Шад примеры вступительных экзаменов - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

ВСЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ | ШАД ЯНДЕКСА

За время подготовки в ШАДу накопилось очень много материалов. Это и задачи с экзаменов с решениями, и задачи с собеседований, и все необходимые книги, конспекты, шпаргалки и прочее. Все это доступно по этой ссылке.

Что есть материалах по подготовке к ШАДу:

1_Online_Test – мои решение задач с теста на Питоне
2_Exams – задачи с экзаменов 2012-2018 и их решения. Еще советую посмотреть supershad – там формат поудобнее.
3_Interviews – задачи с интервью прошлых лет и их решения. Еще источник
4_Books – все книги, перечисленные в программе для поступления в ШАД, плюс еще много разных полезных книг, которыми я пользовался при подготовке
5_Formulae – различные конспекты, формулы и шпаргалки. Если нужно освежить в памяти отдельные темы или нет времени целиком прочитать книги
6_Problemsets – задачи, близкие к экзаменам и интервью в ШАД. Сейчас там лежат листки по теорверу ФКН Вышки. Добавлю еще материалы, если найду
More_materials – дополнительные материалы по подготовке, на которые наткнулся в Интернете. Сам не успел ими воспользоваться, но подозреваю, что интересные задачи там найдутся

Папка большая (700 МВ), поэтому не знаю, сколько проживет ссылка. Пишите в комментах, постараемся ее оживлять.

Если еще не подписались на наш канал в YouTube, самое время это сделать вот здесь! В начале августа узнаем, к чем привела вся эта эпопея =)

9 недель с нуля до оффера McKinsey

На фото: веранда лондонского офисе McKinsey над площадью Piccadilly Circus. © Victor Rogulenko По просьбе читателей расскажу по порядку, как готовился и проходил отбор в McKinsey, Bain, BCG и Oliver Wyman. В приложениях смотрите мои резюме и мотивационные письма. Какой результат? Скрининг BCG не прошёл, а от прохождения отбора в Bain и Oliver Wyman отказался после первых раундов, так как получил оффер McKinsey, мой выбор №1. Сейчас я в McKinsey и работаю. В университете я никогда не участвовал в кейс-чемпионатах и …

CV | CL | Fit

28.10.2015

Мотивационное письмо и резюме в McKinsey

Вот что сработало у меня. Надеюсь, эти материалы помогут Вам пройти отбор в McKinsey, Bain, BCG и другие консалтинговые компании. По какой-то причине люди не любят выкладывать свои мотивационные письма и резюме на общее обозрение. Вероятно, кто-то боится конкуренции, кто-то стесняется самохвальства, неотъемлимой части личного пиара, а кто-то считает, что пишет слишком личные вещи, и их никто не должен видеть, кроме рекрутеров. Их право. У меня несколько другой подход. Я верю, что информация – чудесная вещь. Очень часто она может …

MBA

20.01.2016

53 вопроса на интервью MBA

Предыдущая статья из серии “Из Бутово в Стэнфорд”. Какие вопросы могут спросить на ‘behavioral event’ интервью в Stanford GSB и другие программы MBA? Любую историю из жизни кандидата. В статье привожу примерный перечень вопросов. Вопросы на собеседовании в Стэнфорд Источники: Clear Admit, Adam Markus, интервью с выпускниками и студентами. Список не исчерпывающий RESUME Tell me about your background/walk me through your resume. Tell me a bit about yourself What extracurricular activity are you most proud of? What did you take away …

Источник

Полный разбор экзамена в ШАД

Время на прочтение
4 мин

Количество просмотров 5.7K

Задачи прошлых лет, отсортированные по сложности и предметам можно посмотреть на сайте: https://shadhelper.notion.site

Автор решения: Лыков Александр, кандидат физико-математических наук.

Задача 1

Пусть — квадратная матрица . Докажите, что $n-operatorname{rk} A geqslant operatorname{rk} A-operatorname{rk} A^{2}$

Подсказка

Использовать связь ранга матрицы с образом соответствующего линейного оператора.

Решение

Задача 2

Сколькими способами различных четных чисел и различных нечетных чисел можно записать в таблицу таким образом, чтобы нечетное число никогда не стояло под четным? Ответ должен содержать не более одной суммы.

Подсказка

Разбить все столбцы на группы по принципу того, какое число по чётности стоит снизу, какое сверху.

Решение

Решение
- Разобьём все столбцы таблицы на три группы:
  
  Предположим, что в группе НН в первой строке элементов. Тогда во второй строке этой группы также элементов, а количество элементов в верхней строке в группе ЧН равно . Тем самым имеем следующую картинку:
  
  Число способов выбрать элементы для группы НН равно $C_{n-k}^k$ : сначала выбираем $C_{n}^k$ способами нечётные числа на верхние позиции, затем на нижние. Число способов выбрать чётные элементы (нечётные элементы уже определены на предыдущем шаге) для группы ЧН равно $C_{n}^{n-2k}$ . Элементы в верхней строке для группы ЧЧ можно выбрать $C_{2k}^k$ способами, на нижние позиции пойдут оставшиеся чётные элементы. После того как числа распределены по группам нам нужно выбрать места в таблице, где будут располагаться группы. Например, места с 1 по 10 уходят для группы НН, с 10 по 20 для группы ЧН , и с 20 по для группы ЧЧ. Это можно сделать $C_n^k C_{n-k}^k$ способами — выбираем места для группы НН и затем для ЧЧ, для группы ЧН оставшиеся. Далее нужно учесть, что мы можем переставлять числа внутри группы, на одной строке.
  
  Это даст нам ещё вариантов. Окончательно получаем ответ:
  
  $S = sum_{0leqslant k leqslant frac{n}{2}} C_{n}^k C_{n-k}^k C_{n}^{n-2k} C_{2k}^k C_n^k C_{n-k}^k (k!)^2 ((n-2k)!)^2 (k!)^2$

Задача 3

На станцию приходят в случайное время две электрички. Времена их приходов независимы и имеют экспоненциальное распределение с плотностью $e^{-x}$ при x>0 . Студент приходит на станцию в момент времени . Найдите:

a) вероятность того, что он сможет уехать хотя бы на одной электричке;

б) математическое ожидание времени ожидания студентом ближайшей электрички (считаем, что время ожидания равно нулю, если студент опоздал на обе электрички).

Подсказки

Обозначим T_1 и T_2 времена прихода первой и второй электричек соответственно. Переформулировать вопрос задачи в терминах T_1,T_2

Решение

Задача 4

Верно ли, что всякая нечетная непрерывная функция, удовлетворяющая условию , линейна.

Подсказка

Подсказки

Придумать чётную функцию такую, что .

Решение

Решение

Неверно. Пример функции

Задача 5

Пусть и — ортогональные матрицы (не ортогональные друг другу, а просто ортогональные!). Докажите, что

Подсказка

Использовать равенство

Решение

Задача 6

Назовем элемент прямоугольной матрицы седлом, если он является наибольшим в своей строке и наименьшим в своем столбце или наоборот. Придумайте алгоритм, за O(nm) операций находящий все седла в матрице , использующий не более O(n+m) памяти и не более 1 раза обращающийся к каждому элементу A (можете считать, что элемент A[i][j] превращается в NaN сразу после вызова A[i][j] Считайте, что все элементы матрицы различны

Подсказка

Подумать как найти максимальный элемент в строке и минимальный столбце.

Решение

Задача 8

Пусть ${xi_n}_{ngeqslant 1}$ — последовательность случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение. Сходится ли ряд?

$sum_{n=1}^{infty} Pleft(xi_n> sqrt{2 ln n+2 ln ln n}right)$

Подсказки

Для оценки интеграла проинтегрировать по частям.

Решение

Что-то не так? Напишите нам на email shadhelper@yandex.ru✌️

Источник

Привет! Меня зовут Азат, я студент 3 курса Факультета Компьютерных Наук ВШЭ. На днях ко мне обратился знакомый с Экономики ВШЭ и попросил помочь с решением задач вступительного экзамена в ШАД. Мы с однокурсником Даниилом посмотрели на задания, они показались нам довольно сложными, но очень интересными, захотелось поломать над ними голову. В итоге мы прорешали 1 из вариантов 2019 года и хотим показать наши решения миру.

Задача 1

Заполните третий столбец матрицы

$frac{1}{6} left( begin{array}{ccc} 5&-2&?\-2&2&?\-1&-2&? end{array} right)$

если известно, что это матрица ортогональной проекции на некоторую плоскость.

Решение

Назовём эту матрицу

$A$ , воспользуемся свойством ортогональных проекторов:

$A^2=A$ и займёмся арифметикой:

$A^2 = frac{1}{36} left( begin{array}{ccc} 5&-2&x\-2&2&y\-1&-2&z end{array} right) left( begin{array}{ccc} 5&-2&x\-2&2&y\-1&-2&z end{array} right) = frac{1}{36} left( begin{array}{ccc} 29-x & * & * \ -14-y & * & * \ -1 - z & * & * end{array} right)$

$= frac{1}{6} left( begin{array}{ccc} 5&-2&x\-2&2&y\-1&-2&z end{array} right) = A$

Нам необязательно считать 2 и 3 столбец, информации в первом достаточно для решения, на экзамене так можно было бы сэкономить время.

Получаем тривиальную систему:

$left{ begin{array}{l} 29-x = 5 cdot 6 \ -14-y = -2 cdot 6 \ -1-z = -1 cdot 6 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 29 - x=30 \ -14 -y = -12 \ -1-z = -6 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = -1 \ y=-2 \ z = 5 end{array} right.$

Таким образом, мы заполнили 3 столбец, получив в итоге матрицу

$A = frac{1}{6} left( begin{array}{ccc} 5&-2&-1\-2&2&-2\-1&-2&5 end{array} right)$

Задача 2

Что вы можете сказать о сходимости (абсолютной или условной) ряда

$sum_{n=1}^{infty} (n+2019)a_n$ , если известно, что ряд

$sum_{n=1}^{infty} (n-2019)a_n$ сходится (а) абсолютно, (б) условно?

Решение

Введём обозначения:

$S = sum_{n=1}^{infty} (n+2019)a_n, T = sum_{n=1}^{infty} (n-2019)a_n.$

$S' = sum_{n=1}^{infty} |n+2019| |a_n|, ; T' = sum_{n=1}^{infty} |n-2019| |a_n|$

$A = sum_{n=1}^{infty} a_n, ; A' = sum_{n=1}^{infty} |a_n|$

Докажем вспомогательное утверждение (1).

Ряд

$sum_{n=1}^{infty}(n + a)a_{n}$ сходится

$Rightarrow A' = sum_{n=1}^{infty}a_{n}$ сходится

Для этого представим второй ряд как

$sum_{n=1}^{infty} frac{(n+a)a_{n}}{n+a}$ (кроме, может быть, выколотой точки -a).

Заметим, что ряд можно представь как

$sum_{n=1}^infty alpha_n beta_n$ , где

$alpha_n = frac{1}{n+a}, beta_n =(n + a)a_n$ . Отбросим члены до

, это не повлияет на сходимость. Тогда выполнены все условия признака Дирихле сходимости ряда. А именно:

1. Последовательность частичных сумм

$B_n = sum_{k=1}^n beta_k$ ограничена, так как ряд

$sum_{n=1}^infty beta_n$ сходится.
2.

$alpha_n geqslant alpha_{n+1}$
3.

$lim_{ntoinfty} alpha_n = 0$

Значит, ряд сходится. Хорошо, теперь приступим к заданию.

a) T сходится абсолютно, то есть ряд

$T' = sum_{n=1}^{infty} |n - 2019| |a_n|$ сходится. Разобьём эту сумму:

$T' = sum_{n=1}^{2018} |n - 2019| |a_n| + sum_{n=2019}^{infty} |n-2019| |a_n| = ldots$

Мы можем без влияния на сходимость заменить первые

элементов, тогда получим:

$ldots = sum_{n=1}^{2018} (n - 2019) |a_n| + sum_{n=2019}^{infty} (n-2019) |a_n| = sum_{n=1}^{infty} (n - 2019) |a_n|$

Отсюда, пользуясь утверждением (1), получаем что

$sum_{n=1}^{infty} |a_n|$ сходится.

Выкинем первые

членов каждого из этих рядов (опять же, это не влияет на их сходимость) и рассмотрим разность:

$S'-T' = sum_{n=2019}^{infty} ((n+2019) - (n-2019))|a_n| = 4038 sum_{n=2019}^{infty} |a_n|$

А мы уже знаем, что ряд

$A' = sum_{n=1}^{infty} |a_n|$ сходится. Тогда получается, что ряд

— это сумма 2 сходящихся рядов. Ну значит и он сам сходящийся.

б)

$ T $ сходится условно, то есть ряд

$ T $ сходится, а ряд

$ T' $ — нет.

Докажем, что тогда ряд

$ S $ тогда тоже сходится условно.

Опять же, из сходимости ряда

$ T $ с помощью утверждения (1) следует сходимость ряда

$ A $ . Из тех же соображений о разности, что и в предыдущем пункте, применённых теперь к

$ S $ и

$ T $ , получим, что ряд

$ S $ сходится. Осталось лишь доказать, что ряд

$ S' $ не сходится.

Будем действовать от противного. Пусть

$ S' $ сходится. Тогда, отбросив первые

членов

$ S' $ и

$ T' $ , поймём, что:

$sum_{n=2019}^{infty} |n-2019||a_n| leq sum_{n=2019}^{infty} |n+2019||a_n|$

так как

Но эти ряды положительные, поэтому если сходится больший из них, то сходится и меньший. Значит

$ T' $ сходится, противоречие.

Задача 3

Алёна очень любит алгебру. Каждый день, заходя на свой любимый алгебраический форум, она с вероятностью

$frac14$ находит там новую интересную задачу про группы, а с вероятностью

$frac{1}{10}$ интересную задачку про кольца. С вероятностью

$frac{13}{20}$ новых задач на форуме не окажется. Пусть

$X$ — это минимальное число дней, за которые у Алёны появится хотя бы одна новая задача про группы и хотя бы одна про кольца. Найдите распределение случайной величины

$X$ . В ответе должны участвовать только компактные выражения (не содержащие знаков суммирования, многоточий и пр.).

Решение

Нам нужно найти

. Для этого надо понять на пальцах, в каком случае

. Первый случай — когда в каждый из предыдущих

дней либо не было задач, либо были только про группы, а в

$k$ -ый попалась задача про кольца. Второй случай — когда в каждый из предыдущих

дней либо не было задач, либо были только про кольца, а в

$k$ -ый попалась задача про группы. На самом деле мы оба раза учли не подходящий случай, когда все предыдущие

$k-1$ дней задач не было вообще. С поправкой на это ответ будет таким:

$P[x=k] = left( left( frac{13}{20} + frac{1}{4} right)^{k-1} - left( frac{13}{20} right)^{k-1}right) cdot frac{1}{10} +$

$left( left( frac{13}{20} + frac{1}{10} right)^{k-1} - left( frac{13}{20} right)^{k-1}right) cdot frac{1}{4}$

Задача 4

Дан массив

вещественных чисел, отсортированный по возрастанию, а также числа

$p$ ,

$q$ ,

$r$ . Предложите алгоритм, строящий массив

, состоящий из чисел

, где

, также отсортированный по возрастанию. Ограничение по времени —

$O(n)$ , по дополнительной памяти —

$O(n)$ .

Решение

Сначала предположим, что

Изобразим нашу функцию.

Заметим, что:

$forall x: x > -frac{q}{2p}$ после применения

порядок остаётся прежним.
2.

$forall x: x leq -frac{q}{2p}$ после применения

порядок будет обратным.

То есть для «правой» части после применения к каждому значению функции

$f$ подпоследовательность остаётся правильно отсортированной, для левой части она становится отсортированной в обратном порядке.

Тогда бинпоиском за

найдём место в

$ A $ , в котором массив делится на эти самые доли. Сделаем reverse левой части. Применим ко всем элементам функцию

$ f $ . Получили 2 отсортированных массива. С помощью процедуры merge за

по времени и по памяти получим целиком отсортированный массив.

В случае

решим задачу для

$ -f $ , а затем сделаем reverse всего массива и домножим каждое значение

на -1. Получим правильный результат.

В случае

порядок зависит от знака

$ q $ .

$q > 0 Rightarrow f(x_i) leq f(x_{i+1}) , forall i$
2.

$q < 0 Rightarrow f(x_i) geq f(x_{i+1}) , forall i$

И построение в этом случае сводится к применению функции ко всем значениям. Только в случае

за

надо ещё сделать reverse. В случае когда

порядок уже правильный.

Задача 5

Вещественнозначная функция

$ f $ определена на отрезке

и дифференцируема на нём. Докажите, что найдётся точка

, для которой

Решение

Давайте докажем от противного. Пусть

Сначала посмотрим, что будет происходить при равенстве:

$frac{df}{dx} = 1 + f^2 Leftrightarrow int frac{df}{1+f^2} = int dx$

Обозначим эту функцию как

. Заметим, что

. То есть мы пользуемся тем, что функция

$ f $ растёт не менее быстро, получаем, что и разница с изначальной точкой будет не меньше, чем у

$ g $ .

Функция

$ g $ у нас имеет константу

$ C $ . Примем значение этой константы таким, что

. Тогда:

Мы знаем, что

. Тогда на

существует хотя бы одна точка

$ x' $ такая, что

$x'+C = frac{pi}{2} + pi k$ (потому что шаг

). В этой точке

. При этом мы знаем, что

Получили, что в какой-то из точек

функция уходит на бесконечность. А значит функция терпит разрыв, то есть не является непрерывной, а это дано нам в условии. Получили противоречие.

Задача 6

Квадратная вещественная матрица

$ A $ такова, что

$A^text{T} = p(A)$ , где

— многочлен с ненулевым свободным членом. Докажите, что

$ A $ обратима. Верно ли, что для любого оператора

$varphi : mathbb{R}^n to mathbb{R}^n$ найдётся многочлен

и некоторый базис, в котором матрица

удовлетворяет условию

$A^text{T} = p(A)$ ?

Решение

В начале, покажем, что

, распишем подробно:

Отсюда можно получить, что

1. Будем доказывать от противного. Пусть матрица

$ A $ необратима. Тогда существует вектор

такой, что

. Тогда ещё можно сказать, что

. Теперь распишем это:

$= p_n (x^T A^T) (A^T)^{n-1} x + ldots + p_1 x^T A^T x + p_0 x^T E x$

Теперь пользуемся тем, что

Но мы знаем, что

. Получили противоречие.

2. Рассмотрим линейный оператор

$ phi $ с матрицей

$A = begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$ в стандартном базисе.

Тогда в любом другом базисе матрица будет иметь вид

$B = C^{-1} A C$ , где

$ C $ — матрица перехода.

Заметим, что

, значит

. Тогда

$B^n = C^{-1} A^n C = 0 ; forall n geq 2$ .

Пусть

. Так как все степени выше 1 обнуляются,

При этом

, так как иначе, пользуясь первым пунктом, можем получить, что матрица

$ B $ обратима, а это не так (т.к.

Вспомним, что

Распишем:

Теперь рассмотрим несколько случаев:

Подставим в другое место:

Наша матрица размерности всего 2, поэтому вполне можем расписать поэлементно:

$left{ begin{array}{l} b_{11} + b_{11} = 0 \ b_{12} + b_{21} = 0 \ b_{21} + b_{12} = 0 \ b_{22} + b_{22} = 0 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} b_{11} = b_{22} = 0 \ b_{12} = -b_{21} \ end{array} right.$

Но мы знаем что

. Распишем определитель:

$operatorname{det} B = 0 cdot 0 - b_{12}(-b_{12}) = b_{12}^2 = 0 Rightarrow b_{12} = b_{21} = 0 Rightarrow B = 0$

.
Получили противоречие. Матрица оператора

$ phi $ в стандартном базисе ненулевая, она не может быть нулевой в другом базисе.

Тогда после подстановки получаем

. Тогда

При этом

$(B^T B)_{ii} = sum_{k=1}^n (B_{ki})^2 = 0 ; forall i Rightarrow B_{ki} = 0 ; forall k, i Rightarrow B = 0$

И снова получаем противоречие.

Здесь тогда тоже получаем, что

Значит нет многочлена и базиса в котором матрица

$ A $ оператора

$ phi $ представима, как

. Что и требовалось доказать.

Задача 7

Дан граф с

$ 30 $ вершинами. Известно, что для любых

$ 5 $ вершин в графе есть цикл длины

$ 5 $ , содержащий эти вершины. Докажите, что найдётся

$ 10 $ вершин, попарно соединённых рёбрами друг с другом.

Решение

Сначала покажем, что диаметр графа

Выберем 2 самые удалённые друг от друга вершины

$ u $ и

$ v $ и 3 произвольные. По условию дано, что любые 5 вершин составляют цикл. Значит есть и цикл, состоящий из этих 5 вершин. В этом цикле путь от

$ u $ до

$ v $ будет максимум 2 (видно на картинке). Значит

Теперь зафиксируем произвольную вершину

. Мы уже сделали вывод, что до любой другой вершины графа расстояние от

$ v $ равно либо 1, либо 2. Покажем, что на «‎втором уровне»‎ не больше

$ 2 $ вершин:

Будем доказывать от противного. Пусть есть вершины

. Возьмём ещё одну произвольную вершину

. Снова, эти вершины составляют цикл. Но тогда, как бы мы ни разместили вершины в этом цикле, расстояние от

$ v $ до хотя бы одной из вершин

$ a $ ,

$ b $ или

$ c $ будет равно 1, получили противоречие.

Получили,

, то есть каждая вершина имеет степень не меньше

$ 27 $ .

Теперь попробуем с этой информацией найти клику (вершины, попарно соединённые рёбрами — то, что требуется в условии) длины 10. Найти клику размера 10 в графе

$ G $ — это то же самое, что найти независимое множество (то есть вершины, между которыми вообще нет рёбер) того же размера 10 в обратном графе

Рассмотрим

. Если в изначальном графе

$ G $ у нас степень вершины

$ v $

, то в обратном

Тогда обратный граф состоит из набора «цепей» (1) и «циклов» (2). Другие структуры невозможны из-за жёсткого ограничения

В компонентах вида (1) можно найти независимое множество размера

$left lceil{frac{m}{2}}right rceil$ , вида (2) —

$left lfloor{frac{m}{2}}right rfloor$ .

Пусть

$ k $ — общее количество компонент в обратном графе, а

$ k_1 $ — количество «цепочек». Тогда размер максимального независимого множества будет равен:

$| I | = sum_{i=1}^{k_1} left lceil{frac{m_i}{2}}right rceil + sum_{i=k_1 + 1}^{k} left lfloor{frac{m_i}{2}}right rfloor text{при условии} sum_{i=1}^{k} m_i = 30$

Понятно, что это число будет минимальным, если мы по возможности будем округлять вниз, при этом с наибольшими потерями. Этого можно добиться, например, взяв 10 компонент размера 3. Тогда получим нижнюю оценку.

$| I | geq sum_{i=1}^{10} left lfloor{frac{3}{2}}right rfloor = 10$

То есть мы показали, что в обратном графе

максимальное независимое множество имеет размер 10 или больше, то есть в графе

$ G $ существует клика размера 10 или больше. Что и требовалось доказать.

Задача 8

Найдите предел

$lim_{n to infty} sum_{k=n}^{5n} C_{k-1}^{n-1} left( frac15 right)^n left( frac45 right)^{k-n}.$

Решение

Здесь нужно по виду формулы догадаться о теории вероятностей.

Введём случайную величину:

$xi_{n} = # text{бросков монетки до выпадания} ; n , text{орлов}$

Пусть монетка неправильная — орёл выпадает с вероятностью

$frac{1}{5}$ .

Тогда

это в точности значение под знаком суммирования:

$P[xi_n = k] = C_{k-1}^{n-1} left( frac15 right)^n left( frac45 right)^{k-n}$

$C_{k-1}^{n-1}$ — это количество возможных размещений

орлов (ещё 1 выпадает в конце).

$left( frac{1}{5} right)^n$ — это вероятность выпадения орлов на выбранных позициях.

$left( frac{4}{5} right)^{k-n}$ — это вероятность выпадения решек на оставшихся позициях.

Тогда наш предел превращается в

$lim_{n to infty} P[xi_n leq 5n].$

Заметим, что вероятность события

можно интерпретировать по-другому. Это вероятность того, что за

$ 5n $ бросков выпадет

орлов.

Введём новую случайную величину:

$S_{5n} = # text{орлов после} , 5n , text{подбрасываний}$

При этом величину можно представить как сумму элементарных:

$S_{5n} = sum_{i=1}^{5n} eta_i, eta_i = I{text{в} , i , text{бросок выпал орёл} }$

Тогда

$mathbb{E} S_{5n} = sum_{i=1}^{5n} mathbb{E} eta_i = 5n cdot frac15 = n$

Применим центральную предельную теорему к

$S_{5n}$ . Получим:

$lim_{n to infty} P[xi_n leq 5n] = lim_{n to infty} P[S_{5n} geq n] = lim_{n to infty} P[S_{5n} - n geq 0] =$

$lim_{n to infty} P[frac{S_{5n} - n}{sigmasqrt{n}} geq 0] = P[eta geq 0], eta sim N(0, 1)$

Вспоминаем, что у нас нормальное распределение симметрично относительно матожидания и получаем итоговый ответ:

$lim_{n to infty} P[xi_n leq 5n] = P[eta geq 0] = frac12$

Заключение

В целом экзамен довольно сложный. Мой знакомый пожаловался, что подготовиться непросто. Это действительно так — нужно не только знать обширную математическую теорию, но и иметь навык решения олимпиадных задачек, в ШАДе дают именно такие. Поэтому для подготовки нужно много тренироваться, вспоминать теорию и набивать руку.

Если у вас есть другие идеи решения задач или какие-то замечания, смело пишите мне в телеграм @Azatik1000. Всегда рад ответить!

Азат Калмыков, куратор ШАД Helper

Только зарегистрированные пользователи могут участвовать в опросе. Войдите, пожалуйста.

Источник

Экзамены в ШАД — это серьёзная проверка и стресс даже для абитуриентов с хорошей подготовкой: нужно глубоко знать теорию математики, программировать и решать олимпиадные задачи. С наскока освоить такой объём информации не получится. Поэтому первым делом внимательно изучите программу на сайте и определите, какие темы вы знаете хорошо, а что нужно подтянуть.

Дисциплина — ключ к успеху

Начинайте готовиться сразу, как только определились с темами. Чётко распишите план подготовки, учитывая текущую загрузку, и обязательно сделайте скидку на то, что всё может пойти не так. Занимайтесь регулярно, но без фанатизма. Не нужно зубрить 24/7: в какой-то момент наступит перенасыщение знаниями и от подготовки не будет толка.

Хорошее самочувствие тоже часть подготовки. Не забывайте переключаться и делать передышки. Это поможет не перегореть и сохранить силы для поступления.

Выбор трека как стратегия

Есть разные подходы к подготовке в зависимости от выбранного трека, но база неизменна. Повторите все формулировки и определения из программы, откройте варианты и контесты прошлых лет — и решайте все задачи, которые с ходу не даются. Навыки программирования оттачивайте на LeetCode, Codeforces или TopCoder, а умение рассуждать — объясняя решение задач друзьям, далёким от математики. Тренируйтесь, пока не начнёте описывать выводы стройно и понятно, на собеседованиях, помимо знаний, оценивается умение излагать ход мыслей. Учитесь задавать вопросы по задаче, это поможет, если запутаетесь в решении.

Не злоупотребляйте готовыми разборами. Во-первых, в интернете многие задачи, особенно по теории вероятностей, разбираются неправильно. Во-вторых, заучивание готового не поможет на экзаменах. Лучше просидеть над задачей три дня, самостоятельно прийти к какому-то некрасивому решению и только после этого прочитать правильное. Так вы запомните его гораздо лучше и сможете объяснить.

— Михаил Берновский, студент 1-го курса ШАДа, альтернативный трек.

Насколько глубоко погружаться в каждую тему, зависит от того, на какой трек вы поступаете. Если на классическом треке ожидается, что вы понимаете связь между размерностью ядра, размерностью образа и кратностью нуля как собственного значения матрицы, то на альтернативном треке достаточно помнить, что для нахождения ядра нужно решить систему. Поступая на альтернативный трек, нужно понимать, как что-то посчитать, а поступая на классический — нужно уметь свободно рассуждать на тему решения и на близкие темы.

Но это не значит, что альтернативный трек — лёгкий способ попасть в ШАД. При поступлении на него требуется опыт в IT: промышленная разработка или исследования в области data science.

Классический трек и три математических столпа

Есть три больших области знаний, в которых надо ориентироваться: математический анализ, линейная алгебра и теория вероятностей. Хорошая стратегия — досконально изучить хотя бы две, а лучше все три.

Я поступала в ШАД на 4-м курсе мехмата, поэтому математику более-менее помнила. Из книг читала «Комбинаторику» Виленкина и «Основы теории вероятностей» Жуковского. Но это всё не помогает, пока не решишь минимум 100 задач на каждый жанр.

— Евгения Елистратова, выпускница ШАДа, разработчица в Яндекс Погоде.

В матанализе огромное количество теории, но для успешного прохождения экзаменов важнее решать задачи, очень много задач. Без умения хорошо считать не обойтись: нужно уметь брать интегралы, дифференцировать, находить минимумы и максимумы.

Пример экзаменационной задачи по математическому анализу.

Линейная алгебра также нужна во многом на уровне языка. Теория пригодится ровно настолько, чтобы хорошо решать задачи. На практике важнее всего будет уметь работать с матрицами, но вы сильно выиграете, если сможете, глядя на абстрактные матричные выражения, вспомнить соответствующую теорию.

Пример экзаменационной задачи по линейной алгебре.

К экзамену по теории вероятностей, в отличие от матанализа и линейной алгебры, готовиться нужно намного основательнее. Есть много условий и ограничений в теоремах, которые важно повторить. Например, есть разные типы сходимости, и нужно помнить, какой из какого следует, какой — в центральной предельной теореме, а какой — в законе больших чисел. Желательно также повторить основные распределения и уметь с ними работать.

Пример экзаменационной задачи по теории вероятностей.

Альтернативный трек: алгоритмы и IT-опыт

Если вы выбрали альтернативный трек, то бóльшую часть математической теории можно опустить, максимально сосредоточившись на написании кода и алгоритмах.

Хотя совсем без математики не обойтись. Необходимо уметь объяснять математические задачи, а также знать базовые алгоритмы и определения из матанализа и линейной алгебры. Как минимум, дифференцировать точно нужно уметь.

Я поступал в ШАД через несколько лет после окончания вуза и понимал, что не конкурент свежим выпускникам мехмата. Поэтому сразу выбрал альтернативный трек. На всю программу по математике у меня времени не было, и я стал решать ШАДовские задачи с прошлых экзаменов. Параллельно читал разборы, чтобы освежить теорию.

— Леонид Курахтенков, студент 1-го курса ШАДа, альтернативный трек.

Задачи по теории вероятностей здесь будут немного проще, чем в классическом треке. Скорее всего, потребуется вычислить дискретную вероятность — решить «задачу с цветными шариками». Также нужно будет показать, что вы умеете рассуждать логически, не путаете причину и следствие и не считаете, что пример доказывает утверждение.

Повторите теорию алгоритмов и структур данных: сортировки, обходы графов, устройство хэш-таблиц и «жадные» алгоритмы. Рекомендуем пройти тренировки по алгоритмам: в них собрана хорошая база теории, а также задачи с разбором для прокачки практических навыков.

Что касается машинного обучения, то здесь достаточно разбираться в основах. Строить сложные модели, требующие больших вычислительных ресурсов, на экзамене не потребуется, но нужно уметь анализировать данные и понимать, как решаются нетривиальные задачи обучения с учителем и без.

Какой опыт необходим для поступления на альтернативный трек? В первую очередь, конечно, индустриальная разработка, ML и продуктовая аналитика. Если у вас есть исследовательский опыт или опубликованные научные статьи, расскажите об этом в своей анкете и на собеседовании.

Как определить мотивацию

Итак, вы прошли все этапы, осталось собеседование по мотивации. Как к нему подготовиться и о чём говорить с куратором? Сначала честно ответьте на вопрос: «Зачем вам ШАД». Вы хотите подняться на новый карьерный уровень, сменить профессиональный трек или углубиться в то направление, которое уже изучаете?

Если вы учитесь в вузе на математической специальности и ищете прикладное применение своим знаниям в IT, то ШАД поможет объединить теорию и практику.

ШАД — это хорошая возможность развиться в профессиональном плане как дата-саентист или разработчик машинного обучения. В университете я изучаю науку, а ШАД даёт этой базе конкретное практическое применение.

— Константин Гордеев, студент 1-го курса ШАДа, классический трек.

Сформулируйте мотивацию заранее, так вы поймёте, какие моменты подсветить на собеседовании, а что звучит не слишком убедительно. Обдумайте на берегу, готовы ли вы вкладываться в учёбу на 200%: важно показать, что вы не просто загорелись идеей поступить в ШАД, но и полны решимости трудиться два года. И если это так — дерзайте!

Полезные материалы

Здесь собран минимум, который пригодится для подготовки к экзаменам. Но, конечно, мы рассчитываем, что вы знакомы со всем списком рекомендуемой литературы.

1. Алгоритмы: построение и анализ (Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Риверст, К. Штайн)

2. Задачи и теоремы линейной алгебры (В. Прасолов)

3. Основные понятия теории вероятностей (А. Колмогоров)

4. Курс теории вероятностей и математической статистики (Б. Севастьянов)

5. Курс комбинаторики А. М. Райгородского в YouTube

6. Тренажёры по написанию кода: Codeforces, LeetCode или TopCoder

7. Контесты прошлых лет

8. Задачи с экзаменов в ШАДе для классического и альтернативного треков

9. Тренировки Яндекса по алгоритмам

10. Разбор задач для поступления в ШАД

11. Архив олимпиады Putman Competition

Также рекомендуем почитать статью Виктора Рогуленко о том, как он готовился к поступлению в ШАД в 2019 году. Ждём ваших заявок и желаем удачи!

Источник

ВСЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ | ШАД ЯНДЕКСА

Что есть материалах по подготовке к ШАДу:

Similar posts

9 недель с нуля до оффера McKinsey

Мотивационное письмо и резюме в McKinsey

53 вопроса на интервью MBA

Полный разбор экзамена в ШАД

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 8

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Заключение

Дисциплина — ключ к успеху

Выбор трека как стратегия

Классический трек и три математических столпа

Альтернативный трек: алгоритмы и IT-опыт

Как определить мотивацию

Полезные материалы