Шпоры на экзамен по матанализу

1

Основы дифференциального исчисления . Понятие производной.

X=X1-X
– приращение аргумента.

f(X)=f(X+X)-f(X)
– приращение функции.
Пример:

Определение:
Произв. функ. f(x)
в точке Х наз. предел отношения приращения
функ. к приращению аргум., когда последнее
стремится к 0.

Геометрический
смысл производной.

Ку.к. – угловой
коэф. касательной.

Ксек – угловой
коэф. секущей.

Таким образом
угловой коэффициент касательной
совпадает со значение производной в
данной точке.

Уравнение касательной
к графику функции y=f(x)
в точке М0 (x0,y0)
имеет вид:

Физический смысл
производной.

S(t)
– путь за данное время.

S(t)
– приращение пути.

S(t)/
t
–средняя скорость на участке.

мгновен. скорость
на участке:

произв. пути от
скорости: S'(t)=U(t)

Теорема:
Связь между непрерывной и дифференцируемой
функцией.

Функция наз.
диферинцируемой если она имеет
производную.

Если функция диффер.
в точке х, то она и непрерывна в этой
точке.

Доказательство:

2

Правила дифференцирования

Теорема: Если f(x)
и g(x)
дифферен. в точке х, то:

Доказательство 2-го правила. Теорема о произв. Сложной функции.

Если y(x)=f(u(x))
и существует f’(u)
и u’(x),
то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Доказательство:

Рассмотрим f(x)
в задан. промеж.: [a,b].

g(y):
[f(a),f(b)]
– наз. обратной к f(x),
если g(f(x))=x,
для любого 
X
[a,b]

f(g(y))=y,
для любого у [f(a),f(b)]

y=sin x
[-/2,
/2],
тогда

x=arcsin
y, y[1,1]

sin
arcsin y = y;

arcsin
* sin x=x

Теорема о произв.
обратной функции.

Таблица производных:

3

Таблица производных:

Доказательство:

Дифференциал
функции.

Определение:
Если Х независимая переменная, то
дифференциал функции f(x)
наз. f’(x)x=u
обозначают df(x).

Теорема об
инвариантной форме первого дифференциала.

df(x)=f’(x)dx

Доказательство:

1).

2).

4

Производная
высших порядков.

Определение:
Производная второго порядка называется
производная производной данной функции:

Определение:
Производная
n-го
порядка называется производной
производной n-1-го
порядка.

Пример:

Используя метод
математической индукции несложно
показать, что:

1). n-ая
производная обладает свойством
линейности, т.е.:

2).

3).

4).

5).

6).

Дифференцирование
функций заданных параметрически.

Пример 1:

возьмем
t=1,
тогда x=2,
y=3;
y’(2)=7/3

Пример
2:

5

Основные теоремы
матим. анализа.

1. Теорема Ферма.

Если f(x)
дифф. в точке x0
и принимает в хтой точке наибольш. или
наименьш. значение для некоторой
окресности точки x0,
то f’(x)=0.

Доказательство:

пусть f(x0)
– наибольшая.

2.Теорема Ролля.

Если функция f(x)
непрерывна на заданном промеж/ [a,b]
деффер. на интервале (a,b)
f(a)=f(b)
то существует т. с
из интерв. (a,b),
такая, что f’(c)=0.

3. Теорема Коши.

Если f(x),
g(x)
удовл. трем условиям:

1). f(x),
g(x)
непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x),
g(x)
деффер. на интервале (a,b)

3). g’(x)0
на интер. (a,b),
то сущ. т. с

g(b)g(a)
(неравны по теореме Ролля).

1).
F(x)
– непрерывна на [a,b]

2). F(x)
– дефференцированна на (a,b)

3).
F(a)=0 ; F(b)=0

по теореме Ролля
сущ. с(a,b);
F’(с)=0

4.Теорема Лагранжа.

Если функция f(x)
непрерывна на [a,b]
и дефференцирована на (a,b),
то сущест.

т.
с(a,b),
такая,
что:
f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство:
применим
т.Коши, взяв только g(x)=x,
тогда g’(x)=10.

6

Правила Лопиталя.

Раскрытие
неопределенности.

Теорема: Если
функция f(x),
g(x)
дефференцирована в окресности т. а,
причем f(a)=g(a)=0
и существует предел

Доказательство:

Формула Тейлора.

Определение:
многочлен Тейлора n-го
порядка функции f(x)
в точке x0
назыв.

Пример:

Определение:
остаточным членам формулю Тейлора n-го
порядка наз.:

Теорема:
Если функция F(x)
(n+1)
– дефферен. в окресности точки x0,
то для любого x
из этой окресн. сущ. т. с(x0,
x)

0

Правила
дифференцирования.

Производные
степенных и тригонометрических функций.

Основные формулы:

Производная
сложной функции.

Производные
показательных и логарифмических функций.

Основные формулы:

Если z=z(x)
– дифференцируемая функция от x, то
формулы имеют вид:

Производные
обратных тригонометрических функций.

Основные формулы:

Для сложных функций:

7

Соседние файлы в папке Шпаргалки

• #
• #