В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.
Спрятать решение
Решение.
Сначала найдём вероятность того, что при двух бросках игральных костей комбинация 5 и 6 очков не выпадет ни разу. Заметим, что вероятность выбросить комбинацию 5 и 6 очков складывается из двух несовместных событий: на первом кубике выпало 5 очков, а на втором кубике выпало 6 очков или на первом кубике выпало 6 очков, а на втором кубике выпало 5 очков. Тогда вероятность того, что при броске двух игральных костей выпадет комбинация 5 и 6 очков, равна
Вероятность противоположного события, состоящего в том, что при одном броске костей комбинация 5 и 6 очков не выпадет, равна
Каждое бросание костей не зависит от предыдущего. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что при двух бросках игральных костей комбинация 5 и 6 очков не выпадет ни разу, равна 
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что при двух бросаниях игральных костей комбинация 5 и 6 очков выпадет хотя бы один раз, равна
Округляя до сотых, получаем ответ.
Ответ: 0,11.
Приведем другое решение.
Пусть событие A состоит в том, что при первом бросании выпала комбинация 5 и 6 очков, а событие B состоит в том, что при втором бросании выпала комбинация 5 и 6 очков. 
Событие, состоящее в том, что комбинация 5 и 6 очков выпадет хотя бы один раз из двух попыток, является суммой этих событий. События A и B являются совместными и независимыми, вероятность их суммы вычисляется по формуле:
Округляя до сотых, получим 0,11.
Приведем решение Надежды Козловой.
Пусть событие A состоит в том, что при первом бросании выпала комбинация 5 и 6 очков, а событие C состоит в том, что при первом бросании комбинация 5 и 6 очков не выпала, а при втором бросании выпала. Тогда 
Эти события являются несовместными, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей:
Округляя до сотых, получим 0,11.
Решение:
При броске одной кости возможны 6 исходов, при броске 2 костей возможны всего:
6·6 = 36 исходов
Комбинация 5 и 6 очков, это два исхода:
1) на первом кубике выпало 5, а на втором выпало 6;
2) на первом кубике выпало 6, а на втором выпало 5.
Вероятность того, что при первом броске выпадет эта комбинация:
frac{1}{36}+frac{1}{36}=frac{2}{36}=frac{1}{18}
Вероятность того, что при первом броске комбинация не выпала, а при втором броске выпала:
(1-frac{1}{18})cdot frac{1}{18}=frac{17}{18}cdot frac{1}{18}=frac{17}{324}
Вероятность выбросить комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, округлив до сотых:
frac{1}{18}+frac{17}{324}=frac{1cdot 18+17}{324}=frac{35}{324}≈0,1080…≈0,11
Ответ: 0,11.
Рассмотрим решение новых задач по теории вероятностей, которые появятся в ЕГЭ по математике в 2022 году.
Вы можете попробовать решить задачи самостоятельно, а потом сверить свое решение с предложенным.
1. № 508755
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало 6 очков.
Решение. показать
2. № 508769
Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».
Решение. показать
3. № 508781
Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
Решение. показать
4. № 508791
В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.
Решение. показать
5. № 508793
Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что потребовалось сделать три броска? Результат округлите до сотых.
Решение. показать
6. № 508798
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось 3 броска? Ответ округлите до сотых.
Решение. показать
7. № 508809
Телефон передает SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,2. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.
Решение. показать
8. № 508820
При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 91% случаев. Если заболевание нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 93% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание? Результат округлите до сотых.
Решение. показать
9. № 508831
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,5?
Решение. показать
10. № 508843
В ящике три красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что в первый раз синий фломастер появится третьим по счету?
Решение. показать
11. №508851
Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени».
Решение. показать
12. № 508868
В викторине участвуют 10 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых шести играх победила команда А. Какова вероятность, что эта команда выиграет седьмой раунд.
Решение. показать
13. № 508871
Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определен жребием. Всего в турнире 8 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга — Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придется сыграть друг с другом?
Решение. показать
14. № 508887
Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет четных чисел, а нечетные числа встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность, что бросали второй кубик?
Решение. показать
15. № 509078
Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придется купить еще 2 или 3 шоколадных яйца?
Решение. показать
15. № 508885
Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятность 
на единицу больше предыдущего и с вероятность 
на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен -1?
Решение. показать
И.В. Фельдман, репетитор по математике