Экспресс-тренинг
Подготовка к ЕГЭ-2023 по профильной математике в кратчайшие сроки!
До экзамена осталось совсем немного времени! Закрепите свои знания! Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Ваш ребенок успеет подготовиться к экзамену!
Кредиты. Дифференцированная и аннуитетная схемы платежей
Кредиты. Дифференцированная и аннуитетная схемы платежей
Здравствуйте!
Текстовые задачи с экономическим содержанием, темой которых являются банковские кредиты, сравнительно недавно появились в содержании экзамена по математике. Тем не менее, в реальных вариантах КИМ ЕГЭ они встречаются чаще других.
Для решения таких задач вам необходимо познакомиться с двумя математическими моделями, лежащими в основе наиболее распространенных схем выплат по банковским кредитам — дифференцированной и аннуитетной. Эти модели представлены на слайдах.
Рекомендуем вам перед тем, как изучать теоретический материал по теме «Банковские кредиты», повторить определения арифметической и геометрической прогрессий и формулы суммы n последовательных членов каждой из прогрессий – они вам понадобятся.
Арифметическая прогрессия
Последовательность чисел an такая, что
где d — разность арифметической прогрессии.
Сумма Sn=a1+a2+…+an n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
Sn=a1+an2⋅n=2a1+d(n−1)2⋅n.
Геометрическая прогрессия
Последовательность чисел bn такая, что
где q — знаменатель геометрической прогрессии.
Сумма Sn=b1+b2+…+bn n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Формула бесконечной суммы при q∈(−1,1):
S=b11−q
На слайдах также представлены примеры разобранных задач. Обратите внимание на два различных подхода, которые чаще всего используются при решении задач.
Первый подход состоит в использовании готовых формул, полученных при исследовании математической модели.
Второй — в пошаговом вычислении размеров каждого из очередных платежей при выплате кредита и размеров оставшихся задолженностей.
Следите за обновлениями на сайте и подписывайтесь на наш канал в Ютьюбе и группу Вконтакте!
Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц).
При этом платежи каждый год разные.
Таким образом, если кредит взят на (n) лет, то это значит, что сумму кредита (A) разделили на (n) равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на (dfrac1n A) по сравнению с долгом на начало года.
Пример 1. Клиент взял в банке кредит на (2) года под (15%) годовых. Выплачивать кредит он должен ежегодными платежами так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно. Какую сумму он взял в банке, если оказалось, что в итоге он заплатил банку (490,000) рублей?
Пусть кредит составил (A) рублей. Т.к. кредит взят на (2) года, значит после первой выплаты долг должен составлять (A-frac12
A=frac12 A) рублей, после второй выплаты (frac12 A-frac12 A=0) рублей. Составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&
text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после выплаты}&\
hline 1&A&A+0,15A½ A&0,15A+frac12A\
hline 2½A½A+0,15cdotfrac12A&0&0,15cdotfrac12A+frac12A\
hline
end{array}] То, что клиент в итоге заплатил банку, есть не что иное, как сумма всех выплат по кредиту.
Т.е. (0,15A+frac12A+0,15cdotfrac12A+frac12A=490,000 Rightarrow
A=dfrac{490,000cdot 2}{2,45}=400,000) рублей.
Пример 2. Александр взял в банке кредит на (50,000) рублей на (3) месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину. Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке (10%)?
Т.к. кредит взят на (3) месяца, то после первой выплаты долг должен составить (A-frac13A=frac23 A), после второй (frac23A-frac13A=frac13A), а после третьей — (0) рублей. Составим таблицу, производя все вычисления в тыс. рублей: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Месяц}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&
text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после выплаты}&\
hline 1&50&50+0,1cdot 50&frac23cdot 50&0,1cdot 50+frac13cdot 50\
hline 2&frac23cdot 50&frac23cdot 50+0,1cdotfrac23cdot 50&frac13cdot
50&0,1cdot frac23cdot 50+frac13cdot50\
hline 3&frac13cdot 50&frac13cdot 50+0,1cdot frac13cdot
50&0&0,1cdot frac13cdot 50+frac13cdot 50\
hline
end{array}]
Таким образом, всего Александр заплатил банку (big(0,1cdot
50+dfrac13cdot 50big)+big(0,1cdot dfrac23cdot
50+dfrac13cdot50big)+big(0,1cdot dfrac13cdot 50+dfrac13cdot
50big)) тыс.рублей.
Перегруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:
(0,1cdot 50 left(1+dfrac23+dfrac13right)+3cdot dfrac13cdot
50=0,1cdot 50cdot 2+50)
Для того, чтобы найти переплату по кредиту, необходимо из того, что он в итоге заплатил банку, отнять сумму кредита:
(big(0,1cdot 50cdot 2+50big)-50=10) тыс. рублей.
Таким образом, его переплата составила (10,000) рублей.
Заметим,
I. что каждая выплата состоит из двух частей:
первая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг (в первый год это (0,1cdot 50), во второй — (0,1cdot big(frac23cdot
50big)) и т.д.)
вторая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (в нашем примере это (frac13cdot 50)).
Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна (A)). А далее он еще вносит (frac 1n) часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на (frac 1n) часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.
II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.
В нашем примере переплата как раз равна (0,1cdot 50+0,1cdot
frac23cdot 50+0,1cdot frac13cdot 50).
Пример 3. Банк предлагает клиентам кредит на (1) млн рублей на следующих условиях:
– каждый год банк начисляет на оставшуюся часть долга (10%);
– после начисления процентов клиент обязан внести платеж;
– через (5) лет кредит должен быть выплачен полностью;
– система выплат дифференцированная.
Сколько процентов от первоначального долга составит переплата по такому кредиту?
Т.к. кредит выдается на (5) лет, это значит, что долг должен уменьшаться каждый год на (frac15cdot 1) млн рублей, то есть после первой выплаты долг составит (1-frac15cdot 1=frac45) млн рублей, после второй (frac45-frac15=frac35) млн рублей и т.д.
Составим таблицу, причем все вычисления будем производить в млн рублей: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&
text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после
выплаты}&\
hline 1&1&1+0,1&frac45&0,1+frac15\
hline 2&frac45&frac45+0,1cdotfrac45&frac35&0,1cdot
frac45+frac15\
hline 3&frac35&frac35+0,1cdotfrac35&frac25&0,1cdot
frac35+frac15\
hline 4&frac25&frac25+0,1cdotfrac25&frac15&0,1cdot
frac25+frac15\
hline 5&frac15&frac15+0,1cdotfrac15&0&0,1cdot
frac15+frac15\
hline
end{array}]
Таким образом, переплата по кредиту составила:
(big(0,1+frac15big)+big(0,1cdot
frac45+frac15big)+big(0,1cdot
frac35+frac15big)+big(0,1cdot
frac25+frac15big)+big(0,1cdot
frac15+frac15big)-1=dfrac3{10}) млн рублей.
Для того, чтобы посчитать, сколько процентов составила переплата относительно кредита, необходимо переплату разделить на сумму кредита и умножить на (100%):
(dfrac{frac3{10}}{1}cdot 100%=30%)
Выведем несколько формул:
Вывод формулы для выплаты по кредиту:
Пусть взят кредит на (A) рублей, на (n) лет, годовая ставка (r%).
Значит, каждый год долг должен уменьшаться на (frac1n A) рублей. К тому же, например, в первый год после начисления процентов долг составит (A+frac r{100}A), поэтому обозначим для удобства (frac
r{100}=y) и составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&
text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после
выплаты}&\[1ex]
hline 1&A&A+yA&frac {n-1}n A& yA+frac 1n
A\[1ex]
hline 2&frac{n-1}n A&frac{n-1}n A+ycdot frac{n-1}n A&
frac{n-2}n A&ycdot frac{n-1}n A+frac 1n A\[1ex]
hline 3&frac{n-2}n A&frac{n-2}n A+ycdot frac{n-2}n
A&frac{n-3}n A&ycdot frac{n-2}n A+frac 1nA\[1ex]
hline 4&frac{n-3}n A&frac{n-3}n A+ycdot frac{n-3}n
A&frac{n-4}n A&ycdot frac{n-3}n A+frac 1nA\[1ex]
hline dots&dots&dots&dots&dots\[1ex]
hline n-1& frac 2nA&frac 2nA+ycdot frac 2nA&frac
1nA&ycdot frac 2nA+frac 1nA\[1ex]
hline n&frac 1nA&frac 1nA+ycdot frac 1nA&0&ycdot frac
1nA+frac 1nA\[1ex]
hline
end{array}]
Таким образом, если (i) — номер года, то выплата в (i)-ый год будет равна:
(x_i=ycdot frac{n-(i-1)}nA+dfrac 1nA), или: [{large{x_i=dfrac{r}{100}cdot dfrac{n-i+1}{n}A+dfrac1n A}}]
Вывод формулы для переплаты по кредиту:
Для того, чтобы посчитать переплату, необходимо просто сложить все данные из последнего столбца и отнять (A):
(big(yA+frac 1n Abig)+big(ycdot frac{n-1}n A+frac 1n
Abig)+big(ycdot frac{n-2}n A+frac 1nAbig)+big(ycdot
frac{n-3}n A+frac 1nAbig)+dots+big(ycdot frac 2nA+frac
1nAbig)+)
(+big(ycdot frac 1nA+frac 1nAbig)-A=big(yA+ycdot
frac{n-1}nA+ycdot frac{n-2}nA+ycdot frac{n-3}nA+dots+ycdot
frac 2nA+ycdot frac 1nAbig)+)
(+big(frac
1nA+frac1nA+frac1nA+frac1nA+dots+frac1nA+frac1nAbig)-A=yA
big(1+frac{n-1}n+frac{n-2}n+frac{n-3}n+dots+frac
2n+frac 1nbig)+)
(+ncdot frac 1n
A-A=yAbig(1+frac{n-1}n+frac{n-2}n+frac{n-3}n+dots+frac
2n+frac 1nbig))
В скобках находится арифметическая прогрессия, первый член которой (a_1=1), последний (a_n=dfrac 1n), разность (d=-dfrac 1n), а количество членов равно (n). Сумма такой прогрессии равна:
(S_n=dfrac{a_1+a_n}{2}cdot n=dfrac{1+frac1n}{2}cdot
n=dfrac{n+1}2)
Значит, вся переплата равна (yAcdot dfrac{n+1}2), или [{large{P=dfrac r{100}cdot dfrac{n+1}2A}}]
Решение задач на дифференцированные платежи при подготовке к ЕГЭ по математике
1.Дифференцированные платежи
Кредиты играют важную роль в жизни населения со средним достатком. Тем, кто не может позволить себе единовременную оплату из собственных средств при покупке недвижимости или другого дорогостоящего имущества, кредиты просто необходимы.
Какие существуют виды платежей по кредитам?
В чём же разница между аннуитетным и дифференцированным платежами и какой платёж выгоднее?
Дифференцированные платежи
При дифференцированных платежах сумма основного долга, так называемое тело долга, делится равными частями на весь срок платежа, а проценты ежемесячно начисляются на остаток долга. Соответственно, в первый месяц суммы платежей велики, потому что проценты по кредиту существенны.
А к концу срока выплаты будут минимальны. Дифференцированные платежи удобны для тех, у кого доход не носит характер неизменной величины, и через некоторое время может появиться возможность досрочно погасить долг. В этом случае переплата по кредиту будет меньше, чем при аннуитетном расчёте.
Аннуитетные платежи
Отличие аннуитетного платежа от дифференцированного в том, что сумма ежемесячного взноса всегда неизменна, но вот структура этой суммы меняется из месяца в месяц.
Основную часть в первые месяцы составляют проценты по кредиту, а сумма тела долга — минимальна. Таким образом банк страхует риски недополучения прибыли в случае досрочного погашения кредита заёмщиком.
При дифференцированном платеже ежемесячные платежи становятся меньше, сумма основного долга в платеже всегда будет одной и той же. А вот проценты, начисляемые на остаток основного долга, будут уменьшаться по мере выплаты кредита. Ежемесячная сумма основного долга считается следующим образом: сумма кредита делится на количество платежей.
Кредиты с дифференцированными платежами выдавались в Сбербанке до 2011 года, а сейчас выдаются только с аннуитетными.
В подавляющем большинстве случаев банки предлагают своим заемщикам аннуитетную схему погашения задолженности. Однако в некоторых случаях можно выбрать дифференцированный платеж — тип выплаты кредита, при котором размер взносов постепенно уменьшается. Для заемщика пользоваться дифференцированными платежами выгоднее, чем фактически стандартной аннуитетной схемой.
Как рассчитать дифференцированный платеж?
Платеж при дифференцированной схеме делится на две части:
- основную, которая уходит на погашение тела кредита;
- процентную, которая является чистой прибылью банка.
Основную часть платежа высчитать просто по такой формуле:
Платеж = 
Так, если заемщик взял в кредит 300 тыс. рублей под 22% годовых на 5 лет, то размер основной части составит:
300000 / 60 = 5000 рублей
Вторая часть платежа — процентная — рассчитывается по такой схеме:
Платеж = остаток основного долга * годовая ставка / 12
Так, проценты за первый месяц пользования кредита составят:
300000 * 0.22 / 12 = 5500 рублей
Путем сложения определяем размер платежа на первый месяц: 5000 + 5500 = 11000 рублей.
Для того, чтобы рассчитать проценты за любой месяц, необходимо узнать остаток задолженности. Если за второй месяц размер общего долга можно узнать путем простого вычитания из 300000 рублей первого платежа в 5000 рублей, то за 10-ый или 25-ый значение можно вычислить по такой схеме:
Остаток долга = общий размер долга — (размер основного платежа * количество прошедших месяцев).
Так, за 10-ый месяц процентная часть будет равна:
(300000 — 5000 * 9) * 0.22 / 12 = 4675
общий размер платежа: 9675 рублей.
За 25-й месяц:
(300000 — 5000 * 24) * 0.22 / 12 = 3300
Общий размер платежа: 8300 рублей.
Как видите, по сравнению с первым месяцем заемщику придется платить на 1700 рублей меньше. Проценты за самый последний месяц будут минимальными:
(300000 — 5000 * 59) * 0.22 / 12 = 91.67
В целом дифференцированную схему погашения кредита используют для небольших займов или при достаточно высоком уровне дохода. Тогда первые платежи не будут столь обременительны для вашего бюджета, а сниженный размер переплат позволит сэкономить и, возможно, потратить высвободившиеся средства для досрочного погашения кредита.
2. Решение задач.
Рассмотрим решение задач на дифференцированные платежи. Задачи можно найти в любом сборнике для подготовки к ЕГЭ по математике.
Учитывая, что платеж при дифференцированной схеме делится на две части:
основную и процентную, то при решении задач удобно составлять таблицу, в которой основная ежемесячная (ежегодная) часть платежа остается неизменной, а процентная часть меняется.
Решим несколько задач.
№1.
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение.
Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=19 (число выплат).
Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму.
Долг банку: 
— это ежемесячные выплаты процентов банку.
Зная, что эти выплаты составляют 30% общей суммы кредита, составим уравнение:
(сумма арифметической прогрессии, где 
, n=19)
Ответ: 3%.
Примечание.
Выведем формулу для вычисления переплат банку, используя формулу суммы арифметической прогрессии
, где 
.
(формула 1)
Тогда при 
, r=3
№2.
15-го января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 13% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение.
Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=25 (число выплат).
Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму. Тогда
Или по формуле (1) n=25, 
, r=1%.
Ответ: 1%
№3.
15-го января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение.
Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n= 2 года=24месяца (число выплат).
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж по кредиту (ежемесячный) |
Остаток |
|
1 |
S |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
23 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
0 |
Если общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит, это означает, что сумма всех ячеек в столбце “Проценты” равна 0,25 от изначального долга (S):
Ответ: 2%
№4.
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1 млн рублей?
Решение.
S-сумма кредита, n=24 месяца, r=2%, Sобщ=1млн=1000тыс рублей
Составим таблицу.
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж по кредиту (ежемесячный) |
Остаток |
|
1 |
S |
0,02S |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
23 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
0 |
Sобщ=1млн=1000тыс рублей
Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.
Sобщ=S+ 0,02S (
. Числа, стоящие в скобках, образуют арифметическую прогрессию.
S+0,02S (
, S·(1+0,02·12,5)=1000, S=
тыс рублей
Ответ: 800000 руб
№5.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
Решение.
S-сумма кредита, n-целое число лет, r=25%, Sобщ=28млн рублей
Составим таблицу.
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж |
Остаток |
|
1 |
28млн |
0,25·28=7млн |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
n-1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
0 |
Наибольший годовой платеж -первый.
7+
= 9млн, 
n=14
Sобщ=28+ 7 (
)=28+7·
+
·7=80,5млн
Ответ: 80500000 рублей
№6.
15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что на 11-й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж по кредиту (ежемесячный) |
Остаток |
|
1 |
S |
0,02S |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
……… |
||||
|
11 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
23 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
0 |
По условию за 11 месяц было выплачено 44,4 тыс.рублей. Составим уравнение
Ответ: 932,4 тыс рублей
№ 7.
15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублей.
Произведем некоторые вычисления.
1300 тыс-100 тыс=1200тыс.
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж по кредиту (ежемес) |
Остаток |
|
1 |
1300 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
15 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
0 |
Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.
Ответ: r = 3%
№ 8.
15-го января планируется взять кредит в банке на 11 месяц. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен;
Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1198 тысячи рублей?
Пусть х тыс. рублей будет долг 15-го числа 10-го месяца.
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж |
Остаток |
|
1 |
800+x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
10 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
0 |
Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.
Ответ: тыс. рублей
№ 9.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000 тысяч рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
— к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.
Считаем n. 
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж |
Остаток |
|
1 |
1000 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
20 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.
.
Числа в скобках образуют арифметическую прогрессию, сумму которой найдем по формуле.
Ответ: %
ГОТОВИМСЯ
К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
I.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЕ ПЛАТЕЖИ
Определение.
Дифференцированный
платёж – вариант ежемесячного (ежегодного) платежа по кредиту, когда сумма
долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц
(год).
При решении экономических задач на дифференцированные
платежи примем следующие обозначения величин:
S – сумма кредита,
х – ежегодный (ежемесячный)
платёж,
r –
процентная ставка,
p = 
.
n – срок кредитования.
Решение задач на дифференцированные платежи удобно
оформлять в виде таблицы. Рассмотрим примеры решения задач.
Задача 1.
В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 4,5 млн. рублей на срок 9 лет. Условия его возврата
таковы:
§
каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
Найдите r, если
известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1, 4 млн. рублей,
а наименьший – не менее 0,6 млн. рублей?
Решение.
Пусть S = 4,5 млн. рублей.
n = 9 лет.
r –
процентная ставка;
р = r/100.
у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый год.
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (млн. руб.) |
Начисленные проценты (млн. руб.) |
Долг после выплаты (млн. руб.) |
Выплаты (млн. руб.) |
|
1 |
S |
р S |
S – у |
у + р S = 1,4 |
|
2 |
S – у |
p (S |
S – 2у |
у + p (S – у) |
|
3 |
S – 2у |
p (S |
S – 3у |
у + p (S – 2у) |
|
… |
… |
… |
… |
|
|
9 |
S – 8у |
p (S |
S – 9у = 0 |
у + p (S –8 у) = 0,6 |
1) В выделенной
жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:
S – 9 у = 0,
из которой следует, что
S = 9 у,
у = S : 9
у = 4,5 : 9,
у = 0,5.
2) Понятно,
что наибольший годовой платеж по кредиту будет выплачен в первый год
(так как в этот год будут начислены самые большие проценты), а наименьший – в
последний год.
По этим двум условиям составим и решим систему уравнений:
Вычтем из
первого уравнения второе:
8
∙ p y = 0,8
p
y = 0,1
p
= 0,1 : у
p
= 0,1 : 0,5
p = 0,2.
Из
последнего получаем, что r = 20 %/
Ответ:
20 %.
Задача 2 (для самостоятельного решения).
В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 6 млн. рублей на срок 15 лет. Условия его
возврата таковы:
§
каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
Найдите r, если
известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1, 9 млн. рублей,
а наименьший – не менее 0,5 млн. рублей?
Ответ:
25 %.
Задача 3.
Пётр взял кредит в
банке на срок 12 месяцев. По договору Пётр должен вернуть кредит ежемесячными
платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы, и своим ежемесячным платежом Пётр погашает эти
добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются
так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. Известно, что
общая сумма, выплаченная Петром банку за весь срок кредитования, оказалась на
13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
Решение.
Пусть S –
сумма кредита.
n = 12 месяцев.
r –
процентная ставка;
р = r/100.
у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый месяц.
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (млн. руб.) |
Начисленные проценты (млн. руб.) |
Долг после выплаты (млн. руб.) |
Выплаты (млн. руб.) |
|
1 |
S |
р S |
S – у |
у + р S |
|
2 |
S – у |
p (S – у) |
S – 2у |
у + p (S – у) |
|
3 |
S – 2у |
p (S –2 у) |
S – 3у |
у + p (S – 2у) |
|
… |
… |
… |
… |
|
|
12 |
S – 11у |
p (S – 11у) |
S – 12у = 0 |
у + p (S –11 у) |
1) В
выделенной жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:
S – 12 у = 0,
из которой
следует, что
S = 12 у,
2) Общая
сумма выплат составляется из суммы, взятой в кредит, и суммы начисленных
процентов за каждый месяц кредитования. Значит, общая сумма выплат больше суммы
S, взятой в
кредит, ровно на столько, сколько в сумме составляют начисленные проценты за
весь срок кредитования. Известно, что эта сумма больше суммы S, взятой в
кредит, на 13 %.
Значит,
сумма начисленных процентов как раз и составляет 13 % от суммы S.
Найдём сумму
начисленных процентов:
р
S
+ p (S – у) + p (S – 2у)
+ … + p (S – 11у)
=
=
р ∙
(S
+ S – у + S
– 2у + … + S
– 11у) =
=
р ∙
(12∙S
– ( у + 2у + … + 11у)) =
в
скобках представлена сумма 11-ти первых членов арифметической прогрессии, у
которой первый член равен у, а последний
– равен 11у.
=
р ∙
(12∙S
– 
∙
11) =
=
р ∙
(12∙S
– 
∙
12у) =
=
р ∙
(12∙S
– 5,5 ∙ 12у)
= р ∙
(12∙ S
– 5,5 ∙ S)
=
6,5 ∙
pS.
Поскольку
сумма начисленных процентов составляет 13 % от суммы S,
то
6,5
∙ pS
= 0,13 S.
Обе
части этого уравнения разделим на S (это можно сделать, так как S ≠
0):
6,5
∙ p
= 0,13,
откуда
p
= 0,02,
значит,
r
= 2 %.
Ответ:
2 %.
Задача 4 (для самостоятельного решения).
Алексей взял кредит в
банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит
ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга
добавляется r % этой суммы, и своим ежемесячным платежом Алексей
погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи
подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц.
Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок
кредитования, оказалась на 27 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
Ответ:
3 %.
Задача 5.
В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число
лет). Условия его возврата таковы:
§
каждый январь долг возрастает на 25 % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
На сколько лет
планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его
полного погашения составит 38 млн. рублей?
Решение.
Пусть S = 16
млн. рублей.
n лет.
r = 25%;
р = r/100 =
0,25 = 1/4.
у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый год.
Общая сумма выплат = 38 млн. рублей.
Тогда переплаты по кредиту (сумма начисленных
процентов за весь срок кредитования) составят сумму, равную 38 – 16 = 22 (млн.
рублей).
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (млн. руб.) |
Начисленные проценты (млн. руб.) |
Долг после выплаты (млн. руб.) |
Выплаты (млн. руб.) |
|
1 |
S |
р S |
S – у |
у + р S |
|
2 |
S – у |
p (S |
S – 2у |
у + p (S – у) |
|
3 |
S – 2у |
p (S |
S – 3у |
у + p (S – 2у) |
|
… |
… |
… |
… |
|
|
n |
S – (n – 1) ∙ у |
p (S |
S – nу = 0 |
у + p (S – (n – 1) ∙ у) |
1) В
выделенной жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:
S – n у = 0,
из которой следует, что
S = n у,
значит, ny
= 16.
Найдём сумму
начисленных процентов и приравняем её 22 млн. рублей:
р
S
+ p (S – у) + p (S – 2у)
+ … + p (S – (n – 1) ∙ у)
=
=
р ∙
(S
+ S – у + S
– 2у + … + S
– (n – 1) ∙
у) =
=
р ∙
(n∙S
– ( у + 2у + … + (n
– 1) ∙ у))
=
в
скобках представлена сумма n
первых членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен у, а последний – равен (n – 1) ∙ у.
=
р ∙
(n∙S
– 
∙
(n
– 1)) =
=
р ∙
(n∙S
– 
∙
(n
– 1)) =
=
р ∙
(n ∙
16 – 8 ∙
(n
– 1)) =
=
р ∙ (16n
– 8n + 
= р ∙
(8n + 8).
р
∙ (8n
+ = 22,
∙
(8n + = 22.
2n
+ 2 = 22
n = 10.
Ответ:
10 лет.
Задача 6 (для самостоятельного решения).
В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 20 млн. рублей на некоторый срок (целое число
лет). Условия его возврата таковы:
§
каждый январь долг возрастает на 30 % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
На сколько лет
планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его
полного погашения составит 47 млн. рублей?
Ответ:
8 лет.
Задача 7.
15 января планируется
взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:
§
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с
концом предыдущего месяца;
§
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;
§
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует
взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 2,34
млн. рублей?
Решение.
Пусть S –
сумма кредита.
n = 16
месяцев.
r = 2 %;
р = r/100 =
0,02.
у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый год.
Общая сумма выплат = 2,34 млн. рублей.
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (млн. руб.) |
Начисленные проценты (млн. руб.) |
Долг после выплаты (млн. руб.) |
Выплаты (млн. руб.) |
|
1 |
S |
р S |
S – у |
у + р S |
|
2 |
S – у |
p (S |
S – 2у |
у + p (S – у) |
|
3 |
S – 2у |
p (S |
S – 3у |
у + p (S – 2у) |
|
… |
… |
… |
… |
|
|
16 |
S – 15 ∙ у |
p (S |
S – 16у = 0 |
у + p (S – 15 ∙ у) |
1) В
выделенной жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:
S – 16у = 0,
из которой следует, что
S = 16 у.
Найдём сумму
начисленных процентов:
р
S
+ p (S – у) + p (S – 2у)
+ … + p (S – 15 ∙ у)
=
=
р ∙
(S
+ S – у + S
– 2у + … + S
– 15 ∙ у)
=
=
р ∙
(16∙S
– ( у + 2у + … + 15 ∙
у)) =
в
скобках представлена сумма 15 первых
членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен у, а последний – равен 15
∙ у.
=
р ∙
(16∙S – 
∙
15) =
=
р ∙
(16∙S
– 
∙
15) =
=
р ∙
(16∙S – 7,5 ∙ 16у))
=
=
р ∙ (16∙S
– 7,5∙S)
= р ∙ 8,5∙
S,
0,02
∙ 8,5∙
S
= 2,34
S = 2 млн. рублей.
Ответ:
2 млн. рублей.
Задача 8 (для самостоятельного решения).
15 января планируется
взять кредит в банке на 10 месяцев. Условия его возврата таковы:
§
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с
концом предыдущего месяца;
§
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;
§
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует
взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,83
млн. рублей?
Ответ:
1 500 000 рублей.
Задача 9.
В июле планируется
взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (где S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия его возврата таковы:
§
каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в
соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
Июль 2021 |
Июль 2022 |
Июль 2023 |
Июль 2024 |
|
Долг (в тыс.рублей) |
S |
0,7 S |
0,4 S |
0 |
Найдите наименьшее
число S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч
рублей.
Решение.
Пусть S –
сумма кредита.
n = 3 года.
r = 15 %;
р = r/100 =
0,15.
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (тыс. руб.) |
Начисленные проценты (тыс. руб.) |
Долг после выплаты (тыс. руб.) |
Выплаты (тыс. руб.) |
|
1 |
S |
0,15 ∙ S |
0,7 ∙ S |
(S – 0,7 S) + 0,15 = 0,45 S |
|
2 |
0,7 ∙ S |
0,15 ∙ 0,7 ∙ S = |
0,4 ∙ S |
(0,7S – 0,4 S) + 0,105 S = = 0,405 S |
|
3 |
0,4 ∙ S |
0,15 ∙ 0,4 ∙ S = 0,06 S |
0 |
(0,4S – 0) + 0,06 S = = 0,46 S |
Запишем каждую из выплат в виде обыкновенной дроби:
0,45 S = 
∙ S = 
∙ S,
0,405 S = 
∙ S = 
∙ S,
0,45 S = 
∙ S = 
∙ S.
Для того,
чтобы каждое из этих чисел было целым, число S должно делиться
на знаменатель каждой из трёх дробей, т.е. должно равняться их наименьшему
общему кратному.
S = НОК
(20, 200, 50) = 200.
Ответ:
200 тысяч рублей.
Задача 10 (для самостоятельного решения).
В июле планируется
взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (где S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия его возврата таковы:
§
каждый январь долг возрастает на 17,5 % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в
соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
Июль 2021 |
Июль 2022 |
Июль 2023 |
Июль 2024 |
|
Долг (в тыс.рублей) |
S |
0,9 S |
0,4 S |
0 |
Найдите наименьшее
число S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч
рублей.
Ответ:
400 тысяч рублей.
Задача 11.
15 января планируется
взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата
таковы:
§
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r
% по сравнению с концом предыдущего месяца (r – целое число);
§
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;
§
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
январь |
февраль |
март |
апрель |
май |
июнь |
июль |
|
Долг (в млн. рублей) |
1 |
0,6 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0 |
Найдите наименьшее значение
r, при котором сумма выплат будет меньше 1,25 млн. рублей.
Решение.
Пусть S = 1
млн. рублей.
n = 6
месяцев.
r –
процентная ставка,
р = r/100.
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (млн. руб.) |
Начисленные проценты (млн. руб.) |
Долг после выплаты (млн. руб.) |
Выплаты (млн. руб.) |
|
1 |
1 |
1∙ p |
0,6 |
(1 – 0,6) + 1∙ p = = 0,4 + |
|
2 |
0,6 |
0,6∙ p |
0,4 |
(0,6 – 0,4) + 0,6∙ p = = 0,2 +0,6∙ p |
|
3 |
0,4 |
0,4∙ p |
0,3 |
(0,4 – 0,3) + 0,4∙ p = = 0,1 +0,4∙ p |
|
4 |
0,3 |
0,3∙ p |
0,2 |
(0,3 – 0,2) + 0,3∙ p = = 0,1 +0,3∙ p |
|
5 |
0,2 |
0,2∙ p |
0,1 |
(0,2 – 0,1) + 0,2∙ p = = 0,1 +0,2∙ p |
|
6 |
0,1 |
0,1∙ p |
0 |
(0,1 – 0) + 0,1∙ p = = 0,1 +0,1∙ p |
Общая
сумма выплат получается сложением суммы кредита и начисленных процентов за весь
срок кредитования.
1
+ (1∙ p
+ 0,6∙ p + 0,4∙ p
+ 0,3∙ p + 0,2∙ p
+ 0,1∙ p) = 1 + 2,6 ∙ p.
Согласно
условию, эта сумма меньше 1,25 млн. рублей.
1
+ 2,6 ∙ p < 1,25;
2,6
∙ p < 0,25;
p < 0,09615…
< 0,09615…
r < 9,615…
r = 9 %.
Ответ:
9 %.
Задача 12 (для самостоятельного решения).
15 января планируется
взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата
таковы:
§
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r
% по сравнению с концом предыдущего месяца (r – целое число);
§
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;
§
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
январь |
февраль |
март |
апрель |
май |
июнь |
июль |
|
Долг (в млн. рублей) |
1 |
0,6 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0 |
Найдите наименьшее
значение r, при котором сумма выплат будет меньше 1,2 млн. рублей.
Ответ:
7 %.
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.
Источник: Интеллект-центр. Репетиционные варианты ЕГЭ 2015.
2
Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна выплатит банку в течение первого года кредитования?
3
1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 122.
4
В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69 690 821 рубль.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами ( то есть за три года)?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 131.
5
Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.
По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).
По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 137.
Пройти тестирование по этим заданиям
На этой странице вы узнаете
- С помощью какого инструмента можно решить любую экономическую задачу?
- Как сделать “буп” котику и быстро заполнить таблицу?
- Чек-лист: как правильно решать экономические задачи?
Мы ежедневно сталкиваемся с денежными операциями. Покупка вкусняшек, оплата проезда, или приобретение что-то для души — это все финансовые операции. И про кредиты слышали многие из нас. Давайте разберемся, как подходить ко всем этим вопросам математически грамотно.
Финансовые задачи на каждый день
Кредиты берут и на покупку обычных бытовых вещей и на что-то более внушительное, как машина или квартира. В любом случае при обращении в банк за выдачей кредита каждый должен быть готов столкнуться с разными схемами платежей и понятиями процентов.
Про проценты, в том числе сложные проценты или увеличение и уменьшение числа на процент, можно подробнее прочитать в статье «Финансовые задачи. Проценты».
Сейчас мы углубимся в основные схемы погашения кредита. На самом деле, их не так много, а если быть точнее, то всего две. Главное их различие в платежах.
Начнем разбираться в кредитах с аннуитетных платежей.
Аннуитетные платежи
Аннуитетные платежи встречаются достаточно часто. В чем заключается их основная роль? Каждый месяц (или год) сумма выплат одинаковая.
Например, если мы заключим договор с банком, в котором пропишут, что каждый месяц необходимо выплачивать 10 тысяч рублей — это и будет пример аннуитетных платежей.
Аннуитетные платежи — такая система выплат, при которых кредит выплачивается раз в год (или в другой период времени в зависимости от договора) равными платежами.
Главное словосочетание будет “равными платежами”. Вне зависимости от остатка долга, платеж менять не будет.
Разберемся чуть подробнее. Мы знаем, что каждый расчетный период на кредит начисляются установленные проценты. Следовательно, выплачивая кредит по аннуитетным платежам, мы будем одновременно гасить и долг, и процент. Наш платеж будет складываться из процентов, начисленных на долг и самого тела долга.
Также вспомним, что чем больше долг, тем больше начисленный на него процент. Поскольку сама выплата не меняется с течением времени, то в начале основная часть выплаты идет на погашение начисленных процентов, а остаток — на погашение самого долга. Со временем их отношение выравнивается и меняется в обратную сторону.
Схему выплат аннуитетных платежей можно представить следующим образом. На ней видно, что с каждой выплатой уменьшается как сам долг, так и начисленный на него процент.
Как определить, что перед нами задача на аннуитетные платежи?
Нужно посмотреть на некоторые ключевые слова:
- выплаты равны между собой;
- выплаты фиксированные;
- сам долг уменьшается неравномерно.
Рассмотрим задачу на аннуитетные платежи.
Пример 1. Игорь хочет в мае взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года.
— С февраля по май каждого года нужно выплатить часть долга, равную 665,5 тыс. рублей.
На какую сумму хочет взять кредит Игорь, если он был погашен тремя равными платежами?
Решение. Каждый год кредит будет увеличиваться на 10%, поэтому для удобства решения введем коэффициент (k = 1 + frac{10}{100} = 1,1). Обозначим взятый кредит за S, а ежегодную выплату за x=665,5 тыс.
Большинство экономических задач можно решить с помощью правильно составленной таблицы. В ней можно отразить всю необходимую информацию для решения задачи. Более того: таблицу можно подстраивать под конкретную задачу, поскольку нет определенного шаблона, как ее заполнять.
Что обычно включается в таблицу:
- остаток на начало периода,
- начисленный процент,
- выплата,
- остаток после выплаты.
Таблица — очень гибкий инструмент. В зависимости от условия задачи она может меняться. Например, выплату можно разбить на два столбика: процентную часть и часть от основного долга.
Чуть подробнее разберем составление таблицы.
Поскольку выплаты фиксированные и равны между собой, мы можем сразу заполнить четвертый столбик:
| Год | Долг без % | Долг с % | Выплата | Остаток |
| 1 | x | |||
| 2 | x | |||
| 3 | x |
Что еще нам известно? То , что долг в начале был равен S, а в самом конце полностью выплачен. Значит на конец периода долг будет равен 0. Заполним соответствующие ячейки:
| Год | Долг без % | Долг с % | Выплата | Остаток |
| 1 | S | x | ||
| 2 | x | |||
| 3 | x | 0 |
Дальше мы можем найти долг с начисленными процентами в первый год. Для этого нужно долг умножить на коэффициент.
| Год | Долг без % | Долг с % | Выплата | Остаток |
| 1 | S | 1,1S | x | |
| 2 | x | |||
| 3 | x | 0 |
А теперь решим небольшую задачку: у Маши было 5 яблок. Она отдала два из них подруге. Сколько яблок осталось у Маши?
Без раздумий мы можем сразу сказать, что у Маши осталось 3 яблока. Внимательно посмотрим на таблицу: долг перед банком был 1,1S (5 яблок), после чего погасили его часть, равную х (2 яблока). Какой остаток останется? 1,1S — х.
| Было | Убрали | Получили |
| 5 яблок | 2 яблока | 3 яблока |
| 1,1S | x | 1,1S-x |
Таким образом, с помощью долга, выплаты и остатка можно составить уравнение:
- “Долг с процентами” — “выплата” = “остаток”.
Это же уравнение можно немного варьировать, например:
- “Долг с процентами” — “остаток” = “выплата”.
Этот случай можно использовать, когда нам неизвестна выплата, но известны остальные две величины. - “Остаток” + “выплата” = “долг с процентами”.
Этот случай используется в ситуациях, когда неизвестен первоначальный долг.
В зависимости от условий задачи можно с помощью таблицы всегда выразить неизвестную величину.
Если в таблице есть столбики “Долг после процентов”, “Выплата” и “Остаток”, то они связаны принципом БУП: Было, Убрали, Получили.
С помощью БУП можно выразить либо долг, либо выплату, либо остаток, достаточно составить уравнение (или его вариацию): “Долг” — “Выплата” = “Остаток”.
В дальнейшем такую операцию будем называть БУП: Было, Убрали, Получили.
Заполним нужные ячейки. Сразу заметим, что долг без процентов в начале года будет равен остатку на конец предыдущего года.
| Год | Долг без % | Долг с % | Выплата | Остаток |
| 1 | S | 1,1S | x | 1,1S-x |
| 2 | 1,1S-x | x | ||
| 3 | x | 0 |
Выполняем такой же алгоритм со вторым годом: начисляем проценты и ищем остаток. Важно заметить, что проценты начисляются на весь остаток, в том числе на переменную “х”.
| Год | Долг без % | Долг с % | Выплата | Остаток |
| 1 | S | 1,1S | x | 1,1S-x |
| 2 | 1,1S-x | 1,1(1,1S-x) | x | 1,12S-1,1x-x |
| 3 | x | 0 |
И по такой же схеме осталось заполнить только последние две ячейки.
| Год | Долг без % | Долг с % | Выплата | Остаток |
| 1 | S | 1,1S | x | 1,1S-x |
| 2 | 1,1S-x | 1,1(1,1S-x) | x | 1,12S-1,1x-x |
| 3 | 1,12S-2,1x | 1,1(1,12S-2,1x) | x | 0 |
Вот и все заполнение таблицы, совсем ничего сложного. Нужно немного рассуждений и операций с числами.
Составим итоговое уравнение. Посмотрим на последнюю строчку и вспомним уже выведенную формулу БУП.
Было: 1,1 * (1,12 * S — 2,1x) = 1,13 * S — 2,31 x.
Убрали: “х”.
Получили: 0.
Тем самым мы получаем уравнение: 1,13 * S — 2,31x — x = 0. Осталось только решить его.
1,13 * S — 3,31 x = 0
(S = frac{3,31x}{1,1^{3}})
Тут уже можно заменить переменные на числа, вспомним, что x=665,5.
(S = frac{3,31 * 665,5}{1,331})
S = 1655 тыс.
Ответ: 1655 тысяч рублей.
Пример 2. В сентябре 2023 года планируется взять кредит. Условия его возврата таковы:
— В январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года.
— С февраля по сентябрь нужно выплатить часть долга одним платежом.
Известно, что кредит был погашен двумя равными платежами. Найдите, на какую сумму был взят кредит, если сумма его выплат на 136 тыс. больше суммы взятого кредита.
Решение.
1. Для начала введем переменные. S — кредит, х — выплаты в 1 и 2 год, (k = 1 + frac{20}{100} = 1,2) — коэффициент увеличения.
2. Составим таблицу:
| Год | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | S | 1,2S | х | 1,2S-x |
| 2 | 1,2S-x | 1,2(1,2S-x) | х | 0 |
3. Теперь составим уравнение:
1,2 * (1,2S — x) — x = 0
1,22 * S — 1,2x — x = 0
1,44 * S — 2,2x = 0.
4. Внимательно прочитаем условие и отметим, что сумма выплат на 136 тысяч больше суммы кредита. Как найти сумму выплат? Нужно посмотреть на таблицу. В ней расписаны все наши выплаты, а значит их просто нужно сложить. Получается, что сумма выплат равна 2х.
| Год | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | S | 1,2S | х | 1,2S-x |
| 2 | 1,2S-x | 1,2(1,2S-x) | х | 0 |
Составим еще одно уравнение, опираясь на условие задачи: 2х = S + 136.
5. Мы получили два уравнения. Поскольку нам необходимо найти S, достаточно выразить “х” в одном из них и подставить в другое.
2x = S + 136
x = 0,5 * S + 68
Тогда в уравнении 1,44 * S — 2,2 x = 0 получаем
1,44 * S — 2,2 * (0,5 * S + 68) = 0.
1,44 * S — 1,1 * S — 68 = 0
0,34 * S = 68
S = (frac{68}{0,34})
S = 200 тыс.
Ответ: 200 тыс. рублей.
Пример 3. Юля хочет взять в кредит 150 тысяч рублей под 10% годовых. Погашение кредита происходит раз в год равными платежами (кроме последней выплаты). На какое минимальное количество лет Юля должна взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 50 тысяч рублей?
Решение. Нет так быстро. Сначала рассмотрим еще одну логическую задачу, которая поможет в решении.
Маша решила раздать шарики прохожим. Всего у нее 10 шариков. В каком случае большее количество людей получит шарики: если Маша будет раздавать по два или по одному шарику?
Если Маша раздает по одному шарику, то их получит 10 человек. А если по 2, то их получит 5 человек. Чем больше шариков Маша отдает одному человеку, тем меньше людей получит шарики.
В нашей задаче приводятся такие же рассуждения: чем больше выплату будет делать Юля, тем меньше лет она будет выплачивать кредит. То есть ее ежегодная выплата должна иметь максимальное значение, а по условию задачи это 50 тысяч рублей.
1. Составим таблицу. Коэффициент увеличения будет равен (1 + frac{10}{100} = 1,1).
В этой задаче в таблице удобнее сразу считать величины, а не подставлять переменные.
Заполним первую строчку. Долг без процентов равен 150 тысяч, после начисления процентов он будет равняться 150 * 1,1 = 165 тысяч.
Как мы определили выше, выплата должна равняться 50 тысяч. Тогда остаток: 165 — 50 = 115 тысяч.
| Год | Долг без % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | 150 | 165 | 50 | 115 |
2. Аналогично считаем и заполняем все следующие строчки до тех пор, пока долг после начисления процентов не станет меньше 50:
| Год | Долг без % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | 150 | 165 | 50 | 115 |
| 2 | 115 | 126,5 | 50 | 76,5 |
| 3 | 76,5 | 84,15 | 50 | 34,15 |
| 4 | 34,15 | 37,565 |
3. Заметим, что после этой выплаты есть возможность полностью погасить кредит. Следовательно, остаток будет равен 0.
Тогда выплата равна 37,565 — 0 = 37,565.
| Год | Долг без % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | 150 | 165 | 50 | 115 |
| 2 | 115 | 126,5 | 50 | 76,5 |
| 3 | 76,5 | 84,15 | 50 | 34,15 |
| 4 | 34,15 | 37,565 | 37,565 | 0 |
Таким образом, с помощью только таблицы мы решили задачу. Минимальное число лет, на которое Юля может взять кредит — 4 года, что видно из таблицы.
| Год | Долг без % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | 150 | 165 | 50 | 115 |
| 2 | 115 | 126,5 | 50 | 76,5 |
| 3 | 76,5 | 84,15 | 50 | 34,15 |
| 4 | 34,15 | 37,565 | 37,565 | 0 |
Ответ: 4.
Дифференцированные платежи
Разобравшись в аннуитетных платежах, следует перейти к дифференцированным. В них также нет ничего сложного.
Главное отличие их от аннуитетных в том, что долг будет уменьшаться на одну и ту же величину.
Дифференцированные платежи — такая система выплат, при которой сумма долга уменьшается равномерно.
В этом случае сумма кредита делится на несколько равных частей, которые выплачиваются банку вместе с начисленными на остаток процентами. Из этих двух частей будет складываться платеж: причем с каждым месяцем (годом) платеж будет уменьшаться, поскольку будет уменьшаться и процент, который начисляется на остаток.
В отличие от аннуитетных платежей, выплаты в дифференцированных платежах не фиксированные. Со временем выплаты будут уменьшаться.
Представим схему выплат дифференцированных платежей. Например, кредит S взяли на 4 года. Следовательно, каждый год он будет уменьшаться на (frac{1}{4})S часть, а проценты будут начисляться уже на остаток.
Ключевые слова, чтобы определить, что перед нами схема с дифференцированными платежами:
- платежи разные;
- каждый платеж меньше предыдущего;
- долг уменьшается на одну и ту же величину.
Рассмотрим примеры задач на дифференцированные платежи.
Пример 1. Вася взял кредит в банке на сумму 1 млн. рублей под 10% годовых. Условия его возврата таковы:
— После начисления процентов необходимо выплатить часть долга.
— После каждой выплаты долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга до выплаты.
— Кредит должен быть выплачен за 5 лет.
Найдите общую сумму выплат по кредиту.
Решение. Составим таблицу. Для этого введем коэффициент увеличения (k = 1 + frac{10}{100} = 1 + 0,1 = 1,1).
Заметим, что кредит взят на 5 лет, а сумма долга уменьшается равномерно. Следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на (frac{1}{5}) = 0,2 млн. рублей.
Таким образом мы можем заполнить последний столбик таблицы: достаточно просто вычитать каждый год из долга 0,2 млн рублей. Также мы сразу можем заполнить второй столбик таблицы, для этого достаточно переносить данные из последнего столбика.
| Год | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | 1 | 1-0,2=0,8 | ||
| 2 | 0,8 | 0,6 | ||
| 3 | 0,6 | 0,4 | ||
| 4 | 0,4 | 0,2 | ||
| 5 | 0,2 | 0 |
Теперь, зная долг до процентов, мы можем узнать долг после процентов:
| Год | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | 1 | 1,1 | 1-0,2=0,8 | |
| 2 | 0,8 | 0,88 | 0,6 | |
| 3 | 0,6 | 0,66 | 0,4 | |
| 4 | 0,4 | 0,44 | 0,2 | |
| 5 | 0,2 | 0,22 | 0 |
Осталось найти выплату. А для этого мы можем использовать все тот же БУП.
| Год | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | 1 | 1,1 | 1,1-0,8 = 0,3 | 1-0,2=0,8 |
| 2 | 0,8 | 0,88 | 0,88-0,6 = 0,28 | 0,6 |
| 3 | 0,6 | 0,66 | 0,66-0,4 = 0,26 | 0,4 |
| 4 | 0,4 | 0,44 | 0,44-0,2 = 0,24 | 0,2 |
| 5 | 0,2 | 0,22 | 0,22-0 = 0,22 | 0 |
Осталось найти сумму выплат, для этого нужно сложить все выплаты, которые были произведены по кредиту:
0,3 + 0,28 + 0,26 + 0,24 + 0,22 = 1,3 млн. рублей.
Ответ: 1,3 млн. рублей.
На примере этой задачи составим схему того, как выплачивался кредит. Она поможет нагляднее понять, как работает схема выплат при дифференцированных платежах.
Пример 2. Лиза взяла кредит в банке на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1 числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Какая сумма была взята в кредит, если известно, что 11 платеж составил 165 тысяч рублей?
Решение. Пусть S — кредит. Отметим, что кредит каждый месяц будет уменьшаться на (frac{S}{12}).
В этот раз составим немного другую таблицу, а именно разобьем выплату на проценты и основную часть от долга. Также таблица на 12 месяцев слишком большая (а в задачах могут встретиться таблицы еще больше), поэтому мы будем рассматривать только первые два и последние три месяца.
Сразу заполним все данные, которые нам известны.
| Месяц | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток | |
| Процентная часть | Основная часть | ||||
| 1 | S | S12 | 11S12 | ||
| 2 | 11S12 | S12 | 10S12 | ||
| … | |||||
| 10 | 3S12 | S12 | 2S12 | ||
| 11 | 2S12 | S12 | S12 | ||
| 12 | S12 | S12 | 0 |
Теперь будем начислять процент. Введем переменную (k = frac{5}{100}). Заметим, что это не коэффициент увеличения, а значит долг после начисления процентов будет состоять из основной части и процентной. Заполним третий столбик:
| Месяц | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток | |
| Процентная часть | Основная часть | ||||
| 1 | S | S+kS | S12 | 11S12 | |
| 2 | 11S12 | 11S12+k*11S12 | S12 | 10S12 | |
| … | |||||
| 10 | 3S12 | 3S12+k*3S12 | S12 | 2S12 | |
| 11 | 2S12 | 2S12+k*2S12 | S12 | S12 | |
| 12 | S12 | S12+k*S12 | S12 | 0 |
Чтобы закончить заполнение таблицы, вспомним БУП и найдем, чему будет равна процентная часть выплаты.
Было: S + k * S
Убрали: (x + frac{S}{12})
Осталось: (frac{11S}{12})
Тогда получаем: (S + k * S — (x + frac{S}{12}) = frac{11S}{12})
(S + k * S — x — frac{S}{12} = frac{11S}{12})
(frac{11S}{12} + k * S — x = frac{11S}{12})
x = k * S — это данные для четвертого столбика. Найти остальные ячейки можно таким же способом, но проще будет переносить процентную часть из третьего столбика.
| Месяц | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток | |
| Процентная часть | Основная часть | ||||
| 1 | S | S+kS | kS | S12 | 11S12 |
| 2 | 11S12 | 11S12+k*11S12 | k*11S12 | S12 | 10S12 |
| … | |||||
| 10 | 3S12 | 3S12+k*3S12 | k*3S12 | S12 | 2S12 |
| 11 | 2S12 | 2S12+k*2S12 | k*2S12 | S12 | S12 |
| 12 | S12 | S12+k*S12 | k*S12 | S12 | 0 |
Таблица составлена. Осталось найти, чему равен 11 платеж. Для этого нужно найти выплату в 11 месяц, а значит сложить эти ячейки:
| Месяц | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток | |
| Процентная часть | Основная часть | ||||
| 1 | S | S+kS | kS | S12 | 11S12 |
| 2 | 11S12 | 11S12+k*11S12 | k*11S12 | S12 | 10S12 |
| … | |||||
| 10 | 3S12 | 3S12+k*3S12 | k*3S12 | S12 | 2S12 |
| 11 | 2S12 | 2S12+k*2S12 | k*2S12 | S12 | S12 |
| 12 | S12 | S12+k*S12 | k*S12 | S12 | 0 |
Получаем (k * frac{2S}{12} + frac{S}{12} = 165)
Подставляем вместо коэффициентов известные величины и решаем уравнение.
(frac{S}{12} * (2k + 1) = 165)
(frac{S}{12} * (2 * 0,05 + 1) = 165)
S * (0,1 + 1) = 1980
1,1 * S = 1980
S = 1800 тыс.
Ответ: 1800 тысяч рублей.
Пример 3. В октябре планируется взять кредит на сумму 15 млн рублей на целое число лет. Условия его возврата таковы:
— Каждый март долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего месяца.
— С марта по октябрь необходимо выплатить часть долга.
— В октябре каждого года долг будет на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если сумма выплат после его полного погашения составила 22,5 млн рублей?
Решение. Пусть k = (frac{10}{100}), S = 15 млн — кредит, n — количество лет, на которое взят кредит.
Заметим, что каждый год долг будет уменьшаться на (frac{S}{n}) лет.
1. Составим таблицу. Поскольку нам неизвестно количество лет, рассматриваться будут только первые два и последние два года.
| Месяц | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток | |
| Процентная часть | Основная часть | ||||
| 1 | S | S+ks | kS | Sn | S-Sn=n-1nS |
| 2 | n-1nS | n-1nS+k*n-1nS | k*n-1nS | Sn | n-2nS |
| … | |||||
| n-1 | 2nS | 2nS+k*2nS | k*2nS | Sn | 1nS |
| n | 1nS | 1nS+k*1nS | k*1nS | Sn | 0 |
Сумма выплат — это сумма всех платежей, которые были внесены за кредит.
В таблице это будет сумма этих ячеек. Отметим, что между 2 и n-1 месяцем есть еще все оставшиеся выплаты, которые просто не прописаны в таблицы. Эти выплаты также обязательно учесть в уравнении.
| Месяц | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток | |
| Процентная часть | Основная часть | ||||
| 1 | S | S+ks | kS | Sn | S-Sn=n-1nS |
| 2 | n-1nS | n-1nS+k*n-1nS | k*n-1nS | Sn | n-2nS |
| … | |||||
| n-1 | 2nS | 2nS+k*2nS | k*2nS | Sn | 1nS |
| n | 1nS | 1nS+k*1nS | k*1nS | Sn | 0 |
2. Составим уравнение:
(kS + frac{S}{n} + k * frac{n — 1}{n}S + frac{S}{n} + … + k * frac{2}{n}S + frac{S}{n} + k * frac{1}{n}S + frac{S}{n} = 22,5)
Немного по-другому сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобку:
(kS * (1 + frac{n-1}{n}+ … + frac{2}{n} + frac{1}{n}) + n * frac{S}{n} = 22,5)
(kS * (frac{n}{n} + frac{n-1}{n} + … + frac{2}{n} + frac{1}{n}) + S = 22,5)
3. Заметим, что в скобках осталась арифметическая прогрессия, а нам необходимо найти ее сумму. Подробнее про арифметические прогрессии можно прочитать в статье «Арифметическая прогрессия».
Сейчас сразу применим формулу суммы арифметической прогрессии:
(kS * (frac{frac{n}{n} + frac{1}{n}}{2}*n) + S = 22,5)
(kS * ((frac{n + 1}{n} * frac{1}{2}) * n) + S = 22,5)
(kS* frac{n + 1}{2}+ S = 22,5)
4. Заменим переменные на известные величины:
(0,1 * 15 * frac{n + 1}{2} + 15 = 22,5)
(1,5 * frac{n + 1}{2} = 7,5)
1,5 * (n + 1) = 15
n + 1 = 10
n = 9
Ответ: 9 лет.
Мы рассмотрели задачи на аннуитетные и дифференцированные платежи. Подведем небольшой итог и сравним эти платежи.
| Аннуитетные платежи | Дифференцированные платежи | |
| Выплаты | Выплаты равны между собой | Выплаты со временем уменьшаются |
| Как уменьшается долг | Неравномерно | Равномерно |
| Из чего складывается выплата | Начисленные на остаток проценты и часть от долга. В первое время выплачиваются в основном проценты, а долг лишь малой частью. Со временем в основном будет выплачиваться долг. |
Начисленные на остаток проценты и часть от долга. Долг выплачивается равными частями. |
| График выплат |  |
 |
Чтобы решение задач было удобным и быстрым, необходимо следовать алгоритму:
1. Определить, какая схема выплат представлена в задаче.
2. Ввести все нужные переменные. Обязательно указать, что обозначает каждая переменная.
3. Составить таблицу или схему выплат. В таблице необходимо отразить все условия, которые приведены в задаче.
4. Составить итоговое уравнение или неравенство на основе таблицы или схемы.
5. Решить полученное уравнение или неравенство и найти ответ.
Если придерживаться приведенного выше чек-листа, можно решить экономическую задачу на любую схему выплат.
Фактчек
- С кредитами мы встречаемся не только в математике, но и в реальной жизни. Для их выплат существуют две основные схемы: аннуитетная и дифференцированная.
- Аннуитетные платежи — такая система выплат, при которых кредит выплачивается раз в год (или в другой период времени в зависимости от договора) равными платежами. Аннуитетные платежи фиксированные и равны между собой. А долг уменьшается неравномерно.
- Дифференцированные платежи — такая система выплат, при которой сумма долга уменьшается равномерно. В этом случае долг будет уменьшаться равномерно, а вот платежи будут различными. Каждый новый платеж будет меньше предыдущего.
- Для решения задач необходимо научиться составлять таблицы и уравнения на основе данных в условии. Также для решения можно пользоваться чек-листом, чтобы точно ничего не упустить.
Проверь себя
Задание 1.
Как уменьшается долг при аннуитетных платежах?
- равномерно;
- неравномерно;
- на одинаковую величину каждый расчетный период;
- долг не уменьшается.
Задание 2.
Как уменьшается долг при дифференцированных платежах?
- равномерно;
- неравномерно;
- на различную величину каждый расчетный период;
- долг не уменьшается.
Задание 3.
Из чего складывается выплата?
- Выплачивается только долг.
- Выплачиваются только проценты.
- Выплата складывается из части долга и процентов, начисленных на остаток.
- Выплата всегда складывается из части долга и процентов, начисленных на весь долг.
Задание 4.
Что такое сумма выплат?
- Это сумма всех процентов, начисленных на кредит.
- Это сумма долга.
- Это последний платеж, который был внесен за кредит.
- Это сумма всех платежей, внесенных за кредит.
Задание 5.
Для какой системы выплат характерны равные платежи?
- дифференцированная;
- аннуитетная;
- и дифференцированная, и аннуитетная;
- ничего из перечисленного выше.
Ответы: 1. — 2 2. — 1 3. — 3 4. — 4 5. — 2
Кредит с обеими схемами: и дифференцированный платеж, и аннуитет.
Сейчас в моде задачи, в которых применяются обе схемы выплаты кредита: и дифференцированный платеж, и аннуитет. Это — одна из них.
Задача. 14 декабря 2021 года Андрей планирует взять кредит в банке на 1 185 100 рублей на 1 год. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга, причем последние три платежа должны быть равны 
рублей;
— 15 числа каждого месяца с первого по девятый долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Известно, что четвертая выплата составила 144 204 рубля. Найдите .
Решение. Пусть в первые 9 месяцев Андрей платит по рублей из тела кредита. Тогда таблица его выплат будет выглядеть так:
| Год | Долг | Процент | Платеж |
| 1 | S | 0,04S | 0,04S+a |
| 2 | S-a | 0,04(S-a) | 0,04(S-a)+a |
| 3 | S-2a | 0,04(S-2a) | 0,04(S-2a)+a |
| 4 | S-3a | 0,04(S-3a) | 0,04(S-3a)+a |
| … | … | … | … |
| 9 | S-8a | 0,04(S-8a) | 0,04(S-8a)+a |
Известна четвертая выплата: 144 204 рубля. То есть
Таким образом, через 9 месяцев Андрей выплатит 990 000. И его долг станет равен
После чего на три последних месяца Андрей меняет схему выплаты кредита с дифференцированного платежа на аннуитет. И будет теперь платить банку фиксированную сумму , которую нам предстоит найти.
— долг Андрея к концу 10 месяца. Он выплачивает рублей:
— долг Андрея на начало 11 месяца. Банк начисляет проценты:
— долг Андрея на конец 11 месяца. Он выплачивает еще рублей:
— долг Андрея на начало 12 месяца. Банк начисляет проценты:
— долг Андрея на конец 12 месяца. Он выплачивает еще рублей и более ничего не должен банку:
Ответ: руб.