), определённой на интервале (−2; 10). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = x − 17 или совпадает с ней.
Ответ:
137
На рисунке изображён график функции определённой на интервале (−9; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ:
138
На рисунке изображён график функции определённой на интервале (−7; 5). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ:
139
140
141
На рисунке изображён график — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, …, x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?
Ответ:
142
На рисунке изображён график — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены десять точек: x1, x2, x3, …, x10. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?
Ответ:
Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.
Необходимая теория:
Производная функции
Таблица производных
Первообразная функции
Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.
Геометрический смысл производной
Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.
Производная функции 
в точке 
равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.
1. На рисунке изображён график функции 
и касательная к нему в точке с абсциссой 
Найдите значение производной функции 
в точке
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .
Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:
Ответ: 0,25.
2. На рисунке изображён график функции 
и касательная к нему в точке с абсциссой 
Найдите значение производной функции в точке
Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке образует тупой угол 
с положительным направлением оси 
. Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла 
, смежного с углом .
Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: 
Поскольку 
, имеем:
Ответ: −0, 25.
Касательная к графику функции
3. Прямая 
является касательной к графику функции 
Найдите абсциссу точки касания.
Запишем условие касания функции 
и прямой 
в точке 
При 
значения выражений 
и 
равны.
При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть 
.
Из второго уравнения находим 
или 
Первому уравнению удовлетворяет только 
.
Физический смысл производной
Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.
Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.
Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.
4. Материальная точка движется прямолинейно по закону 
, где 
— расстояние от точки отсчета в метрах, 
— время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени 
с.
Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета: 
Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:
В момент времени 
получим:
.
Ответ: 3.
Применение производной к исследованию функций
Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.
Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.
Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.
И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.
Если 
, то функция 
возрастает.
Если 
, то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
|
возрастает | точка максимума | убывает | точка минимума | возрастает |
 |
 |
0 |  |
0 | |
5. На рисунке изображен график функции 
, определенной на интервале 
Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.
Производная функции 
в точках максимума и минимума функции 
Таких точек на графике 5.
Ответ: 5.
6. На рисунке изображён график 
— производной функции , определённой на интервале 
. В какой точке отрезка ![[-1; 3]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-1%3B%203%5D%20&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-1; 3]")
функция принимает наибольшее значение?
Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?
Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.
На отрезке ![[-1;3]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-1%3B3%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-1;3]")
производная функции положительна.
Значит, функция возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.
Ответ: 3.
7. На рисунке изображён график функции 
, определённой на интервале 
. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой 
Прямая 
параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.
Ответ: 7.
8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале 
Найдите количество точек максимума функции на отрезке ![[-6; 9].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-6%3B%209%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-6; 9].")
Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке ![[-6; 9]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-6%3B%209%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-6; 9]")
такая точка всего одна! Это 
Ответ: 1.
9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале 
Найдите точку экстремума функции 
на отрезке ![[-5; 4].](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-5%3B%204%5D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-5; 4].")
Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке ![[- 5; 4]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-%205%3B%204%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[- 5; 4]")
график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке 
В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.
Значит, 
является точкой экстремума.
Первообразная и формула Ньютона-Лейбница
Функция 
, для которой является производной, называется первообразной функции 
Функции вида 
образуют множество первообразных функции
10. На рисунке изображён график 
— одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале 
Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения 
на отрезке ![[-4; 4] .](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-4%3B%204%5D%20.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-4; 4] .")
Функция 
для которой является производной, называется первообразной функции
Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку ![[-4; 4]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-4%3B%204%5D%20&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-4; 4]")
, в которых производная функции равна нулю. Это точки максимума и минимума функции 
На отрезке ![[-4; 4]](https://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5B-4%3B%204%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 "[-4; 4]")
таких точек 4.
Ответ: 4.
Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье
Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание №7. Производная. Поведение функции. Первообразная u0026#8212; профильный ЕГЭ по Математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Задание 7
Вернуться назад на сайт »
За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 5 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 61.5%
Ответом к заданию 7 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Разбор сложных заданий в тг-канале
Задачи для практики
Задача 1
На рисунке изображён график функции $y=f'(x)$ производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-7;4)$. В какой точке отрезка $[-3;2]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?
Решение
На отрезке $[-3; 2]$ производная $y = f′(x)$ равна нулю в точке $x = -2$ и при переходе через неё меняет свой знак с «+» на «-», поэтому точка $x = -2$ — точка максимума функции на отрезке $[−3; 2]$. Так как она, кроме того, единственная точка экстремума на отрезке $[−3; 2]$, то в ней функция принимает наибольшее значение на данном отрезке.
Ответ: -2
Задача 2
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Решение
По рисунку определяем, что касательная проходит через точки $A(-2; 2)$ и $B(-1; 0)$. Построим прямоугольный треугольник $ABC$ , где $C$ имеет координаты (-2; 0). Заметим, что прямая AB образует с положительным направлением оси Ox тупой уголα. Учитывая, что $f′(x_0) = tgα$, имеем $tgα = tg(180° — ∠ABC ) = — tg ∠ABC = -{AC}/{BC} = -{2}/{1} = -2$.
Ответ: -2
Задача 3
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $-7$; $-5$; $-1$;$1$. В какой из этих точек значение производной наибольшее?
Решение
Проводим касательные к графику в точках с указанными абсциссами (см. рис.).
Определяем, под каким углом $α$ они наклонены к положительному направлению оси $Ox$.
Согласно геометрическому смыслу производной $f'(x_0)=tg α$, то есть значения тангенсов построенных углов — это и есть значения производной в указанных точках
Замечаем, в точках $-7$ и $1$ касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной положительно.
Учитывая, что касательная, проведённая к графику функции в точке с абсциссой $1$, образует больший угол с положительным направлении оси $Ox$, значит, значение производной в этой точке наибольшее.
Ответ: 1
Задача 4
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-6;9)$. Найдите промежутки возрастания функции $f(x)$. В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение
Так как производная функции $y = f′(x)$ положительна на промежутках $(-6; -3)$ и $(8,5; 9)$, то функция $y = f(x$) возрастает на этих промежутках. Длина наибольшего из них $(-6; -3)$ равна $-3 — (-6) = 3$
Ответ: 3
Задача 5
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-6;9)$. Найдите промежутки убывания функции $f(x)$. В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение
Так как на промежутке $(-3;8)$ производная функции $y=f'(x)$ отрицательна, то на этом промежутке функция $y=f(x)$ убывает. Длина этого промежутка равна $8-(-3)=11$.
Ответ: 11
Задача 6
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-8;5)$. Найдите промежутки убывания функции $f(x)$. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение
Так как на промежутке (-6.5; -3.5) производная функции y = f′(x) отрицательна, то на этом промежутке функция y = f (x) убывает. В этот промежуток входят целые точки: -6; -5; -4. Их сумма равна -15.
Ответ: -15
Задача 7
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-8;7)$. Найдите количество точек экстремума функции $f(x)$ на заданном интервале.
Решение
Из графика видно, что производная $f′(x)$ функции $f(x)$ равна нулю в пяти точках причём при переходе через эти точки она меняет знак. То есть на заданном промежутке таких точек $5: x_1 , x_2 , x_3 , x_4 , x_5$. Таким образом, функция $f (x)$ имеет $5$ точек экстремума на заданном промежутке.
Ответ: 5
Задача 8
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-7;7)$. Найдите количество решений уравнения $f'(x)=0$.
Решение
Производная функции y = f′(x) на интервале (-7; 7) равна нулю в 4-х точках, в которых касательная к графику функции y = f(x) параллельна оси абсцисс.
Ответ: 4
Задача 9
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-4;10)$. Найдите количество решений уравнения $f'(x)=0$ на интервале $(-4;3)$.
Решение
Так как угловой коэффициент касательной $k = tg α = f′(x_0) = 0$, то это означает, что касательная к графику данной функции параллельна оси абсцисс.
На интервале $(-4; 3)$ построены три касательные, параллельные оси абсцисс.
Ответ: 3
Задача 10
Прямая $y=38x-28$ параллельна касательной к графику функции $y=3x^2+8x-2$. Найдите абсциссу точки касания.
Решение
Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = 3x^2+8x-2$ в некоторой точке $x_0$ равен $y′(x_0). y′ = (3x^2 + 8x — 2)′ = 6x + 8$, значит, $y′(x_0) = 6x_0+8$. Угловой коэффициент прямой $y = 38x-28$ равен $38$. По условию, эта прямая параллельна касательной, значит, их угловые коэффициенты равны. Найдём значение $x_0$ из условия $6x_0 + 8 = 38, x_0 = 5$.
Ответ: 5
Задача 11
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, … , $x_8$, $x_9$, $x_{10}$. Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции $f(x)$?
Решение
Так как производная функции $y = f′(x)$ отрицательна в точках $x_1, x_2, x_3$ и $x_8, x_9, x_{10}$, то на промежутках убывания лежат $6$ точек.
Ответ: 6
Задача 12
На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, … , $x_8$, $x_9$, $x_{10}$. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции $f(x)$?
Решение
Так как производная $y=f'(x)$ положительна в точках $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, а в остальных точках — отрицательна, то на промежутке возрастания лежат $4$ точки.
Ответ: 4
Задача 13
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и восемь точек на оси абсцисс: $x_1$, $x_2$, $x_3$, … ,$x_8$. В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ отрицательна?
Решение
Производная отрицательна только в тех точках, которые принадлежат промежуткам убывания функции, если касательные в них не горизонтальны. Таких точек $3: x_3, x_5, x_8$.
Ответ: 3
Задача 14
Материальная точка движется прямолинейно по закону
$x(t)={1} / {3}t^3-{7} / {2}t^2-3t+5$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна $5$ м/с?
Решение
Найдём скорость движения материальной точки $v(t) = x′(t) = t^2-7t-3$.
Найдём в какой момент времени (в секундах) её скорость была равна $5$ м/с, решив уравнение $t^2-7t-3 = 5$.
$t^2 — 7t — 8 = 0$;
$t_1 + t_2 = 7$,
$t_1·t_2 = -8$.
$t_1 = 8, t_2 = -1$ не удовлетворяет условию задачи.
Скорость материальной точки была равна $5$ м/с в момент времени $8$ секунд.
Ответ: 8
Задача 15
Материальная точка движется прямолинейно по закону
$x(t)=t^2-t-12$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t=7$ с.
Решение
Согласно физическому смыслу производной, мгновенная скорость равна $v(t) = x′(t).
v(t) = (t^2-t-12)′ = 2t-1. v(7) = 2·7-1 = 13$. Скорость материальной точки была $13$ м/с в момент времени $7$ секунд.
Ответ: 13
Задача 16
На рисунке изображён график функции $y=g(x)$, определённой и дифференцируемой на интервале $(-8; 6)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику этой функции параллельна прямой $y=100$.
Решение
Построим прямую y = 100. По графику определяем, что касательная к графику функции y = g(x) параллельна прямой y = 100 в четырёх точках.
Ответ: 4
Задача 17
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой и дифференцируемой на интервале $(-6;7)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=4$.
Решение
Построим прямую $y=4$. По графику находим, что касательная к графику функции $y=f(x)$ параллельна прямой $y=4$ в $6$ точках (см. рис.).
Ответ: 6
Рекомендуемые курсы подготовки
- ЕГЭ по математике профиль
Прототипы задания №7 ЕГЭ по математике профильного уровня — задачи с прикладным содержанием. Практический материал для подготовки к экзамену в 11 классе.
Для успешного выполнения задания №7 необходимо уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.
Практика
Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору) — 2.1, 2.2
Уровень сложности задания — повышенный.
Максимальный балл за выполнение задания — 1
Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на профильном уровне (в мин.) — 6
Связанные страницы: