8 декабря 2019
В закладки
Обсудить
Жалоба
Шпаргалка по стереометрии
Краткие пояснения и алгоритмы по стереометрии.
В 8 и 14 заданиях проверяют знания стереометрии: умение разбираться с геометрическими фигурами, координатами и векторами.
Многие не решают это задание из-за того, что пугает его сложность. Но на самом деле это одно из простых заданий, на которых можно получить 14 баллов. Достаточно знать последовательность действий.
shpargalka_po_stereometrii.pdf
Источник: vk.com/hsege
Алгебра — ЕГЭ Тригонометрия — ЕГЭ Геометрия — ЕГЭ Стереометрия — ЕГЭ Алгебра — ОГЭ Геометрия — ОГЭ
Шпаргалка по стереометрии для ЕГЭ
Формулы по стереометрии для ЕГЭ
Советская шпора по стереометрии
Площадь поверхности, объем, радиусы вписанной и описанной сфер
Формулы для многогранников
Формулы для пирамиды
Формулы для тел вращения
Лучшие шпаргалки по математике. Качественно. Ничего лишнего.
Просто кликните по картинке. Подробно — в разделе «Решение задач ЕГЭ по математике».
Самое популярное. Тригонометрия и площади фигур
Тригонометрический круг
Синус, косинус, тангенс…
Формулы тригонометрии
Геометрия. Площади фигур
Геометрия на ЕГЭ по математике. Треугольники, четырехугольники, окружности.
Высоты, медианы, биссектрисы
Параллелограмм, ромб, квадрат и их свойства
Касательная к окружности
Центральные и вписанные углы
Стереометрия: формулы объема и площади поверхности.
Вписанные и описанные треугольники
Вписанные и описанные четырехугольники
Стереометрия: Формулы объема и площади поверхности.
Чертежи в задачах по стереометрии
Классическая стереометрия и метод координат
Основы стереометрии. Часть 1.
Основы стереометрии. Часть 2.
Стереометрия: Векторы и координаты.
Как расположить прямоугольную систему координат
Алгебра
Таблица производных.
Преобразования графиков функций. Задача С5.
Если вам нравятся наши материалы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Лучшие шпаргалки по математике. Качественно. Ничего лишнего.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
1.Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.
1 − 0,81 = 0,19.
2.Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.
3.Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
0,3·0,3 = 0,09. 1 − 0,09 = 0,91.
4.В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. 1 − 0,48 = 0,52.
5.При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Р(1) = 0,6. Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24.
Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096. Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;
Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.
Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.
6.Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
0,45 · 0,03 = 0,0135. 0,55 · 0,01 = 0,0055.
0,0135 + 0,0055 = 0,019.
7. В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе. Пусть один из близнецов находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников 12 : 25 = 0,48.
8.В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение.
Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО
P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;
P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;
P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;
P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.
9.Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение.
0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и 0,6·(1 − 0,2) = 0,48. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52.
10.Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Ответ 0,75
11. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).
0,7+(1-0,7) ·0,7=0,91
12.Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
0,6·0,8·(1 –(1-0,7)(1-0,5)) =0,48·(1-0,3·0,5)=0,408
13. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.
0,1·0,8=0,08, 1-0,08=0,92 0,9 : 0,92=0,98
14.Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
0,05·0,9+0,95·0,01 =0,0545
15. У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей.
Решение.
У Вити в копилке лежит 12 + 6 + 4 + 3 = 25 монет на сумму 12 + 12 + 20 + 30 = 74 рубля. Больше 70 рублей останется, если достать из копилки либо рублёвую, либо двухрублёвую монету. Искомая вероятность равна 18 : 25 = 0,72.
16.В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах. Всего 6 монет. Вероятность того, что Петя взял пятирублевую монету, затем десятирублевую, и затем еще одну десятирублевую (в указанном порядке) равна 2/6·4/5·3/4=0,2 Поскольку Петя мог достать пятирублевую монету не только первой, но и второй или третьей, вероятность достать набор из одной пятирублевой и двух десятирублевых монет в 3 раза больше. Тем самым, она равна 0,6.
17. За круглый стол на 101 стул в случайном порядке рассаживаются 99 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик.
Решение.
Пусть первой за стол сядет девочка, тогда для каждого из оставшихся ребят (в том числе и для второй девочки ) вероятность оказаться на любом из оставшихся стульев равна 0,01 . А мест, удовлетворяющих условию задачи, только два. Таким образом вероятность, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик равна 2·0,01 = 0,02
18. За круглый стол на 17 стульев в случайном порядке рассаживаются 15 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Решение.
Пусть первой за стол сядет девочка, тогда рядом с ней есть два места, на каждое из которых претендует 16 человека, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна 2·1/16 =1/8 =0,125
Не будут сидеть рядом 1-0,125=0,875
19. Про паука.
Формулы стереометрии. Общий обзор!
Формулы стереометрии. В этой статье общий обзор формул для решения задач по стереометрии. Нужно сказать, что задачи по стереометрии довольно разнообразны, но они несложны. Это задания на нахождение геометрических величин: длин, углов, площадей, объёмов.
Рассматриваются: куб, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, составной многогранник, цилиндр, конус, шар. Печалит тот факт, что некоторые выпускники на самом экзамене за такие задачи даже не берутся., хотя более 80% таких задач решаются элементарно, практически устно.
Остальные требуют небольших усилий, наличия знаний и специальных приёмов. В будущих статьях мы с вами будем рассматривать все эти задачи, не пропустите!
Для решения необходимо знать формулы площадей поверхности и объёмов параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса и шара. Ещё раз подчеркну, что сложных задач нет, все они решаются в 2-3 действия (максимум). Важно «увидеть» какую формулу необходимо применить, только и всего.
Все необходимые формулы представлены ниже:
Конечно, кроме указанных формул необходимо знать теорему Пифагора, определения тригонометрических функций, понятие средней линии треугольника и ещё немного теоретических фактов, о которых мы поговорим в следующей статье.
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Категория: Формулы Теория | ЕГЭ-№2Формулы
НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!
ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!
Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!
Замучили боль и скованность в мышцах спины?
*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.
Параллельность в пространстве
- Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
- Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.
- Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.
- Если прямая a, не лежащая в плоскости $α$, параллельна некоторой прямой $b$, которая лежит в плоскости $α$, то прямая a параллельна плоскости $α$.
- Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Перпендикулярность в пространстве
- Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90°$.
- Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
- Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны.
- Теорема о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
- Если из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонные, то:
- Перпендикуляр короче наклонных.
- Равные наклонные имеют равные проекции на плоскости.
- Большей наклонной соответствует большая проекция на плоскости.
Скрещивающиеся прямые
- Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
- Через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей.
- Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
- Угол между скрещивающимися прямыми – это острый угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.
Многогранники
Введем общие обозначения
$P_{осн}$ — периметр основания;
$S_{осн}$ — площадь основания;
$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;
$S_{п.п}$ — площадь полной поверхности;
$V$ — объем фигуры.
Название | Определение и свойства фигуры | Обозначения и формулы объема, площади |
Прямоугольный параллелепипед | 1. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые. 2. Противоположные грани попарно равны и параллельны. 3. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. 4. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты). $B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$ |
$V=a·b·c$, где $a, b$ и $с$ – длина, ширина и высота. $S_{бок}=P_{осн}·c=2(a+b)·c$ $S_{п.п}=2(ab+bc+ac)$. |
Куб | 1. Противоположные грани попарно параллельны. 2. Все двугранные углы куба – прямые. 3. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра. $B_1 D=АВ√3$ |
Пусть $а$ — длина ребра куба, $d$ — диагональ куба, тогда справедливы формулы: $V=a^3={d^3}/{3√3}$. $S_{п.п}=6а^2=2d^2$ $R={a√3}/{2}$, где $R$ — радиус сферы, описанной около куба. $r={a}/{2}$, где $r$ — радиус сферы, вписанной в куб. |
Призма |
Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.
|
$S_{бок}=P_{осн}·h$ $S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}$ $V=S_{осн}·h$ |
Пирамида |
|
Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды. $h_a$ — высота боковой грани (апофема) $S_{бок}={P_{осн}·h_a}/{2}$ $S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$ $V={1}/{3} S_{осн}·h$ |
Усеченная пирамида |
|
$V={h(F+f+√{Ff})}/{3}$ Где $F,f$ — площади оснований; $h$ — высота (расстояние между основаниями); Для правильной ус. пирамиды $S_{бок}={(P+p)·a}/{2}$, где $P$ и $p$ – периметры оснований; $а$ – апофема. |
Цилиндр |
|
$S_{бок.пов.}=2πR·h$ $S_{полной.пов.}=2πR(R+h)$ $V=πR^2·h$ |
Конус |
|
$S_{бок.пов.}=πR·l$ $S_{полной.пов.}=πR^2+πR·l=πR(R+l)$ $V={πR^2·h}/{3}$ |
Усеченный конус |
|
$S_{бок}=πl(R+r)$ $S_{п.п.}=π(R^2+r^2+l(R+r))$ $V={πH(R^2+r^2+Rr)}/{3}$ Где $R$ и $r$ – радиусы оснований; $Н$ — высота усеченного конуса. |
Сфера, шар |
|
$S_{п.п}=4π·R^2=π·d^2$, где $R$ — радиус сферы, $d$ — диаметр сферы $V={4π·R^3}/{3}={π·d^3}/{6}$, где $R$ — радиус шара, $d$ — диаметр шара. |
Тетраэдр
Радиус описанной сферы тетраэдра.
Вокруг тетраэдра можно описать сферу, радиус которой находим по формуле, где $R$ — радиус описанной сферы, $a$ — ребро тетраэдра.
$R={a√6}/{4}$
Радиус вписанной в тетраэдр сферы.
В тетраэдр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы находим по формуле, приведенной ниже.
Где $r$ — радиус вписанной в тетраэдр сферы,
$a$ — ребро тетраэдра.
$r={a√6}/{12}$
Составные многогранники
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
- Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
- Найти объем каждого параллелепипеда.
- Сложить объемы.
Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.
— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:
$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$
Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.
— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
Пример:
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.
$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$
$P_{осн}=8+6+6+2+2+4=28$
Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:
$S_1=6·6=36$
$S_2=2·4=8$
$S_осн=36+8=44$
Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника
$S_{полн.пов.}=28·12+2·44=336+88=424$
Ответ: $424$
— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.
В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$АС^2+ВС^2=АВ^2$
Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.
Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
$α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
$sinα$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ |
$cosα$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ |
$tgα$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ |
$ctgα$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ |
Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей
$АВ=a_n$ — сторона правильного многоугольника
$R$ — радиус описанной окружности
$r$ — радиус вписанной окружности
$n$ — количество сторон и углов
$a_n=2·R·sin{180°}/{n}$;
$r=R·cos{180°}/{n}$;
$a_n=2·r·tg{180°}/{n}$.
Формула нахождения градусной меры угла в правильном многоугольнике:
$α={(n-2)·180°}/{n}$
Формулы площадей треугольников и многоугольников, которые могут находиться в основании многогранников
В основании лежит треугольник
1. $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне а
2. $S={a·b·sinα}/{2}$, где $a, b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
3. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
4. $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
5. Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
В основании лежит четырехугольник
Прямоугольник
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
Ромб
$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба
$S=a^2·sinα$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
Трапеция
$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
Площади правильных многоугольников:
1. Для равностороннего треугольника $S={a^{2}√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
2. Квадрат
$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
3. Правильный шестиугольник
Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:
$S=6·S_{треугольника}={6·a^{2}√3}/{4}={3·a^{2}√3}/{2}$, где $а$ — сторона правильного шестиугольника.
Подборка по базе: Тестовые вопросы к Разделу 5. Стереометрия_ просмотр попытки.pdf, 2 сабақ_ Стереометрия_10 сынып_Түзу мен жазықтықтың перпендикуля, Геометрия 10 сынып Бөлім Стереометрия аксиомалары Тақырыбы Екі т, Геометрия 10 сынып Бөлім Стереометрия аксиомалары Тақырыбы Кеңіс, Тестовые вопросы к Разделу 5. Стереометрия.docx, Лекция 4 Стереометрия.doc
СТЕРЕОМЕТРИЯ
СЕЧЕНИЯ
Существуют специальные методы построения сечений многогранников. Наиболее эффективными в школьном курсе геометрии являются следующие три метода:
1) метод следов; 2) метод внутреннего проектирования; 3) комбинированный метод.
Рассмотрим каждый из них на примерах.
Метод следов
Прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.
Из определения следа получаем: в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая — в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.
Решение:
A
A
1
B
1
C
1
B
C
D
1)
2)
3)
D
1
A
A
1
B
1
C
1
B
C
D
D
1
A
A
1
B
1
C
1
B
C
D
D
1
A
A
1
B
1
C
1
B
C
D
D
1
Р
Р
Р
Р
Q
Q
Q
Q
R
R
R
R
T
U
S
1
S
1
S
1
S
2
S
2
Построить сечение призмы ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
плоскостью, проходящей через точки P, Q,
R (точки указаны на рисунке)
Пример №1
Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.
Рассмотрим грань АА
1
В
1
В. В этой грани лежат точки сечения P и Q.
Проведем прямую PQ.
Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой
АВ. Получим точку S
1
, принадлежащую следу.
Аналогично получаем точку S
2
пересечением прямых QR и BC.
Прямая S
1
S
2
— след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.
Прямая S
1
S
2
пересекает сторону AD в точке U, сторону CD — в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА
1
D
1
D. Аналогично получаем
TU и RT.
PQRTU – искомое сечение.
1)
2)
3)
Метод внутреннего проектирования
Метод вспомогательных сечений построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь ввиду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются “скученными”.
Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.
Постройте сечение параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
плоскостью а, заданной точками
P, Q, и R, если точка Р лежит на диагонали А
1
С
1
, точка Q- на ребре ВВ
1
и точка R- на ребре DD
1.
Пример №1
A
A
1
D
1
C
1
D
C
В
B
1
F
H
H
1
Q
P
E
M
R
4)
A
A
1
D
1
C
1
D
C
В
B
1
Q
P
R
A
A
1
D
1
C
1
D
C
В
B
1
H
H
1
Q
P
R
A
A
1
D
1
C
1
D
C
В
B
1
F
H
H
1
Q
P
R
1)
2)
A
A
1
D
1
C
1
D
C
В
B
1
F
H
H
1
Q
P
M
R
3)
Пусть H- точка пересечения диагоналей AC и BD. Соеденим R и RQ. Проведя прямую HH
1
параллельную ребру BB
1
(H
1
є RQ),
Через точку H
1
от Р пустим линию на СС
1
. Назовем ее F. Точка F — это точка пересечения секущей плоскости с ребром CC
1
. Точка прямая RF — это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани CC
1
D
1
D, прямая QF- это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани BCC
1
B
1
Так как плоскость ABB
1
параллельна плоскости CDD
1
, то секущая плоскость пересекает грань ABB
1
A
1
по прямой QM (М є A
1
B
1
) , параллельной прямой FR.
4) Далее, если E — точка пересечения прямых MP и A
1
D
1
, то эта точка является точкой пересечения секущей плоскости и ребра A
1
D
1
Пятиугольник ERFQM- искомое сечение.
Решение.
1)
2)
3)
Угол между прямыми
Угол между прямыми — это такой угол α, что 0 <= ⩽α <= ⩽90°.
Скрещивающиеся прямые – это прямые, через которые нельзя провести одну плоскость.
Признак скрещивающихся прямых: если первая прямая пересекает плоскость, в которой лежит вторая прямая, в точке, не лежащей на второй прямой, то такие прямые скрещиваются.
Алгоритм нахождения угла между прямыми:
1) Через одну из двух прямых провести плоскость, параллельную второй прямой (прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой из этой плоскости);
2) В этой плоскости построить (перенести) прямую b
1
, параллельную прямой b. По сути мы совершаем параллельный перенос;
3) Тогда угол между прямыми a и b будет равен углу между прямыми a и b
1 1)
2)
В пространстве существует 4 типа взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются, параллельны, скрещиваются.
Совпадают
Параллельны
Пересекаются
Скрещиваются b
a b
а b
a b
a a
b a
b a
b
1
b
Пересечение прямой и плоскости
Перпендикулярность прямой и плоскости
Проекция точки М на плоскость
Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну-единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости.
Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Проекцией точки М на плоскость α называется точка пересечения плоскости α и прямой, перпендикулярной к плоскости α и проходящей через точку М, если точка М не лежит в плоскости α.
α
а
α
b a
с
α
M
1
M
Проекция прямой на плоскость
Проекцией прямой на плоскость
α называют множество проекций всех точек прямой на плоскость
α.
α
А
М
М
1
Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Угол между прямой и плоскостью
α
β
А
М
М
1
Угол между плоскостями
Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными в этих плоскостях, к линии их пересечения.
Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой a, которая является их общей границей.
Алгоритм поиска угла между плоскостями:
1) В плоскости α проводим прямую а, перпендикулярную с, где с — прямая, образованная пересечением двух плоскостей.
2) В плоскости β проводим прямую b, также перпендикулярную с.
3) Угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми а и b. Находим его через синус, косинус, тангенс, с помощью теоремы косинусов или другими удобными для конкретного случая методами.
α
с а
b
φ
β
Если плоскость α проходит через перпендикуляр к плоскости β, то плоскости α и β перпендикулярны.
α
β m
m α m β α β
Теорема о трех перпендикулярах
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость.
b а
а а b проек ция b
Расстояние от точки до прямой и до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Расстояние от точки до плоскости
M
M’
p(M; α) = MM’
α
равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Расстояние от точки до прямой
M
M’
a p(M; a) = MM’
— это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой ко второй прямой.
Иногда логичнее опускать перпендикуляр не из точки A, а из какой-нибудь другой, более удобной точки на прямой a.
Расстояние между параллельными прямыми а
А
А’
b
B
B’
p(a; b) = AA’ = ВВ’
Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
— это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
Расстояние между скрещивающимися прямыми а
р(a; b) = MM’
b a
1
b
1
М
M’
α
от точки до плоскости α.
Так как через вторую прямую проводится плоскость α, параллельная первой прямой, то искомое расстояние по итогу равно расстоянию любой удобной на прямой а
M
M’
p(M; α) = MM’
α
Метод объемов
Дан куб с ребром, равным 1. Найдите расстояние между DC
1
и AC.
Пример.
А
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
А
B
C
D
A
1
B
1
M
C
1
D
1
Через прямую АС проведем плоскость, параллельную прямой DC
1
. Проведем прямую AВ
1
,
параллельную прямой DC
1
. Далее соединяем точки AB
1
C. Расстояние от прямой DC
1
до прямой AC будет равно расстоянию от точки D до плоскости AB
1
C.
Тогда выразим объем пирамиды B
1
ADС, так как ребро куба равно 1, получаем:
V = (S
ADC
⋅ BB
1
)/3 = (0,5 ⋅ 1)/3 = 1/6
Проведем от точки D до плоскости AB
1
C высоту h. В таком случае для поиска объема пирамиды
AB
1
CD через высоту h нам необходимо узнать еще и площадь треугольника AB
1
C. AB
1
C — правильный треугольник со стороной 2. Тогда площадь мы можем найти, как ( 2)2/2 ⋅ sin(60°) = 3/2.
Приравниваем объемы, умноженные на 3, получаем: 3/2 ⋅ h = 1/2 h = 1/ 3. Ответ: 1/ 3.
Решение.