1
2
3
4
5
6
На рисунке изображен график функции определенной на интервале Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Ответ:
7
8
На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ:
9
10
11
На рисунке изображен график функции определенной на интервале Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Ответ:
12
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Ответ:
13
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−1; 13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Ответ:
14
15
На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Ответ:
16
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 3). В какой точке отрезка [−3; 1] f(x), принимает наименьшее значение?
Ответ:
17
18
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 6). В какой точке отрезка [−5;−1] f(x) принимает наименьшее значение?
Ответ:
19
20
21
22
23
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−15; 2). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−11;0].
Ответ:
24
25
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].
Ответ:
26
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2].
Ответ:
27
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−3; 8].
Ответ:
28
29
30
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ:
31
На рисунке изображен график — производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ:
32
33
34
35
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ:
36
37
38
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−5; 4].
Ответ:
39
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Ответ:
40
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Ответ:
41
42
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?
Ответ:
43
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). В какой точке отрезка [−6; −1] функция f(x) принимает наибольшее значение?
Ответ:
44
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].
Ответ:
45
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13;1].
Ответ:
46
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
Ответ:
47
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ:
48
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Ответ:
49
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ:
50
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ:
51
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].
Ответ:
52
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9) . Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
53
На рисунке изображен график функции y = f(x),определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
54
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
55
На рисунке изображён график — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, …, x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?
Ответ:
56
57
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ:
58
На рисунке изображён график функции y = f(x) и семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x7. В скольких из этих точек производная функции положительна?
Ответ:
59
60
61
62
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ:
63
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −1, 1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ:
64
На рисунке изображен график функции и отмечены точки -2, -1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ:
65
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ:
66
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, x3, …, x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
Ответ:
67
68
На рисунке изображён график функции — производной функции f(x) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).
Ответ:
69
На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Ответ:
70
На рисунке изображён график производной y = f’(x) функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). В какой точке отрезка [−3; 1] функция y = f(x) принимает наименьшее значение?
Ответ:
71
Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5) ≥ f (5).
Ответ:
72
На рисунке изображен график функции — производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 6). В какой точке отрезка [−2; 4] функция f(x) принимает наименьшее значение?
Ответ:
73
74
75
На рисунке изображен график производной функции y = f(x). При каком значении x эта функция принимает свое наибольшее значение на отрезке [−4; −2]?
Ответ:
76
На рисунке изображён график функции y = f(x) и семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
Ответ:
77
На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Ответ:
78
На рисунке изображён график y = f ’(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−3; 11). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ:
79
На рисунке изображён график y = f '(x) — производной функции f (x), определённой на интервале (−5; 10). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ:
80
На рисунке изображён график функции y = f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
Ответ:
81
На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Ответ:
82
83
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, …, x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y = f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
Ответ:
84
На рисунке изображён график функции и шесть точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Ответ:
85
На рисунке изображён график функции y = f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
Ответ:
86
На рисунке изображён график функции y = f(x) и семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
Ответ:
87
88
89
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ:
90
На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12. В скольких из этих точек производная функции положительна?
Ответ:
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−8; 5). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Ответ:
103
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Ответ:
104
На рисунке изображен график y = f ‘(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−17; 5). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−15; 0].
Ответ:
105
На рисунке изображен график y = f ‘(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−12; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−8; 9].
Ответ:
106
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
107
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
108
109
110
111
112
113
114
115
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ:
116
На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Ответ:
117
118
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−3; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
119
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−3; 11). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
120
121
122
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−2; 12). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
123
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−11; 2). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:
124
На рисунке изображён график функции y = f'(x) — производной функции f (x), определённой на интервале (−3; 10). В какой точке отрезка [0; 4] функция f (x) принимает наибольшее значение.
Ответ:
125
126
127
128
129
130
На рисунке изображён график функции определённой на интервале (−5; 7). Найдите наименьшее значение функции f(x) на отрезке [1; 6,5].
Ответ:
131
На рисунке изображён график — производной функции определенной на интервале (−11; 2). В какой точке отрезка [−9; 1] функция принимает наибольшее значение?
Ответ:
132
На рисунке изображён график — производной функции определенной на интервале (−5; 6). В какой точке отрезка [−3; 4] функция принимает наибольшее значение?
Ответ:
133
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 10). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Ответ:
134
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−1; 13). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Ответ:
135
136
На рисунке изображён график функции — производной функции f(x), определённой на интервале (−2; 10). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = x − 17 или совпадает с ней.
Ответ:
137
На рисунке изображён график функции определённой на интервале (−9; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ:
138
На рисунке изображён график функции определённой на интервале (−7; 5). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ:
139
140
141
На рисунке изображён график — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, …, x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?
Ответ:
142
На рисунке изображён график — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены десять точек: x1, x2, x3, …, x10. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?
Ответ:
Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.
Необходимая теория:
Производная функции
Таблица производных
Первообразная функции
Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.
Геометрический смысл производной
Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.
1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .
Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:
Ответ: 0,25.
2. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой
Найдите значение производной функции в точке
Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла , смежного с углом .
Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Поскольку , имеем:
Ответ: −0, 25.
Касательная к графику функции
3. Прямая является касательной к графику функции
Найдите абсциссу точки касания.
Запишем условие касания функции и прямой в точке
При значения выражений и равны.
При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть .
Из второго уравнения находим или Первому уравнению удовлетворяет только .
Физический смысл производной
Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.
Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.
Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.
4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.
Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета:
Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:
В момент времени получим:
.
Ответ: 3.
Применение производной к исследованию функций
Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.
Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.
Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.
И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.
Если , то функция возрастает.
Если , то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
возрастает | точка максимума | убывает | точка минимума | возрастает | |
0 | 0 |
5. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.
Производная функции в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.
Ответ: 5.
6. На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?
Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?
Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.
На отрезке производная функции положительна.
Значит, функция возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.
Ответ: 3.
7. На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
Прямая параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.
Ответ: 7.
8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции на отрезке
Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке такая точка всего одна! Это
Ответ: 1.
9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите точку экстремума функции на отрезке
Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.
Значит, является точкой экстремума.
Первообразная и формула Ньютона-Лейбница
Функция , для которой является производной, называется первообразной функции Функции вида образуют множество первообразных функции
10. На рисунке изображён график — одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке
Функция для которой является производной, называется первообразной функции
Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку , в которых производная функции равна нулю. Это точки максимума и минимума функции На отрезке таких точек 4.
Ответ: 4.
Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье
Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание №7. Производная. Поведение функции. Первообразная u0026#8212; профильный ЕГЭ по Математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Производная и первообразные функции
В задании №7 профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо продемонстрировать знания функции производной и первообразной. В большинстве случаев достаточно просто определения понятий и понимания значений производной.
Разбор типовых вариантов заданий №7 ЕГЭ по математике профильного уровня
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
[su_note note_color=”#defae6″]
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, …, x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y = f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
[/su_note]
Алгоритм решения:
- Рассматриваем график функции.
- Ищем точки, в которых функция убывает.
- Подсчитываем их количество.
- Записываем ответ.
Решение:
1. На графике функция периодически возрастает, периодически убывает.
2. В тех интелвалах, где функция убывает, производная имеет отрицательные значения.
3. В этих интервалах лежат точки x3, x4, x5, x9. Таких точек 4.
Ответ: 4.
Второй вариант задания (из Ященко, №4)
[su_note note_color=”#defae6″]
На рисунке изображён график функции у = f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
[/su_note]
Алгоритм решения:
- Рассматриваем график функции.
- Рассматриваем поведение функции в каждой из точек и знак производной в них.
- Находим точки в наибольшим значением производной.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Функция имеет несколько промежутков убывания и возрастания.
2. Там, где функция убывает. Производная имеет знак минус. Такие точки есть среди указанных. Но на графике есть точки, в которых функция возрастает. В них производная положительная. Это точки с абсциссами -2 и 2.
3. Рассмотрим график в точках с х=-2 и х=2. В точке х=2 функция круче уходит вверх, значит касательная в этой точке имеет больший угловой коэффициент. Следовательно, в точке с абсциссой 2. Производная имеет наибольшее значение.
Ответ: 2.
Третий вариант задания (из Ященко, №21)
[su_note note_color=”#defae6″]
Прямая является касательной к графику функции . Найдите а.
[/su_note]
Алгоритм решения:
- Приравняем уравнения касательной и функции.
- Упрощаем полученное равенство.
- Находим дискриминант.
- Определяем параметр а, при котором решение единственное.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Координаты точки касания удовлетворяют обоим уравнениям: касательной и функции. Поэтому мы можем приравнять уравнения. Получим:
2. Упрощаем равенство, перенеся все слагаемые в одну сторону:
3. В точке касания должно быть одно решение, поэтому дискриминант полученного уравнения должен равняться нулю. Таково условие единственности корня квадратного уравнения.
4. Получаем:
Ответ: 4.
Даниил Романович | Просмотров: 11.9k