Схема бернулли егэ

Схема Бернулли. Примеры решения задач

5 июля 2011

Не будем долго размышлять о высоком — начнем сразу с определения.

Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A, причем известна вероятность этого события P(A) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.

Задачи, которые решаются по схеме Бернулли, чрезвычайно разнообразны: от простеньких (типа «найдите вероятность, что стрелок попадет 1 раз из 10») до весьма суровых (например, задачи на проценты или игральные карты). В реальности эта схема часто применяется для решения задач, связанных с контролем качества продукции и надежности различных механизмов, все характеристики которых должны быть известны до начала работы.

Вернемся к определению. Поскольку речь идет о независимых испытаниях, и в каждом опыте вероятность события A одинакова, возможны лишь два исхода:

1. A — появление события A с вероятностью p;
2. «не А» — событие А не появилось, что происходит с вероятностью q = 1 − p.

Важнейшее условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство. Сколько бы опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A, которое возникает с одной и той же вероятностью p.

Между прочим, далеко не все задачи в теории вероятностей сводятся к постоянным условиям. Об этом вам расскажет любой грамотный репетитор по высшей математике. Даже такое нехитрое дело, как вынимание разноцветных шаров из ящика, не является опытом с постоянными условиями. Вынули очередной шар — соотношение цветов в ящике изменилось. Следовательно, изменились и вероятности.

Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных. Сформулируем этот факт в виде теоремы:

Теорема Бернулли. Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

где C_n^k — число сочетаний, q = 1 − p.

Эта формула так и называется: формула Бернулли. Интересно заметить, что задачи, приведенные ниже, вполне решаются без использования этой формулы. Например, можно применить формулы сложения вероятностей. Однако объем вычислений будет просто нереальным.

Задача. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 0, 1, 10.

По условию, нас интересует событие A выпуска изделий без брака, которое случается каждый раз с вероятностью p = 1 − 0,2 = 0,8. Нужно определить вероятность того, что это событие произойдет k раз. Событию A противопоставляется событие «не A», т.е. выпуск бракованного изделия.

Таким образом, имеем: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Итак, находим вероятность того, что в партии все детали бракованные (k = 0), что только одна деталь без брака (k = 1), и что бракованных деталей нет вообще (k = 10):

Задача. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что:

1. герб выпадет три раза;
2. герб выпадет один раз;
3. герб выпадет не менее двух раз.

Итак, нас интересует событие A, когда выпадает герб. Вероятность этого события равна p = 0,5. Событию A противопоставляется событие «не A», когда выпадает решка, что случается с вероятностью q = 1 − 0,5 = 0,5. Нужно определить вероятность того, что герб выпадет k раз.

Таким образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Определим вероятность того, что герб выпал три раза, т.е. k = 3:

Теперь определим вероятность того, что герб выпал только один раз, т.е. k = 1:

Осталось определить, с какой вероятностью герб выпадет не менее двух раз. Основная загвоздка — во фразе «не менее». Получается, что нас устроит любое k, кроме 0 и 1, т.е. надо найти значение суммы X = P₆(2) + P₆(3) + … + P₆(6).

Заметим, что эта сумма также равна (1 − P₆(0) − P₆(1)), т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда герб выпал 1 раз (k = 1) или не выпал вообще (k = 0). Поскольку P₆(1) нам уже известно, осталось найти P₆(0):

Задача. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. На склад поступило 20 телевизоров. Какое событие вероятнее: что в этой партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три?

Интересующее событие A — наличие скрытого дефекта. Всего телевизоров n = 20, вероятность скрытого дефекта p = 0,2. Соответственно, вероятность получить телевизор без скрытого дефекта равна q = 1 − 0,2 = 0,8.

Получаем стартовые условия для схемы Бернулли: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Найдем вероятность получить два «дефектных» телевизора (k = 2) и три (k = 3):

[begin{array}{l}{P_{20}}left( 2 right) = C_{20}^2{p^2}{q^{18}} = frac{{20!}}{{2!18!}} cdot {0,2^2} cdot {0,8^{18}} approx 0,137\{P_{20}}left( 3 right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = frac{{20!}}{{3!17!}} cdot {0,2^3} cdot {0,8^{17}} approx 0,41end{array}]

Очевидно, P₂₀(3) > P₂₀(2), т.е. вероятность получить три телевизора со скрытыми дефектами больше вероятности получить только два таких телевизора. Причем, разница неслабая.

Небольшое замечание по поводу факториалов. Многие испытывают смутное ощущение дискомфорта, когда видят запись «0!» (читается «ноль факториал»). Так вот, 0! = 1 по определению.

P. S. А самая большая вероятность в последней задаче — это получить четыре телевизора со скрытыми дефектами. Подсчитайте сами — и убедитесь.

Смотрите также:

1. Локальная теорема Муавра — Лапласа
2. Формула полной вероятности
3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
4. Сводный тест по задачам B12 (2 вариант)
5. Как решать задачи про летающие камни?
6. Задача C1: тригонометрические уравнения и формула двойного угла

 « Методика решения сложных  задач по теории вероятности с помощью
формулы Бернулли при подготовки к ЕГЭ».

                                                   Выполнила:
учитель математики

МКОУ СШ №2 г.Котельниково            Волгоградской области

                                                  Пирожик Галина
Кирилловна

Цель работы:

·        
научиться вычислять вероятности
событий с помощью формулы Бернулли

В результате выполнения практической
работы студент должен:

знать:

·        
формулу Бернулли;

уметь:

·        
вычислять вероятности событий с помощью формулы Бернулли.

       В 2022 году в варианты ЕГЭ по математике профильного
уровня  добавились новые задачи по теории вероятностей. По сравнению с теми,
которые раньше были в варианте, это повышенный уровень сложности и требует
применение более глубоких знаний по этой теме. При
решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в
которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания
независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой
повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры
повторных испытаний:

1)
многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после
регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2)
повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что
вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой.

3)
бросание симметричной монеты n раз.

Схема Бернулли —
это когда производится n однотипных
независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас
событие A, причем известна вероятность
этого события P(A)
= p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится
ровно k раз.

Поскольку
речь идет о испытаниях, и в каждом опыте вероятность события A одинакова,
то возможны лишь два исхода:

1.  A — появление события A с
вероятностью p;

2. «не А» — событие А не появилось, что происходит с
вероятностью q = 1 − p.

Важнейшее
условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство. Сколько бы
опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A,
которое возникает с одной и той же вероятностью p.

Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность
того, что событие A произойдет ровно k раз
из n возможных. Сформулируем этот факт в виде теоремы:

Теорема Бернулли.
Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна
и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых
испытаниях событие A появится ровно k раз,
рассчитывается по формуле:

где C_n^k — число
сочетаний, q = 1 − p.

Эта
формула так и называется: формула Бернулли.

Для
решения по формуле Бернулли надо вспомнить:

1)
определение факториала.

Факториал числа n (n!)— это произведение натуральных
чисел от 1 до n.

                         n!=1⋅2⋅3⋅…⋅(n−2)⋅(n−1)⋅n

Примеры для вычисления факториала числа:

1)
3! = 1*2*3 = 6       2)  4! = 1*2*3*4 = 24     3) 5! = 1*2*3*4*5 = 120    4)6!
= 1*2*3*4*5*6 = 720

Запоминаем

0! =
1            1! = 1    

Свойство факториала  n!=(n—1)!⋅n

1) 4! =  (4-1)!*4= 3!*4;     2) 5! =(5-1)!*5=4!*5

2) Число сочетаний.

Число сочетаний из n по k элементов (обозначается   )  очень
важное понятие в комбинаторике. Оно
показывает сколько существует вариантов выбора k элементов из множества n
элементов.
Число сочетаний вычисляется по формуле:

Примеры
для решени:

1)

2)

    
Разберем задачи на применение формулы для вычисления простых задач, решаемых по
формуле Бернулли

Задача1.  Монету бросают 6
раз. Выпадение орла и решки равновероятно. Найти вероятность того, что орел
выпадет три раза.

Решение:

 Событие A, когда выпадает
орел,  вероятность этого события равна p = 0,5. Событию A противопоставляется
событие «не A», когда выпадает решка, что случается с
вероятностью q = 1 − 0,5 = 0,5. Нужно определить вероятность
того, что орел выпадет k раз.

Таким
образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Определим
вероятность того, что орел выпал три раза, т.е. k = 3:

Ответ: 
0,3125  

Задача2.  Монету бросают 6
раз. Выпадение орла и решки равновероятно. Найти вероятность того, что орел
выпадет не менее двух раз.

Решение:

Основная загвоздка — во фразе «не менее».
Получается, что нас устроит любое k,
кроме 0 и 1,
 надо
найти значение суммы X = P₆(2) + P₆(3)
+ … + P₆(6).

Заметим,
что эта сумма также равна (1 − P₆(0) − P₆(1)),
т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда орел выпал 1
раз (k = 1) или не выпал вообще (k = 0).
Поскольку P₆(1) нам уже известно, осталось найти P₆(0):

Ответ:0,890625

Задача 3. Монету
бросают 2 раза. Найти вероятность того, что «решка» выпадает хотя бы раз.

Решение:

Решка выпадет хотя бы раз (т. е. или раз из двух, или два из
двух)

p=0,5 – вероятность того,
что выпадет герба,

q=0,5 – вероятность того, что выпадет
решка.

Ответ: 0,75.

Задача 4. (ЕГЭ 2022)  Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько
раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события
«выпадет ровно 4 орла»?

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события А,
состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 5 орлов:

Аналогично найдем вероятность события B, состоящего в том, что при
десяти бросаниях выпадет ровно 4 орла:

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 5 орлов, равно 

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 4 орла, равно 

Тогда

Ответ: 1,2

Задача 5. (ЕГЭ 2022)   Стрелок стреляет по пяти одинаковым
мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что
вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько
раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности
события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?

Решение:

Стрелок
поражает мишень с первого раза 0,6 а со второго выстрела 1-0,6=0,4;
Вероятность
поразить мишень равна 0,6+0,4∙0,6=0,84, не поразить 1-0,84=0,16

Вероятность
поразить 5 мишеней из 5 равна 

Вероятность
поразить 4 мишени из 5 находим по формуле Бернулли:

=Р₂

Ответ: 1,05

Задачи
для самостоятельной работы:

1. Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события
«выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Ответ: 1,4

2. Симметричную монету бросают 12 раз. Во сколько раз вероятность события
«выпадет ровно 4 орла» меньше вероятности события «выпадет ровно 5 орлов»?

Ответ: 1,6

3.Симметричную монету бросают 8 раз. Во сколько раз
вероятность события «выпало ровно 4 орла» больше вероятности события «выпадет
ровно 3~орла»?

Ответ: 1,25

4. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням.
На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность
поразить мишень каждым выстрелом равна 0,5. Во сколько раз вероятность события
«стрелок поразит ровно 3 мишени» больше вероятности события «стрелок поразит
ровно 2 мишени»?

Ответ: 3.

10 июня 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Формула Бернулли. Примеры решения задач по теории вероятностей

Задачи, которые решаются по схеме Бернулли, чрезвычайно разнообразны: от простеньких (типа «найдите вероятность, что стрелок попадет 1 раз из 10») до весьма суровых (например, задачи на проценты или игральные карты).

formula-bernuli.docx
formula-bernuli.pdf

Примеры решений задач на формулу Бернулли

Калькуляторы на формулу Бернулли

Обратите внимание на следующие разделы, где разобраны типовые задачи на формулу Бернулли. Вы можете решить или проверить вычисления своих заданий с помощью онлайн-калькуляторов. Теорию по этой теме можно найти в онлайн-учебнике.

• Задача про партии в шахматы
• Задача про выстрелы
• Задача про мальчиков и девочек
• Задача про лотерейные билеты
• Задача о наивероятнейшем значении
• Формула Пуассона

Еще: решаем в Excel по формуле Бернулли.

Схема Бернулли: решенные задачи

Задача 1. Из $n$ аккумуляторов за год хранения $k$ выходит из строя. Наудачу выбирают $m$ аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них $l$ исправных.
$n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.$

Задача 2. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:
а) три элемента;
б) не менее четырех элементов;
в) хотя бы один элемент.

Задача 3. Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?

Задача 5. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один не потребует ремонта.

Задача 6. Что более вероятно выиграть у равносильного противника: не менее двух партий из трёх или не более одной из двух?

Задача 7. а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4;
б) событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

Формула Пуассона: решенные задачи

Задача 4. С базы в магазин отправлено 4000 тщательно упакованных доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна 0.0005. Найти вероятность того, что из 4000 изделий в магазин прибудут 3 испорченных изделия.

Задача 8. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено:
а) три ошибочно укомплектованных пакета;
б) не более трех пакетов.

Решебник — когда задачи нужны быстро

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №36. Формула Бернулли.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Формула Бернулли
• Суть задачи, решаемой с применением формулы Бернулли;
• Решение задач на вычисление вероятности;

Глоссарий по теме

Независимые события – такие события, вероятности наступления которых не зависит от появления друг друга.

Полная группа события – это система случайных событий, такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно и только одно из них.

Рассмотрим важный частный случай: проводятся n одинаковых независимых испытаний с двумя исходами А или Ā. Вероятности P(А)=p и P(Ā)=1-p=q постоянны и не равны ни нулю, ни единице.

Вероятность того, что событие A наступит ровно k раз из n, равна P(k) = C_n^kp^kq^n-k, k=0, 1, 2 … n, C_n^k – число сочетаний из n по k.

Эта формула называется «формулой Бернулли», а модель, описывающая совокупный результат n независимых испытаний с двумя исходами (А или Ā) называется «схемой Бернулли».

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014. с. 197-203.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Попробуйте решить такую задачу:

Бросаем монетку десять раз. Какова вероятность того, что орёл выпадет ровно пять раз?

Ответ. 63/256

Достаточно часто возникает необходимость узнать вероятность появления определённого события в серии испытаний. Формулу для расчёта такой вероятности вывел выдающийся швейцарский математик Якоб Бернулли. В этом уроке мы познакомимся с формулой Бернулли и научимся её применять в решении задач.

Формула Бернулли

Рассмотрим важный частный случай: проводятся n одинаковых независимых испытаний с двумя исходами А или Ā. Вероятности P(А)=p и P(Ā)=1-p=q постоянны и не равны ни нулю, ни единице. Такие испытания иногда называют испытаниями Бернулли, исход А – успех, а исход Ā – неудача.

По теореме умножения вероятностей независимых событий для каждого элементарного события найдем вероятность, равную произведению вероятностей результатов отдельных испытаний: p^kq^n-k, где k– количество опытов, в которых произошло событие A, (n-k) – количество опытов, в которых произошло событие Ā.

Якоб Бернулли впервые доказал, что вероятность того, что событие A наступит ровно k раз из n, равна P(k) = C_n^kp^kq^n-k, k=0, 1, 2 … n, C_n^k– число сочетаний из n по k.

Эта формула называется «формулой Бернулли», а модель, описывающая совокупный результат n независимых испытаний с двумя исходами (А или Ā) называется «схемой Бернулли».

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Охотник Джек попадает в мишень в среднем четыре раза из пяти. Последние четыре раза он попал. Какова вероятность, что он попадёт в следующий раз? Выделите цветом правильный ответ.

1. 0,8
2. 0,4
3. 0,2
4. 0,1

Решение:

Вероятность каждого успеха не зависит от результатов предыдущих испытаний и составляет 4/5 = 0,8.

Ответ: 1) 0,8

2. Подчеркните событие, которое более вероятно: выбросить шестёрку 3 раза, бросив кубик 6 раз, или вытянуть из колоды двух тузов, вытащив четыре карты.

Решение:

Вероятность выбросить шестёрку три раза за шесть бросков кубика

P₆(3) = C₆³·(1/6)³·(5/6)³ = 20·(1/216)·(125/216) ≈ 0,0536

Вероятность вытянуть двух тузов, вытащив четыре карты из колоды – сумма вероятностей шести событий в каждом из которых тузы выпадают на разных позициях: 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 2 и 3, 2 и 4, 3 и 4. При этом вероятности этих шести событий равны между собой.

P = (4/36)·(3/35)·(32/34)·(31/33) + (4/36)·(32/35)·(3/34)·(31/33) + … = 6·(4·3·32·31)/(36·35·34·33) ≈ 0,0505.

В итоге оказывается, что вероятность выкинуть три шестёрки за шесть бросков кубика, чуть выше, чем вероятность вытянуть двух тузов, вытащив четыре карты.

Ответ: выбросить шестёрку 3 раза, бросив кубик 6 раз

Схема повторных независимых испытаний.
Формула Бернулли

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

---

Схема Бернулли

Теория вероятностей имеет дело с такими экспериментами, которые
можно повторять (по крайней мере теоретически)
неограниченное число раз. Пусть некоторый эксперимент повторяется

 раз, причем результаты каждого повторения не
зависят от исходов предыдущих повторений. Такие серии повторений называют
независимыми испытаниями. Частным случаем таких испытаний являются независимые
испытания Бернулли, которые характеризуются двумя условиями:

1) результатом каждого испытания является один из двух возможных
исходов, называемых соответственно 
«успехом» или «неудачей».

2) вероятность «успеха»,  в
каждом последующем испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний и
остается постоянной.

Схему испытаний Бернулли
называют также
биномиальной схемой,
а соответствующие вероятности –
биномиальными, что связано с использованием биномиальных коэффициентов

.

Теорема Бернулли

Если производится серия из

 независимых
испытаний Бернулли, в каждом из которых «успех» появляется с вероятностью

, то вероятность того, что «успех» в

 испытаниях
появится ровно

 раз,
выражается формулой:

где

 – вероятность
«неудачи».

 – число сочетаний

 элементов по

 
(см.
основные формулы комбинаторики)

Эта формула называется
формулой Бернулли.

Формула Бернулли позволяет
избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей —
при достаточно большом количестве испытаний.

Если число испытаний n велико, то пользуются:

• локальной формулой Муавра — Лапласа
• интегральной формулой Муавра — Лапласа
• формулой Пуассона

Примеры решения задач

---

Пример 1

Всхожесть
семян некоторого растения составляет 70%. Какова вероятность того, что из 10
посеянных семян взойдут: 8, по крайней мере 8; не менее 8?

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Решение

Воспользуемся
формулой Бернулли:

В нашем
случае

Пусть
событие

 – из 10 семян взойдут 8:

Пусть
событие

 – взойдет по крайней мере 8 (это значит 8, 9
или 10)

Пусть
событие

 – взойдет не менее 8 (это значит 8,9 или 10)

Ответ: P(A)=0.2335;P(B)=0.3828;  P(C)=0.3828

---

Пример 2

В
результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая
вероятности появления мальчика и девочки в семье равными, определить
вероятности появления в ней:

а) одного
мальчика;

б) двух мальчиков.

Решение

Вероятность
появления мальчика или девочки равна

. Вероятность появления
мальчика в семье, имеющей четырех детей, находится по формуле Бернулли:

В нашем
случае:

б)
Вероятность появления в семье двух мальчиков:

Ответ: а)

; б)

.

---

Пример 3

Два
равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее а) выиграть одну партию
из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех
или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Играют
равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша

, следовательно вероятность проигрыша
тоже равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и
безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима
формула Бернулли:

а) Вероятность
выиграть 1 партию из двух:

Вероятность
выиграть 2 партии из четырех:

Вероятнее
выиграть одну партию из 2-х.

б) Вероятность
выиграть не менее 2-х партий из 4:

Вероятность
выиграть не менее 3-х партий из 5:

Вероятнее
выиграть не менее 2-х партий из 4.

Ответ: а) Вероятнее выиграть одну партию из
2-х; б) Вероятнее выиграть не менее 2-х партий из 4.

Задачи контрольных и самостоятельных работ

---

Задача 1

Всхожесть
семян данного сорта имеет вероятность 0.7. Оценить вероятность того, что из 9 семян
взойдет не менее 4 семян.

---

Задача 2

Найти
вероятность того, что в n независимых испытаниях
событие A появится ровно k раз, зная, что в каждом
испытании вероятность появления события равна p.

.

---

Задача 3

а) Найти
вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех
независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании
равна 0,4.  б) событие В появится в
случае, если событие А наступит не менее четырех раз. Найти вероятность
наступления события В, если будет произведено пять независимых испытаний, в
каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

---

Задача 4

В ралли участвует
10 однотипных машин. Вероятность выхода из строя за период соревнований каждой
из них 1/20.

Найти
вероятность того, что к финишу придут не менее 8 машин.

---

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 5

Баскетболист
бросает мяч 4 раза. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Найти
вероятность того, что он попадет в корзину: а) три раза; б) менее 3 раз; б)
более трех раз.

---

Задача 6

В семье
пятеро детей. Считая, что вероятность рождения мальчика равна 0.4, найти
вероятность того, что среди этих детей есть не менее двух девочек.

---

Задача 7

В
микрорайоне пять машин технической службы. Для бесперебойной работы необходимо,
чтобы не меньше трех машин были в исправном состоянии. Считая верояность
исправного состояния для всех машин одинаковой и равной 0,75, найти вероятность
бесперебойной работы технической службы в микрорайоне.

---

Задача 8

В среднем
каждый десятый договор страховой компании завершается выплатой по страховому
случаю. Компания заключила пять договоров. Найти вероятность того, что
страховой случай наступит: а) один раз; б) хотя бы один раз.

---

Задача 9

В
мастерской работают 6 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к
обеленному перерыву равна 0,8. Найти вероятность того, что к обеденному
перерыву перегреются 4 мотора.

---

Задача 10

Пусть
вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока,
равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6
телевизоров: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один не потребует
ремонта.

---

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 11

Контрольное
задание состоит из 5 вопросов, на каждый из которых дается 4 варианта ответа,
причем один из них правильный, а остальные неправильные. Найдите вероятность
того, что учащийся, не знающий ни одного вопроса, дает: а) 3 правильных ответа;
б) не менее 3-х правильных ответов (предполагается, что учащийся выбирает
ответы наудачу).

---

Задача 12

Стрелок
попадает в мишень с вероятностью 0,6. Производится серия из 4 выстрелов.

а) Какова
вероятность того, что число промахов будет равно числу попаданий?

б) Найти
вероятность хотя бы одного промаха.

---

Задание 13

Дана
вероятность p=0.5 появления события A в серии из

 независимых испытаний. Найти вероятность того,
что в этих испытаниях событие

 появится:

а) ровно

 раза

б) не
менее

 раз

в) не
менее

 раза и не более

 раза.

---

Задача 14

Применяемый
метод лечения в 80% случаев приводит к выздоровлению. Найти вероятность того,
что из четырех больных поправятся:

а) трое;

б) хотя
бы один;

в) найти
наивероятнейшее количество поправившихся больных и соответствующую этому
событию вероятность.

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ