Системы с параметрами егэ по математике

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 187    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 187    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Задание 17 Профильного ЕГЭ по математике — это уравнение, система уравнений или неравенство с параметром. Или несколькими параметрами.

Конечно, за один день научиться решать такие задачи невозможно. И все-таки мы немного расскажем о том, как научиться решать задачи с параметрами. С чего начать. И какие вообще есть методы решения задач с параметрами.

Начнем с хорошей новости. Задача 17 (с параметром) оценивается в целых 4 первичных балла ЕГЭ, которые отлично пересчитываются в тестовые.

Если вы полны решимости получить на ЕГЭ заветные 4 первичных балла за задачу 17 (с параметром), не стоит начинать с реальных экзаменационных задач. Ведь мы хотим получить результат, а не разочарование! Поэтому сначала необходимо повторить следующие темы:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

2. Преобразование графиков функций.

3. Построение графиков функций.

4. Базовые элементы для решения задач с параметрами. Да, мы будем рисовать не только привычные функции. Но еще и окружности, ромбики, полуплоскости и всевозможные их комбинации.

5. Что такое параметр. Простые задачи с параметрами.

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому.

Читайте статью, смотрите видеокурс. И помните, что графический метод — хороший, но не единственный.

Потому что, кроме него, есть и другие:

— Квадратные уравнения и неравенства с параметрами.

— Задачи с параметрами. Условия касания.

— Метод оценки в задачах с параметрами.

— Использование четности функций в задачах с параметрами.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 17.

И не думайте, что это все возможные методы решения задач с параметрами. Их намного больше! Мы дали ссылки на те, которые встречаются чаще всего в задачах ЕГЭ.

Несколько мудрых советов о том, как и зачем решать задачи с параметрами.

1. Чтобы на ЕГЭ уверенно справиться с заданием 17, нужно решить не менее 50 задач с параметрами.

2. Настанет момент, когда вы увидите, что задача с параметром похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов.

3. Два самых главных секрета решения задач с параметрами. Готовы узнать? Вот они:

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — сделайте замену.

— Если задачу с параметром можно решить графически — решите графически.

4. Сколько бы вы ни занимались задачами с параметрами, каким бы отличником ни стали — всегда найдется задача, над которой вы задумаетесь. Вот такая, например:

Задача 1. При каких значениях a системы  и равносильны?

Две системы уравнений с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одни и те же решения, или обе системы не имеют решений.

1) При — системы равносильны, так как обе не имеют решений.

2) При — второе уравнение имеет решение которое является решением первой системы.

3) При 

Система уравнений

Уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом

Решениями системы:

являются две точки, в которых прямая пересекает окружность, заданную уравнением

А вот уравнение задает семейство параллельных прямых

Мы хотим, чтобы две системы были равносильны, то есть чтобы окружность, заданная уравнением , пересекала только одну из этого семейства прямых, а именно прямую , и не имела общих точек с другими прямыми из этого семейства.

Меняя параметр а, мы можем менять радиус окружности. Мы хотим, чтобы окружность радиуса не имела общих точек с прямыми, параллельными прямой , то есть лежала ниже прямой, проходящей через точку А на рисунке, и выше прямой, проходящей через точку В.

Когда же происходит касание в точках A и B?

В случае касания радиус окружности Мы легко находим это из прямоугольного треугольника СОА, где О — начало координат.

Значит, в случае касания , а если — касания не происходит.

Объединяя случаи, получим, что системы равносильны, если

Легко? Если справились — вот еще одна интересная задача:

Задача 2. При каких значениях параметра a найдется такое значение параметра , что система уравнений  имеет ровно три различных решения?

Вот решение этой задачи.

Лучше всего осваивать эту непростую тему на нашем Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов. Или на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве. Удачи, друзья!

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Системы уравнений с параметром»

Открытый банк заданий по теме системы уравнений с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1227

Тип задания: 18
Тема:
Системы уравнений с параметром

Условие

Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система begin{cases}(x-4)^2+(|y|-4)^2=9,\ x^2+(y-4)^2=a^2end{cases} имеет ровно 2 решения.

Показать решение

Решение

Если y geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность phi _1 с центром в точке C_1(4; 4) радиуса 3, а если y < 0, то оно задаёт окружность phi _2 с центром в точке C_2(4; -4) того же радиуса.

При a > 0 второе уравнение задаёт окружность phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a, при каждом из которых окружность phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей phi _1 и phi _2.

Координаты точки касания окружностей phi и phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1(1; 4) и B_1(7; 4). То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности phi и phi _1 касаются. При a > 7 и a < 1 окружности phi и phi _1 не пересекаются, при 1 < a < 7 окружности phi и phi _2 имеют 2 общие точки.

Далее, из точки C проведём луч CC_2 и обозначим A_2 и B_2 точки его пересечения с окружностью phi_2 , где A_2 лежит между C и C_2. Заметим, что длина отрезка CC_2= sqrt {4^2+(4-(-4))^{2}}= sqrt {80}= 4sqrt 5.

При a < CA_2 или a > CB_2 окружности phi и phi_2 не пересекаются. При CA_2 < a < CB_2 окружности phi и phi _2 имеют 2 общие точки. При a =CA_2=4sqrt 5-3 или a=CB_2=4sqrt 5+3, окружности phi и phi _2 касаются.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность phi с одной из окружностей phi _1 и phi _2 имеет 2 общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как 1<4sqrt 5-3<7<4sqrt 5+3, то условию задачи удовлетворяют значения ain(1;4sqrt 5-3) cup (7; 4sqrt 5+3).

Ответ

(1;4sqrt 5-3) cup  (7; 4sqrt 5+3).

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1226

Тип задания: 18
Тема:
Системы уравнений с параметром

Условие

При каких значениях параметра a система begin{cases} 15|x-2|+8|y+3|=120,\x^2 -4a^2 +2y+5=4(x-1)-(y+2)^2 end{cases} имеет ровно 4 решения?

Показать решение

Решение

Преобразуем второе уравнение системы, выделив полные квадраты:

begin{cases}15|x-2|+8|y+3|=120,\ x^2-4a^2+2y+5=4(x-1)-(y+2)^2 ;end{cases}

begin{cases}15|x-2|+8|y+3|=120,\ (x^2- 4x+4)+(y^2+6y+9)=(2a)^2 ;end{cases}

begin{cases}15|x-2|+8|y+3|=120,\ (x-2)^2 +(y+3)^2 =(2a)^2.end{cases}

Сделав замену переменных t=x-2 и omega=y+3, получим систему:

begin{cases}15|t|+8|omega |=120,enspace (1) \ t^2 +omega^2 =(2a)^2.enspace(2) end{cases}

При такой замене старая и новая система имеют одинаковое число решений.

Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Otomega.

График уравнения (1) — ромб, диагонали которого, равные 16 и 30, лежат соответственно на осях Ot и Oomega , а графиком уравнения (2) является семейство окружностей с центром в начале координат и радиусом r=2|a|.

Графики уравнений системы имеют ровно 4 общие точки, и следовательно система имеет ровно 4 решения тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо её радиус удовлетворяет условию: 8<r<15.

В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами 8 и 15, откуда

r=2|a|=frac{8cdot 15}{sqrt {8^2 +15^2 }}=frac{120}{17} ,

|a|=frac{60}{17}=3frac9{17} , тогда a=pm3frac9{17}.

Во втором случае получаем 8<2|a|<15, откуда -7,5<a<-4 или 4<a<7,5.

Ответ

a in (-7,5; -4) cup  left{pm3frac9{17} right} cup  (4; 7,5).

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1225

Тип задания: 18
Тема:
Системы уравнений с параметром

Условие

Найдите все значения a>0, при каждом из которых система begin{cases} (|x|-3)^2 +(y-3)^2=4,\ (x+3)^2 +y^2=a^2 end{cases} имеет единственное решение.

Показать решение

Решение

Если x geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность phi _1 с центром в точке C_1(3; 3) радиуса 2, а если x<0, то оно задаёт окружность phi _2 с центром в точке C_2(-3; 3) того же радиуса.

При a>0 второе уравнение задаёт окружность phi с центром в точке C(-3; 0) радиуса a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a, при каждом из которых окружность phi имеет единственную общую точку с объединением окружностей phi _1 и phi _2.

Из точки C проведём луч CC_1 и обозначим A_1 и B_1 точки его пересечения с окружностью phi _1, где A_1 лежит между C и C_1.

Так как CC_1=sqrt {6^2 +3^2 }=sqrt {45} =3sqrt 5, то CA_1=3sqrt 5-2, CB_1=3sqrt 5+2.

При a < CA_1 или a > CB_1 окружности phi и phi _1 касаются. При CA_1 < a < CB_1 окружности phi и phi _1 имеют 2 общие точки. При a=CA_1=3sqrt 5-2 или a=CB_1=3sqrt 5+2, окружности phi и phi _1 касаются.

Координаты точки касания окружностей phi и phi _2 явно видны на чертеже: это точки A_2(-3; 1) и B_2(-3; 5). То есть при a=1 и a=5 окружности phi и phi _2 касаются. При остальных значениях параметра a окружности phi и phi _2 либо имеют 2 общие точки, либо не имеют общих точек.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность phi касается ровно одной из двух окружностей phi _1 и phi _2 и не пересекается с другой.

Так как 1<3sqrt 5-2<5<3sqrt 5+2, то условию задачи удовлетворяют только числа a=1 и a=3sqrt 5+2.

Ответ

1; 3sqrt 5+2.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1224

Тип задания: 18
Тема:
Системы уравнений с параметром

Условие

Найдите все неотрицательные значения a, при каждом из которых система уравнений begin{cases} sqrt {(x-3)^2 +y^2 }+sqrt {x^2 +(y-a)^2 }=sqrt {a^2 +9}, \ y=|2-a^2 | end{cases} имеет единственное решение.

Показать решение

Решение

Рассмотрим первое уравнение системы. Выражение AB=sqrt {(x-3)^2 +y^2 } определяет расстояние между точками A(x; y) и B(3; 0). Аналогично выражение AC=sqrt {x^2+(y-a)^2 } определяет расстояние между точками A(x; y) и C(0; a), а выражение BC=sqrt {a^2 +9} определяет расстояние между точками B(3;0) и C(0; a).

По неравенству треугольника AB+AC geqslant BC, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда точка A принадлежит отрезку BC. Это значит, что для координат точки A(x; y) справедливы неравенства: 0 leqslant x leqslant 3, 0 leqslant y leqslant a.

Тогда из второго уравнения системы имеем:

0leqslant |2-a^2 |leqslant a, |2-a^2 |leqslant a, -aleqslant 2-a^2 leqslant a,begin{cases} 2-a^2 geqslant -a,\2-a^2 leqslant a, end{cases} enspace begin{cases} a^2 -a-2leqslant 0,\a^2+a-2geqslant 0, end{cases} enspace begin{cases} -1leqslant aleqslant 2,\aleqslant -2, ageqslant 1, end{cases}enspace ain[1;2].

Итак, первое уравнение системы определяет на плоскости xOy отрезок с концами в точках B и C, не параллельный оси Ox; второе уравнение системы определяет прямую, параллельную оси Ox. При a in [1; 2] они имеют одну точку пересечения, то есть исходная система уравнений имеет единственное решение.

Ответ

[1; 2].

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1223

Тип задания: 18
Тема:
Системы уравнений с параметром

Условие

При каких значениях параметра a система begin{cases} x-sqrt 3|y|=0,\ (x-2a)^2+(y-cos pi a)^2 leqslant (5a-21)^2 end{cases} имеет ровно два решения?

Показать решение

Решение

Решим задачу графически. Если |5-2a|=0, то неравенство системы задаёт круг с центром в точке (2a; cos pi a) и радиусом |5a-21|. Если |5a-21|=0, то решением

неравенства будет единственная точка: x=2a=frac{42}5 , y=cos pi a=cos frac{21pi }5 , а тогда у системы не может быть более одного решения.

Уравнение системы задаёт угол, биссектрисой которого является ось Ox. Сторона этого угла проходит через точки (0; 0) и left(1; frac1{sqrt 3}right), и поэтому образует угол 30^{circ} с положительным направлением оси Ox.

Ровно два решения будет, если круг касается обеих сторон угла. Тогда центр круга должен лежать на биссектрисе угла, то есть на луче Ox. Следовательно, ордината центра круга должна равняться нулю, а абсцисса быть больше нуля. Ордината равна нулю, если cos pi a=0, pi a=frac pi 2+pi k, k in mathbb Z, a=frac12+k, k ∈ Z.

Абсцисса центра круга равна 2a и равна 2k+1, она больше нуля, если k geqslant 0. Рассмотрим triangle O_1OM , где O_1 — центр круга, M — одна из точек касания. Тогда O_1M=|5a-21|, OO_1=2a, angle O_1MO =90^{circ}, angle MOO_1 =30^{circ}. Тогда O_1M= O_1Ocdot sin angle O_1OM= 2asin 30^{circ}= a. Значит, a=|5a-21|, k+frac12= left|5k+frac52 -21right|, k+frac12=left|5k-frac{37}2 right|; отсюда либо k+frac12 =5k-frac{37}{2,} то есть 4k=19,, k=frac{19}4 ; либо k+frac12 =frac{37}2-5k,, 6k=18, k=3. k — целое число, frac{19}4 notin Z. 3in mathbb Z и 3geqslant 0. Таким образом, k=3, a=frac12+k=3,5.

Ответ

3,5

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1221

Тип задания: 18
Тема:
Системы уравнений с параметром

Условие

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений begin{cases} frac{xy^2-5xy-5y+25}{sqrt {x+5}}=0, \ y=ax end{cases} имеет ровно два различных решения.

Показать решение

Решение

Решим задачу графически. Построим графики первого и второго уравнения и определим, сколько точек пересечения они имеют при различных значениях параметра.

Первое уравнение frac{xy^2-5xy-5y+25}{sqrt {x+5}}=0 параметра не содержит и представляет собой равенство дроби нулю. Это выполняется, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, при этом оба выражения имеют смысл.

Запишем уравнение в виде frac{(y-5)(xy-5)}{sqrt {x+5}}=0, разложив числитель на множители. При x leqslant -5 левая часть не имеет смысла. При x>-5 уравнение задаёт прямую y=5 и гиперболу y=frac5x.

Найдём координаты точек A, B и C. B — точка пересечения прямой y=5 и гиперболы y=frac5x , чтобы найти её координаты, нужно решить систему уравнений begin{cases} y=5,\y=frac5x. end{cases}

Получаем B(1; 5).

У точек A и C абсцисса равна -5, ординаты находим из уравнений прямой и гиперболы. A(-5;5) и C(-5;-1).

При каждом значении a уравнение y=ax задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат. Чтобы найти значение a, при котором такая прямая проходит через точку с указанными координатами, нужно подставить координаты в уравнение прямой.

Например, для точки A(-5; 5) получаем x=-5, y=5, 5=acdot (-5), a=-1.

Аналогично для B(1;5),, a=5 и для C(-5;-1), a=frac15.

При x>-5 прямая y=ax пересекает прямую y=5 при a<-1 и a>0, пересекает правую ветвь гиперболы y=frac5x при a>0, пересекает левую ветвь гиперболы y=frac5x при a>frac15. При этом прямая y=ax проходит через точку пересечения прямой y=5 и гиперболы y=frac5x при a=5.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой y=5 и гиперболы y=frac5x с прямой y=ax при условии x>-5.

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 0 < a leqslant 0,2; a=5.

Ответ

(0; 0,2]; {5}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1019

Тип задания: 18
Тема:
Системы уравнений с параметром

Условие

При каких значениях параметра a система

begin{cases} 5|x|+12|y-2|=60, \ y^2-a^2=4(y-1)-x^2end{cases}

имеет ровно 4 решения?

Показать решение

Решение

Преобразуем второе уравнение системы, выделив полный квадрат y^2-4y+4=(y-2)^2.

begin{cases} 5|x|+12|y-2|=60, \ y^2-a^2=4(y-1)-x^2;end{cases} Leftrightarrow begin{cases}5|x|+12|y-2|=60, \ x^2+(y-2)^2=a^2. end{cases}

Сделав замену переменных t=y-2, получим систему

begin{cases} 5|x|+12|t|=60,enspace(1)\ x^2+t^2=a^2.enspace(2)end{cases}

При такой замене число решений новой и старой системы одинаково. Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oxt.

График уравнения (1) — ромб, диагнали которого, равные 24 и 10, лежат соответственно на осях Ox и Ot, а графиком уравнения (2) является семейство окружностей с центром в начале координат и радиусом r=|a|.

Графики уравнений системы имеют ровно 4 общие точки, и следовательно, система имеет ровно 4 решения тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо её радиус удовлетворяет условию 5 < r < 12.

В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12, откуда

r=|a|=frac{5 cdot 12}{sqrt{5^2+12^2}}=frac{60}{13}=4frac{8}{13}, a=pm 4frac{8}{13}.

Во втором случае получаем 5 < |a| < 12, откуда -12 < a < -5 или 5 < a < 12.

Ответ

a in (-12;-5) cup left { pm 4frac{8}{13}right } cup (5;12).

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1016

Тип задания: 18
Тема:
Системы уравнений с параметром

Условие

При каких значениях параметра a система begin{cases}axy+x-y+0,5=0, \ x+y+xy+2=0 end{cases} имеет единственное решение?

Показать решение

Решение

Преобразуем второе уравнение системы x(1+y)=-2-y. Если y=-1, то получаем неверное равенство 0=-1. При y neq -1 имеем x=frac{-2-y}{1+y}. Подставим полученное значение x в первое уравнение:

(2a+2)y^2+(4a+3)y+3=0.

1) Пусть 2a+2=0, то есть a=-1. Тогда получаем единственное решение системы x=-frac{5}{4}, y=3.

2) Если a neq -1, то имеем квадратное уравнение.

а) Квадратное уравнение имеет единственный корень, а следовательно, система имеет единственное решение, если дискриминант равен нулю:

D=16a^{2}-15=0. Отсюда a=pm frac{sqrt{15}}{4} (условие a neq -1 выполняется).

б) Система имеет единственное решение, если один из двух корней квадратного уравнения равен (−1). Пусть корень frac{-4a-3+sqrt{16a^2-15}}{4a+4}=-1. Отсюда получаем иррациональное уравнение sqrt{16a^2-15}=-1, которое не имеет корней. Пусть корень frac{-4a-3-sqrt{16a^2-15}}{4a+4}=-1. Отсюда получаем иррациональное уравнение sqrt{16a^2-15}=1, которое имеет два корня a= pm1, один из которых не удовлетворяет условию a neq -1.

Заметим, что найти a, при котором y=-1 — корень, можно подставив y=-1 в квадратное уравнение. Получим уравнение (2a+2) cdot (-1)^2+ (4a+3) cdot (-1)+3=0, откуда a=1. Мы получили, что система имеет единственное решение при a= pm 1, a=frac{pm sqrt{15}}{4}. 

Ответ

-frac{sqrt{15}}{4};,frac{sqrt{15}}{4};,-1;,1.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1015

Тип задания: 18
Тема:
Системы уравнений с параметром

Условие

Найдите, при каких значениях параметра a система

begin{cases} x^{2}+y^{2}+9=a^{2}+4x,\ ||x-3|-|x-6||=y end{cases}

имеет не менее трёх решений.

Показать решение

Решение

В прямолинейной системе координат Oxy построим графики обоих уравнений для некоторых значений a. Для этого заметим, что первое уравнение задаёт окружность, а для второго — построим сначала график функции без внешнего модуля. Проанализируем, как изменяются графики в зависимости от a, и определим, в каких ситуациях графики пересекаются ровно в трех точках. Найдем граничные значения a.

Построим графики уравнений системы.

1) Преобразуем уравнение x^{2}+y^{2}+9=a^{2}+4x.

x^{2}-4x+4+y^{2}+9=a^{2}+4, (x-2)^{2}+y^{2}=a^{2}-5. При a^{2}-5 geq 0 это окружность с центром (2; 0) и радиусом R=sqrt{a^{2}-5}.

2) ||x-3|-|x-6||=y.

Построим сначала график уравнения y=|x-3|-|x-6|.

При x leq 3enspace y=-x+3+x-6, y=-3;

При 3 < x leq 6enspace y=x-3+x-6, y=2x-9;

При x > 6enspace y=x-3-x+6, y=3.

Отразим ту часть графика, где y < 0, относительно оси Ox, и получим график y=||x-3|-|x-6||.

3) Система имеет не менее трёх решений, если графики имеют не менее трёх точек пересечения. По рисунку видно, что это выполняется при R_{1} leq R leq R_{2}, где R_{1}=3 (окружность касается прямой y=3) и R_{2} — радиус окружности, которая проходит через точку (3;3). Найдём R_{2}.

(x-2)^{2}+y^{2}=R_{2}^{2}, (3-2)^{2}+3^{2}=R_{2}^{2}, R_{2}=sqrt{10}.

Получили 3 leq R leq sqrt{10}, 3 leq sqrt{a^{2}-5} leq sqrt{10}, 14 leq a^{2} leq 15, sqrt{14} leq |a| leq sqrt{15}.

a in [-sqrt{15};-sqrt{14}] cup [sqrt{14}; sqrt{15}].

Ответ

[-sqrt{15};-sqrt{14}] cup [sqrt{14}; sqrt{15}].

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1014

Тип задания: 18
Тема:
Системы уравнений с параметром

Условие

При каких значениях параметра a система

begin{cases}y=|x|, \ (x-sin pi a)^{2}+(y-a)^{2} leq a end{cases}

имеет ровно два решения?

Показать решение

Решение

Заметим, что при a < 0 неравенство системы не имеет решения, потому что левая часть неравенства неотрицательна. При a=0 оно имеет вид x^{2}+y^{2} leq 0 и имеет единственное решение x=y=0.

Рассмотрим a > 0. Решим задачу, построив графики уравнения и неравенства. Графиком неравенства системы будет являться круг радиусом sqrt{a} с центром в точке (sin pi a;a).

Графиком уравнения будут стороны угла.

Ровно два решения будет, если круг касается обеих сторон угла, тогда центр круга должен лежать на биссектрисе угла, то есть на луче Oy. Значит, абсцисса центра круга должна равняться нулю, sin pi a=0, pi a=pi k, k in mathbb Z, a=k. Значит, a in mathbb Z. Рассмотрим bigtriangleup O_{1}MO, где O_{1} — центр круга, M — одна из точек касания. Тогда O_{1}O=a,  O_{1}M=sqrt{a},  angle O_{1}MO=90^circ,  angle O_{1}OM=45^circ. Отсюда O_{1}M=O_{1}O sin angle O_{1}OM=frac{asqrt{2}}{2}. Следовательно, frac{asqrt{2}}{2}=sqrt{a}, sqrt{a}=sqrt{2}, a=2. Ясно, что 2 in mathbb Z.

Ответ

2

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Перепишем систему в виде $$left{begin{matrix}sqrt{left | x-1 right |}+sqrt{7left | y right |}=1\left | x-1 right |^{2}+(7left | y right |)^{2}=-4aend{matrix}right.$$

     Пусть $$sqrt{left | x-1 right |}=mgeq 0$$; $$sqrt{7left | y right |}=ngeq 0$$

     Тогда система примет вид : $$left{begin{matrix}m+n=1\m^{4}+n^{4}=-4aend{matrix}right.(*)$$. Если пара чисел $$(m_{0};n_{0})$$ является решением системы (*), то пара $$(n_{0}; m_{0})$$ также её решение :

     1) Пусть $$m_{0}neq n_{0}, m_{0}, n_{0}>0$$. Тогда $$left[begin{matrix}left{begin{matrix}left | x-1 right |=m_{0}^{2}\7left | y right |=n_{0}^{2}end{matrix}right.\left{begin{matrix}left | x-1 right |=n_{0}^{2}\7left | y right |=m_{0}^{2}end{matrix}right.end{matrix}right.(**)$$. Каждая система совокупности имеет четыре решения, тогда данная система имеет 8 различных решений , что не удовлетворяют  условию задачи .

     2) Пусть одно из значений $$m_{0}$$ или $$n_{0}$$ равно нулю, тогда пары  (0;1) и (1;0)-решения системы(*), -4a=1, откуда  $$a=-frac{1}{4}$$ . В этом случае совокупность (**) примет вид :

$$left[begin{matrix}left{begin{matrix}left | x-1 right |=0\7left | y right |=1end{matrix}right.\left{begin{matrix}left | x-1 right |=1\7left | y right | =0end{matrix}right.end{matrix}right.$$, откуда получим 4 решения данной системы : $$(1; frac{1}{7})$$, $$(1; -frac{1}{7})$$, $$(2;0)$$, $$(0;0)$$

     3) Пусть $$m_{1}=n_{0}$$, тогда $$left{begin{matrix}m_{0}+m_{0}=1\m_{0}^{4}+m_{0}^{4}=-4aend{matrix}right.$$., откуда

$$m_{0}=frac{1}{2}$$, $$a=-frac{1}{32}$$ и система (*) имеет одно решение $$(frac{1}{2};frac{1}{2})$$. В Этом случае совокупность (**) примет вид :

$$left{begin{matrix}left | x-1 right |=frac{1}{4}\7left | y right |=frac{1}{4}end{matrix}right.$$, откуда получим 4 решения данной системы: $$(1frac{1}{4} ;frac{1}{28})$$, $$(1frac{1}{4}; -frac{1}{28})$$, $$(frac{3}{4}; frac{1}{28})$$, $$(frac{3}{4};-frac{1}{28})$$.

     Докажем, что при $$a=-frac{1}{4}$$ и $$a=-frac{1}{32}$$ других, кроме найденных решений,  данная система не имеет .

     1. При  $$a=-frac{1}{4}$$ система (*) имеет вид: $$left{begin{matrix}m+n=1\m^{4}+n^{4}=1end{matrix}right.$$. Если $$mneq 0$$, $$nneq 0$$, то $$m,n in (0;1)$$ и $$left{begin{matrix}m^{4}<m\n^{4}<nend{matrix}right.$$

   Тогда $$m^{4}+n^{4}<m+n$$, т.е. $$m^{4}+n^{4}<1$$, что противоречит  второму уравнению системы . Следовательно, при $$a=-frac{1}{4}$$ других решений системы нет и $$a=-frac{1}{4}$$ удовлетворяет условию .

     2. При $$a=-frac{1}{32}$$ система (*) имеет вид : $$left{begin{matrix}m+n=1\m^{4}+n^{4}=frac{1}{8}end{matrix}right.$$ . Пусть$$left{begin{matrix}m=frac{1}{2}+t\n=frac{1}{2}-tend{matrix}right.$$ , тогда $$left{begin{matrix}m^{4}=(frac{1}{2}+t)^{2}=frac{1}{16}+4*frac{1}{8}t+6*frac{1}{4}t^{2}+4*frac{1}{2}t^{3}+t^{4}\n^{4}=(frac{1}{2}-t)^{4}=frac{1}{16}-4*frac{1}{8}t+6*frac{1}{4}t^{2}-4*frac{1}{2}t^{3}+t^{4}end{matrix}right.$$. И $$m^{4}+n^{4}=frac{1}{8}+3t^{2}+2t^{4}$$. Имеем : $$frac{1}{8}+3t^{2}+2t^{2}=frac{1}{8}$$, откуда $$t=0$$, $$m =n=frac{1}{2}Rightarrow$$ других решений нет и $$a=-frac{1}{32}$$ удовлетворяет условию .

Параметрические уравнения, неравенства и системы, часть С

Теория к заданию 18 из ЕГЭ по математике (профильной)

Параметрические уравнения

Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим. Эта дополнительная величина в уравнении называется параметр. На самом деле с каждым параметрическим уравнением может быть написано множество уравнений.

Способ решения параметрических уравнений

1. Находим область определения уравнения.
2. Выражаем a как функцию от $х$.
3. В системе координат $хОа$ строим график функции, $а=f(х)$ для тех значений $х$, которые входят в область определения данного уравнения.
4. Находим точки пересечения прямой, $а=с$, где $с∈(-∞;+∞)$ с графиком функции $а=f(х)$. Если прямая, а=с пересекает график, $а=f(х)$, то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение вида, $а=f(х)$ относительно $х$.
5. Записываем ответ.

Общий вид уравнения с одним параметром таков:

При различных значениях, а уравнение $F(x, a) = 0$ может иметь различные множества корней, задача состоит в том, чтобы изучить все случаи, выяснить, что будет при любом значении параметра. При решении уравнений с параметром обычно приходится рассматривать много различных вариантов. Своевременное обнаружение хотя бы части невозможных вариантов имеет большое значение, так как освобождает от лишней работы.

Поэтому при решении уравнения $F(x, a) = 0$ целесообразно под ОДЗ понимать область допустимых значений неизвестного и параметра, то есть множество всех пар чисел ($х, а$), при которых определена (имеет смысл) функция двух переменных $F(x, а)$. Отсюда естественная геометрическая иллюстрация ОДЗ в виде некоторой области плоскости $хОа$.

ОДЗ различных выражений (под выражением будем понимать буквенно — числовую запись):

1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.

2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.

4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.

Алгебраический способ решения квадратных уравнений с параметром $ax^2+bx+c=0$

Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0, а≠0$ не имеет решений, если $D 0$;

Квадратное уравнение имеет один корень, если $D=0$

Тригонометрические тождества

3. $sin^<2>α+cos^<2>α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Задания по теме «Системы уравнений с параметром»

Открытый банк заданий по теме системы уравнений с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1227

Условие

Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система begin(x-4)^2+(|y|-4)^2=9,\ x^2+(y-4)^2=a^2end имеет ровно 2 решения.

Решение

Если y geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность phi _1 с центром в точке C_1 (4; 4) радиуса 3 , а если y то оно задаёт окружность phi _2 с центром в точке C_2 (4; -4) того же радиуса.

При a > 0 второе уравнение задаёт окружность phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей phi _1 и phi _2.

Координаты точки касания окружностей phi и phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1 (1; 4) и B_1 (7; 4) . То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности phi и phi _1 касаются. При a > 7 и a окружности phi и phi _1 не пересекаются, при 1 окружности phi и phi _2 имеют 2 общие точки.

Далее, из точки C проведём луч CC_2 и обозначим A_2 и B_2 точки его пересечения с окружностью phi_2 , где A_2 лежит между C и C_2. Заметим, что длина отрезка CC_2= sqrt <4^2+(4-(-4))^<2>>= sqrt <80>= 4sqrt 5.

При a или a > CB_2 окружности phi и phi_2 не пересекаются. При CA_2 окружности phi и phi _2 имеют 2 общие точки. При a =CA_2=4sqrt 5-3 или a=CB_2=4sqrt 5+3, окружности phi и phi _2 касаются.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность phi с одной из окружностей phi _1 и phi _2 имеет 2 общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как 1 то условию задачи удовлетворяют значения ain (1;4sqrt 5-3) cup (7; 4sqrt 5+3).

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике

Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №18

И знать здесь действительно нужно много.

Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).

И после этого – учимся решать сами задачи №18 Профильного ЕГЭ.

Вот основные типы задач с параметрами:

Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова

И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:

1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.

2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.

Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…» Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».

3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.

4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.

На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 18 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!