Схема аннуитетных платежей егэ

Экспресс-тренинг

Подготовка к ЕГЭ-2023 по профильной математике в кратчайшие сроки!

До экзамена осталось совсем немного времени! Закрепите свои знания! Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Ваш ребенок успеет подготовиться к экзамену!

ГОТОВИМСЯ
К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ                         ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

                                                                                                         
I.           
АННУИТЕТНЫЕ ПЛАТЕЖИ

Определение.

Аннуитетный платёж –
вариант ежемесячного (ежегодного) платежа по кредиту, когда размер ежемесячного
(ежегодного) платежа остается постоянным на всем периоде кредитования..

         При решении экономических задач на
аннуитетные платежи примем следующие обозначения величин:

         Решение задач на аннуитетные платежи удобно оформлять в
виде таблицы. Рассмотрим примеры решения задач.

Задача 1.

В июле 2021 года
планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата
таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

§  с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет
выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя
равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного
погашения кредита на 96500 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Решение.

         Пусть S
рублей – сумма кредита,

r = 20 %, тогда p
= 1 + 20/100 = 1,2.

n = 3
года.

х – годовой
платёж,

тогда 3х
– общая сумма платежа за 3 года,

3х – S = 96500.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p2 S –p х	х	p2 S –p х – х
3	p2 S –p х – х	p3 S –p2 х – pх	x	p3 S –p2 х – pх – x = 0

         В
последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p³
S – p² х – pх – x = 0.

Подставим вместо S выражение 3х – 96500.

p³
∙ (3х –
96500) – p² х – pх – x = 0.

3p³∙ х – 96500 p³–
p² х – pх – x = 0.

Теперь выразим из этого уравнения переменную х:

х
∙ (3p³
– p² – p – 1) = 96500 p³,

х =  = .

3х = .

         Подставив p = 1,2,
получим общую сумму выплат за три года:

3х = 324000
рублей.

Ответ:
324000 рублей.

Задача 2.

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

§  с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

§  ежегодные
выплаты не превышают 300 000 рублей.

На какое минимальное
число рублей сумма выплат может превышать размер кредита?

Решение.

S =
1 000 000 рублей – сумма кредита,

r = 10 %, тогда p
= 1 + 10/100 = 1,1.

Для того, чтобы переплаты были минимальными, нужно,
чтобы сумма ежегодных выплат принимала наибольшую возможную сумму. Поэтому
примем х = 300 000 рублей, за исключением последнего
платежа, сумма которого может быть меньше предыдущих платежей.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	1        000 000	1,1 ∙ 1 000 000 = =  1 100 000	300 000	1 100 000 – 300 000 = = 800 000
2	800 000	1,1 ∙ 800 000 = =  880 000	300 000	880 000 – 300 000 = = 580 000
3	580 000	1,1 ∙ 580 000 = =  638 000	300 000	638 000 – 300 000 = = 338 000
4	338 000	1,1 ∙ 338 000 = =  371 800	300 000	371 800 – 300 000 = = 71800
5	71 800	1,1 ∙ 71 800 = =  78 980	78 980	78 980 – 78 980 = 0.

         Общая сумма выплат равна:

4 ∙
300 000 + 78 980 = 1 278 980 (рублей).

Наименьшее значение переплат за весь срок кредитования:

1 278 980
– 1 000 000 = 278 980 (рублей).

Ответ:
278 980 рублей

Задача 3 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

§  с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

§  ежегодные
выплаты не превышают 400 000 рублей.

На какое минимальное
число рублей сумма выплат может превышать размер кредита?

Ответ:
526 400 рублей.

Задача 4.

31 декабря 2020 года
Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5 % годовых. Схема
выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 14,5 %), затем
Дмитрий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х,
чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Решение.

S =
4 290 000 рублей,

r = 14,5%, тогда p
= 1,145.

n = 2 года.

х – годовой
платёж,

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p2 S –p х	х	p2 S –p х – х = 0

В
последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p² S – pх –
x = 0.

Выразим
из этого уравнения х:

p² S – х ∙ (p + 1) = 0,

p² S = х ∙ (p + 1),

х = ,

Подставим
числа, данные в условии задачи, вместо букв S и p:

х =  = 2 622 050.

Ответ:
2 622 050 рублей.

Задача 5 (для самостоятельного решения).

31 декабря 2020 года Алексей
взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5 % годовых. Схема выплаты
кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты
на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 12,5 %), затем Алексей
переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х,
чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т.е. за четыре года)?

Ответ:
2 296 350 рублей.

Задача 6.

31 декабря 2020 года Ярослав
взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5 % годовых. Схема выплаты кредита
следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на
оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 12,5 %), затем Ярослав
переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав
в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (т.е. за четыре
года)?

Решение.

Пусть S рублей
– сумма, взятая в кредит,

r = 12,5%, тогда p
= 1,125.

n = 4 года.

х =
2 132 325 рублей – ежегодные платежи,

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p2 S –p х	х	p2 S –p х – х = 0
3	p2 S –p х – х	p3 S –p2 х – pх	x	p3 S –p2 х – pх – x = 0
4	p3 S –p2 х – pх – x	p4 S –p3 х – p2 х –px	х	p4 S –p3 х – p2 х –px – x = 0

В
последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p⁴ S –p³ х – p² х –px – x = 0.

Выразим
из этого уравнения S:

p⁴
S – х ∙ (p³ + p²
+ p + 1) = 0,

p⁴
S = х ∙ (p³ + p²
+ p + 1),

S = ,

Подставим
числа, данные в условии задачи, вместо букв x и p:

х =  = 6 409 000.

Ответ:
6 409 000 рублей.

Задача 7 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

§  с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга,
равную 399 300 рублей.

Сколько рублей было
взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными
платежами (т.е. за три года)?

Ответ:
993 000 рублей.

Задача 8 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

§  с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга,
равную 207 360 рублей.

Сколько рублей было
взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен четырьмя равными
платежами (т.е. за четыре года)?

Ответ:
536 800 рублей.

Задача 9.

31 декабря 2020 года
Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20 % годовых. Схема
выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 20 %), затем
Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных
платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, сели бы смог выплатить
долг за 2 равных платежа?

Решение.

S =
7 007 000 рублей,

r = 20%, тогда p
= 1,2.

n₁ = 3 года,

n₂ = 2 года.

х рублей –
ежегодные платежи.

1)    Заполним
таблицу для n₁ = 3:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p2 S –p х	х	p2 S –p х – х = 0
3	p2 S –p х – х	p3 S –p2 х – pх	x	p3 S –p2 х – pх – x = 0

В последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p³ S – p² х –px – x = 0.

Выразим из этого уравнения переменную х:

p³ S – х ∙ (p²
+ p + 1) = 0,

p³ S = х ∙ (p²
+ p + 1),

х = ,

3х = =  = 9 979 200.

2)    Заполним
таблицу для n₂ = 2:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p2 S –p х	х	p2 S –p х – х = 0

В последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p² S – px – x = 0.

Выразим из этого уравнения переменную х:

p² S – х ∙ (p + 1) = 0,

p² S = х ∙ (p + 1),

х = ,

2х = =  = 9 172 800.

3)    9 979 200
– 9 172 800 = 806 400 (рублей).

Ответ:
806 400 рублей.

Задача 10 (для самостоятельного решения).

31 декабря 2020 года Савелий
взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5 % годовых. Схема
выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 12,5 %), затем Савелий
переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На
сколько рублей меньше он бы отдал банку, сели бы смог выплатить долг за 2
равных платежа?

Ответ:
506 250 рублей.

Задача 11.

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на r % по сравнению
с концом предыдущего года;

§  с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Известно, что кредит
был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено
75 000 рублей, а во второй год – 46 000 рублей. Найдите число r.

Решение.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	75 000	р S – 75 000
2	р S – 75 000	p2 S – 75 000 p	46 000	p2 S – 75 000 p – 46 000 = 0

В последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p²
S – 75 000 p
– 46 000 = 0.

Поскольку
S
= 100 000, то получаем квадратное уравнение:

100 000
p²
– 75 000 p
– 46 000 = 0,

100
p²
– 75 p – 46 = 0,

Положительный
корень этого уравнения равен:

p
= 1,15,

откуда
r
= 15 %.

Ответ:
15 %.

Задача 12 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на r % по сравнению
с концом предыдущего года;

§  с февраля
по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Известно, что кредит
был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено
68 000 рублей, а во второй год – 59 000 рублей. Найдите число r.

Ответ:
18 %.

Задача 13.

Дмитрий взял кредит в
банке на сумму 270 200 рублей. Схема выплаты кредита такова: в конце
каждого года банк увеличивает на 10 % оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий
переводит в банк свой очередной платёж. Известно, что Дмитрий погасил кредит за
три года, причём каждый его следующий платёж был ровно втрое больше
предыдущего. Какую сумму Дмитрий заплатил в первый раз? Ответ дайте в рублях.

Решение.

Заполним таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p2 S –p х	3х	p2 S –p х – 3х = 0
3	p2 S –p х –3 х	p3 S –p2 х – 3pх	9x	p3 S –p2 х – 3pх – 9x = 0

В последней ячейке таблицы мы получили уравнение:

p³
S –p²
х – 3pх
– 9x = 0.

Выразим из этого уравнения переменную х:

p³
S – х ∙ (p² +
3p + 9) = 0,

p³
S = х ∙ (p² +
3p + 9),

х = ,

х =  = 26 620.

Ответ:
26 620 рублей.

Задача 14 (для самостоятельного решения).

Георгий взял кредит в
банке на сумму 270 200 рублей. Схема выплаты кредита такова: в конце
каждого года банк увеличивает на 10 % оставшуюся сумму долга, а затем Георгий
переводит в банк свой очередной платёж. Известно, что Георгий погасил кредит за
три года, причём каждый его следующий платёж был ровно вдвое меньше
предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.

Ответ:
133 100 рублей.

Задача 15.

В июле планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на r % по сравнению
с концом предыдущего года;

§  с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Известно, что если
каждый год выплачивать по 292 820 рублей, то кредит будет  полностью
погашен за четыре года, а если ежегодно выплачивать по 534 820 рублей, то
кредит будет полностью погашен за два года. Найдите число r.

Решение.

Пусть S рублей –
сумма кредита,

n₁ = 4 года, при этом
х = 292 820 рублей – ежегодные платежи,

n₂ = 2 года,
при
этом у = 534 820 рублей – ежегодные платежи.

1)    Заполним
таблицу для n₁ = 4:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	х	р S – х
2	р S – х	p2 S –p х	х	p2 S –p х – х = 0
3	p2 S –p х – х	p3 S –p2 х – pх	x	p3 S –p2 х – pх – x
4	p3 S –p2 х – pх – x	p4 S –p3 х – p2х – px	x	p4 S –p3 х – p2х – px – x = 0

2)    Заполним
таблицу для n₂ = 2:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	р S	у	р S – у
2	р S – у	p2 S –p у	у	p2 S –p у – у = 0

В последних ячейках таблиц мы получили два уравнения:

p⁴ S –p³ х – p²х – px – x = 0       и      p² S –p у – у = 0.

Умножим второе уравнение на p², а затем
вычтем из него первое уравнение:

(p³ у – p³ х) + (p² у – p² х) – (pх + х) =
0,

p³ (у – х) +
p² (у – х) –
х (p + 1) = 0,

p² (у – х) (p + 1) = х
(p + 1).

Поскольку p – число
положительное, то число (p + 1) – также
является положительным числом. Поэтому обе части уравнения можно разделить на
(p + 1).

p² (у – х) =
х,

p² = ,

p² = = 1,21.

p = 1,1.

Значит,
r
= 10 %.

Ответ:
10 %.

Задача 16 (для самостоятельного решения).

В июле планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

§  каждый
январь долг увеличивается на r % по сравнению
с концом предыдущего года;

§  с февраля
по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Известно, что если
каждый год выплачивать по 216 000 рублей, то кредит будет  полностью
погашен за четыре года, а если ежегодно выплачивать по 366 000 рублей, то
кредит будет полностью погашен за два года. Найдите число r.

Ответ:
20 %.

Задача 17.

Планируется выдать
льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого
года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10 % по сравнению с началом
года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по
кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го
годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью.
Найдите наибольший размер кредита (в млн. рублей), при котором общая сумма
выплат заёмщика будет меньше 8 млн. рублей.

Решение.

r = 10%, тогда p
= 1,1.

Заполним
таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (млн. руб.)	Долг после начисления процентов (млн. руб.)	Выплаты (млн. руб.)	Долг после выплаты (млн. руб.)
1	S	р S	р S — S	S
2	S	р S	р S — S	S
3	S	р S	р S — S	S
4	S	р S	x	р S – x
5	р S – x	p2х – px	x	p2х – px – x = 0

1)    Рассмотрим
уравнение в последней ячейке таблицы:

p²х
– px – x = 0.

         Выразим
из этого уравнения х:

p²х
– х (p +1) = 0,

p²х
= х (p +1),

х
=  =
 = .

2)   
Общая сумма выплат равна:

3
∙
(р S – S) + 2х
= 3 ∙ (р
S – S) + 2S ∙  = S ∙
(3p – 3 + 2 ∙ ) = … = S ∙ .

         По
условию, эта сумма меньше 8 млн. рублей, тогда

S
∙  < 8,

S
 < ≈ 5,508…

         При
этом S – целое
число миллионов рублей. Значит, S = 5 (млн. рублей).

Ответ:
5 млн. рублей.

Задача 18 (для самостоятельного решения).

Планируется выдать
льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого
года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом
года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по
кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го
годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью.
Найдите наименьший размер кредита (в млн. рублей), при котором общая сумма
выплат заёмщика превысит 10 млн. рублей.

Ответ:
6 млн. рублей.

Задача 19.

Гражданин Гусев взял
кредит в банке, рассчитывая погасить долг равными ежегодными платежами, каждый
из которых (кроме, возможно, последнего) составляет половину суммы S,
взятой в кредит. Схема выплаты кредита следующая: в конце каждого года банк
увеличивает на 25 % оставшуюся сумму долга, а затем гражданин Гусев переводит в
банк очередной платёж. После двух лет выплат банк снизил процентную ставку до
20 % годовых, и гражданин Гусев внёс третий платёж. Четвёртым платежом долг был
полностью погашен. Сколько процентов от первоначальной суммы S
составлял четвёртый платёж по кредиту гражданина Гусева?

Решение.

r₁ = 25%, тогда p₁ = 1,25.

r₂ = 20%, тогда p₂ = 1,2.

Заполним
таблицу:

Год	Долг до начисления процентов (руб.)	Долг после начисления процентов (руб.)	Выплаты (руб.)	Долг после выплаты (руб.)
1	S	1,25 S	0,5 S	1,25 S – 0,5 S = 0,75 S
2	0,75 S	1,25 ∙ 0,75 ∙ S = = 0,9375 ∙ S	0,5 S	0,9375 ∙ S – 0,5 ∙ S = = 0,4375 ∙ S
3	0,4375 ∙ S	1,2 ∙ 0,4375 ∙ S = 0,525 ∙ S	0,5 S	0,525 S — 0,5 S = = 0,025 S
4	0,025 S	1,2 ∙ 0,025 ∙ S = = 0,03 ∙ S	0,03 ∙ S	0,03 ∙ S – 0,03 ∙ S = 0

 = 0,03 = 3 %.

Ответ:
3 %.

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

На этой странице вы узнаете

• С помощью какого инструмента можно решить любую экономическую задачу?
• Как сделать “буп” котику и быстро заполнить таблицу?
• Чек-лист: как правильно решать экономические задачи?

Мы ежедневно сталкиваемся с денежными операциями. Покупка вкусняшек, оплата проезда, или приобретение что-то для души — это все финансовые операции. И про кредиты слышали многие из нас. Давайте разберемся, как подходить ко всем этим вопросам математически грамотно. 

Финансовые задачи на каждый день

Кредиты берут и на покупку обычных бытовых вещей и на что-то более внушительное, как машина или квартира. В любом случае при обращении в банк за выдачей кредита каждый должен быть готов столкнуться с разными схемами платежей и понятиями процентов.

Про проценты, в том числе сложные проценты или увеличение и уменьшение числа на процент, можно подробнее прочитать в статье «Финансовые задачи. Проценты». 

Сейчас мы углубимся в основные схемы погашения кредита. На самом деле, их не так много, а если быть точнее, то всего две. Главное их различие в платежах.

Начнем разбираться в кредитах с аннуитетных платежей. 

Аннуитетные платежи

Аннуитетные платежи встречаются достаточно часто. В чем заключается их основная роль? Каждый месяц (или год) сумма выплат одинаковая. 

Например, если мы заключим договор с банком, в котором пропишут, что каждый месяц необходимо выплачивать 10 тысяч рублей — это и будет пример аннуитетных платежей. 

Аннуитетные платежи — такая система выплат, при которых кредит выплачивается раз в год (или в другой период времени в зависимости от договора) равными платежами. 

Главное словосочетание будет “равными платежами”. Вне зависимости от остатка долга, платеж менять не будет. 

Разберемся чуть подробнее. Мы знаем, что каждый расчетный период на кредит начисляются установленные проценты. Следовательно, выплачивая кредит по аннуитетным платежам, мы будем одновременно гасить и долг, и процент. Наш платеж будет складываться из процентов, начисленных на долг и самого тела долга. 

Также вспомним, что чем больше долг, тем больше начисленный на него процент. Поскольку сама выплата не меняется с течением времени, то в начале основная часть выплаты идет на погашение начисленных процентов, а остаток — на погашение самого долга. Со временем их отношение выравнивается и меняется в обратную сторону. 

Схему выплат аннуитетных платежей можно представить следующим образом. На ней видно, что с каждой выплатой уменьшается как сам долг, так и начисленный на него процент. 

Как определить, что перед нами задача на аннуитетные платежи? 

Нужно посмотреть на некоторые ключевые слова:

• выплаты равны между собой;
• выплаты фиксированные;
• сам долг уменьшается неравномерно. 

Рассмотрим задачу на аннуитетные платежи. 

Пример 1. Игорь хочет в мае взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года. 

— С февраля по май каждого года нужно выплатить часть долга, равную 665,5 тыс. рублей. 

На какую сумму хочет взять кредит Игорь, если он был погашен тремя равными платежами?

Решение. Каждый год кредит будет увеличиваться на 10%, поэтому для удобства решения введем коэффициент (k = 1 + frac{10}{100} = 1,1). Обозначим взятый кредит за S, а ежегодную выплату за x=665,5 тыс. 

Что обычно включается в таблицу:

• остаток на начало периода,
• начисленный процент,
• выплата,
• остаток после выплаты. 

Таблица — очень гибкий инструмент. В зависимости от условия задачи она может меняться. Например, выплату можно разбить на два столбика: процентную часть и часть от основного долга. 

Чуть подробнее разберем составление таблицы. 

Поскольку выплаты фиксированные и равны между собой, мы можем сразу заполнить четвертый столбик:

Год	Долг без %	Долг с %	Выплата	Остаток
1			x
2			x
3			x

Что еще нам известно? То , что долг в начале был равен S, а в самом конце полностью выплачен. Значит на конец периода долг будет равен 0. Заполним соответствующие ячейки:

Год	Долг без %	Долг с %	Выплата	Остаток
1	S		x
2			x
3			x	0

Дальше мы можем найти долг с начисленными процентами в первый год. Для этого нужно долг умножить на коэффициент.

Год	Долг без %	Долг с %	Выплата	Остаток
1	S	1,1S	x
2			x
3			x	0

А теперь решим небольшую задачку: у Маши было 5 яблок. Она отдала два из них подруге. Сколько яблок осталось у Маши?

Без раздумий мы можем сразу сказать, что у Маши осталось 3 яблока. Внимательно посмотрим на таблицу: долг перед банком был 1,1S (5 яблок), после чего погасили его часть, равную х (2 яблока). Какой остаток останется? 1,1S — х. 

Было	Убрали	Получили
5 яблок	2 яблока	3 яблока
1,1S	x	1,1S-x

Таким образом, с помощью долга, выплаты и остатка можно составить уравнение: 

• “Долг с процентами” — “выплата” = “остаток”. 

Это же уравнение можно немного варьировать, например:

• “Долг с процентами” — “остаток” = “выплата”. 
  Этот случай можно использовать, когда нам неизвестна выплата, но известны остальные две величины. 
• “Остаток” + “выплата” = “долг с процентами”. 
  Этот случай используется в ситуациях, когда неизвестен первоначальный долг. 

В зависимости от условий задачи можно с помощью таблицы всегда выразить неизвестную величину. 

Заполним нужные ячейки. Сразу заметим, что долг без процентов в начале года будет равен остатку на конец предыдущего года.

Год	Долг без %	Долг с %	Выплата	Остаток
1	S	1,1S	x	1,1S-x
2	1,1S-x		x
3			x	0

Выполняем такой же алгоритм со вторым годом: начисляем проценты и ищем остаток. Важно заметить, что проценты начисляются на весь остаток, в том числе на переменную “х”. 

Год	Долг без %	Долг с %	Выплата	Остаток
1	S	1,1S	x	1,1S-x
2	1,1S-x	1,1(1,1S-x)	x	1,12S-1,1x-x
3			x	0

И по такой же схеме осталось заполнить только последние две ячейки.

Год	Долг без %	Долг с %	Выплата	Остаток
1	S	1,1S	x	1,1S-x
2	1,1S-x	1,1(1,1S-x)	x	1,12S-1,1x-x
3	1,12S-2,1x	1,1(1,12S-2,1x)	x	0

Вот и все заполнение таблицы, совсем ничего сложного. Нужно немного рассуждений и операций с числами. 

Составим итоговое уравнение. Посмотрим на последнюю строчку и вспомним уже выведенную формулу БУП. 

Было: 1,1 * (1,1² * S — 2,1x) = 1,1³ * S — 2,31 x. 
Убрали: “х”. 
Получили: 0. 

Тем самым мы получаем уравнение: 1,1³ * S — 2,31x — x = 0. Осталось только решить его.

1,1³ * S — 3,31 x = 0
(S = frac{3,31x}{1,1^{3}})

Тут уже можно заменить переменные на числа, вспомним, что x=665,5.

(S = frac{3,31 * 665,5}{1,331})
S = 1655 тыс.

Ответ: 1655 тысяч рублей. 

Пример 2. В сентябре 2023 года планируется взять кредит. Условия его возврата таковы: 

— В январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года.

— С февраля по сентябрь нужно выплатить  часть долга одним платежом. 

Известно, что кредит был погашен двумя равными платежами. Найдите, на какую сумму был взят кредит, если сумма его выплат на  136 тыс. больше суммы взятого кредита. 

Решение. 

1. Для начала введем переменные. S — кредит, х — выплаты в 1 и 2 год, (k = 1 + frac{20}{100} = 1,2) — коэффициент увеличения. 

2. Составим таблицу:

Год	Долг до %	Долг после %	Выплата	Остаток
1	S	1,2S	х	1,2S-x
2	1,2S-x	1,2(1,2S-x)	х	0

3. Теперь составим уравнение: 

1,2 * (1,2S — x) — x = 0
1,2² * S — 1,2x — x = 0
1,44 * S — 2,2x = 0. 

4. Внимательно прочитаем условие и отметим, что сумма выплат на 136 тысяч больше суммы кредита. Как найти сумму выплат? Нужно посмотреть на таблицу. В ней расписаны все наши выплаты, а значит их просто нужно сложить. Получается, что сумма выплат равна 2х.

Год	Долг до %	Долг после %	Выплата	Остаток
1	S	1,2S	х	1,2S-x
2	1,2S-x	1,2(1,2S-x)	х	0

Составим еще одно уравнение, опираясь на условие задачи: 2х = S + 136.

5. Мы получили два уравнения. Поскольку нам необходимо найти S, достаточно выразить “х” в одном из них и подставить в другое. 

2x = S + 136
x = 0,5 * S + 68

Тогда в уравнении 1,44 * S — 2,2 x = 0 получаем

1,44 * S — 2,2 * (0,5 * S + 68) = 0.
1,44 * S — 1,1 * S — 68 = 0
0,34 * S = 68
S = (frac{68}{0,34})
S = 200 тыс. 

Ответ: 200 тыс. рублей.

Пример 3. Юля хочет взять в кредит 150 тысяч рублей под 10% годовых. Погашение кредита происходит раз в год равными платежами (кроме последней выплаты). На какое минимальное количество лет Юля должна взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 50 тысяч рублей? 

Решение. Нет так быстро. Сначала рассмотрим еще одну логическую задачу, которая поможет в решении. 

Маша решила раздать шарики прохожим. Всего у нее 10 шариков. В каком случае большее количество людей получит шарики: если Маша будет раздавать по два или по одному шарику? 

Если Маша раздает по одному шарику, то их получит 10 человек. А если по 2, то их получит 5 человек. Чем больше шариков Маша отдает одному человеку, тем меньше людей получит шарики. 

В нашей задаче приводятся такие же рассуждения: чем больше выплату будет делать Юля, тем меньше лет она будет выплачивать кредит. То есть ее ежегодная выплата должна иметь максимальное значение, а по условию задачи это 50 тысяч рублей. 

1. Составим таблицу. Коэффициент увеличения будет равен (1 + frac{10}{100} = 1,1). 

В этой задаче в таблице удобнее сразу считать величины, а не подставлять переменные. 

Заполним первую строчку. Долг без процентов равен 150 тысяч, после начисления процентов он будет равняться 150 * 1,1 = 165 тысяч. 

Как мы определили выше, выплата должна равняться 50 тысяч. Тогда остаток: 165 — 50 = 115 тысяч.

Год	Долг без %	Долг после %	Выплата	Остаток
1	150	165	50	115

2. Аналогично считаем и заполняем все следующие строчки до тех пор, пока долг после начисления процентов не станет меньше 50:

Год	Долг без %	Долг после %	Выплата	Остаток
1	150	165	50	115
2	115	126,5	50	76,5
3	76,5	84,15	50	34,15
4	34,15	37,565

3. Заметим, что после этой выплаты есть возможность полностью погасить кредит. Следовательно, остаток будет равен 0. 

Тогда выплата равна 37,565 — 0 = 37,565. 

Год	Долг без %	Долг после %	Выплата	Остаток
1	150	165	50	115
2	115	126,5	50	76,5
3	76,5	84,15	50	34,15
4	34,15	37,565	37,565	0

Таким образом, с помощью только таблицы мы решили задачу. Минимальное число лет, на которое Юля может взять кредит — 4 года, что видно из таблицы. 

Год	Долг без %	Долг после %	Выплата	Остаток
1	150	165	50	115
2	115	126,5	50	76,5
3	76,5	84,15	50	34,15
4	34,15	37,565	37,565	0

Ответ: 4. 

Дифференцированные платежи

Разобравшись в аннуитетных платежах, следует перейти к дифференцированным. В них также нет ничего сложного. 

Главное отличие их от аннуитетных в том, что долг будет уменьшаться на одну и ту же величину.

Дифференцированные платежи — такая система выплат, при которой сумма долга уменьшается равномерно. 

В этом случае сумма кредита делится на несколько равных частей, которые выплачиваются банку вместе с начисленными на остаток процентами. Из этих двух частей будет складываться платеж: причем с каждым месяцем (годом) платеж будет уменьшаться, поскольку будет уменьшаться и процент, который начисляется на остаток. 

В отличие от аннуитетных платежей, выплаты в дифференцированных платежах не фиксированные. Со временем выплаты будут уменьшаться. 

Представим схему выплат дифференцированных платежей. Например, кредит S взяли на 4 года. Следовательно, каждый год он будет уменьшаться на (frac{1}{4})S часть, а проценты будут начисляться уже на остаток. 

Ключевые слова, чтобы определить, что перед нами схема с дифференцированными платежами:

• платежи разные;
• каждый платеж меньше предыдущего;
• долг уменьшается на одну и ту же величину. 

Рассмотрим примеры задач на дифференцированные платежи. 

Пример 1.  Вася взял кредит в банке на сумму 1 млн. рублей под 10% годовых. Условия его возврата таковы:

— После начисления процентов необходимо выплатить часть долга.

— После каждой выплаты долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга до выплаты.

— Кредит должен быть выплачен за 5 лет. 

Найдите общую сумму выплат по кредиту. 

Решение. Составим таблицу. Для этого введем коэффициент увеличения (k = 1 + frac{10}{100} = 1 + 0,1 = 1,1). 

Заметим, что кредит взят на 5 лет, а сумма долга уменьшается равномерно. Следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на (frac{1}{5}) = 0,2 млн. рублей.

Таким образом мы можем заполнить последний столбик таблицы: достаточно просто вычитать каждый год из долга 0,2 млн рублей. Также мы сразу можем заполнить второй столбик таблицы, для этого достаточно переносить данные из последнего столбика. 

Год	Долг до %	Долг после %	Выплата	Остаток
1	1			1-0,2=0,8
2	0,8			0,6
3	0,6			0,4
4	0,4			0,2
5	0,2			0

Теперь, зная долг до процентов, мы можем узнать долг после процентов:

Год	Долг до %	Долг после %	Выплата	Остаток
1	1	1,1		1-0,2=0,8
2	0,8	0,88		0,6
3	0,6	0,66		0,4
4	0,4	0,44		0,2
5	0,2	0,22		0

Осталось найти выплату. А для этого мы можем использовать все тот же БУП. 

Год	Долг до %	Долг после %	Выплата	Остаток
1	1	1,1	1,1-0,8 = 0,3	1-0,2=0,8
2	0,8	0,88	0,88-0,6 = 0,28	0,6
3	0,6	0,66	0,66-0,4 = 0,26	0,4
4	0,4	0,44	0,44-0,2 = 0,24	0,2
5	0,2	0,22	0,22-0 = 0,22	0

Осталось найти сумму выплат, для этого нужно сложить все выплаты, которые были произведены по кредиту:

0,3 + 0,28 + 0,26 + 0,24 + 0,22 = 1,3 млн. рублей. 

Ответ: 1,3 млн. рублей. 

На примере этой задачи составим схему того, как выплачивался кредит. Она поможет нагляднее понять, как работает схема выплат при дифференцированных платежах. 

Пример 2. Лиза взяла кредит в банке на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1 числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 число предыдущего месяца. 

Какая сумма была взята в кредит, если известно, что 11 платеж составил 165 тысяч рублей?

Решение. Пусть S — кредит. Отметим, что кредит каждый месяц будет уменьшаться на (frac{S}{12}).

В этот раз составим немного другую таблицу, а именно разобьем выплату на проценты и основную часть от долга. Также таблица на 12 месяцев слишком большая (а в задачах могут встретиться таблицы еще больше), поэтому мы будем рассматривать только первые два и последние три месяца. 

Сразу заполним все данные, которые нам известны. 

Месяц	Долг до %	Долг после %	Выплата	Остаток
Процентная часть	Основная часть
1	S			S12	11S12
2	11S12			S12	10S12
…
10	3S12			S12	2S12
11	2S12			S12	S12
12	S12			S12	0

Теперь будем начислять процент. Введем переменную (k = frac{5}{100}). Заметим, что это не коэффициент увеличения, а значит долг после начисления процентов будет состоять из основной части и процентной. Заполним третий столбик: 

Месяц	Долг до %	Долг после %	Выплата	Остаток
Процентная часть	Основная часть
1	S	S+kS		S12	11S12
2	11S12	11S12+k*11S12		S12	10S12
…
10	3S12	3S12+k*3S12		S12	2S12
11	2S12	2S12+k*2S12		S12	S12
12	S12	S12+k*S12		S12	0

Чтобы закончить заполнение таблицы, вспомним БУП и найдем, чему будет равна процентная часть выплаты. 

Было: S + k * S 
Убрали: (x + frac{S}{12})
Осталось: (frac{11S}{12})

Тогда получаем: (S + k * S — (x + frac{S}{12}) = frac{11S}{12})
(S + k * S — x — frac{S}{12} = frac{11S}{12})
(frac{11S}{12} + k * S — x = frac{11S}{12})

x = k * S — это данные для четвертого столбика. Найти остальные ячейки можно таким же способом, но проще будет переносить процентную часть из третьего столбика. 

Месяц	Долг до %	Долг после %	Выплата	Остаток
Процентная часть	Основная часть
1	S	S+kS	kS	S12	11S12
2	11S12	11S12+k*11S12	k*11S12	S12	10S12
…
10	3S12	3S12+k*3S12	k*3S12	S12	2S12
11	2S12	2S12+k*2S12	k*2S12	S12	S12
12	S12	S12+k*S12	k*S12	S12	0

Таблица составлена. Осталось найти, чему равен 11 платеж. Для этого нужно найти выплату в 11 месяц, а значит сложить эти ячейки:

Месяц	Долг до %	Долг после %	Выплата	Остаток
Процентная часть	Основная часть
1	S	S+kS	kS	S12	11S12
2	11S12	11S12+k*11S12	k*11S12	S12	10S12
…
10	3S12	3S12+k*3S12	k*3S12	S12	2S12
11	2S12	2S12+k*2S12	k*2S12	S12	S12
12	S12	S12+k*S12	k*S12	S12	0

Получаем (k * frac{2S}{12} + frac{S}{12} = 165)

Подставляем вместо коэффициентов известные величины и решаем уравнение. 

(frac{S}{12} * (2k + 1) = 165)
(frac{S}{12} * (2 * 0,05 + 1) = 165)
S * (0,1 + 1) = 1980
1,1 * S = 1980
S = 1800 тыс.

Ответ: 1800 тысяч рублей. 

Пример 3. В октябре планируется взять кредит на сумму 15 млн рублей на целое число лет. Условия его возврата таковы:

— Каждый март долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего месяца.

— С марта по октябрь необходимо выплатить часть долга.

— В октябре каждого года долг будет на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года. 

На сколько лет планируется взять кредит, если сумма выплат после его полного погашения составила 22,5 млн рублей? 

Решение. Пусть k = (frac{10}{100}), S = 15 млн — кредит, n — количество лет, на которое взят кредит. 

Заметим, что каждый год долг будет уменьшаться на (frac{S}{n}) лет. 

1. Составим таблицу. Поскольку нам неизвестно количество лет, рассматриваться будут только первые два и последние два года. 

Месяц	Долг до %	Долг после %	Выплата	Остаток
Процентная часть	Основная часть
1	S	S+ks	kS	Sn	S-Sn=n-1nS
2	n-1nS	n-1nS+k*n-1nS	k*n-1nS	Sn	n-2nS
…
n-1	2nS	2nS+k*2nS	k*2nS	Sn	1nS
n	1nS	1nS+k*1nS	k*1nS	Sn	0

Сумма выплат — это сумма всех платежей, которые были внесены за кредит. 

В таблице это будет сумма этих ячеек. Отметим, что между 2 и n-1 месяцем есть еще все оставшиеся выплаты, которые просто не прописаны в таблицы. Эти выплаты также обязательно учесть в уравнении. 

Месяц	Долг до %	Долг после %	Выплата	Остаток
Процентная часть	Основная часть
1	S	S+ks	kS	Sn	S-Sn=n-1nS
2	n-1nS	n-1nS+k*n-1nS	k*n-1nS	Sn	n-2nS
…
n-1	2nS	2nS+k*2nS	k*2nS	Sn	1nS
n	1nS	1nS+k*1nS	k*1nS	Sn	0

2. Составим уравнение: 

(kS + frac{S}{n} + k * frac{n — 1}{n}S + frac{S}{n} + … + k * frac{2}{n}S + frac{S}{n} + k * frac{1}{n}S + frac{S}{n} = 22,5)

Немного по-другому сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобку:

(kS * (1 + frac{n-1}{n}+ … + frac{2}{n} + frac{1}{n}) + n * frac{S}{n} = 22,5)
(kS * (frac{n}{n} + frac{n-1}{n} + … + frac{2}{n} + frac{1}{n}) + S = 22,5)

3. Заметим, что в скобках осталась арифметическая прогрессия, а нам необходимо найти ее сумму. Подробнее про арифметические прогрессии можно прочитать в статье «Арифметическая прогрессия». 

Сейчас сразу применим формулу суммы арифметической прогрессии:

(kS * (frac{frac{n}{n} + frac{1}{n}}{2}*n) + S = 22,5)
(kS * ((frac{n + 1}{n} * frac{1}{2}) * n) + S = 22,5)
(kS* frac{n + 1}{2}+ S = 22,5)

4. Заменим переменные на известные величины:

(0,1 * 15 * frac{n + 1}{2} + 15 = 22,5)
(1,5 * frac{n + 1}{2} = 7,5)
1,5 * (n + 1) = 15
n + 1 = 10
n = 9

Ответ: 9 лет. 

Мы рассмотрели задачи на аннуитетные и дифференцированные платежи. Подведем небольшой итог и сравним эти платежи. 

	Аннуитетные платежи	Дифференцированные платежи
Выплаты	Выплаты равны между собой	Выплаты со временем уменьшаются
Как уменьшается долг	Неравномерно	Равномерно
Из чего складывается выплата	Начисленные на остаток проценты и часть от долга.  В первое время выплачиваются в основном проценты, а долг лишь малой частью. Со временем в основном будет выплачиваться долг.	Начисленные на остаток проценты и часть от долга. Долг выплачивается равными частями.
График выплат

Если придерживаться приведенного выше чек-листа, можно решить экономическую задачу на любую схему выплат. 

Фактчек

• С кредитами мы встречаемся не только в математике, но и в реальной жизни. Для их выплат существуют две основные схемы: аннуитетная и дифференцированная. 
• Аннуитетные платежи — такая система выплат, при которых кредит выплачивается раз в год (или в другой период времени в зависимости от договора) равными платежами. Аннуитетные платежи фиксированные и равны между собой. А долг уменьшается неравномерно. 
• Дифференцированные платежи — такая система выплат, при которой сумма долга уменьшается равномерно. В этом случае долг будет уменьшаться равномерно, а вот платежи будут различными. Каждый новый платеж будет меньше предыдущего. 
• Для решения задач необходимо научиться составлять таблицы и уравнения на основе данных в условии. Также для решения можно пользоваться чек-листом, чтобы точно ничего не упустить.

Проверь себя

Задание 1. 
Как уменьшается долг при аннуитетных платежах?

1. равномерно;
2. неравномерно;
3. на одинаковую величину каждый расчетный период;
4. долг не уменьшается. 

Задание 2.
Как уменьшается долг при дифференцированных платежах? 

1. равномерно;
2. неравномерно;
3. на различную величину каждый расчетный период;
4. долг не уменьшается. 

Задание 3.
Из чего складывается выплата?

1. Выплачивается только долг.
2. Выплачиваются только проценты.
3. Выплата складывается из части долга и процентов, начисленных на остаток.
4. Выплата всегда складывается из части долга и процентов, начисленных на весь долг. 

Задание 4.
Что такое сумма выплат?

1. Это сумма всех процентов, начисленных на кредит.
2. Это сумма долга.
3. Это последний платеж, который был внесен за кредит.
4. Это сумма всех платежей, внесенных за кредит. 

Задание 5.
Для какой системы выплат характерны равные платежи?

1. дифференцированная;
2. аннуитетная;
3. и дифференцированная, и аннуитетная;
4. ничего из перечисленного выше. 

Ответы: 1. — 2 2. — 1 3. — 3 4. — 4 5. — 2

В части с развернутым ответом в ЕГЭ по профильной математике есть уникальный номер, к которому школьник почти готов сразу после освоения материала для первых 12-ти заданий. Речь об экономической задаче под номером 17 в ЕГЭ по математике. Конечно, поготовиться придется, но, если повезет с прототипом, баллы можно урвать почти даром!

Прототипы для 17-го номера делятся на три большие группы: 

• банковские задачи, 
• на ценные бумаги,
• задачи на оптимальный выбор. 

В этой статье мы расскажем, как научить ученика структурировать условие любой банковской задачи, как составить по этим данным математическую модель и найти решение. Расскажем, на что обратить внимание ученика, чтобы школьник не потерял баллы из-за неверного оформления.

Главная трудность — школьник плохо понимает условие, ведь с кредитами и вкладами он пока не сталкивался.

• Как работает процент по кредиту?
• На какую сумму начисляется?
• Из каких частей состоит платеж?
• Как уменьшается долг?

На все эти вопросы вам придется ответить. Это отличная возможность показать пользу уроков математики, ведь 17-ый номер — едва ли не самая прикладная задача за весь школьный курс! 

Например, можно рассказать о том, какие бывают образовательные кредиты. Вы в курсе, что их дают с 14 лет, а платеж первые годы может быть ничтожным? Школьник об этом точно не знает.

С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в ЕГЭ по математике

Экзамен немного утрирует реальную ситуацию, в жизни кредит работает сложнее. Однако грустно упускать возможность рассказать школьнику что-то из реальности! Если у вас есть опыт с кредитованием, самое время им поделиться. Если нет, то воспользуйтесь нашим:

• Например, расскажите, что клиенту придется сверх купить страховку на случай потери работоспособности, ведь банк не хочет терять прибыль даже если на заемщика кирпич упадет. Ваши ученики знают, как работает страховка?
• Расскажите о механизме аннуитетного платежа: как часть денег банк забирает себе в качестве дохода, то есть на погашение процентов за пользование кредитом; а на вторую часть уменьшает ваш долг. В реальности это разделение считается по специальной формуле, и совсем не в пользу заемщика.
• Например, по нашему опыту, в ипотеке на 10 лет из 20 тысяч ежемесячного платежа на первых порах всего 5 000 рублей идет в счет уменьшения долга, а 15 000 — забирает себе банк! Но каждый раз платеж чуть ребалансируется, и в счет долга идет чуть больше. Так в последних платежах через 10 лет в счет процентов идет буквально пара сотен, а все остальное гасит долг. 

Хорошая новость в том, что в экзаменационных задачах подобной вакханалии не бывает. Долг и проценты или гасятся равномерно, или по заранее известному алгоритму, достаточно просто внимательно прочитать условие.

Еще одно частое упрощение в ЕГЭ — процент там обычно не годовой, а ежемесячный! То есть своим платежом заемщик гасит набежавший за этот месяц процент и уменьшает долг на заданную величину. Удобно.

Мы предлагаем научить школьника упорядочивать данные банковской задачи в ЕГЭ по математике с помощью таблицы. Табличка — не единственный способ решить 17-ый номер, кто-то использует последовательности, кто-то — считает прикладным методом как заправский бухгалтер. Однако наш метод универсален, а значит вы дадите школьнику один алгоритм на все типы банковских задач. Согласитесь, работать с одним алгоритмом проще, чем подбирать разные по ситуации.

Тип 1. Равные платежи

Особенность этого типа заданий в том, что заемщик всегда вносит одинаковые суммы.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Очевидно, что эта схема должна оказаться у школьника в тетради. Ведь вы же знаете: того, чего нет в тетради, и на уроке-то не было!

Заполняем всю табличку. Учитываем обе ситуации из условия. Для наглядности каждую выделим жирной рамкой.

Теперь остался еще один непростой шаг — перейти от структурированных данных к математической модели. Дайте ученику возможность увидеть, что уже почти составил ее.

Мы получили два уравнения, которые подсветили в табличке оранжевым. Объединим их в систему и решим!

Напомните выпускнику о культуре вычислений! Порой эти задачи составлены так, что неудачная последовательность действий сделает их нерешаемыми без калькулятора. Потому не надо спешить делать первое попавшееся действие, пусть школьник тренируется думать на пару ходов вперед.

Например, разделим одно уравнение на другое, ведь так мы избавимся от одной неизвестной S:

Наше решение не зависит от суммы кредита, S сокращается. 

По сути, мы получили уравнение с одной неизвестной, ведь платежи a и b знаем из условия. Выразим k:

Пожалуй, все, проще уже некуда. Подставляем значения!   

Тут можно обратить внимание ученика на то, как составители экзамена на самом деле заботятся о нем! Ведь будь задачка хоть чуть-чуть другой, посчитать без калькулятора было бы невозможно.

Вспоминаем, что k=1+r/100, а найти нам надо r.

Ответ: 10%.

Не забудьте после решения расставить акценты в задаче:

Чтобы решить задачу и получить 3 балла, мы:
— Воспользовались простым алгоритмом упорядочивания данных,
— Составили математическую модель,
— Нашли удобный способ решить ее, ВСЕ!
Это и есть алгоритм решения банковской задачи.

Тип 2. Равномерно убывающий долг

В прошлой задаче заемщик платил одинаковую сумму каждый месяц. Тут ему нужно уменьшать долг на одну и ту же величину. То есть за месяц пользования деньгами банк начислил на них процент, клиент теперь должен чуть больше. Своим платежом он оплатит банку проценты, чтобы заем стал таким, как ДО их начисления. А сверху внесет сумму, которая как раз и пойдет на то самое РАВНОМЕРНОЕ уменьшение долга.  

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
(Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Тут главный элемент в задаче — равномерно убывающий долг. Если мы взяли сумму S на 39 месяцев, и каждый месяц долг должен быть меньше на одинаковую величину, то что это за величина? Пусть правильный ответ 1/39 S даст ученик.

Проиллюстрируйте школьнику, как здорово работает наш алгоритм. Пусть выпускник проговаривает пункты вслух, а вы их выполняйте. Следите, чтобы каждый шаг подопечный фиксировал в тетради:

Продолжаем заполнять табличку. Пусть дальше пробует выпускник, ведь пока сам не попробуешь, не научишься:

Осталось увязать добытую информацию в уравнение или неравенство. Обратите внимание подопечного на то, что ненужных подробностей в задачах ЕГЭ не бывает! Единственная информация в задаче, которую мы до сих пор не использовали — общая сумма выплат. По условию она на 20% больше суммы кредита, то есть равна 1,2S:

Приведем подобные, вынесем общий множитель за скобку:

Решение в итоге снова не зависит от того, какую сумму взяли в долг. Разделим обе части на S и упростим выражение:

Ответ: 1%.

И снова все по нашему алгоритму, ничего нового, кроме него, мы не используем! Не забудьте излучать восторг, иначе школьник не проникнется мощью вашего метода решения.

Тип 3. Долг, убывающий согласно табличке

Задача похожа на прошлую. Разница лишь в том, что кроме процентов нам каждый месяц придется гасить не равную долю долга, а долю согласно таблице.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг(в млн рублей)	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Протестируем нашу универсальную табличку в третий раз, доверьте это непростое занятие школьнику. Пусть процессом командует он! По ответам будет ясно, ловит ли он суть.

Отличие от прошлого типа будет лишь в том, что в третий столбец мы будем записывать не равномерно убывающий долг, а перенесем остаток долга из таблицы условия. Чтобы не таскать по решению нули, считать будем в миллионах:

Чтобы долг убывал согласно табличке, нам снова каждый раз придется гасить набежавшие проценты и первые 5 месяцев добавлять сверху 0,1 млн. После останется погасить весь остаток.

Акцентируйте внимание на механизме погашения, для школьника он не всегда очевиден.

«По условию нам снова дана общая сумма выплат, значит достаточно просуммировать оранжевый столбец, и уравнение готово», — вероятно, подумает школьник. Подловите его! Уравнение в этой задаче — прямой путь потерять балл! Сумма выплат должна быть БОЛЬШЕ 1,2 млн. Отразим это в модели с помощью неравенства:

Подопечный должен быть уверен в каждом символе в бланке ответа. Даже не пригодившиеся промежуточные вычисления с ошибкой приведут к катастрофе.

Приведем подобные и вынесем общие множители за скобку:

Последний шаг – не забыть, что по условию процент должен быть целым и округлить в верную сторону.

Ответ: 5%.

Правильная математическая модель — это суперважно! К ней проверяющие обязательно придерутся.

Тип 4. Погашение кредита в два этапа.

По сути, это та же прошлая задача, но месяцев больше

В 2017-2018 учебном году составителей экзамена посетило вдохновение, на свет родился вот этот тип банковских задач. Школьники были в шоке, и от страха завалили 17-ый номер. Хотя всего-то нужно было догадаться воспользоваться знаниями об арифметической прогрессии и достать из условия одно немного неочевидное дано!

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

И снова пусть по возможности командует школьник. По крайней мере он уже точно в курсе, что происходит первые 13 месяцев.

Последовательно начисляем процент на остаток долга – считаем выплату – фиксируем остаток долга после выплаты. Сумму кредита возьмем за S.

Научите школьника не спешить с вычислениями. Например, вместо того чтобы написать S-600, мы пишем S-50*12, потому что так удобнее: нам сразу ясно, что речь идет о двенадцатом месяце. Да и потом вычисления будут проще, если мы оставим маленькие числа.

Осталось составить уравнение, и модель готова. В задаче нам снова дали сумму всех выплат:

Как обычно, сгруппируем отдельно слагаемые с r/100, отдельно слагаемые без них:

Вот именно последняя группировка всех платежей в счет долга и оказалась неочевидной. Без нее в задаче остается одна лишняя неизвестная величина, которая рушит все решение.

Осталось привести уравнение к решаемому виду. Для этого надо просуммировать то, что получилось в скобках. Если внимательно приглядеться, то видно, что это сумма арифметической прогрессии:

Посчитаем эту сумму:

Подставляем выражение для суммы в уравнение, заметим, что по условию r=2:

Мы сокращали дробь, пока это было возможно, и в итоге довольно просто получили ответ даже без калькулятора. Ваш подопечный должен научиться также!

Ответ: 700 тысяч.

Зачем использовать формулу суммы прогрессии, если можно посчитать вручную? Все верно, можно. Но это только в данном случае кредит взяли всего на 13 месяцев. А бывают прототипы, когда срок – 21 и больше месяцев. В какой-то момент считать вручную станет совсем долго и неудобно, потому воспользоваться формулой суммы – более универсальный метод.

Чем закончить разбор экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике

Чтобы у ученика окончательно сложилась картинка занятия, пробегитесь еще раз по основным выводам:

• Повторите алгоритм заполнения таблицы и решения задачи (да, пятый раз);
• Повторите типы задач и механизм распределения платежа на проценты и долг;
• Напомните, как важно считать культурно и быть уверенным в каждой циферке в бланке;
• Проговорите, что математическая модель должна точно отражать условие задачи.

Как показывает практика, чем больше повторяешь, тем больше шансов, что в голове выпускника останется хоть что-то.

За что дают баллы?

Знание критериев оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике поможетученику чувствовать себя увереннее, ведь выставление баллов — это не какая-то магия и не вредность экспертов. Все правила игры прописаны в нормативных документах.

17-ый номер стоит 3 балла. Чтобы узнать, как их присуждают, мы залезли в методические рекомендации для членов предметных комиссий.

Согласно пояснениям из документа, для получения одного балла мало просто обоснованно составить математическую модель по задаче, надо предложить правильный метод ее анализа. 

Два балла получит школьник, который ошибся в вычислениях или не обосновал появление математической модели в решении. Например, согласно методическим рекомендациям, решение на 2 балла выглядит так:

А вот отсутствие промежуточных вычислений хоть и усложняет проверку, но баллы не снимает.

Идеально выполненная первая часть ЕГЭ по профильной математике принесет школьнику всего 62 тестовых балла. Добавим сюда пару ошибок по невнимательности, и останутся совсем крохи — баллов 50, не больше. Для поступления на бюджет мало, а значит необходимо планировать делать вторую часть! Чем раньше школьник это осознает, тем проще будет с ним работать. А банковская задача поможет получить дополнительные баллы с минимальными усилиями.

Однако кредиты – не единственный прототип 17-го номера, и в следующий раз мы расскажем, как научить школьника решать задачи на оптимальный выбор и ценные бумаги.