Шад экзамен 2019

Вступительный экзамен в Школу анализа данных
25 мая 2019

Условия задач

1. Лёша и Марина договорились встретиться между 8:00 и 9:00 и вместе пойти на экзамен в ШАД. Каждый из них приходит на место встречи в случайный момент времени, ждёт 15 минут и уходит (никому не хочется опоздать на экзамен). Являются ли независимыми события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришел после 8:45»? Время считайте непрерывным.
2. Известно, что . Чему равен предел ?
3. Верно ли, что для любых линейно-независимых v,w ∈ Rⁿ найдётся матрица A размера n×n, для которой вектор v является собственным с собственным значением 5, а вектор w не лежит в образе? Если да, то как найти хотя бы одну такую матрицу? Обязательно объясните ответ.
4. Дан массив вещественных чисел A[1:n]. Предложите алгоритм, находящий для каждого элемента A индекс ближайшего справа элемента, большего его хотя бы в два раза. Если такого элемента нет, то должно возвращаться значение None. Ограничение по времени O(nlogn), по дополнительной памяти — O(n).
5. В корзине лежит m чёрных шаров и n красных. Вася достаёт из корзины случайный шар и, если он чёрный, то заменяет его на красный, а если он красный, то кладёт его обратно. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа красных шаров в корзине после k итераций этой процедуры. Оба ответа должны быть компактными выражениями (то есть не содержать знаков суммирования, многоточий и пр.).
6. Матрицы A и B таковы, что A²=A, B²=B и матрица E−(A+B) обратима. Докажите, что rkA = rkB.
7. Пусть M — множество непрерывных убывающих функций на отрезке [0;1], для которых f(1)=0. Найдите .
8. Дан граф с 40 вершинами. Известно, что среди любых 5 вершин найдется одна, соединенная с четырьмя остальными. Каково минимально возможное число ребер в этом графе?

Все материалы для подготовки

смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов