Шаблоны для заданий егэ информатика

Задание
16

1.      Рекурсивные функции с возвращаемыми значениями

Алгоритм
вычисления значения функции F(n), где n  — целое
неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

 F(n) = 0,
при n ≤ 1;

F(n) = F(n −
1) + 3n², если n > 1 и при этом нечётно;

F(n) = n / 2
+ F(n − 1) + 2, если n > 1 и при
этом чётно.

Чему равно
значение функции F(49)? В ответе запишите только целое число.

def F(n):

    if n <= 1:

        return 0

    if n % 2 == 1:

        return F(n-1) + 3*n*n

    return n // 2 + F(n-1) + 2

print(F(49))

2.      Алгоритмы, опирающиеся на несколько предыдущих
значений

Последовательность чисел трибоначчи задается рекуррентным
соотношением:

F(1) = 0

F(2) = 1

F(3) = 1

F(n) = F(n–3) + F(n–2) + F(n–1), при n >3, где n – натуральное
число.

Чему равно девятое число в последовательности трибоначчи?

def F(n):

    if n == 1:

        return 1

    if n == 2:

        return 1

    if n > 2:

        return F(n-2) + F(n-1)

print(F(9))

Алгоритм вычисления значения функции F(n),
где n  — целое неотрицательное число, задан следующими
соотношениями: F(0) = 0;

   F(n) = F(n −
1) + 1, если n нечётно;

             
F(n) = F(n / 2), если n >
0 и при этом n чётно.

 Укажите
количество таких значений n < 1 000 000 000, для которых F(n)  =  3.

С

3.      Алгоритмы, опирающиеся на одно предыдущее
значение

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное
число, задан следующими соотношениями:

F(1) = 1

F(n) = F(n–1) * n, при n >1

Чему равно значение функции F(5)? В ответе запишите только
натуральное число.

def F(n):

    if n == 1:

        return 1

    if n > 1:

        return F(n-1) * n

print(F(5))

Здравствуйте! Сегодня речь пойдёт о 23 задании из ЕГЭ по информатике 2023.

Двадцать третье задание является последним заданием из первой части ЕГЭ по информатике 2023.

Давайте познакомимся с примерными задачами 23 задания из ЕГЭ по информатике 2023.

Задача (классическая)

У исполнителя Удвоитель две команды, которым присвоены номера:

1. прибавить 3,
2. умножить на 2.

Первая из них увеличивает число на экране на 3, вторая — удваивает его.

Программа для Удвоителя — это последовательность команд.

Сколько есть программ, которые число 1 преобразуют в число 25 ?

Решение:

1 способ (самый эффективный, на Python).

def F(x, y):
    if x == y: return 1

    if x > y: return 0

    if x < y: return F(x+3, y) + F(x*2, y)

print(F(1, 25))

Число x, это то число, с которым мы работаем. Число y — это куда нужно прийти.

Если число x достигло пункта назначения, то возвращаем 1. Если оно перескочило y, то возвращаем 0. А если ещё не дошло до y, то продолжаем вычисления с помощью рекурсии.

Ответ получается равен 9.

2 Способ (графический, для понимания)

Начинаем рассматривать задачку с конца. Если число нечётное, то оно может быть получено только с помощью первой команды. Если число чётное, то оно может быть получено с помощью двух команд.

Видим, что количество программ получается 9!

3 Способ (С помощью таблицы)

Некоторое число i можно получить только двумя способами: либо c помощью первой команды, либо с помощью второй команды. Тогда количество программ для некоторого числа i будет складываться из двух чисел: количества программ для числа i-3 и количества программ для числа i / 2 (Если i — чётное).

В первой строке пишутся числа от 1 до 25 (до того числа, которое нужно получить).

Во второй строке пишутся числа, которые в сумме с 3 (тройкой) дают числа, написанные в первой строке. (Прим. начиная с 4, числа идут по порядку.)

В третьей строке пишутся числа, которые при умножении на 2 дают числа, написанные в первой строке. (Прим. числа так же идут по порядку через одну пустую ячейку.)

В четвёртой строке для единицы ставим 1. Для остальных ячеек: смотрим, какие числа участвуют во второй и третьей строке для конкретной ячейки. Затем, эти числа ищем в первой строке и пишем сумму количеств программ для этих чисел (Т.е. пишем сумму уже известных значений из четвёртой строки для этих чисел).

Таким образом, основная идея 23 задания из ЕГЭ по информатике заключается в том, что результат каждого шага опирается на результаты предыдущих шагов!

Получаем ответ 9!

Ответ: 9

Задача (с избегаемым узлом)

Исполнитель НечетМ преобразует число на экране. У исполнителя НечетМ две команды, которым присвоены номера:

1. прибавь 1

2. сделай нечётное

Первая из этих команд увеличивает число x на экране на 1, вторая переводит число x в число 2x+1. Например, вторая команда переводит число 10 в число 21. Программа для исполнителя НечетМ — это последовательность команд. Сколько существует таких программ, которые число 1 преобразуют в число 25, причём траектория вычислений не содержит число 24? Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 17, 18.

Источник: Тренировочная работа по ИНФОРМАТИКЕ 11 класс 18 января 2017 года Вариант ИН10304

Решение:

1 способ (самый эффективный, на Python).

def F(x, y):
    if x == y: return 1

    if x > y or x==24: return 0

    if x < y: return F(x+1, y) + F(x*2+1, y)

print(F(1, 25))

Здесь на нельзя получать число 24, поэтому, если x будет равен 24, то мы возвращаем ноль.

Ответ получается равен 10.

2 способ (Решение с помощью таблицы).

Мы не может получать число 24! Значит, единственным способом добраться до числа 25 будет вторая команда.

Получается, что сначала нужно получить число 12, тогда 2 * 12 + 1 = 25 (2x+1). Это единственный путь!

Каждое число можем получить только 2 способами (Либо с помощью первой команды, либо с помощью второй команды). Поэтому количество программ для некоторого числа i будет равно сумме количеств команд для числа i-1 и для числа (i — 1) / 2 (Если число нечётное.) Если число i — чётное, то до числа i можно добраться единственным способом (с помощью первой команды).

Если записать с помощью массива:

A[i]=A[i-1] — если i — четное.
A[i]=A[i-1] + A[(i-1)/2] — если i нечетное;

Ответ: 10

Задача (ЕГЭ по информатике, Москва, 2019)

У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:

1. Прибавить 1
2. Умножить на 3
3. Прибавить 2

Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая умножает его на 3, третья увеличивает его на 2.

Сколько существует программ, которые преобразуют исходное число 2 в число 12 и при этом траектория вычислений содержит число 9 и число 11?

Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 132 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 10, 30.

Решение:

1 способ (самый эффективный, на Python).

def F(x, y):
    if x == y: return 1

    if x > y: return 0

    if x < y: return F(x+1, y) + F(x*3, y) + F(x+2, y)

print(F(2, 9)*F(9, 11)*F(11, 12))

У нас числа 9 и 1 обязательные, поэтому разбиваем функцию следующим образом F(2, 9)*F(9, 11)*F(11, 12), через умножение. Это и будет ответ. Получается 50.

2 способ (с помощью таблицы).

От числа 11 до числа 12 можно добраться единственным путём (11 + 1 = 12).

От числа 9 до числа 11 можно добраться двумя способами (9 + 1 + 1 = 11, 9 + 2 = 11).

Найдём сколькими способами можно попасть от числа 2 до числа 9.

Учитывая, что от 9 до 11 двумя способами можно добраться, то 25 * 2 = 50 — это и будет ответ.

Ответ: 50

Задача ( ЕГЭ по информатике, Москва, 2020)

У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:

1. Прибавить 1
2. Умножить на 3
3. Прибавить 2

Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая умножает его на 3, третья увеличивает на 2.

Сколько существует программ, которые преобразуют исходное число 3 в число 14 и при этом траектория вычислений содержит число 9?

Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 132 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 10, 30.

Решение:

1 способ (самый эффективный, на Python).

def F(x, y):
    if x == y: return 1

    if x > y: return 0

    if x < y: return F(x+1, y) + F(x*3, y) + F(x+2, y)

print(F(3, 9)*F(9, 14))

Ответ получается 112.

2 способ (с помощью таблицы).

Последней командой для получении любого числа из траектории программы может быть одна из трёх выше указанных команд!

Значит, количество программ для некоторого числа будет складываться из количества программ для тех чисел, из которых это число может быть получено.

Получается, что мы будем использовать основной принцип 23 задания из ЕГЭ по информатике: результат для некоторого числа опирается на результаты предыдущих чисел. Т.к. траектория вычислений программ обязательно должна проходить через число 9, то при вычислении результата для чисел больших 9, мы не можем опираться на результаты для чисел меньших 9 (Иначе мы пропустим число 9).

Ответ: 112

Посмотрим следующую задачу из 23 задания ЕГЭ по информатике 2023

Задача (с обязательным узлом, закрепление)

Исполнитель Май17 преобразует число на экране.

У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера:

1. Прибавить 1
2. Прибавить 3

Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая увеличивает его на 3. Программа для исполнителя Май17 — это последовательность команд.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 1 результатом является число 17 и при этом траектория вычислений содержит число 9?

Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 12 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 11, 12.

Решение:

1 способ (самый эффективный, на Python).

def F(x, y):
    if x == y: return 1

    if x > y: return 0

    if x < y: return F(x+1, y) + F(x+3, y)

print(F(1, 9)*F(9, 17))

Ответ получается 169.

2 способ (с помощью таблицы).

Любое число может получится в результате двух команд! Тогда количество программ для числа i будет складываться из количеств команд для числа i — 1 и для числа i — 3.

Если написать на языке массива

A[i] := A[i-1] + A[i-3], при i > 3.

При составлении значения для числа 10, мы не имеем право «заглядывать» за число 9, иначе число 9 будет пропущено! Поэтому для следующих трёх чисел (9, 9 + 1, 9 + 1 + 1), начиная с 9, будет 13 программ.

Для числа 17 получается ответ 169.

Ответ: 169

Доброго времени суток каждому жителю Хабрвилля! Давненько я не писал статей! Пора это исправить!

В сегодняшней статье поговорим о насущной для многих выпускников школ теме — ЕГЭ. Да-да-да! Я знаю, что Хабр — это сообщество разработчиков, а не начинающих айтишников, но сейчас ребятам как никогда нужна поддержка именно сообщества. Ребят опять посадили на дистант. Пока не ясно на какой период, но уже сейчас можно сказать, что ЕГЭ по информатике будет на компьютерах и его можно зарешать при помощи языка Python.

Вот я и подумал, чтобы не получилось как в песне, стоит этим заняться. Я расскажу про все задачи первой части и их решения на примере демо варианта ЕГЭ за октябрь.

Всех желающих — приглашаю ниже!

Быстрый перевод из системы в систему

В Python есть интересные функции bin(), oct() и hex(). Работают данные функции очень просто:

bin(156) #Выводит '0b10011100'
oct(156) #Выводит '0o234'
hex(156) #Выводит '0x9c'

Как вы видите, выводится строка, где 0b — означает, что число далее в двоичной системе счисления, 0o — в восьмеричной, а 0x — в шестнадцатеричной. Но это стандартные системы, а есть и необычные…

Давайте посмотрим и на них:

n = int(input()) #Вводим целое число
 
b = '' #Формируем пустую строку
 
while n > 0: #Пока число не ноль
    b = str(n % 2) + b #Остатот от деления нужной системы (в нашем сл записываем слева
    n = n // 2 #Целочисленное деление
 
print(b) #Вывод

Данная программа будет работать при переводе из десятичной системы счисления в любую до 9, так как у нас нет букв. Давайте добавим буквы:

n = int(input()) #Вводим целое число

b = '' #Формируем пустую строку

while n > 0: #Пока число не ноль
	if (n % 21) > 9: #Если остаток от деления больше 9...
		if n % 21 == 10: #... и равен 10...
			b = 'A' + b #... запишем слева A
		elif n % 21 == 11:#... и равен 11...
			b = 'B' + b#... запишем слева B

'''

И так далее, пока не дойдём до системы счисления -1 (я переводил в 21-ную систему и шёл до 20)

'''

		elif n % 21 == 11:
			b = 'B' + b
		elif n % 21 == 12:
			b = 'C' + b
		elif n % 21 == 13:
			b = 'D' + b
		elif n % 21 == 14:
			b = 'E' + b
		elif n % 21 == 15:
			b = 'F' + b
		elif n % 21 == 16:
			b = 'G' + b
		elif n % 21 == 17:
			b = 'H' + b
		elif n % 21 == 18:
			b = 'I' + b
		elif n % 21 == 19:
			b = 'J' + b
		elif n % 21 == 20:
			b = 'K' + b
	else: #Иначе (остаток меньше 10)
		b = str(n % 21) + b #Остатот от деления записываем слева
	n = n // 21 #Целочисленное деление

print(b) #Вывод

Способ объёмен, но понятен. Теперь давайте используем тот же функцию перевода из любой системы счисления в любую:

def convert_base(num, to_base=10, from_base=10):
    # Перевод в десятичную систему
    if isinstance(num, str): # Если число - строка, то ...
        n = int(num, from_base) # ... переводим его в нужную систему счисления
    else: # Если же ввели число, то ...
        n = int(num) # ... просто воспринять его как число
    # Перевод десятичной в 'to_base' систему
    alphabet = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ" # Берём алфавит
    if n < to_base: # Если число меньше системы счисления в которую переводить...
        return alphabet[n] # ... вернуть значения номера в алфавите (остаток от деления)
    else: # Иначе...
        return convert_base(n // to_base, to_base) + alphabet[n % to_base] # ... рекурсивно обратиться к функии нахождения остатка

Вызвав функцию вывода print(convert_base(156, 16, 10)) мы переведём 156 из 10 в 16 систему счисления, а введя print(convert_base('23', 21, 4)) переведёт 23 из 4-ичной в 21-ичную систему (ответ: B).

Задача 2

Все задания беру из первого октябрьского варианта (он же вариант № 9325894) с сайта Решу.ЕГЭ.

Решение данной задачи совсем простое: банальный перебор.

print('y', 'x', 'z', 'F') #Напечатаем заголовки таблицы
for y in range(2): #Берём все переменные и меняем их в циклах '0' и '1'
	for x in range(2):
		for z in range(2):
			for w in range(2):
				F = ((not x or y) == (not z or w)) or (x and w) #Записываем функцию
				print(x, y, z, F) #Выводим результат

Результат:

Нам вывелась вся таблица истинности (1 = True, 0 = False). Но это не очень удобно. Обратите внимание, что в задании, функция равно 0, так и давайте подправим код:

print('y', 'x', 'z', 'F') #Напечатаем заголовки таблицы
for y in range(2): #Берём все переменные и меняем их в циклах '0' и '1'
	for x in range(2):
		for z in range(2):
			for w in range(2):
				F = ((not x or y) == (not z or w)) or (x and w) #Записываем функцию
				if not F:
					print(x, y, z, F) #Выводим результат

Результат:

Далее — простой анализ.

Задача 5

Данная задача легко решается простой последовательностью действий в интерпретационном режиме:

Задача 6

Перепечатали и получили ответ:

s = 0
k = 1
while s < 66:
    k += 3
    s += k
print(k)

Задача 12

В очередной раз, просто заменим слова на код:

a = '9' * 1000

while '999' in a or '888' in a:
	if '888' in a:
		a = a.replace('888', '9', 1)
	else:
		a = a.replace('999', '8', 1)
print(a)

Задача 14

Компьютер железный, он всё посчитает:

a = 4 ** 2020 + 2 ** 2017 - 15
k = 0

while a > 0:
    if a % 2 == 1:
    	k += 1
    a = a // 2

print(k)

Задача 16

Опять же, просто дублируем программу в python:

def F(n):
    if n > 0:
        F(n // 4)
        print(n)
        F (n - 1)
print(F(5))

Результат:

Задача 17

Задача с файлом. Самое сложное — достать данные из файла. Но где наша не пропадала?!

with open("17.txt", "r") as f: #Открыли файл 17.txt для чтения
    text = f.read() #В переменную text запихнули строку целиком
a = text.split("n") #Разбили строку энтерами (n - знак перехода на новую строку)

k = 0 #Стандартно обнуляем количество
m = -20001 #Так как у нас сумма 2-ух чисел и минимальное равно -10000, то минимум по условию равен -20000, поэтому...

for i in range(len(a)): #Обходим все элементы массива
	if (int(a[i - 1]) % 3 == 0) or (int(a[i]) % 3 == 0): #Условное условие
		k += 1 #Счётчик
		if int(a[i - 1]) + int(a[i]) > m: #Нахождение минимума
			m = int(a[i - 1]) + int(a[i])

print(k, m) #Вывод

Немного пояснений. Функция with() открывает файл считывает данные при помощи функции read() и закрывает файл. В остальном — задача стандартна.

Задача 19, 20 и 21

Все три задачи — задачи на рекурсию. Задачи идентичны, а вопросы разные. Итак, первая задача:

Пишем рекурсивную функцию и цикл перебора S:

def f(x, y, p): #Рекурсивная функция
	if x + y >= 69 or p > 3: #Условия завершения игры
		return p == 3
	return f(x + 1, y, p + 1) or f(x, y + 1, p + 1) or
		   f(x * 2, y, p + 1) or f(x, y * 3, p + 1) #Варианты действий

for s in range (1, 58 + 1): #Перебор S
	if f(10, s, 1): #Начали с 10 камней
		print(s)
		break

Немного пояснений. В рекурсивной функции существует 3 переменные x — число камней в первой куче, y — число камней во второй куче, p — позиция. Позиция рассчитывается по таблице:

Далее — всё по условию задачи.

Вторая задача на теорию игр:

Все отличия в рамке. Ну и код, соответственно, не сильно отличается:

def f(x, y, p): #Рекурсивная функция
	if x + y >= 69 or p > 4: #Условия завершения игры
		return p == 4
	if p % 2 != 0:
		return f(x + 1, y, p + 1) or f(x, y + 1, p + 1) or
			   f(x * 2, y, p + 1) or f(x, y * 3, p + 1) #Варианты действий
	else:
		return f(x + 1, y, p + 1) and f(x, y + 1, p + 1) and
			   f(x * 2, y, p + 1) and f(x, y * 3, p + 1) #Варианты действий


for s in range (1, 58 + 1): #Перебор S
	if f(10, s, 1): #Начали с 10 камней
		print(s)

Отличия:

1. Выиграл Петя, соответственно, позиция 4

2. Так как Петя не может выиграть за один ход — он выигрывает за 2 хода (and, а не or на нечётных позициях (играх Пети))

3. Убрали break, так как нам нужны все S, а не единственный

Последняя вариация задачи:

Сразу код:

def f(x, y, p): #Рекурсивная функция
	if x + y >= 69 or p > 5: #Условия завершения игры
		return p == 3 or p == 5
	if p % 2 == 0:
		return f(x + 1, y, p + 1) or f(x, y + 1, p + 1) or
			   f(x * 2, y, p + 1) or f(x, y * 3, p + 1) #Варианты действий
	else:
		return f(x + 1, y, p + 1) and f(x, y + 1, p + 1) and
			   f(x * 2, y, p + 1) and f(x, y * 3, p + 1) #Варианты действий


for s in range (1, 58 + 1): #Перебор S
	if f(10, s, 1): #Начали с 10 камней
		print(s)

Ну и всего лишь 2 отличия:

1. Позиции 3 или 5, а не 4, так как выиграл Ваня

2. На второй ход выигрывает Ваня и нам нужно or и and поменять. Я заменил только кратность 2.

Задача 22

Ctrl+C, Ctrl+V — наше всё!

for i in range(1, 100000):
	x = i
	L = 0
	M = 0
	while x > 0 :
		L = L+1
		if (x % 2) != 0:
			M = M + x % 8
		x = x // 8
	if L == 3 and M == 6:
		print(i)

Задача 23

Итак, код:

def f(x, y):
	if x > y: #Перегнали цель
		return 0
	if x == y:  #Догнали цель
		return 1
	if x < y: #Догоняем цель тремя методами
		return f(x + 1, y) + f(x + 2, y) + f(x * 2, y)

print(f(3, 10) * f(10, 12)) #Прошло через 10, значит догнали 10 и от де догоняем 12

Так как в условии задачи мы увеличиваем число, но будем числа «догонять». Три метода описаны, ну а пройти через 10 — значит дойти до него и идти от него.

Собственно, это и есть вся первая часть ЕГЭ по информатике решённая на Python.

Ссылка на репозиторий со всеми программами:

Надеюсь, что смог помочь в своей статье выпускникам и готовящимся

Остался один вопрос — нужен ли разбор второй части ЕГЭ по информатике на Python? Оставлю этот вопрос на ваше голосование.

Всем удачи!

Делаю разбор второй части?

Проголосовали 106 пользователей.

Воздержались 15 пользователей.

© 2007 — 2023 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены

Автор материалов — Лада Борисовна Есакова.

В компьютере вся информация представлена в двоичной системе счисления, в которой используется две цифры – 0 и 1. Собственно, и цифр как таковых у компьютера нет, а есть электрический сигнал, проходящий по электронным схемам и соединительным проводникам (шинам) компьютера, который может принимать значения “высокий уровень электрического напряжения” (принимаемый нами за 1) и “низкий уровень электрического напряжения” (принимаемый за 0). Для различных действий над этими нулями и единичками нам необходимы специальные операции, которые работают с двоичными переменными.  Такие операции называются логическими операциями.

Логические операции и их аргументы принимают только два значения: 1 (“истина”) и 0 (“ложь”).

Таблица истинности выражения определяет его значения при всех возможных комбинациях исходных данных.

Количество строк в таблице истинности выражения от N переменных равно 2^N.

Основные логические операции:

1). Логическое умножение (конъюнкция, логическое И). Обозначается:  AND, &, /.

Таблица истинности:

2). Логическое сложение (дизъюнкция, логическое ИЛИ). Обозначается:  OR, |, /.

Таблица истинности:

3). Логическое отрицание (инверсия, логическое НЕ). Обозначается: NOT, ¬, .

Таблица истинности:

4). Логическое следование (импликация). Обозначается: →.

Таблица истинности:

5). Логическое равенство (эквивалентность). Обозначается: ↔, ~.

Таблица истинности:

Порядок (приоритет) выполнения логических операций:

Если в выражении нет скобок, то операции выполняются в следующем порядке:

—          Логическое отрицание (инверсия, логическое НЕ);

—          Логическое умножение (конъюнкция, логическое И);

—          Логическое сложение (дизъюнкция, логическое ИЛИ);

—          Логическое следование (импликация);

—          Логическое равенство (эквивалентность).

Выбор выражения по таблице истинности

Пример 1.

Дан фраг­мент таб­ли­цы ис­тин­но­сти вы­ра­же­ния F:

Каким вы­ра­же­ни­ем может быть F?

1) (x1 ∧ x2) ∨ (x3 ∧ x4) ∨ (x5 ∧ x6)

2) (x1 ∧ x3) ∨ (x3 ∧ x5) ∨ (x5 ∧ x1)

3) (x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2)

4) (x1 ∧ x4) ∨ (x2 ∧ x5) ∨ (x3 ∧ x6)

Решение:

Все пред­став­лен­ные ва­ри­ан­ты от­ве­та — дизъ­юнк­ции трёх конъ­юнк­ций. Все зна­че­ния F в таблице равны нулю. Дизъ­юнк­ция равна нулю, когда все слагаемые равны нулю.

Рас­смот­ри по­очерёдно все че­ты­ре вы­ра­же­ния.

1) В пер­вой стро­ке таб­ли­цы x1=1 и x2=1, зна­чит x1∧x2=1. Выражение не подходит.

2) Во вто­рой стро­ке таб­ли­цы x1=1 и x3=1, зна­чит x1∧x3=1. Выражение не подходит.

3) Подставим в третье выражение поочередно значения всех строк таблицы:

Первая строка

(x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2) = (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) = 0 ∨ 0 ∨ 0 = 0

Вторая строка

(x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2) = (0 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) = 0 ∨ 0 ∨ 0 = 0

Третья строка

(x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2) = (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 0) = 0 ∨ 0 ∨ 0 = 0

Выражение подходит.

4) В тре­тьей стро­ке таб­ли­цы x1=1 и x4=1, зна­чит x1∧x4=1. Выражение не подходит.

Ответ:3

Пример 2.

Для таб­ли­цы ис­тин­но­сти функ­ции F из­вест­ны зна­че­ния толь­ко не­ко­то­рых ячеек:

Каким вы­ра­же­ни­ем может быть F?

1) x1 ∧ x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7

2) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7

3) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ x7

4) x1 ∨ x2 ∨ ¬ x3 ∨ x4 ∨ x5 ∨ ¬x6 ∨ x7

Решение:

Рас­смот­ри по­очерёдно все че­ты­ре вы­ра­же­ния.

1)      Выражение является конъюнкцией переменных и их отрицаний. Конъюнкция равна единице, когда все операнды равны единице. В первой строке x6 = 0, а значит и все выражение F равно нулю,  что не со­от­вет­ству­ет таб­ли­це ис­тин­но­сти.

2)      Выражение является дизъюнкцией переменных и их отрицаний. Дизъюнкция равна единице, когда хотя бы один операнд равен единице. Подставим во второе выражение поочередно значения всех строк таблицы:

Первая строка

x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 = x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ 0  ∨ ¬x5 ∨ 0 ∨ ¬x7 может принимать значение 1, если хотя бы один из операндов равен 1.

Вторая строка

x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 = x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ 1 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ 1 = 1

Третья строка

x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 = 0 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ 0 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 может принимать значение 0, если все остальные операнды равны 0.

3)      Выражение является конъюнкцией переменных и их отрицаний. Конъюнкция равна единице, когда все операнды равны единице. Во второй строке x4 = 0, а значит и все выражение F равно нулю,  что не со­от­вет­ству­ет таб­ли­це ис­тин­но­сти.

4)     Выражение является дизъюнкцией переменных и их отрицаний. Дизъюнкция равна единице, когда хотя бы один операнд равен единице. В третьей строке x4 = 1, значит и все выражение F равно 1,  что не со­от­вет­ству­ет таб­ли­це ис­тин­но­сти.

Ответ:2

Пример 3.

Логическая функция F задаётся выражением (¬z) ∧ x ∨ x ∧ y. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.

В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая 1-му столбцу; затем – буква, соответствующая 2-му столбцу; затем – буква, соответствующая 3-му столбцу). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Решение:

Выражение (¬z) ∧ x ∨ x ∧ y яв­ля­ет­ся дизъ­юнк­ци­ей двух конъ­юнк­ций:

((¬z) ∧ x) ∨ (x ∧ y) . В обеих конъюнкциях присутствует x. Т. е. при x = 0 все выражение равно 0. Это выполняется только при Перем.3 = x.

Выражение равно 1, если x =1 и выполняется хотя бы одно из условий: y = 1 или z = 0. Из четвертой строки следует, что Перем.1 = z, а Перем.2 = y.

Ответ: zyx