Шпаргалки на экзамен по высшей математике

1.
Матрица

Это
прямоугольная таблица, состоящая из
m×n
элементов и содержащая m
строк и n
столбцов.

Числовая
матрица
– все элементы матрицы числа.

Квадратная
матрица
– m=n.

Операции
над матрицами

Сложение
– складываются все элементы, стоящие
на одинаковых местах (только у
равноразмерных).

Произведение
– каждый элемент матрицы умножается
на число (с).

2
Транспонирование

Транспонированная
матрица – это матрица, полученная из
матрицы А заменой строк столбцами.

Умножение
матриц

Вводится
только для согласованных матриц (число
столбцов м-цы А должно совпадать со
строками м-цы В).

При
умножении матриц появляется новая
матрица, элементы которой вычисляются
по формуле: c₁₁=a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁+…(1
элемент 1 строки умножаем на 1 э-т 1
столбца + 2 э-т 1 с-ки на 2 э-т 2 с-ца, и т.д.)

3.
Определители
2 и 3 порядков

Определители
вводятся только для квадратных матриц.
Определителем (Δ) или детерминалом
матрицы А называется число det
A.

Для
2-го порядка Δ вычисляется по формуле:
a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁
(крест накрест).

Для
3-го порядка по правилу треугольников.

Свойства:
1)
Δ
единичной матрицы =1. 2) Δ треугольной
матрицы = произведению элементов,
стоящих на главной диагонали. 3)
det(A*B)=detA*detB.
4) если строка или столбец = 0, то Δ=0.

4.Определитель
n-го порядка

Определитель
n-го
порядка находится либо разложением по
элементам строки (столбца), либо
приведением определителя к треугольному
виду.

Миноры
и алгебраические дополнения

Минор
матрицы А соответствующей элементу
A_ij
– это Δ
(n-1)
порядка, получаемый путём вычёркивания
i-ой
строки или j-го
столбца. A_ij=(-1)­^i+jM_ij
называется алгебраическим дополнением
к элементу a_ij.

Разложение
определителя

Δ
раскладывается по элементам i-ой
строки или j-го
столбца по формуле:
Δ = a_i1A_i1+
a_i2A_i2+…+
a_inA_in

5.
Обратная
матрица. Теорема о существовании
обратной матрицы

Обратная
матрица существует только для квадратных
матриц.

Если
обратная матрица существует, то она
единственна.

Матрица
А^-1
обратная
А,
если выполняется условие: А^-1А=А
А^-1=Е
(единичная матрица).

Для
того чтобы матрица А была обратной,
необходимо чтобы она была невырожденной
(Δ не должен =0).

Матрица,
состоящая из алгебр. дополнений,
полученная путём транспонирования
называется союзной
(А^с).

Вычисление
обратной матрицы: 1) Находим Δ0,
2) Вычислем алгебр. доп., 3) Строим А^с
и
вычисляем:

А^-1=*
А^с
, 4) Делаем проверку А^-1А=Е

6.
Ранг
матрицы

Ранг
матрицы
– это максимальный порядок минора,
отличный от нуля. Способы вычисления:
1)Если существует минор M_k0
(k
— какой-то порядок минора) и все M_k+1=0,
то ранг М=k.
2) Метод элементарных преобразований
(матрицу приводят к треугольной и
трапециевидной форме).

Элементарные
преобразования

1)
сложение 2-х любых строк матрицы. 2)
Умножение элементов строки на число.

Теорема
о базисном миноре

Базисный
минор – это минор, не равный 0, порядок
которого равен рангу матрицы.

7.
СЛАУ
(система линейных алгебраических
уравнений)

Если
эта система имеет хотя бы одно решение,
то она называется совместной, в противном
случае несовместной. (b₁,
b_2,
b₃)
– столбец свободных членов. (x₁,
x_2,
x₃)
– решение системы, если при подстановке
их в систему получаются верные равенства.

Решение
систем по формулам Крамера

Сначала
находим Δ
и убеждаемся, что он не равен 0. Затем
по формулам Крамера находим определители
уже как бы новых матриц с заменой
определённого столбца на столбец
свободных членов. Находим переменные
(x,
y,
z)
по формулам Δx
Δ
и
т.д. Делаем проверку.

8.
СЛАУ
(система линейных алгебраических
уравнений)

Если
эта система имеет хотя бы одно решение,
то она называется совместной, в противном
случае несовместной. (b₁,
b_2,
b₃)
– столбец свободных членов. (x₁,
x_2,
x₃)
– решение системы, если при подстановке
их в систему получаются верные равенства.

Матричный
метод

Сначала
находим Δ
и убеждаемся, что он не равен 0. Находим
союзную матрицу, а затем обратную по
формуле А^-1=*
А^с.
Затем находим переменные (x,
y,
z)
и делаем проверку.

9.
Решение
произвольных СЛАУ

Берём
обычную систему уравнений, где А –
матрица системы, а добавление к матрице
А столбец свободных членов даёт нам
расширенную матрицу
.

Теорема
Кренекера-Капелли

Для
того, чтобы система уравнений была
совместна, необходимо чтобы ранг А =
рангу
.

Если:
1) r_A==n,
то система имеет единственное решение.
n
– последний член элемента (a_1n)

2)
r_A=,
то система имеет бесконечное кол-во
решений.

10.
Векторы
в пространстве

Вектор
– это направленный отрезок.

– свободный;

– имеющий точку приложения. Длина
вектора – модуль.

Линейные
операции над векторами

1)
сложение (по правилу треугольника и
параллелограмма). Суммой 2 векторов

и

явл.
,
начало которого совпадает с началом 1
вектора (),
а конец — с концом 2 вектора.

2)
вычитание (.
Разностью

и

явл.
,
конец которого совпадает с концом
,
а начало — с концом
.

3)
умножение на число (Условия: 1) существует
;
2)

и

направлены одинаково если с0.

11.
Координаты
вектора в пространстве.

3
вектора ()
образую
базис в пространстве если они взаимно
⊥
и имеют единичную длину.
=a_x+a_y+a_z

=
(x₂—x₁,
y₂—y₁,
z₂—z₁).

=
– длина
вектора

Направляющие
косинусы вектора

a_x
= Пр_Ox
=
*cosα; a_y
= Пр_Oy
=

cosβ;
a_z
= Пр_Oz
=

cosγ;
cosα=

Проекции
вектора на ось

образованный
с помощью осей Ox,
Oy,
Oz,
образует углы
α,
β, γ.

12.
Скалярное
произведение 2 векторов

Это
число, равное произведению длин этих
векторов на cos
угла между ними.
*
=
*cosφ

Свойство:
1)
*
=
*

2)
(*)
=
**)

3)
Скалярное произведение на число =
произведение числа на один из векторов
и * на 2 вектор.

4)
*=0,
если
вектора

и

явл. Ортогональными (
⊥
).

13.
Векторное
произведение 2 векторов

Векторным
произведением 2 векторов

и

явл.
,
который удовлетворяет условиям: 1)

⊥
,
;

2)
,
,

– правая тройка векторов. 3)

=
*sinφ
(модуль произв. 2 векторов – площадь
параллелограмма)

Свойство:

1)
=
—

2)

=
+

3)
=
0 если


//

14.
Смешанное
произведение 3 векторов

Это
число = скалярному произведению 3-го
вектора на векторное произведение 2-х
первых векторов.

**
= ()

—
объём параллелепипеда.

Свойство:

1)
От перемены мест множителей произведение
не меняется.

=

=

2)
Если умножить на число, то оно умножается
с одним из членов произведения.

3)
(α-
β)(
= α(+
β (

15.
Базис
в пространстве

Компланарные
векторы лежат в одной плоскости.

3
любых некомпланарных вектора образуют
базис в пространстве.

Разложение
вектора по базису

Любой
вектор можно разложить по базису таким
способом: допустим B
(,)
– базис, а (α,
β, γ)
координаты определённого вектора,
например
.
Тогда разложение

по базису имеет вид:
=
α+
β+
γ

16.
Прямая
на плоскости

Вектором
нормали
называется вектор перпендикулярный
плоскости. Пусть вектор

= (𝐴,
𝐵)
является вектором нормали к прямой 𝑙.
Произвольная точка плоскости 𝑀(𝑥,
𝑦)
принадлежит прямой 𝑙
тогда и только тогда, когда

⊥
,
т.е. скалярное произведение этих векторов
*
=
0

Её
уравнения

1)
Уравнение прямой, проходящей через
заданную точку и имеющей заданный
вектор нормали 𝐴(𝑥–𝑥₀)+𝐵(𝑦−𝑦₀)=0

2)
Общее уравнение прямой: 𝐴𝑥
+ 𝐵𝑦
+ 𝐶
= 0

17.
Различные
уравнения плоскости

а)
Общее уравнение плоскости: Ax
+ By + Cz + D = 0

б)
Уравнение проходящее через точку
M₀(x₀,y₀,z₀)
и ⊥
вектору нормали
(A,B,C):
A(x—x₀)
+ B(y—y₀)
+C(z—z₀)=0

в)
Уравнение плоскости, проходящей через
3 заданные точки.

г)
Уравнение плоскости в отрезках:

18.
Угол
между плоскостями

Допустим,
мы имеем 2 уравнения плоскости (α: A₁x
+ B₁y
+ C₁z
+ D₁
= 0
и β: A₂x
+ B₂y
+ C₂z
+ D₂
= 0)
и нам нужно вычислить угол между 2
плоскостями – двугранный
угол.
Он вычисляется по формуле: cos=
(отношение произведения
₁*₂
к произведению модулей векторов
нормали).

Взаимное
расположение плоскостей

Две
плоскости в пространстве либо
параллельны, либо пересекаются.

α₁//α₂
– коллинеарные ⇒
==
– условие
параллельности.

α₁⊥α₂
⇒
⊥
⇒
*=0.
=0
– условие
⊥.

19.
Прямая
в пространстве.
Различные
уравнения прямой в пространстве

1)
Параметрическое уравнение: x=x₀+mt,
y=y₀+nt,
z=z₀+pt

(m,n,p)
– направляющий вектор прямой (l),
который параллелен этой прямой. M₀(x₀,
y₀,
z₀)
∈l.

2)
Каноническое уравнение:

=

=

3)
Уравнение прямой проходящей через 2
точки:

=

=

4)
Общее уравнение прямой в пространстве:

20.
Угол
между прямыми и их взаимное расположение

Допустим,
мы имеем 2 (канонических) уравнения
прямых, а также их направляющие векторы
₁
и
₂.
Тогда угол между 2 прямыми

можно найти по формуле: cos=

Условие
//-ти:
₁
//₂
⇒

==

Условие
⊥—ти:

Расстояние
от точки до прямой в пространстве

У
нас есть уравнение прямой

=

=
,
её направляющий вектор

(m,n,p)
и точка не принадлежащая этой прямой
M(x₁,y₁,z₁).
Расстояние от точки до прямой определяется
по формуле:

21.
Угол
между прямой и плоскостью.

Допустим,
у нас есть каноническое уравнение
прямой

=

=

и уравнение плоскости Ax
+ By
+ Cz
+ D
= 0.
Тогда угол между прямой и плоскостью
можно найти по формуле: Sin
=

22.
Взаимное
расположение прямой и плоскости

Условие
//-ти:
Am+Bn+Cp
= 0

Условие
⊥—ти:

Плоскости
могут совпадать, быть параллельными
или пересекаться по прямой.

23.
Эллипс

Эллипс
– это геометрическое место точек
плоскости, расстоянием от которых до
2 заданных точек называется фокусами
есть величина постоянная.

Вывод
канонического уравнения

+

= 1

Геометрические
свойства

1)
Эллипс является кривой 2-го порядка.

2)
Является ограниченной фигурой.

3)
Является симметричной фигурой, оси
симметрии Ox,
Oy.

4)
a – большая ось; b
– малая ось; Вершины: А₁(а,0);
А₂(-а,0);
В₁(0,
b);
В₂(0,
—b);

5)

=

– эксцентриситет эллипса; 0
1.

6)
Прямые
x
=

– директриса эллипса. При

=1 ⇒
а=с; а=b
– уравнение окружности.
+=

24.
Гипербола

Гипербола
– геометрическое место точек на
плоскости, модуль разности расстояний
для 2 заданных точек называется фокусами
есть величина постоянная.

Вывод
канонического уравнения

—

= 1

Геометрические
свойства

1)
Является кривой 2-го порядка.

2)
Является неограниченной кривой.

3)
Является симметричной фигурой.

4)
Пересекает Ox
в 2 точках, не пересекает ось Oy.
a – действительная полуось; b
– мнимая полуось;

5)

=

– эксцентриситет эллипса;

1.

6)
x
=

– директриса.
1

7)
y
=
x
– асимптоты

25.
Парабола

Парабола
– геометрическое место точек плоскости,
расстояние каждой из которых до заданной
точки называется фокусом и до определённой
прямой L,
называемой директрисой. (F∉L)

Вывод
канонического уравнения

p-
(параметр) расстояние от F
до L.
F(;0)
– фокус параболы. x=.
Уравнение: y²=2px

Геометрические
свойства

1)
Является кривой 2-го порядка.

2)
Симметричная фигура, ось симметрии –
Ox.

3)
Неограниченная фигура

4)

= 1
– эксцентриситет

26.
Числовая
последовательность

Если
каждому натуральному числу из множества
N
поставлено в соответствие некоторое
число или величина, то множество
последних образует последовательность.
xⁿ
– числовая последовательность.

Предел

Число
a
называется пределом числовой
последовательности, если для любого
положительного числа существует
N-число,
такое, что для всех номеров N
последующий больше, чем это число по
модулю.

Теорема
о сходимости

Если
xⁿ
имеет
предел, то он единственный. xⁿ
наз.
ограниченной, если существует n
и все члены удовлетворяют
M,
nN

27.
Предел
функции

Если
к каждому числу из множества x
поставлено в соответствие одно число
и множество y,
то на множестве x
задана функция y=f(x)

Число
b
называется пределом функции f(x)
при x→a,
если для любого положительного

существует положительная дельта,
зависящая от

Теорема
о существовании предела функции

Для
того, чтобы f(x)
имела предел в точке a,
необходимо чтобы левый и правый пределы
были равны.

28.
Односторонние
пределы функции

Левый
и правый пределы называют односторонними
пределами.

1)
Число b
называется правым пределом функции
при x→a
справа если для всех
0
существует дельта от
,
такой что 0следовательно
модуль f(x)-b
,
следовательно x

2)
Число b
называется левым пределом функции при
x→a
слева если для всех
0
существует дельта от
,
такой что —b
следовательно модуль f(x)-b
,
следовательно x

Теорема
о существовании предела функции

Для
того, чтобы f(x)
имела предел в точке a,
необходимо чтобы левый и правый пределы
были равны.

29.
Бесконечно-малые
и их свойства.

Бесконечно
малая функция
– это функция, предел которой в
данной точке равен нулю. Функция
α(x)
– бесконечно-малая при x→a,
если lim
α(x)
= 0.

При
x→a
lim

=
предел не существует.

Основные
свойства

1°  
Сумма конечного числа б.м функций
является функцией б.м.

3°  
Произведение двух б.м функций есть
функция б.м.

4°  
Произведение б.м функции на константу
является б.м функцией.

5°  
Частное от деления б.м функции на
функцию, предел которой
не равен нулю, есть функция б.м.

6°  
Функция ,
обратная
к б.м функции α(x)

0,
есть функция бесконечно большая. Верно
и обратное.

30.
Бесконечно-большие
функции.

Бесконечно
большая функция
– это функция, предел которой
стремится к
.

Теорема
о связи бесконечно-большой и
бесконечно-малой функции

Теорема.
Функция обратная бесконечно малой,
является бесконечно большой и наоборот.
Доказательство: Пусть предел функции
равен 0, а сама функция не = 0, при x→a,
т.е. задаём бесконечно-малую функцию
.
Тогда для любого числа  существует
такое число дельта
,
что для всех x,
удовлетворяющих неравенству
 ,
выполняется неравенство ,
т.е.
 .
А из этого следует, что функция  —
бесконечно большая.

1.
Матрица

Это
прямоугольная таблица, состоящая из
m×n
элементов и содержащая m
строк и n
столбцов.

Числовая
матрица
– все элементы матрицы числа.

Квадратная
матрица
– m=n.

Операции
над матрицами

Сложение
– складываются все элементы, стоящие
на одинаковых местах (только у
равноразмерных).

Произведение
– каждый элемент матрицы умножается
на число (с).

2
Транспонирование

Транспонированная
матрица – это матрица, полученная из
матрицы А заменой строк столбцами.

Умножение
матриц

Вводится
только для согласованных матриц (число
столбцов м-цы А должно совпадать со
строками м-цы В).

При
умножении матриц появляется новая
матрица, элементы которой вычисляются
по формуле: c₁₁=a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁+…(1
элемент 1 строки умножаем на 1 э-т 1
столбца + 2 э-т 1 с-ки на 2 э-т 2 с-ца, и т.д.)

3.
Определители
2 и 3 порядков

Определители
вводятся только для квадратных матриц.
Определителем (Δ) или детерминалом
матрицы А называется число det
A.

Для
2-го порядка Δ вычисляется по формуле:
a₁₁a₂₂—a₁₂a₂₁
(крест накрест).

Для
3-го порядка по правилу треугольников.

Свойства:
1)
Δ
единичной матрицы =1. 2) Δ треугольной
матрицы = произведению элементов,
стоящих на главной диагонали. 3)
det(A*B)=detA*detB.
4) если строка или столбец = 0, то Δ=0.

4.Определитель
n-го порядка

Определитель
n-го
порядка находится либо разложением по
элементам строки (столбца), либо
приведением определителя к треугольному
виду.

Миноры
и алгебраические дополнения

Минор
матрицы А соответствующей элементу
A_ij
– это Δ
(n-1)
порядка, получаемый путём вычёркивания
i-ой
строки или j-го
столбца. A_ij=(-1)­^i+jM_ij
называется алгебраическим дополнением
к элементу a_ij.

Разложение
определителя

Δ
раскладывается по элементам i-ой
строки или j-го
столбца по формуле:
Δ = a_i1A_i1+
a_i2A_i2+…+
a_inA_in

5.
Обратная
матрица. Теорема о существовании
обратной матрицы

Обратная
матрица существует только для квадратных
матриц.

Если
обратная матрица существует, то она
единственна.

Матрица
А^-1
обратная
А,
если выполняется условие: А^-1А=А
А^-1=Е
(единичная матрица).

Для
того чтобы матрица А была обратной,
необходимо чтобы она была невырожденной
(Δ не должен =0).

Матрица,
состоящая из алгебр. дополнений,
полученная путём транспонирования
называется союзной
(А^с).

Вычисление
обратной матрицы: 1) Находим Δ0,
2) Вычислем алгебр. доп., 3) Строим А^с
и
вычисляем:

А^-1=*
А^с
, 4) Делаем проверку А^-1А=Е

6.
Ранг
матрицы

Ранг
матрицы
– это максимальный порядок минора,
отличный от нуля. Способы вычисления:
1)Если существует минор M_k0
(k
— какой-то порядок минора) и все M_k+1=0,
то ранг М=k.
2) Метод элементарных преобразований
(матрицу приводят к треугольной и
трапециевидной форме).

Элементарные
преобразования

1)
сложение 2-х любых строк матрицы. 2)
Умножение элементов строки на число.

Теорема
о базисном миноре

Базисный
минор – это минор, не равный 0, порядок
которого равен рангу матрицы.

7.
СЛАУ
(система линейных алгебраических
уравнений)

Если
эта система имеет хотя бы одно решение,
то она называется совместной, в противном
случае несовместной. (b₁,
b_2,
b₃)
– столбец свободных членов. (x₁,
x_2,
x₃)
– решение системы, если при подстановке
их в систему получаются верные равенства.

Решение
систем по формулам Крамера

Сначала
находим Δ
и убеждаемся, что он не равен 0. Затем
по формулам Крамера находим определители
уже как бы новых матриц с заменой
определённого столбца на столбец
свободных членов. Находим переменные
(x,
y,
z)
по формулам Δx
Δ
и
т.д. Делаем проверку.

8.
СЛАУ
(система линейных алгебраических
уравнений)

Если
эта система имеет хотя бы одно решение,
то она называется совместной, в противном
случае несовместной. (b₁,
b_2,
b₃)
– столбец свободных членов. (x₁,
x_2,
x₃)
– решение системы, если при подстановке
их в систему получаются верные равенства.

Матричный
метод

Сначала
находим Δ
и убеждаемся, что он не равен 0. Находим
союзную матрицу, а затем обратную по
формуле А^-1=*
А^с.
Затем находим переменные (x,
y,
z)
и делаем проверку.

9.
Решение
произвольных СЛАУ

Берём
обычную систему уравнений, где А –
матрица системы, а добавление к матрице
А столбец свободных членов даёт нам
расширенную матрицу
.

Теорема
Кренекера-Капелли

Для
того, чтобы система уравнений была
совместна, необходимо чтобы ранг А =
рангу
.

Если:
1) r_A==n,
то система имеет единственное решение.
n
– последний член элемента (a_1n)

2)
r_A=,
то система имеет бесконечное кол-во
решений.

10.
Векторы
в пространстве

Вектор
– это направленный отрезок.


– свободный;

– имеющий точку приложения. Длина
вектора – модуль.

Линейные
операции над векторами

1)
сложение (по правилу треугольника и
параллелограмма). Суммой 2 векторов

и

явл.
,
начало которого совпадает с началом 1
вектора (),
а конец — с концом 2 вектора.

2)
вычитание (.
Разностью

и

явл.
,
конец которого совпадает с концом
,
а начало — с концом
.

3)
умножение на число (Условия: 1) существует

;
2)


и


направлены одинаково если с0.

11.
Координаты
вектора в пространстве.

3
вектора ()
образую
базис в пространстве если они взаимно
⊥
и имеют единичную длину.
=a_x+a_y+a_z

=
(x₂—x₁,
y₂—y₁,
z₂—z₁).

=
– длина
вектора

Направляющие
косинусы вектора

a_x
= Пр_Ox
=
*cosα; a_y
= Пр_Oy
=

cosβ;
a_z
= Пр_Oz
=

cosγ;
cosα=

Проекции
вектора на ось

образованный
с помощью осей Ox,
Oy,
Oz,
образует углы
α,
β, γ.

12.
Скалярное
произведение 2 векторов

Это
число, равное произведению длин этих
векторов на cos
угла между ними.
*
=
*cosφ

Свойство:
1)
*
=
*

2)
(*)
=
**)

3)
Скалярное произведение на число =
произведение числа на один из векторов
и * на 2 вектор.

4)

*=0,
если
вектора

и

явл. Ортогональными (
⊥

).

13.
Векторное
произведение 2 векторов

Векторным
произведением 2 векторов

и

явл.
,
который удовлетворяет условиям: 1)


⊥

,

;

2)

,

,


– правая тройка векторов. 3)

=
*sinφ
(модуль произв. 2 векторов – площадь
параллелограмма)

Свойство:

1)

=
—

2)


=
+

3)

=
0 если



//

14.
Смешанное
произведение 3 векторов

Это
число = скалярному произведению 3-го
вектора на векторное произведение 2-х
первых векторов.

**
= ()

—
объём параллелепипеда.

Свойство:

1)
От перемены мест множителей произведение
не меняется.

=

=

2)
Если умножить на число, то оно умножается
с одним из членов произведения.

3)
(α-
β)(
= α(+
β (

15.
Базис
в пространстве

Компланарные
векторы лежат в одной плоскости.

3
любых некомпланарных вектора образуют
базис в пространстве.

Разложение
вектора по базису

Любой
вектор можно разложить по базису таким
способом: допустим B
(,)
– базис, а (α,
β, γ)
координаты определённого вектора,
например
.
Тогда разложение

по базису имеет вид:
=
α+
β+
γ

16.
Прямая
на плоскости

Вектором
нормали
называется вектор перпендикулярный
плоскости. Пусть вектор

= (????,
????)
является вектором нормали к прямой ????.
Произвольная точка плоскости ????(????,
????)
принадлежит прямой ????
тогда и только тогда, когда

⊥

,
т.е. скалярное произведение этих векторов

*

=
0

Её
уравнения

1)
Уравнение прямой, проходящей через
заданную точку и имеющей заданный
вектор нормали ????(????–????₀)+????(????−????₀)=0

2)
Общее уравнение прямой: ????????
+ ????????
+ ????
= 0

17.
Различные
уравнения плоскости

а)
Общее уравнение плоскости: Ax
+ By + Cz + D = 0

б)
Уравнение проходящее через точку
M₀(x₀,y₀,z₀)
и ⊥
вектору нормали
(A,B,C):
A(x—x₀)
+ B(y—y₀)
+C(z—z₀)=0

в)
Уравнение плоскости, проходящей через
3 заданные точки.

г)
Уравнение плоскости в отрезках:

18.
Угол
между плоскостями

Допустим,
мы имеем 2 уравнения плоскости (α: A₁x
+ B₁y
+ C₁z
+ D₁
= 0
и β: A₂x
+ B₂y
+ C₂z
+ D₂
= 0)
и нам нужно вычислить угол между 2
плоскостями – двугранный
угол.
Он вычисляется по формуле: cos=
(отношение произведения
₁*₂
к произведению модулей векторов
нормали).

Взаимное
расположение плоскостей

Две
плоскости в пространстве либо
параллельны, либо пересекаются.

α₁//α₂
– коллинеарные ⇒

==
– условие
параллельности.

α₁⊥α₂
⇒

⊥
⇒

*=0.

=0
– условие
⊥.

19.
Прямая
в пространстве.
Различные
уравнения прямой в пространстве

1)
Параметрическое уравнение: x=x₀+mt,
y=y₀+nt,
z=z₀+pt

(m,n,p)
– направляющий вектор прямой (l),
который параллелен этой прямой. M₀(x₀,
y₀,
z₀)
∈l.

2)
Каноническое уравнение:

=

=

3)
Уравнение прямой проходящей через 2
точки:

=

=

4)
Общее уравнение прямой в пространстве:

20.
Угол
между прямыми и их взаимное расположение

Допустим,
мы имеем 2 (канонических) уравнения
прямых, а также их направляющие векторы

₁
и
₂.
Тогда угол между 2 прямыми

можно найти по формуле: cos=

Условие
//-ти:

₁
//₂
⇒

==

Условие
⊥—ти:

Расстояние
от точки до прямой в пространстве

У
нас есть уравнение прямой

=

=
,
её направляющий вектор

(m,n,p)
и точка не принадлежащая этой прямой
M(x₁,y₁,z₁).
Расстояние от точки до прямой определяется
по формуле:

21.
Угол
между прямой и плоскостью.

Допустим,
у нас есть каноническое уравнение
прямой

=

=

и уравнение плоскости Ax
+ By
+ Cz
+ D
= 0.
Тогда угол между прямой и плоскостью
можно найти по формуле: Sin
=

22.
Взаимное
расположение прямой и плоскости

Условие
//-ти:
Am+Bn+Cp
= 0

Условие
⊥—ти:

Плоскости
могут совпадать, быть параллельными
или пересекаться по прямой.

23.
Эллипс

Эллипс
– это геометрическое место точек
плоскости, расстоянием от которых до
2 заданных точек называется фокусами
есть величина постоянная.

Вывод
канонического уравнения

+


= 1

Геометрические
свойства

1)
Эллипс является кривой 2-го порядка.

2)
Является ограниченной фигурой.

3)
Является симметричной фигурой, оси
симметрии Ox,
Oy.

4)
a – большая ось; b
– малая ось; Вершины: А₁(а,0);
А₂(-а,0);
В₁(0,
b);
В₂(0,
—b);

5)


=

– эксцентриситет эллипса; 0
1.

6)
Прямые
x
=

– директриса эллипса. При

=1 ⇒
а=с; а=b
– уравнение окружности.
+=

24.
Гипербола

Гипербола
– геометрическое место точек на
плоскости, модуль разности расстояний
для 2 заданных точек называется фокусами
есть величина постоянная.

Вывод
канонического уравнения

—


= 1

Геометрические
свойства

1)
Является кривой 2-го порядка.

2)
Является неограниченной кривой.

3)
Является симметричной фигурой.

4)
Пересекает Ox
в 2 точках, не пересекает ось Oy.
a – действительная полуось; b
– мнимая полуось;

5)


=

– эксцентриситет эллипса;


1.

6)
x
=

– директриса.
1

7)
y
=
x
– асимптоты

25.
Парабола

Парабола
– геометрическое место точек плоскости,
расстояние каждой из которых до заданной
точки называется фокусом и до определённой
прямой L,
называемой директрисой. (F∉L)

Вывод
канонического уравнения

p—
(параметр) расстояние от F
до L.
F(;0)
– фокус параболы. x=.
Уравнение: y²=2px

Геометрические
свойства

1)
Является кривой 2-го порядка.

2)
Симметричная фигура, ось симметрии –
Ox.

3)
Неограниченная фигура

4)


= 1
– эксцентриситет

26.
Числовая
последовательность

Если
каждому натуральному числу из множества
N
поставлено в соответствие некоторое
число или величина, то множество
последних образует последовательность.
xⁿ
– числовая последовательность.

Предел

Число
a
называется пределом числовой
последовательности, если для любого
положительного числа существует
N-число,
такое, что для всех номеров N
последующий больше, чем это число по
модулю.

Теорема
о сходимости

Если
xⁿ
имеет
предел, то он единственный. xⁿ
наз.
ограниченной, если существует n
и все члены удовлетворяют
M,
nN

27.
Предел
функции

Если
к каждому числу из множества x
поставлено в соответствие одно число
и множество y,
то на множестве x
задана функция y=f(x)

Число
b
называется пределом функции f(x)
при x→a,
если для любого положительного

существует положительная дельта,
зависящая от

Теорема
о существовании предела функции

Для
того, чтобы f(x)
имела предел в точке a,
необходимо чтобы левый и правый пределы
были равны.

28.
Односторонние
пределы функции

Левый
и правый пределы называют односторонними
пределами.

1)
Число b
называется правым пределом функции
при x→a
справа если для всех
0
существует дельта от
,
такой что 0следовательно
модуль f(x)-b

,
следовательно x

2)
Число b
называется левым пределом функции при
x→a
слева если для всех
0
существует дельта от
,
такой что —b
следовательно модуль f(x)-b

,
следовательно x

Теорема
о существовании предела функции

Для
того, чтобы f(x)
имела предел в точке a,
необходимо чтобы левый и правый пределы
были равны.

29.
Бесконечно-малые
и их свойства.

Бесконечно
малая функция
– это функция, предел которой в
данной точке равен нулю. Функция
α(x)
– бесконечно-малая при x→a,
если lim
α(x)
= 0.

При
x→a
lim


=
предел не существует.

Основные
свойства

1°  
Сумма конечного числа б.м функций
является функцией б.м.

3°  
Произведение двух б.м функций есть
функция б.м.

4°  
Произведение б.м функции на константу
является б.м функцией.

5°  
Частное от деления б.м функции на
функцию, предел которой
не равен нулю, есть функция б.м.

6°  
Функция ,
обратная
к б.м функции α(x)


0,
есть функция бесконечно большая. Верно
и обратное.

30.
Бесконечно-большие
функции.

Бесконечно
большая функция
– это функция, предел которой
стремится к
.

Теорема
о связи бесконечно-большой и
бесконечно-малой функции

Теорема.
Функция обратная бесконечно малой,
является бесконечно большой и наоборот.
Доказательство: Пусть предел функции
равен 0, а сама функция не = 0, при x→a,
т.е. задаём бесконечно-малую функцию

.
Тогда для любого числа  существует
такое число дельта
,
что для всех x,
удовлетворяющих неравенству
 ,
выполняется неравенство ,
т.е.
 .
А из этого следует, что функция  —
бесконечно большая.

31.
Бесконечно-малые
функции.

Бесконечно
малая функция
– это функция, предел которой в
данной точке равен нулю.

Функция
α(x)
– бесконечно-малая при x→a,
если lim
α(x)
= 0.

Терема
об отношении 2 бесконечно-малых функций

Предел
отношения 2 бесконечно-малых функций
= пределу отношения 2 других бесконечно-малых
функций, соотв. им пропорционально.

α₁(x)


α₂(x)
и β
₁(x)


β
₂(x)

=

32.
Замечательные
пределы.

1)

=1
2)

Раскрытие
неопределённостей

,


можно раскрыть используя правило
Лапиталя; разделяя каждый элемент на
x
в большей степени.

)
можно раскрыть используя 2 замечательный
предел.

(
сначала при помощи различных преобразований
приводим к
,

,
и раскрываем.

33.
Непрерывность
функции в точке

Функция называется
непрерывной
в точке, если: функция определена
в точке и ее окрестности; существует
конечный предел функции в точке;
этот предел равен значению функции
в точке.

Свойства
непрерывных функций

Точка,
в которой функция не является непрерывной,
называется точкой разрыва.

Если функция непрерывна
и справа и слева, то она непрерывна в
этой точке. 

Если
функция y=f(x)
находится на отрезке

непрерывна в точке a
справа.

Если
функция y=f(x)
находится на отрезке

непрерывна в точке a
слева.

34.
Непрерывность фун. на интервале

Функция называется
непрерывной в интервале, если она
непрерывна в каждой точке этого интервала.

Основные
теоремы непрерывных функций

1)
Пусть заданы две функции f(x) и g(x) ,
непрерывные на некотором множестве X.
Сумма, произведение и частное (при
условии, что g(x) )
является также непрерывной функцией
на рассматриваемом множестве.

2)
Каждая элементарная функция, заданная
в окрестности некоторой точки, непрерывна
в этой точке.

3)
Пусть функция z=(x)
непрерывна
в точке x₀,
а функция y=f(x)
непрерывна в точке z₀,
где z₀=(x₀),
тогда сложная функция y=f((x))
является непрерывной в точке x₀.

35.
Производная
функции

Это
предел отношения приращения функции
к приращению аргумента, когда приращение
аргумента стремится к нулю. Если функция
имеет производную в точке x₀,
то в этой точке она непрерывна. Производная
в точке 0 не существует.

Геометрический
и механический смысл производной

1)
Геометрический смысл: производная
представляет собой угловой коэффициент
касательной к графику функции y=f(x) в
точке x₀.

2)
Механический смысл: скорость – это
производная координаты по времени:

36.
Основные
правила дифференцирования

1)
Пусть u(x)
и v(x)
– дифференциальные функции в точке x,
тогда их произведение и частное также
дифференцируемы в точке x.

2)
Пусть сложная функция y=f(z),
где z=(x)
дифф-мы в точке z,
тогда y=f((x))
дифф-ма в точке x.

3)
Постоянный
множитель c можно выносить за знак
производной.

4)
Производная от суммы (разности) функции
= сумме (разности) производных.

37.
Производная
сложной и обратной функции

1)
Пусть сложная функция y=f(z),
где z=(x)
дифф-мы в точке z,
тогда y=f((x))
дифф-ма в точке x.
Производную сложной функции можно
найти по формуле: y‘=y‘_z*z‘_x.

2)
Если функции y=f(x)
и x=g(y)
— пара взаимно обратных функций, и
функция y=f(x) имеет производную f'(x),
то производная обратной функции
находится по формуле: g'(x)=1/f
‘(x).

38.
Дифференцирование
неявных функций и функций, заданных
параметрически

1)
Чтобы найти производную функции,
заданной неявно (когда слева и справа
есть переменная y)
каким-либо уравнением необходимо взять
производную из обоих частей уравнения,
затем переносим все y‘
влево и подставляем вместо y
исходное выражение.

2)
Пусть y=y(x)
задана параметрически:

,
тогда чтобы продифференцировать эту
функцию необходимо воспользоваться
формулой:
y‘_x=

39.
Дифференциал
функции и её геометрический смысл

1)
Пусть функция y=f(x) дифференцируема в
точке x₀,
тогда превращение можно представить
в виде

y=f
‘(x₀)*x+0(x)

y
f
‘(x₀)*x
при
x→0

f
‘(x₀)*x
в разложении
y
называется главной линейной относительно

х
частью превращения функции.

Главная
линейная относительно
х
функция наз. дифф-ой функцией и
обозначается dy.
dy=y‘*dx. y‘=

2)
Дифференциал функции y=f(x) в
точке x
равен приращению ординаты касательной
к графику функции в этой точке, когда x
получит приращение
х.

40.
Производные
высших порядков

Производная
от производной 1-го порядка называется
производной 2-го порядка. y‘=f
‘(x);
y»=(y’)’; yⁿ=(y^n-1)’

Дифференцируемость
функции

Пусть
функция y=f(x) дифф-ма в точке x₀,
тогда превращение можно представить
в виде
y=f
‘(x₀)*x+0(x)

y
f
‘(x₀)*x
при
x→0

f
‘(x₀)*x
в разложении
y
называется главной линейной относительно

х
частью превращения функции.

Главная
линейная относительно
х
функция наз. дифф-ой функцией и
обозначается dy.

1
порядка)
dy=y‘*dx. y‘=

высших
порядков) d²y=y»dx²;
d³y=y»’dx³

41.
Теорема
Ролля и Лагранжа

1)
Пусть f(x)
удовлетворяет условиям: определена и
непрерывна на отрезке [a,b];
дифф-ма на (a,b,);
Значения функции на концах отрезков
совпадают f(a)=f(b).
Тогда существует точка c=(a,b)
такая что f‘(x)=0

2)
Пусть f(x)
удовлетворяет условиям: определена и
непрерывна на отрезке [a,b];
дифф-ма на (a,b,).
Тогда существует точка c
такая, что
=f
‘(c)

Правило
Лопиталя

Правило
Лопиталя используется при вычислении
предела функции и относится только для
раскрытия неопределённостей:
,


Такие пределы вычисляются по формуле:


=

42.
Условие
монотонности функции.

Пусть
f(x)
определена и непрерывна на отрезке
[a,b],
тогда если: 1) f(x)0,
для всех x
принадлежащих (a,b),
то f(x)
– не убывает; 2) f(x)0,
для всех x
принадлежащих (a,b),
то f(x)
– не возрастает;

Следовательно:
если f(x)0,
для всех x
принадлежащих (a,b),
то f(x)
– возрастает; а f(x)0
—
убывает

Необходимое
условие экстремума

Пусть
x₀
– точка локального экстремума функции
f(x),
тогда f
‘(x)
обращается в 0 или не существует.

Критические
точки
— те, которые не входят в обл. определения
(чаще всего это точки разрыва).
Стационарные-точки
в которых значение производной равно
нулю (точки экстремума)

43.
Экстремум
фун. одной переменной

Пусть
у нас есть функция y=f(x)
и точка x₀
– точка локального max
(min)
если существует x
принадлежащий дельта-окрестности x₀,
то f(x₀)f(x)
max;
f(x₀)f(x)
min

Локальные
max
и min
– локальные экстремумы. x₀
– точка локального максимума если
f(x₀)=
максимальному
значению f(x).

Достаточные
условия экстремума

1) Пусть
функция f(x)
непрерывна в точке x₀ и
имеет конечную производную f‘(x).
Если же при переходе через точку x₀
производная не меняет знак, то в
точке x₀ нет
экстремума.

2) Пусть
функция f(x)
дважды дифференцируема в точке x₀,
причем

df(x₀)
= 0, а   d²f(x₀)
> 0  
 
(d²f(x₀)
< 0 ).

Тогда
точка x₀ есть
точка локального минимума (локального
максимума) функции f(x).

3)
 Пусть
функция f(x)
имеет в точке х0 производные
f
‘(x₀)
и f»(x₀),
причем f‘(x₀)
= 0, а   f»(x₀)
> 0  
 
(f»(x₀)
< 0 ).

Тогда
точка x₀ есть
точка локального минимума (локального
максимума) функции f(x).

44.
Выпуклость
и вогнутость графика функции. Точки
перегиба

График
функции y=f(x)
называется вогнутым
на (a,b)
если он расположен ниже касательной,
проведённой к графику функции.

График
функции y=f(x)
называется выпуклым
на (a,b)
если он расположен выше касательной,
проведённой к графику функции.

Точка
перегиба функции
– это точка, в которой функция непрерывна
и её график имеет касательную (которая
может быть параллельна оси) и при
переходе через (x)
функция меняет направление выпуклости.

45.
Асимптоты
графика функции.

Асимптота
– значение, к которому стремится
функция. Различают вертикальные,
горизонтальные и наклонные асимптоты.

Прямая
называется вертикальной
асимптотой, если 1 из односторонних
пределов в этой точке =
.

Прямая
называется горизонтальной
асимптотой функции, если предел этой
функции при x→
= числу.

Прямая
y=kx+b
называется наклонной
асимптотой, если существуют конечные
пределы.

Схема
исследования функции

1)
Находим область определения функции.

2)
Определяем чётностьнечётность функции
и её периодичность.

3)
Находим точки пересечения с осями Ox
и Oy
(приравниваем x=0
и y=0)

4)
Исследуем функцию на наличие асимптот

5)
Определяем y‘
и её критические точки (y‘=0)

6)
Находим y»
и её критические точки.

7)
Результаты заносим в таблицу.

С помощью таблицы строим график функции.