Шпаргалка к экзамену по линейной алгебре - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1. Матрицы и действия над ними.

2. Определители второго и третьего порядков.

3. Миноры и алгебраические дополнения.

4. Обратная матрица. Методы нахождения обратной матрицы

5. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Крамера.

6. Mетод Гаусса-Жордана.

7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли. Однородные системы линейных алгебраических уравнений

8. Линейная балансовая модель

9. Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектора. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.

10. Линейные операции над векторами. Теоремы о проекциях векторов. Линейная зависимость векторов.

11. Cкалярное произведение векторов. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.

12. Векторное произведение. Выражение векторного произведения через координаты векторов.

13. Смешанное произведение трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.

14. Векторное параметрическое уравнение прямой. Задача о делении отрезка в заданном отношении.

15. Координатные уравнения прямой в пространстве.

16. Координатные уравнения прямой на плоскости.

17. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости.

18. Координатные уравнения плоскости.

19. Общие уравнения прямой в пространстве.

20. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

21. Линии второго порядка( эллипс, гипербола, парабола)

22. Поверхности второго порядка

Математический анализ.

1. Множества. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Понятие функции. Классификация функций.

2. Предел последовательности. Понятие сходящейся последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях (единственный предел, необходимое условие сходимости)

3. Бесконечно-большие и бесконечно-малые последовательности. Теоремы о сумме (разности), произведении и частном двух сходящихся последовательностях. Предельный переход в неравенствах. Монотонные последовательности. Число ℮. Предел функции. Теоремы о пределах функции.

4. Первый замечательный предел.

5. Второй замечательный предел.

6. Бесконечно-большие и бесконечно‑ малые функции. Сравнение бесконечно‑малых функций. Асимптотические формулы.

7. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.

8. Основные теоремы о непрерывных функциях.

9. Понятия сложной и обратной функций.

10. Понятие производной. Геометрический и физический смыслы производной.

11. Понятие дифференцируемости функции. Cвязь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.

12. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.

13. Понятие дифференциала. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного.

14. Производные постоянной, тригонометрических и логарифмической функций.

15. Производные обратной и сложной функций.

16. Производные показательной и обратных тригонометрических функций.

17. Логарифмическая производная. Производная степенной функции.

18. Таблица производных простейших элементарных функций.

19. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

20. Теоремы Ферма и Ролля.

21. Теоремы Лагранжа и Коши.

22. Теорема Лопиталя.

23. Теорема Тейлора.

24. Признак монотонности. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.

25. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.

26. Необходимое условие наличия точки перегиба, достаточное условие наличия точки перегиба.

27. Асимптоты графика функции. Схема исследования графика функции.

28. Комплексные числа и действия над ними.

29. Тригонометрическая форма комплексного числа.

30. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня. Формулы Эйлера.

формулы

Источник

Линейная алгебра.

Тема : Пространство
векторов.

§1 Пространство Rⁿ.

пункт1: Геометрические векторы.

пункт2: n – мерные векторы.

пункт3: Операции над n –
мерными векторами.

пункт4: Скалярное произведение.

§2 Системы векторов.

пункт1: Линейная независимость.

пункт2: Примеры линейно – независимых
и линейно – зависимых систем.

пункт3: Критерий линейной зависимости
(независимости).

пункт4: Основная теорема по линейной
зависимости.

§3 Базисы.

пункт1: Базис в Rⁿ.

пункт2: Основная теорема о базисе.

пункт3: Ортогональные системы.

пункт4: Ортонормированные базисы.

§4 Подпространство.

пункт1: Линейные комбинации и
подпространство.

пункт2: Примеры подпространств.

пункт3: Линейные оболочки.

пункт4: Общая структура подпространств.

§5 Размерность.

пункт1: Монотонность размерности.

пункт2: Теорема об ортогональном
векторе.

§6 Ортогональные базисы.

пункт1: Существование ортонормированного
базиса в пространстве.

пункт2: Расширение ортонормированного
базиса.

пункт3: Ортогональное дополнение.

§7 Ранг системы векторов.

пункт1: Неравенство для ранга.

пункт2: Числовой критерий линейной
независимости.

Тема II: Матрицы и уравнения.

§8 Линейные преобразования и матрицы.

пункт1: Линейные преобразования.

пункт2: Матрица как таблица чисел.

пункт3: Умножение матрицы на вектор.

пункт4: Матрица как линейное
преобразование.

§9 Алгебра преобразований и матриц.

Вступление.

пункт1: Сложение.

пункт2: Умножение на число.

пункт3: Умножение.

§10 Обращение преобразований и матриц.

пункт1: Обращение.

пункт2: Критерии обратимости.

§11 Транспонирование.

пункт1: Операция транспонирования.

пункт2: Обращение и транспонирование.

пункт3: Операция транспонирования и
скалярное произведение.

§12 Образ и ядро.

пункт1: Основные определения.

пункт2: Соотношение между образом и
ядром.

пункт3: Критерии обратимости.

§13 Ранг линейного преобразования.

пункт1: Теорема о ранге.

пункт2: Строчный и столбцевой ранги
матрицы.

§14 Уравнения в пространствах векторов.

пункт1: Формы записи.

пункт2: Свойства решений.

пункт3: Исследование систем линейных
уравнений.

Тема III: Системы линейных неравенств.

§15 Основные сведения о системе линейных
неравенств.

пункт1: Формы записи.

пункт2: Геометрическая интерпретация.

§16 Конус в Rⁿ.

пункт1: Определение и примеры конусов.

пункт2: Конические оболочки.

пункт3: Конус решений однородной
системы линейных неравенств.

§17 Конечнопорождённые конусы.

пункт1: Определение и примеры.

пункт2: Характеристика решений
однородных систем линейных неравенств.

пункт3: Сравнение между множеством
решений однородной системой линейных
уравнений и множеством решений
однородной системы линейных неравенств.

§18 Заострённые конечнопорождённые
конусы.

пункт1: Крайние векторы.

пункт2: Заострённые конусы.

пункт3: Критерии заострённости конуса.

пункт4: Достаточные условия порождаемости
конуса крайними векторами.

§19 Теоремы о крайних решениях.

пункт1: Ещё один критерий заострённости
конуса.

пункт2: Первая теорема о крайних
решениях.

пункт3: Вторая теорема о крайних
решениях.

пункт4: Алгоритм поиска крайнего
решения.

Соседние файлы в предмете Высшая математика

Источник

Тема: Шпаргалка по линейной алгебре на экзамен

Раздел: Бесплатные рефераты по линейной алгебре

Вопросы к экзамену:

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и не особенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

4. Понятие минора k-го порядка. ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. пример.

5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.

6, 13,14,15,16. векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), n-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.

7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

8. Система П линейных уравнений с П переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

9. Метод гаусса решения системы n линейных уравнений с П переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.

10. Системы линейных уравнений с неизвестными.

26,27. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

30. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Внимание!

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы

Бесплатная оценка

+10

Понравилось? Нажмите на кнопочку ниже. Вам не сложно, а нам приятно).

Чтобы скачать бесплатно Шпаргалки на максимальной скорости, зарегистрируйтесь или авторизуйтесь на сайте.

Важно! Все представленные Шпаргалки для бесплатного скачивания предназначены для составления плана или основы собственных научных трудов.

Друзья! У вас есть уникальная возможность помочь таким же студентам как и вы! Если наш сайт помог вам найти нужную работу, то вы, безусловно, понимаете как добавленная вами работа может облегчить труд другим.

Добавить работу

Если Шпаргалка, по Вашему мнению, плохого качества, или эту работу Вы уже встречали, сообщите об этом нам.

Добавление отзыва к работе

Добавить отзыв могут только зарегистрированные пользователи.

Шпаргалка: Лекции по Линейной алгебре

Абстрактная теория групп

Понятие абстрактной группы.

1.Понятие алгебраической операции.

Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция(*), если каждой упорядоченной паре элементов поставлен в соответствие некоторый элемент называемый их произведением.

Примеры.

Композиция перемещений на множествах является алгебраической операцией.
Композиция подстановок является алгебраической операцией на множестве всех подстановок степени n.
Алгебраическими операциями будут и обычные операции сложения, вычитания и умножения на множествах соответственно целых, вещественных и комплексных чисел. Операция деления не будет алгебраической операцией на этих множествах, поскольку частное не определено при . Однако на множествах , это будет алгебраическая операция.
Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве .
Векторное произведение будет алгебраической операцией на множестве .
Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех квадратных матриц данного порядка.

2.Свойства алгебраических операций.

Операция (*) называется ассоциативной, если .

Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах, за исключением операций вычитания ( и деления) и операции векторного умножения векторов. Наличие свойства ассоциативности позволяет определить произведение любого конечного множества элементов. Например, если , . В частности можно определить степени с натуральным показателем: . При этом имеют место обычные законы: , .

2. Операция (*) называется коммутативной, если

В приведенных выше примерах операция коммутативна в примерах 3 и 4 и не коммутативна в остальных случаях. Отметим, что для коммутативной операции

Элемент называется нейтральным для алгебраической операции (*) на множестве X, если . В примерах 1-6 нейтральными элементами будут соответственно тождественное перемещение, тождественная перестановка, числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно (для вычитания нейтральный элемент отсутствует !), нулевой вектор, единичная матрица. Для векторного произведения нейтральный элемент отсутствует. Отметим, что нейтральный элемент (если он существует) определен однозначно. В самом деле, если — нейтральные элементы, то . Наличие нейтрального элемента позволяет определить степень с нулевым показателем: .
Допустим, что для операции (*) на X существует нейтральный элемент. Элемент называется обратным для элемента , если . Отметим, что по определению . Все перемещения обратимы также как и все подстановки. Относительно операции сложения все числа обратимы, а относительно умножения обратимы все числа, кроме нуля. Обратимые матрицы — это в точности все матрицы с ненулевым определителем. Если элемент x обратим, то определены степени с отрицательным показателем: . Наконец, отметим, что если x и y обратимы, то элемент также обратим и . (Сначала мы одеваем рубашку, а потом куртку; раздеваемся же в обратном порядке!).

Определение (абстрактной) группы.

Пусть на множестве G определена алгебраическая операция (*). (G ,*) называется группой, если

Операция (*) ассоциативна на G.
Для этой операции существует нейтральный элемент e (единица группы).
Каждый элемент из G обратим.

Примеры групп.

Любая группа преобразований.
(Z, +), (R, +), (C, +).
Матричные группы: — невырожденные квадратные матрицы порядка n, ортогональные матрицы того же порядка, ортогональные матрицы с определителем 1.
Простейшие свойства групп.
В любой группе выполняется закон сокращения: (левый закон сокращения; аналогично, имеет место и правый закон). Доказательство. Домножим равенство слева на и воспользуемся свойством ассоциативности: .
Признак нейтрального элемента:

Доказательство Применим к равенству закон сокращения.
Признак обратного элемента: Доказательство Применим закон сокращения к равенству .
Единственность обратного элемента. Обратный элемент определен однозначно. Следует из п.3.
Существование обратной операции. Для любых двух элементов произвольной группы G уравнение имеет и притом единственное решение. Доказательство Непосредственно проверяется, что (левое частное элементов ) является решением указанного уравнения. Единственность вытекает из закона сокращения, примененного к равенству . Аналогично устанавливается существование и единственность правого частного.
Изоморфизм групп.

Определение.

Отображение двух групп G и K называется изоморфизмом , если

1.Отображение j взаимно однозначно. 2.Отображение j сохраняет операцию: .

Поскольку отображение обратное к j также является изоморфизмом, введенное понятие симметрично относительно групп G и K, которые называются изоморфными.

Примеры.

1.Группы поворотов плоскости и вокруг точек и изоморфны между собой. Аналогично, изоморфными будут и группы, состоящие из поворотов пространства относительно любых двух осей.

2.Группа диэдра и соответствующая пространственная группа изоморфны.

Группа тетраэдра T изоморфна группе состоящей из четных подстановок четвертой степени. Для построения изоморфизма достаточно занумеровать вершины тетраэдра цифрами 1,2,3,4 и заметить, что каждый поворот, совмещающий тетраэдр с собой некоторым образом переставляет его вершины и, следовательно, задает некоторую подстановку множества{1,2, 3, 4} Повороты вокруг оси, проходящей через некоторую вершину (например 1), оставляет символ 1 на месте и циклически переставляет символы 1, 2, 3. Все такие перестановки — четные. Поворот вокруг оси, соединяющей середины ребер (например, 12 и 34 ) переставляет символы 1 и 2, а также 3 и 4. Такие перестановки также являются четными.
Формула определяет взаимно однозначное соответствие между множеством R вещественных чисел и множеством положительных чисел. При этом . Это означает, что является изоморфизмом.

Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции.

Понятие подгруппы.

Непустое подмножество называется подгруппой, если само является группой. Более подробно это означает, что , и .

Признак подгруппы.

Непустое подмножество будет подгруппой тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

В одну сторону это утверждение очевидно. Пусть теперь — любой элемент. Возьмем в признаке подгруппы. Тогда получим . Теперь возьмем . Тогда получим .

Примеры подгрупп.

Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны между собой.
— подгруппа четных подстановок.
и т.д.
Пусть G — любая группа и — любой фиксированный элемент. Рассмотрим множество всевозможных степеней этого элемента. Поскольку , рассматриваемое множество является подгруппой. Она называется циклической подгруппой с образующим элементом g .
Пусть любая подгруппа Рассмотрим множество — централизатор подгруппы H в группе G. Из определения вытекает, что если , то , то есть . Теперь ясно, что если , то и и значит централизатор является подгруппой. Если группа G коммутативна, то . Если G=H, то централизатор состоит из тех элементов, которые перестановочны со всеми элементами группы; в этом случае он называется центром группы G и обозначается Z(G).

Замечание об аддитивной форме записи группы.

Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+…+g, называются кратными элемента g и обозначаются ng.

Абстрактная теория групп

(продолжение)

Реализация абстрактной группы как группы преобразований.

Существует несколько способов связать с данной абстрактной группой некоторую группу преобразований. В дальнейшем, если не оговорено противное, знак алгебраической операции в абстрактной группе будет опускаться.

Пусть некоторая подгруппа.

А) Для каждого определим отображение (левый сдвиг на элемент h) формулой .

Теорема 1

Множество L(H,G)= является группой преобразований множества G.
Соответствие: является изоморфизмом групп H и L(H,G).

Доказательство.

Надо проверить, что отображение взаимно однозначно для всякого . Если , то по закону сокращения. Значит инъективно. Если любой элемент, то и так что к тому же и сюръективно.
Обозначим через · операцию композиции в группе Sym(G) взаимно однозначных отображений . Надо проверить, что и . Пусть любой элемент. Имеем: ; и значит, .
Пусть . Надо проверить, что l взаимно однозначно и сохраняет операцию. По построению l сюръективно. Инъективность вытекает из закона правого сокращения: . Сохранение операции фактически уже было установлено выше: .

Следствие.

Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого множества (Достаточно взять G=H и рассмотреть левые сдвиги).

Для случая конечных групп получается теорема Кэли:

Любая группа из n элементов изоморфна подгруппе группы подстановок степени n.

Для каждого определим отображение (правый сдвиг на элемент h) формулой .

Теорема B.

.
Множество является группой преобразований множества G.
Соответствие является изоморфизмом групп H и R(H,G).

Доказательство теоремы B вполне аналогично доказательству теоремы A. Отметим только, что . Именно поэтому в пункте 3 теоремы В появляется не , а .

С) Для каждого определим (сопряжение или трансформация элементом h ) формулой .

Теорема С.

Каждое отображение является изоморфизмом группы G с собой (автоморфизмом группы G).
Множество является группой преобразований множества G.
Отображение сюръективно и сохраняет операцию.

Доказательство.

Поскольку , отображение взаимно однозначно как композиция двух отображений такого типа. Имеем: и потому сохраняет операцию.
Надо проверить, что и . Оба равенства проверяются без труда.
Сюръективность отображения имеет место по определению. Сохранение операции уже было проверено в пункте 2.

Замечание об инъективности отображения q.

В общем случае отображение q не является инъективным. Например, если группа H коммутативна, все преобразования будут тождественными и группа тривиальна. Равенство означает, что или (1) В связи с этим удобно ввести следующее определение: множество называется централизатором подгруппы . Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1) означает, что . Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы H в G тривиален, отображение qявляется изоморфизмом.

Смежные классы; классы сопряженных элементов.

Пусть, как и выше, некоторая подгруппа. Реализуем H как группу L(H,G) левых сдвигов на группе G. Орбита называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые сдвиги, приходим к правым смежным классам .Заметим, что стабилизатор St(g, L(H,G)) (как и St(g, R(H,G)) ) тривиален поскольку состоит из таких элементов , что hg=g. Поэтому, если группа H конечна, товсе левые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов, равного .

Орбиты группы называются классами сопряженных элементов группы G относительно подгруппы H и обозначаются Если G=H, говорят просто о классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов. Это число равно , где Z(H,g) подгруппа H, состоящая из всех элементов h перестановочных с g.

Пример.

Пусть — группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы: =(1,2,3); =(1,3,2); =(2,1,3); =(2,3,1); =(3,1,2); =(3,2,1). Пусть . Легко проверить, что левые смежные классы суть:

, , .

Правые смежные классы:

, , .

Все эти классы состоят из 2 элементов.

Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H:

, , , .

В то же время,

, , .

Теорема Лагранжа.

Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G.

Доказательство.

По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов: . Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов, , откуда и вытекает теорема.

Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом подгруппы .

Следствие.

Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.

В самом деле, если эти подгруппы, то их общая подгруппа и по теореме Лагранжа — общий делитель порядков H и K то есть 1.

Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

Пусть любая подгруппа и -любой элемент. Тогда также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения является изоморфизмом. Подгруппа называется сопряженной по отношению к подгруппе H.

Определение.

Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой: .

Равенство можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.

Примеры.

В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно.
В любой группе G нормальными будут, во первых, тривиальная подгруппа и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G называется простой.
В рассмотренной выше группе подгруппа не является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут подгруппы и .
Если — любая подгруппа, то ее централизатор Z = Z(H,G) — нормальная подгруппа в G, так как для всех ее элементов z . В частности, центр Z(G) любой группы G -нормальная подгруппа.
Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса: H и Hg = G-H = gH.

Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).

Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть .

Доказательство.

Очевидно, что для любой подгруппы H .Но тогда

= = = .

Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс . Поскольку , всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G.

Абстрактная теория групп

(продолжение)

9 Гомоморфизм.

Гомоморфизм групп — это естественное обобщение понятия изоморфизма.

Определение.

Отображение групп называется гомоморфизмом, если оно сохраняет алгебраическую операцию, то есть : .

Таким образом, обобщение состоит в том, что вместо взаимно однозначных отображений, которые участвуют в определении изоморфизма, здесь допускаются любые отображения.

Примеры.

Разумеется, всякий изоморфизм является гомоморфизмом.
Тривиальное отображение является гомоморфизмом.
Если — любая подгруппа, то отображение вложения будет инъективным гомоморфизмом.
Пусть — нормальная подгруппа. Отображение группы G на факторгруппу G/H будет гомоморфизмом поскольку . Этот сюръективный гомоморфизм называется естественным.
По теореме С предыдущего раздела отображение сопряжения сохраняет операцию и, следовательно является гомоморфизмом.
Отображение , которое каждому перемещению n- мерного пространства ставит в соответствие ортогональный оператор (см. лекцию №3) является гомоморфизмом поскольку по теореме 4 той же лекции .

Теорема (свойства гомоморфизма)

Пусть — гомоморфизм групп, и — подгруппы. Тогда:

, .
— подгруппа.
-подгруппа, причем нормальная, если таковой была .

Доказательство.

и по признаку нейтрального элемента . Теперь имеем: .
Пусть p = a(h), q = a(k). Тогда и . По признаку подгруппы получаем 2.
Пусть то есть элементы p = a(h), q = a(k) входят в . Тогда то есть . Пусть теперь подгруппа нормальна и — любой элемент. и потому .

Определение.

Нормальная подгруппаназывается ядром гомоморфизма .Образ этого гомоморфизма обозначается .

Теорема.

Гомоморфизм a инъективен тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Поскольку , указанное условие необходимо. С другой стороны, если , то и если ядро тривиально, и отображение инъективно.

Понятие гомоморфизма тесно связано с понятием факторгруппы.

Теорема о гомоморфизме.

Любой гомоморфизм можно представить как композицию естественного (сюръективного) гомоморфизма , изоморфизма и (инъективного) гомоморфизма (вложения подгруппы в группу): .

Доказательство.

Гомоморфизмы p и i описаны выше (см. примеры) Построим изоморфизм j. Пусть . Элементами факторгруппы являются смежные классы Hg. Все элементы имеют одинаковые образы при отображении a: . Поэтому формула определяет однозначное отображение . Проверим сохранение операции .Поскольку отображение j очевидно сюръективно, остается проверить его инъективность. Если , то и потому . Следовательно, и по предыдущей теореме j инъективно.

Пусть — любой элемент. Имеем: . Следовательно, .

10Циклические группы.

Пусть G произвольная группа и — любой ее элемент. Если некоторая подгруппа содержит g, то она содержит и все степени . С другой стороны, множество очевидно является подгруппой G .

Определение.

Подгруппа Z(g) называется циклической подгруппой G с образующим элементом g. Если G = Z(g), то и вся группа G называется циклической.

Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g.

Примеры

Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1.
Группа поворотов плоскости на углы кратные 2p¤n является циклической с образующим элементом — поворотом на угол 2p¤n. Здесь n = 1, 2, …

Теорема о структуре циклических групп.

Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Циклическая группа порядка n изоморфна Z / nZ .

Доказательство.

Пусть G = Z(g) — циклическая группа. По определению, отображение — сюръективно. По свойству степеней и потому j — гомоморфизм. По теореме о гомоморфизме . H = KerjМZ. Если H — тривиальная подгруппа, то . Если H нетривиальна, то она содержит положительные числа. Пусть n — наименьшее положительное число входящее в H. Тогда nZМH. Предположим, что в H есть и другие элементы то есть целые числа не делящееся на n нацело и k одно из них. Разделим k на n с остатком: k = qn +r, где 0 О H, что противоречит выбору n. Следовательно, nZ = H и теорема доказана.

Отметим, что » Z / nZ .

Замечание.

В процессе доказательства было установлено, что каждая подгруппа группы Z имеет вид nZ, где n = 0 ,1, 2 ,…

Определение.

Порядком элемента называется порядок соответствующей циклической подгруппы Z( g ).

Таким образом, если порядок g бесконечен, то все степени — различные элементы группы G. Если же этот порядок равен n, то элементы различны и исчерпывают все элементы из Z( g ), а N кратно n. Из теоремы Лагранжа вытекает, что порядок элемента является делителем порядка группы. Отсюда следует, что для всякого элемента g конечной группы G порядка n имеет место равенство .

Следствие.

Если G — группа простого порядка p, то — циклическая группа.

В самом деле, пусть — любой элемент отличный от нейтрального. Тогда его порядок больше 1 и является делителем p, следовательно он равен p. Но в таком случае G = Z( g )».

Теорема о подгруппах конечной циклической группы.

Пусть G — циклическая группа порядка n и m — некоторый делитель n. Существует и притом только одна подгруппа HМG порядка m. Эта подгруппа циклична.

Доказательство.

По предыдущей теореме G»Z / nZ. Естественный гомоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между подгруппами HМG и теми подгруппами KМZ, которые содержат Kerp = nZ. Но, как отмечалось выше, всякая подгруппа K группы Z имеет вид kZ Если kZЙnZ, то k — делитель n и p(k) — образующая циклической группы H порядка m = n /k. Отсюда и следует утверждение теоремы.

Верна и обратная теорема: если конечная группа G порядка n обладает тем свойством, что для всякого делителя m числа n существует и притом ровно одна подгруппа H порядкаm, то G — циклическая группа.

Доказательство.

Будем говорить, что конечная группа G порядка N обладает свойством (Z), если для всякого делителя m числа N существует и притом только одна подгруппа HМG порядка m. Нам надо доказать, что всякая группа, обладающая свойством (Z) циклическая. Установим прежде всего некоторые свойства таких групп.

Лемма.

Если G обладает свойством (Z), то

Любая подгруппа G нормальна.
Если x и y два элемента такой группы и их порядки взаимно просты, то xy = yx.
Если H подгруппа порядка m такой группы G порядка N и числа m и N/m взаимно просты, то H обладает свойством (Z).

Доказательство леммы.

1. Пусть HМG. Для любого подгруппа имеет тот же порядок, что и H. По свойству (Z) то есть подгруппа H нормальна.

2. Пусть порядок x равен p, а порядок y равен q. По пункту 1) подгруппы Z(x) и Z(y) нормальны. Значит, Z(x)y = yZ(x) и xZ(y) = Z(y)x и потому для некоторых a и b . Следовательно, . Но, поскольку порядки подгрупп Z(x) и Z(y) взаимно просты, то . Следовательно, и потому xy = yx.
Используя свойство (Z), выберем в G подгруппу K порядка N/m. По 1) эта подгруппа нормальна, а поскольку порядки H и K взаимно просты, эти подгруппы пересекаются лишь по нейтральному элементу. Кроме того по 2) элементы этих подгрупп перестановочны между собой. Всевозможные произведения hk =kh, где hОH, kОK попарно различны, так как =e поскольку это единственный общий элемент этих подгрупп. Количество таких произведений равно m N/m = и, следовательно, они исчерпывают все элементы G. Сюръективное отображение является гомоморфизмом с ядром K. Пусть теперь число s является делителем m. Выберем в G подгруппу S порядка s. Поскольку s и N/m взаимно просты, и потому — подгруппа порядка s. Если бы подгрупп порядка s в H было несколько, то поскольку все они были бы и подгруппами G условие (Z) для G было бы нарушено. Тем самым мы проверили выполнение условия (S) для подгруппы H.

Доказательство теоремы.

Пусть — разложение числа N в произведение простых чисел. Проведем индукцию по k. Пусть сначала k = 1, то есть . Выберем в G элемент x максимального порядка . Пусть y любой другой элемент этой группы. Его порядок равен , где u Ј s. Группы и имеют одинаковые порядки и по свойству (Z) они совпадают. Поэтому и мы доказали, что x — образующий элемент циклической группы G. Пусть теорема уже доказана для всех меньших значений k. Представим N в виде произведения двух взаимно простых множителей N = pq (например, ). Пусть H и K подгруппы G порядка p и q. Использую 3) и предположение индукции, мы можем считать, что H = Z(x), K = Z(y), причем xy = yx. Элемент xy имеет порядок pq = N и, следовательно, является образующим элементом циклической группы G.

11. Некоторые теоремы о подгруппах конечных групп.

Теорема Коши.

Если порядок конечной группы делится на простое число p, то в ней имеется элемент порядка p.

Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, отметим, что если g№e и , где p — простое число, то порядок g равен p. В самом деле, если m — порядок g, то p делится на m, откуда m=1 или m=p. Первое из этих равенств невозможно по условиям выбора g.

Индукция, с помощью которой проводится доказательство теоремы, основана на следующей лемме

Лемма.

Если некоторая факторгруппа G/H конечной группы G имеет элемент порядка p, то тем же свойством обладает и сама группа G.

Доказательство леммы.

Пусть — элемент порядка p. Обозначим через m порядок элемента . Тогда и значит m делится на p. Но тогда — элемент порядка p.

Доказательство теоремы Коши.

Зафиксируем простое число p и будем проводить индукцию по порядку n группы G. Если n=p, то G»Z/pZ и теорема верна. Пусть теорема уже доказана для всех групп порядка меньше n и , причем n делится на p.

Рассмотрим последовательно несколько случаев

G содержит собственную ( то есть не совпадающую со всей группой и нетривиальную) подгруппу H, порядок которой делится на p. В этом случае порядок H меньше n и по предположению индукции имеется элемент порядка p. Поскольку в этом случае теорема доказана.
G содержит собственную нормальную подгруппу. Если ее порядок делится на p, то по 1 теорема доказана. В противном случае на p делится порядок факторгруппы G/H и теорема в этом случае следует из доказанной выше леммы.
Если G — коммутативна, то возьмем любой . Если порядок g делится на p, то теорема доказана по 1, поскольку Z(g)МG. Если это не так, то, поскольку в коммутативной группе все подгруппы нормальны, теорема доказана по 2.
Остается рассмотреть случай, когда порядки всех собственных подгрупп G не делятся на p, группа G проста ( то есть не имеет собственных нормальных подгрупп ) и не коммутативна. Покажем, что этого быть не может. Поскольку центр группы G является нормальной подгруппой и не может совпадать со всей группой, он тривиален. Поэтому G можно рассматривать как группу преобразований сопряжения на множестве G. Рассмотрим разбиение множества G на классы сопряженных элементов: . Здесь отдельно выделен класс и классы неединичных элементов. Стабилизатор St(g) элемента g№ e представляет собой подгруппу группы G, не совпадающую со всей группой. В самом деле, если St(g) = G, то g коммутирует со всеми элементами из G и потому gОZ(g) = {e}. Значит, порядок этой подгруппы не делится на p, а потому делится на p: . Но тогда — не делится на p, что не соответствует условию.

Замечание.

Если число p не является простым, то теорема неверна даже для коммутативных групп. Например, группа порядка 4 коммутативна, но не является циклической, а потому не имеет элементов порядка 4.

Теорема о подгруппах коммутативной группы.

Для конечной коммутативной группы G справедлива теорема обратная к теореме Лагранжа: если m — делитель порядка группы, то в G имеется подгруппа порядка m.

Доказательство.

Проведем индукцию по порядку n группы G. Для n = 2 теорема очевидна. Пусть для всех коммутативных групп порядка естественный гомоморфизм, то — подгруппа G порядка m .

Замечание.

Для некоммутативных групп данная теорема неверна. Так, например, в группе четных перестановок степени 4, которая имеет порядок 12, нет подгрупп шестого порядка.

Источник

Шпаргалка по Математическому анализу и линейной алгебре

Вопросы к экзаменам по Математическому анализу и линейной алгебре:
1.Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.
2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.
4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.
5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.
6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), n-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.
7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.
8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.
10. 10. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А –1В).
11. Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода).
12. . Понятие функции, способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры.
13. Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая).
14. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).
18.Бесконечно малые величины (определение). Свойства бесконечно малых (одно из них доказать). Бесконечно большие величины, их связь с бесконечно малыми.
19. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах.
20. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций. Непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.
21. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке.
22. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему).
23. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).
24.Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функций.
25. . Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.
26. Достаточные признаки монотонности функции (один из них доказать).
27. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимый признак экстремума (доказать).
28. Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).
29. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимтоты. Примеры.
30. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Пример.
31. Функции нескольких переменных. Примеры. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия.
32. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы нормальных уравнений).
33. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.
34. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства (одно из свойств доказать).
35. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.
36. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.
37. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.
38. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница.
39. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Пуассона (без доказательства).
40. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.
41. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения. Задача Коши. Задача о построении математической модели демографического процесса.
42. Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися переменными) и их решение. Примеры.
43. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения. Примеры.
44. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Примеры.
45. Гармонический ряд и его расходимость (доказать).
46. Признаки сравнения и Даламбера сходимости знакоположительных рядов. Примеры.
47. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость рядов.
48. Условия разложения функций в степенной ряд. Ряд Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функции у=еx (вывод). Интервал сходимости полученного ряда.
49. Разложение в ряд Маклорена функции y=ln(1+x) Вывод. Интервал сходимости полученного ряда.
50.Разложение в ряд Маклорена функции y= (1+x)m Вывод. Интервал сходимости полученного ряда.

Источник

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Математический анализ.

Вопросы к экзамену:

Добавление отзыва к работе

Похожие работы

Шпаргалка: Лекции по Линейной алгебре

Шпаргалка по Математическому анализу и линейной алгебре