Системы счисления информатика егэ вся теория

  • Главная


  • Теория ЕГЭ


  • Информатика — теория ЕГЭ



  • Системы счисления

Системы счисления

29.01.2015

Раздел информатики «Системы счисления» посвящён подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрена вся полная теория, необходимая для успешной подготовки и даны практические задания, необходимые для усвоения данной темы.

Вы можете выбрать иные разделы информатики:

  • Измерение и кодирование информации
  • Моделирование и компьютерный эксперимент
  • Системы счисления
  • Основы логики, таблицы истинности
  • Теория алгоритмов
  • Архитектура компьютеров и сетей
  • Обработка звука и графики
  • Электронные таблицы Excel
  • Поиска и хранение информации
  • Программирование
  • Теория игр

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.

Сохранить ссылку:

Комментарии (0)
Добавить комментарий

Добавить комментарий

Комментарии без регистрации. Несодержательные сообщения удаляются.

Имя (обязательное)

E-Mail

Подписаться на уведомления о новых комментариях

Отправить

Источник

Автор материалов — Лада Борисовна Есакова.

Системы счисления и их разновидности.

Система счисления – это способ представления, записи чисел с помощью письменных знаков. Количество этих самых знаков (цифр), используемых для записи чисел, называется основанием системы счисления.

Различных систем счисления у разных народов существовало великое множество. Но все их можно поделить на непозиционные и позиционные. Позиционные системы в свою очередь подразделяются на однородные и смешанные.

1. Непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления число, обозначаемое цифрой, не зависит от положения цифры в записи числа.

Самым простым примером непозиционной системы счисления является единичная (унарная) система счисления. Это запись числа с помощью повторения зарубок на дощечке или узелков на веревке. Все зарубки, узелки или другие «цифры» абсолютно одинаковы, а потому их порядок не имеет значения, число получается простым суммированием количества символов.

Системы счисленияСистемы счисления

Унарной системой счисления до сих пор пользуются маленькие дети, показывая количество на пальцах.

Еще одной используемой до сих пор почти непозиционной системой счисления является Римская:

rm I - 1
rm V - 5
rm X - 10
rm L - 50
rm C - 100
rm D - 500
rm M - 1000

Она названа почти непозиционной, потому что в Римской системе, кроме обычного сложения цифр в числе, действует правило: если младшая цифра стоит слева от старшей, она вычитается из суммы.
Т.е. число rm XXV = 10 + 10 + 5 = 25, а число rm XIXIV = 10 - 1 + 10 - 1 + 5 = 23.

Непозиционных систем счисления известно очень много, но мы завершим на этом их рассмотрение. Использование непозиционных систем неудобно, а для очень больших чисел практически невозможно, и к тому же нет возможности записать дроби.

2. Позиционные системы счисления.

В позиционных системах счисления число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа.
Самой популярной позиционной системой является, конечно же, десятичная.

Мы видим, что числа 15 и 51 имеют совсем разные значения, хотя состоят из одних и тех же цифр. Разница обусловлена положением цифры в числе.

Но десятичная система ничем не лучше и не хуже другой позиционной системы, она просто привычная. Число 10 выбрано основанием по количеству пальцев на двух руках (для удобства счета). Однако, в Китае популярной была пятиречная система счисления (по количеству пальцев на одной руке), а двадцатиричная система использовалась у Ацтеков, Майя и некоторых народов Африки (по количеству пальцев на ногах и руках).

Еще одной известной позиционной системой счисления является двенадцатиричная (считали фаланги пальцев (кроме большого) на руке. Элементы двенадцатиричной системы сохранились в Англии: 1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов.

Системы счисления

Ну и, наконец, незаменимая в наш компьютерный век двоичная система. Почему именно двоичная? Да потому что у компьютера только 2 «пальца», точнее два состояния: «есть ток», «нет тока».

2.1. Однородные системы счисления.

В однородной системе в каждой позиции числа может находиться любая цифра. Примером может быть запись числа в любой позиционной системе счисления (десятичной, двоичной и пр.). Т.е. когда мы пишем число в десятичной системе, в любой позиции мы можем написать цифру от 0 до 9.

2.2. Смешанные системы счисления.

В смешанной системе счисления набор используемых цифр может отличаться в зависимости от позиции. В качестве примера удобно рассмотреть запись времени в формате ЧЧ.ММ.СС (часы.минуты.секунды). В качестве часов может быть использовано число от 00 до 23, в качестве минут и секунд – число от 00 до 59.

Системы счисления

Системы счисления. Перевод из одной системы в другую.

1. Порядковый счет в различных системах счисления.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение rm X_2 для 2-ной системы, rm X_3 для 3-ной и т.д.):

rm X_{10} rm X_2 rm X_3 rm X_5
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 10 3
4 100 11 4
5 101 12 10
6 110 20 11
7 111 21 12
8 1000 22 13
9 1001 100 14
10 1010 101 20
11 1011 102 21
12 1100 110 22
13 1101 111 23
14 1110 112 24
15 1111 120 30

Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы (rm A и rm B):

rm X_{10} rm X_{12}
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 rm A
11 rm B
12 10
13 11
14 12
15 13

2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Перевод

46=101110_2

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Перевод

672=1240_8

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

Перевод

rm 934=3A6_{16}

3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.

325_{10}=5+2 cdot 10 + 3 cdot 100.

Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:

3;2;1;0
1;2;0;1_3=1 cdot 3^0 + 0 cdot 3^1 + 2 cdot 3^2 + 1 cdot 3^3=1+0+18+27=46
1;2;0;1_3=1 cdot 3^3 + 2 cdot 3^2 + 0 cdot 3^1 + 1 cdot 3^0=27+18+0+1=46

Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е. 1201_3 = 46_{10}.

Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.

511_8=5 cdot 8^2+1 cdot 8^1+1 cdot 8^0=5 cdot 64+1 cdot 8+1=329
511_8=329_{10}.

Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.

1 cdot 16^3+1 cdot 16^2+5 cdot 16^1+1 cdot 16^0=1 cdot 4096+1 cdot 256+5 cdot 16+1=4096+256+80+1=4433.
1151_{16}=4433_{10}.

4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. 8=2^3), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:

1 100 001 111 010 110_2
1 4 1 7 2 6_8

Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.

rm X_{2} rm X_8
0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7

Т.е. 1100001111010110_2 = 141726_8.

Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.

rm X_{2} rm X_{16}
0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7
1000 8
1001 9
1010 A
1011 B
1100 C
1101 D
1110 E
1111 F

rm 1100001111010110_2 = 1100;0011;1101;0110_2 = C3D6_{16}.

5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.

Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.

Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.

Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. 16=2^4) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:
rm C_{16}=1100_2
rm 3_{16}=0011_2
rm A_{16}=1010_2
rm 6_{16}=0110_2

rm C3A6_{16}=1100;0011;1010;0110_2.

Десятичные дроби и смешанные числа в разных системах счисления.

Автор — Лада Борисовна Есакова.

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую обычно не вызывает проблем. А вот необходимость перевести десятичную дробь или смешанное число (число с целой и дробной частью) из системы в систему часто ставит в тупик даже сильных учеников.

1. Перевод смешанного числа в десятичную систему счисления из любой другой.

Для перевода смешанного числа в десятичную систему из любой другой следует пронумеровать разряды числа, начиная с нуля, справа налево от младшего целого разряда. Разряды дробной части нумеруются слева направо от -1 в убывающем порядке. Теперь представим число в виде суммы произведений его цифр на основание системы в степени разряда числа и ответ готов.

Пример 1.

Переведите число 105,4 из восьмеричной системы в десятичную.

Решение:

Пронумеруем целые разряды числа справа налево от 0, дробные – слева направо от -1 :

1

Посчитаем сумму произведений цифр числа на 8 (основание системы) в степени разряда числа: 4*8^{-1} + 5*8^{0} + 0*8^{1} + 1*8^{2} = 0,5 + 5 + 0 + 64 = 69,5_{10}

Ответ: 69,5_{10}

2. Перевод десятичных дробей из десятичной системы счисления в любую другую.

Для перевода десятичной дроби из десятичной системы в любую другую следует умножать дробь, а затем дробные части произведений, на основание новой системы пока дробная часть не станет равной 0 или до достижения указанной точности. Затем целые части выписать, начиная с первой.

Пример 2

Переведите десятичное число 0,816 в двоичную систему с точностью до сотых.

Решение:

Умножаем дробь 0,816, а затем дробную часть произведения (0,632) на 2 и выписываем целые части, начиная с первой:

2

0,816_{10} = 0,11_{2}

Ответ:0,11_{2}

Пример 3.

Переведите десятичное число 0,8125 в восьмеричную систему.

Решение:

Умножаем дробь 0,8125, а затем дробную часть произведения (0,5) на 8 и выписываем целые части, начиная с первой:

3

0,8125_{10}=0,64_{8}

Ответ:0,64_{8}

3. Перевод смешанных чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Если необходимо перевести смешанное число из десятичной системы в любую другую, следует перевести целую и дробную части, а затем записать, разделив десятичной запятой.

Пример 4.

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 14,125?

Решение:

Переведем целую часть числа в двоичную систему:

4

Переведем дробную часть числа в двоичную систему:

5

Соединим целую и дробную части:

14,125_{10}=1110,001_{2}
14,12510 = 1110,0012

Количество единиц равно 4.

Ответ: 4

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задача №1. Перевод из одной системы в другую, сравнение чисел в различных системах.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.03.2023

Источник

На уроке рассматривается 14 задание, решение и объяснение ЕГЭ по информатике

Содержание:

  • Объяснение заданий 14 ЕГЭ по информатике
    • Перевод числа из любой системы счисления в десятичную
    • Особенности при переводах в разные системы счисления
  • Решение заданий 14 ЕГЭ по информатике
    • Определите наибольшее/наименьшее значение x, y
    • Сколько цифр или сумма цифр
    • Найти основание системы счисления и уравнения

14-е задание: «Операции в системах счисления»

Уровень сложности

— повышенный,

Требуется использование специализированного программного обеспечения

— нет,

Максимальный балл

— 1,

Примерное время выполнения

— 5 минут.

  
Проверяемые элементы содержания: Знание позиционных систем счисления

До ЕГЭ 2021 года — это было задание № 16 ЕГЭ

Типичные ошибки и рекомендации по их предотвращению:

«Основные ошибки связаны с невнимательностью при выполнении арифметических действий
в недесятичных системах счисления. Например, вычитания единицы в ситуации типа: 10100002 – 1»

ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений»

С основами темы можно ознакомиться в теории к заданию 1.

Перевод числа из любой системы счисления в десятичную

Чтобы перевести, например, 10045N, из системы счисления с основанием N в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на N в степени, равной разряду этой цифры:
перевод в десятичную систему счисления

Особенности при переводах в разные системы счисления

Некоторые правила, которые нужно знать, при работе с системами счисления:

  • последняя цифра (крайняя справа) в записи числа в системе счисления с основанием N – представляет собой остаток от деления этого числа на N:
    • 710 = 1112
7/2 = остаток 1
  • две крайние справа цифры числа в системе счисления с основанием N – это остаток от деления этого числа на N², и так далее:
    • 710 = 1112
112=310
7/22 = остаток 310 (112)
  • десятичное число 10N записывается как единица и N нулей:

    • 1_1

  • тогда как десятичное число 2N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:

    • 2

  • а десятичное число 3N записывается в троичной системе в виде единицы и N нулей:

    • 2

  • можно сделать аналогичные выводы для любой системы счисления с основанием a; общее правило:

    • 3

  • десятичное 10N-1 записывается как N девяток:

    • 1_11

  • тогда как десятичное число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц:

    • 3

  • а десятичное число 3N-1 записывается в троичной системе как N двоек:

    • объяснение 14 задания егэ

  • значит есть общее правило: число aN-1 в системе счисления с основанием a записывается как N старших цифр этой системы, то есть, цифр (a-1)

    • 1_1

  • десятичное число 10N-10M = 10M * (10N-M – 1) записывается как N-M девяток, за которыми стоят M нулей:

    • 1

  • тогда как десятичное число 2N – 2K при K < N в двоичной системе записывается как N – K единиц и K нулей:

    • 1

  • то есть, существует общее правило:

    • 1_11

  • Также следует знать, что верны равенства:

    • 1
    1_1
    1_11

Решение заданий 14 ЕГЭ по информатике

Плейлист видеоразборов задания на YouTube:
Задание демонстрационного варианта 2022 года ФИПИ

Определите наибольшее/наименьшее значение x, y

14_14:

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15.

82x19₁₅ – 6x073₁₅

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 15-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 11. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 11 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

✍ Решение:

    ✎ Решение с использованием программирования:

    PascalABC.net:

    1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

    uses school;
begin
  foreach var x in '0123456789abcde' do
  begin
    var a := dec('82'+ x +'19', 15);
    var b :=dec('6' + x +'073', 15);
    var sum := a - b;
    if sum mod 11 = 0 then
    begin
      print(sum / 11);
      break;
    end
  end;
end.
    Python:
    С++:

Ответ: 7806

Сколько цифр или сумма цифр

14_12:

Значение арифметического выражения 

43∙7103 – 21∙757 + 98

записали в системе счисления с основанием 7.
Найдите сумму цифр получившегося числа и запишите её в ответе в десятичной системе счисления.

✍Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net, Решение 1:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

begin
  var x,s: Biginteger;
  x := 43*Biginteger.Pow(7, 103) - 21*Biginteger.Pow(7, 57) + 98;
  // в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 7-й системе сч.
  s:=0;
  while x > 0 do
  begin
    s:=s+ x mod 7; // добавляем цифру правого разряда
    x := x div 7; // убираем разряд числа в 7-й системе сч.
  end;
  println(s);
end.
PascalABC.net, Решение 2:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

uses school;
 
begin
  var n: bigInteger;
  n := 43 * Biginteger.Pow(7, 103) - 21 * Biginteger.Pow(7, 57) + 98;
  print(n.ToString.ToBase(7).CountOf('1') +
    n.ToString.ToBase(7).CountOf('2') * 2 + 
    n.ToString.ToBase(7).CountOf('3') * 3 +
    n.ToString.ToBase(7).CountOf('4') * 4 +
    n.ToString.ToBase(7).CountOf('5') * 5 +
    n.ToString.ToBase(7).CountOf('6') * 6);
end.
Python:

1
2
3
4
5
6
7

x = 43*7**103 - 21*7**57 + 98
s = 0
# в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 7-й системе сч.
while x: 
    s+= x % 7 # добавляем цифру к сумматору
    x //= 7 # убираем разряд числа в 7-й системе сч.
print( s )
С++:

Результат: 276

14_1:

Значение арифметического выражения:
21024 + 464 — 64
записали в системе счисления с основанием 2.

Сколько цифр «1» содержится в этой записи?

Типовые задания для тренировки

✍Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net, Решение 1:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

begin
  var k := 0;
  var x: Biginteger;
  x := Biginteger.Pow(2, 1024) + Biginteger.Pow(4, 64) - 64;
  // в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 2-й системе сч.
  while x > 0 do
  begin
    if x mod 2 = 1 then k += 1; // если цифра = 1, то считаем ее
    x := x div 2; // убираем разряд числа в 2-й системе сч.
  end;
  println(k);
end.
PascalABC.net, Решение 2:

1
2
3
4
5
6
7

uses school;
 
begin
  var x: bigInteger;
  x := Biginteger.Pow(2, 1024) + Biginteger.Pow(4, 64) - 64;
  print(x.ToString.ToBase(2).CountOf('1'));
end.
Python:

1
2
3
4
5
6
7
8

x = 2**1024 + 4**64 - 64
k = 0
# в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 2-й системе сч.
while x: 
    if x % 2 == 1: # если цифра = 1, то считаем ее
        k += 1
    x //= 2 # убираем разряд числа в 2-й системе сч.
print( k )
С++:

✎ Решение теоретическое:

  • Существует правило:

    • 2N = 10..02(1 единица и N нулей)

  • Чтобы воспользоваться этим правилом, преобразуем общее выражение к степеням двойки:
    • 21024 + (22)64 - 26 = 21024 + 2128 - 26
  • При переводе в двоичную систему получим:
    • 10...0 (1024 нуля) + 10...0 (128 нулей) - 10...0 (6 нулей)
  • Обратим внимание, что разница между числами большая. Т.е. при выполнении сложения в столбик, единицы в одном и том же разряде быть не могут. Так:
    •  10....00000  - 1024 нуля
+
       10..0  - 128 нулей
_________________________
 10....10..0
  • Из первого слагаемого 10…0 (1024 нуля) запомним одну единицу в старшем бите, остальные нули нас не интересуют, так как далее мы воспользуемся другим правилом — для разницы:
    •  10....00000  - 1024 нуля
+
       10..0  - 128 нулей
_________________________
 10....10..0  - запомним единицу
  • Существует также правило:

    • 2N — 2K = 1…1 (N - K единиц)0…0(K нулей)

  • По формуле выполним вычитание 2128 — 26: получим 1..1 (122 единицы) 0..0(6 нулей):
    •  10..0000000  - 128 нулей
-
     1000000  
_________________________
 11..1000000  - 122 единицы и 6 нулей
  • Прибавим к 122 получившимся единицам еще одну из первого слагаемого (10…0 (1024 нуля)) и получим:
    • 122 + 1 = 123 единицы

Результат: 123

Также можно посмотреть видео решения 14 задания ЕГЭ по информатике (аналитическое решение):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

14_3: 14 задание. Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика:

Значение арифметического выражения:
4910 + 730 – 49
записали в системе счисления с основанием 7.

Сколько цифр «6» содержится в этой записи?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net, решение 1:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

begin
  var x: Biginteger;
  x := Biginteger.Pow(49, 10) + Biginteger.Pow(7, 30) - 49;
  // в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 7-й системе сч.
  var k:=0;
  while x > 0 do
  begin
    if x mod 7 = 6 then k+=1; // если цифра = 6, то считаем ее
    x := x div 7; // убираем разряд числа в 7-й системе сч.
  end;
  println(k);
end.
PascalABC.net, решение 2:

1
2
3
4
5
6
7

uses school;
 
begin
  var x: bigInteger;
  x := Biginteger.Pow(49, 10) + Biginteger.Pow(7, 30) - 49;
  print(x.ToString.ToBase(7).CountOf('6'));
end.
Python:

1
2
3
4
5
6
7
8

x = 49**10 + 7**30 - 49
k = 0
# в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 7-й системе сч.
while x: 
    if x % 7 == 6: # если цифра = 6, то считаем ее
        k += 1
    x //= 7 # убираем разряд числа в 7-й системе сч.
print( k )
С++:

✎ Решение теоретическое:

  • Приведем все числа к степеням 7:
    • 720 + 730 - 72
  • Расставим операнды выражения в порядке убывания степеней:
    • 730 + 720 - 72
  • Вспомним две формулы для работы со системами счисления:
    • 1.
an = 10..0a
       n
2.
an - am = (a-1)..(a-1)0..0a
              n-m       m
  • Переведем первое число согласно формуле 1:
    • 730 = 10..0
        30
  • В данном числе нет цифры 6, как и в остальных числах.
  • Цифра 6 появляется при выполнении вычитания.
  • Подсчитаем все «6», используя формулу 2:
    • 0 + (20 - 2) = 18
  • Получаем шестерок: 18

Результат: 18

Подробное решение 14 задания демоверсии ЕГЭ смотрите на видео (аналитическое решение):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

14_2:

Значение арифметического выражения:
4500 + 3*42500 + 16500 — 1024
записали в системе счисления с основанием 4.

Сколько цифр «3» содержится в этой записи?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net:

1
2
3
4
5
6
7

uses school;
 
begin
  var x: bigInteger;
  x := Biginteger.Pow(4,500) + 3*Biginteger.Pow(4,2500) + Biginteger.Pow(16,500) - 1024;
  print(x.ToString.ToBase(4).CountOf('3'));
end.
Python:

1
2
3
4
5
6
7
8

x = 4**500 + 3*4**2500 + 16**500 - 1024
k = 0
# в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 4-й системе сч.
while x: 
    if x % 4 == 3: # если цифра = 3, то считаем ее
        k += 1
    x //= 4 # убираем разряд числа в 4-й системе сч.
print( k )
С++:

Результат: 496

Подробное решение данного 14 задания ЕГЭ по информатике можно посмотреть на видео (аналитическое решение):

📹 YouTube здесь
📹 Видеорешение на RuTube здесь

14_5:

Значение арифметического выражения: 81024 + 832 – 65 – записали в системе счисления с основанием 8. Сколько цифр «7» содержится в этой записи?

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net:

1
2
3
4
5
6
7

uses school;
 
begin
  var x: bigInteger;
  x := Biginteger.Pow(8,1024) + Biginteger.Pow(8,32) - 65;
  print(x.ToString.ToBase(8).CountOf('7'));
end.
Python:

1
2
3
4
5
6
7
8

x = 8**1024 + 8**32 - 65
k = 0
# в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 8-й системе сч.
while x: 
    if x % 8 == 7: # если цифра = 7, то считаем ее
        k += 1
    x //= 8 # убираем разряд числа в 8-й системе сч.
print( k )
С++:

✎ Решение теоретическое:

  • Приведем все числа к степеням восьмерки:
    • 65 = 64 + 1 = 82 + 80;
  • Получаем:
    • 81024 + 832 - (82 + 80);
81024 + 832 - 82 - 80
  • Вспомним две формулы для работы с системами счисления:
    • 1.
an = 10..0a
       n
2.
an - am = (a-1)..(a-1)0..0a
              n-m       m
  • Переведем первое число согласно формуле 1:
    • 81024 = 10..0
        1024
  • В данном числе нет цифры 7, как и в остальных числах.
  • Цифра 7 появляется при выполнении вычитания. У нас два таких действия, идущих подряд. Это неудобно. Необходимо, чтобы действия чередовались (a + b — c + d — e…)
  • Вспомним еще одну формулу:
    • 3.

    -2n = -2n+1 + 2n

    
! Формула предназначена для чисел в двоичной системе счисления,
но для подсчета цифр "7" в 8-й (или "6" в 7-й и т.п.) ее можно использовать
(для поиска единиц или нулей она не подходит!!!)
  • В нашем случае заменим часть выражения:
    • -82 = -83 + 82
! обратите внимание, что тождество неверно, но
при поиске количества "7" этой формулой можно воспользоваться
(для поиска единиц или нулей она не подходит!)


Получаем:

81024 + 832 - 83 + 82- 80
  • Получили чередование операций «+» и «-«.
  • Теперь посчитаем все «7», используя формулу 2:
    • 0 + (32 - 3) + (2 - 0) = 31
  • Получаем семерок: 31

Результат: 31

14_13:

Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4350 + 8340 – 2320 – 12?

✍ Решение:

✎ Решение с использованием программирования:

PascalABC.net, решение 1:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

begin
  var b2 := biginteger(2);
  var numb := (2 * b2) ** 350 + (4 * b2) ** 340 - (1 * b2) ** 320 - 12;
  var digit: biginteger;
  var n := 0;
  while numb > 0 do
  begin
    digit := numb mod 2;
    if digit = 0 then n += 1;
    numb := numb div 2
  end;
  print(n)
 end.
PascalABC.net, решение 2:

1
2
3
4
5
6
7

uses school;
 
begin
  var x: bigInteger;
  x := Biginteger.Pow(4,350) + Biginteger.Pow(8,340) - Biginteger.Pow(2,320) - 12;
  print(x.ToString.ToBase(2).CountOf('0'));
end.
Python:

1
2
3
4
5
6
7

x = 4**350 + 8**340 - 2**320 - 12
print(x)
k = 0
while x:
  if x % 2 == 0: k += 1
  x //= 2
     print( k )
С++:

✎ Решение теоретическое:

    4350 + 8340 – 2320 – 12

  • По возможности приведем каждое слагаемое к степеням 2. Получим:
    • (22)350 + (23)340 - 2320 - 3*22 =
(22)350 + (23)340 - 2320 - 12 =
2700 + 21020 - 2320 - (23 + 22)
  • Далее рассуждаем так: количество нулей можно найти, если из общего количества цифр в результирующем числе вычесть количество не нулей (любых других цифр).
  • Расположим операнды по убыванию:
    • 21020 + 2700 - 2320 - 23 - 22
  • Наибольшее число 21020, в нем 1021 разряд в двоичной с.с. (одна единица и 1020 нулей). То есть всего 1021 знаков.
  • Для того, чтобы избежать два подряд идущих минуса, воспользуемся правилом -2n = -2n+1+2n и преобразуем выражение:
    • 21020 + 2700 - 2321+ 2320- 24 + 23 - 22
  • Посчитаем количество не нулей в каждом операнде:
    • 21020 -> один не ноль
2700 - 2321 -> 379 не нулей
2320- 24 -> 316 не нулей 
23 - 22 -> один не ноль
Итого: 1+ 379+316 +1 = 697
  • Получаем нулей:
    • 1021 - 697 = 324

    Результат: 324

    Найти основание системы счисления и уравнения

    14_7:

    Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе счисления с основанием 3.

    Типовые задания для тренировки

    ✍ Решение:

    • Для начала достаточно перевести первое и последнее число предложенного интервала в троичную систему счисления. Сделаем это:
      • 1.
 13 | 3 
 12   4 | 3 
  1   3   1   
      1
1310 = 1113

2.
23 | 3 
21   7 | 3 
2    6   2
     1
2310 = 2123
    • Теперь добавим промежуточные числа в троичной системе счисления (прибавляя единицу к каждому очередному полученному числу), не забывая, что в троичной системе всего три цифры (0, 1 и 2):
      • 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212
    • На всякий случай стоит посчитать количество полученных чисел и сравнить их с количеством чисел в исходной последовательности.
    • Теперь осталось посчитать количество цифр 2 в полученной последовательности. Их 13:
      • 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212

    Ответ: 13

    ✍ Решение:

    • Разделим уравнение на три части и вычислим каждую часть отдельно (выделим части разным цветом):
      • 204N+1 = 204N + 2616
 1       2     3
    • Используем формулу разложения числа по степеням основания:
      • 1. 
210
204N+1

По формуле получаем:
2*(N+1)2 + 0*(N+1)1 + 4*(N+1)0 =
= 2*(N2 + 2N + 1) + 0 + 4 = 2N2 + 4N + 6
    • Выполним то же самое для остальных двух частей:
      • 2.
210
204N

По формуле получаем:
2*N2 + 0*N1 + 4*N0 =
= 2N2 + 4

      3.
2616 = 3810
    • Подставим результаты всех частей в уравнение:
      • 2N2 + 4N + 6 = 2N2 + 4 + 38;
4N = 36;
N = 9

    Результат: 9

    ✍ Решение:

    • Вместо обозначения искомой системы счисления введем неизвестное x:
      • 144x + 24x = 201x
    • Запишем формулу перевода в десятичную систему счисления каждого из слагаемых и сумму исходного равенства:
      • 144 + 24 = 201
1*x2 + 4*x1 + 4*x0 + 2*x1 + 4*x0 = 2*x2 + 0*x1 + 1*x0
    • Упростим полученное уравнение:
      • x2 - 6x - 7 = 0
    • Решим уравнение:
      • D = b2 - 4ac = 36 - 4*1*(-7) = 64
x = (-b ± √D)/2a
x1 = (6 + 8)/2 = 7
x2 = (6 - 8)/2 - не подходит
x = 7

    Ответ: 7

    14_9:

    В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 68 и 94 заканчиваются на 3. Определите основание системы счисления.

    Типовые задания для тренировки

    ✍ Решение:

    • Вспомним правило:

      • Последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием X — это остаток от деления этого числа на X

    • Примем искомую систему счисления за x. Тогда, исходя из приведенного правила имеем:
      • 94 / x = некоторое число и остаток 3
и
68 / x = некоторое число и остаток 3
    • Поскольку x должно быть целым числом, то следующее деление должно выполняться без остатка:
      • 91/x 
65/x
    • Иными словами x — наибольший общий делитель чисел 91 и 65.
    • Найдем НОД, например, по алгоритму Евклида: 
      • 91 - 65 = 26
65 - 26 = 39
39 - 26 = 13
26 - 13 = 13
    • Получаем результат 13.

    Ответ: 13

    14_10:

    Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены *:

    X = *516 = *0*8

    Сколько чисел соответствуют условию задачи?

    Типовые задания для тренировки

    ✍ Решение:

    • Данные числа с утерянными символами переведем из 16-й и из 8-й системы счисления в двоичную. Перевод будем делать триадами и тетрадами, неизвестные позиции оставим пустыми:
      • 1. *516
    *   |    5  16

* * * * | 0 1 0 1 2

2. *0*8
  *  |  0  |  *  8
* * *|0 0 0|* * * 2
    • Сопоставим известные и неизвестные биты в обеих получившихся масках:
      • * * 0 0 0 1 0 1
    • Неизвестными остались 7-й и 8-й бит. Они не могут быть одновременно нулями, так как для *0*8 тогда исчезнет старший разряд. Поэтому оставшиеся варианты будут такими:
      • 1. 01000101
2. 10000101
3. 11000101
    • Итого 3 варианта.

    Ответ: 3

    Предлагаем посмотреть видео решения данного 14 задания ЕГЭ (аналитическое решение):

      
    📹 YouTube здесь
    📹 Видеорешение на RuTube здесь

    14_4:

    Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 75 оканчивается на 13.

    Типовые задания для тренировки

    ✍ Решение:

    • Так как 75 должно оканчиваться на 13, то имеем два общих случая:
      • 1. 7510 = 13N 
2. 7510 = ...13N (число оканчивается на 13)
    • Рассмотрим подробно каждый случай.

      • 1 случай:

    • Остаток должен быть равен 3 (последнее число в неизвестной системе), а частное должно равняться 1 (предпоследнее число в неизвестной системе):
      •  75|N 
  N|1  отсюда имеем => 75 - N = 3; т.е. N = 72
  3
    • Таким образом, мы получили одно из искомых оснований (72).

      • 2 случай:

    • Искомое оканчивается на цифру 3, значит:
      •  75|N 
 72|y  отсюда имеем => 75 = Ny + 3, где N - целое, неотриц.
  3
    • и далее, частное от деления — 1 (предпоследнее число):
      •  75|N  
 72|  y |N   => y = Nz + 1, где z - целое, неотриц.
  3  y-1|z
       1
    • Получаем два равенства (систему уравнений):
      • 75 = Ny + 3
y = Nz + 1
    • Подставим y из второго равенства в первое:
      • 75 = N (Nz + 1) + 3;
75 = N2z + N + 3;
75 = N2z + N
    • Выразим z:
      • z = (72 - N)/N2
    • Учитывая то, что z — целое неотрицательное число, то 72 — N должно быть кратно N2, т.е. в числителе не может быть простого числа.
    • Простое число 67 получается путем вычитания из 72 числа 5. Соответственно, 5 нам не подходит: N ≠ 5:
      • 72 - 5 / 52 = 67 / 25  не делится, - не подходит!
    • Еще одно простое число — 71 получится при вычитании 72 — 1. Единица не подходит, так как при переводе в конце числа никак не останется 13: N ≠ 1.
    • Раз в знаменателе N2, то отбросим все числа, квадрат которых больше 72: 9, 10, … и т.д. до бесконечности: N < 9
    • Раз в итоговом числе есть число 13, значит основание системы счисления больше 3 (т.е. цифра три присутствует в системах, начиная с 4-й): N >= 4
    • Проверим оставшиеся варианты — 4, 6, 7, 8:
      •  75 | 4 
 72 | 18| 4 
  3   16| 2
       2  => не подходит! должна быть единица

       75 | 6 
 72 | 12| 6 
  3   12| 1
       0  => не подходит! должна быть единица

       75 | 7 
 70 
  5 => не подходит! должна быть 3 

       75 | 8 
 72 | 9| 8 
  3   8| 1
       1  => подходит!

    Результат: 8,72

    Видеоразбор решения (аналитический способ):

    📹 YouTube здесь
    📹 Видеорешение на RuTube здесь

    14_11:

    Выражение 25*325 записано в троичной системе счисления. Определите, сколько в этой записи цифр 0, 1 и 2.

    ✍ Решение:

      Рассмотрим каждый сомножитель отдельно.

    • Первый сомножитель:
      • 25 = 32

Переведем в троичную систему счисления (делением на 3, переписываем остатки).
Результат:
3210 = 10123
    • Для рассмотрения второго сомножителя будем использовать правило:

    • Получим:
      • 325 = 10..0{25 нулей}3
    • Выполним произведение, но для простоты счета, представим, что нулей не 25, а только 3:
      •    1000 x
   1012 =
   ----
   2000
  1000
 0000
1000
-------
1012000
    • В исходном числе было 3 нуля, стало 4. Значит если было 25 нулей, то станет 25 + 1 = 26.
    • Единиц = 2, двоек = 1.

    Ответ: «0»=26, «1»=2, «2»=1

    Смотрите видео разбора на нашем канале (аналитическое решение):
    📹 YouTube здесь
    📹 Видеорешение на RuTube здесь

    Источник

    Сегодня разберём теоретический аспект работы с различными системами счисления. Основными системами счисления являются: двоичная, восьмеричная, десятичная (наша родная) и шестнадцатиричная.

    Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатиричную систему счисления.

    Для начала нужно написать себе в черновик следующую таблицу:

    Таблица перевода из двоичной системы в шестнадцатиричную систему

    Давайте рассмотрим данную таблицу. В первом столбце идут числа от 0 до 15 в нашей родной десятичной системе счисления. Во втором столбце идут числа так же от 0 до 15, но уже в двоичной системе, а в третьем тоже от 0 до 15 в шестнадцатиричной системе счисления.

    Написать числа от 0 до 15 в нашей родной десятичной системе не у кого затруднений не вызовет.

    Числа в двоичной же системе лучше всего написать по следующему правилу: в младшем разряде чередуем ноль и единицу, в следующем разряде чередование нулей и единиц происходит в два раза медленнее (два нуля, две единицы, два нуля и т.д.), в следующем разряде ещё в два раза медленнее чередование (4 нуля, 4 единицы и т.д.) и наконец 8 нулей и 8 единиц — в самом старшем разряде.

    В шестнадцатиричной системе счисления помимо наших привычных символов от 0 до 9 придуманы символы A, B, С, D, E, F, и из этих 16 символов (от 0 до 15) составляется любое число, так же как в нашей системе составляется любое число из десяти цифр (от 0 до 9).Соответственно, чтобы посчитать от 0 до 15 — нужно перебрать все символы, которые имеются в шестнадцатиричной системе (от 0 до F).

    Теперь рассмотрим, как с помощью данной таблицы переводить из двоичной системы в шестнадцатиричную. Переведём число 100101000 из двоичной системы в шестнадцатиричную.

    Перевод из двоичной системы в шестнадцатиричную

    Чтобы выполнить данную задачу, необходимо разбить наше двоичное число по 4 цифры начиная с правого края, и каждую 4-ку цифр нужно найти в нашей таблице: 1000 — это будет 8, 0010 — 2, 0001 -это 1. В старшем разряде у нас осталась одна единица, мы её дополнили 3-мя нулями.

    Перевод чисел из восмеричной системы в шестнадцатириную систему

    Значит число 1001010002 в двоичной системе счисления будет 12816 в шестнадцатиричной.

    Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную
    систему счисления.

    Из двоичной системы в восьмеричную систему X2 -> X8 переводим точно так же, только теперь из таблицы берём не по четыре цифры, а по три цифры.

    Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную систему

    Таким образом, число 10011110012 в двоичной системе будет равно 11718 в восьмеричной системе.

    Перевод чисел из шестнадцатиричной системы в двоичную
    систему счисления.

    Перевод чисел из шестнадцатиричной системы в двоичную систему

    Делаем точно так же, как и при переводе чисел из двоичной в шестнадцатиричную, но в обратном порядке. По таблице смотрим: D — 1101, F — 1111, 4 — 0100. Получается число 010011111101. Слева нули мы отбрасываем 10011111101.

    4FD16 -> 100111111012.

    Перевод чисел из восьмеричной системы в двоичную
    систему счисления.

    Перевод чисел из восьмеричной системы в двоичную систему

    Поступаем, как мы поступали ранее. Разбиваем каждую цифру восьмеричной системы по 3 цифры двоичной системы, используя таблицу, которая приведена в начале статьи. Нули слева откидываем.

    3478 -> 111001112.

    Перевод чисел из двоичной системы в десятичную
    систему счисления.

    Переведём число:

    Перевод чисел из двоичной системы в десятичную систему

    Берём цифры двоичного числа, начиная с младшего разряда (т.е. справа), и начинаем умножать на двойку в соответствующей степени. Степень начинается с нуля и с каждым разом увеличивается на 1. Все эти произведения суммируем.

    Перевод чисел из двоичной системы в десятичную

    После вычисления получаем число в десятичной системе:

    Перевод чисел из двоичной системы в десятичную 2

    Результат 110100112 -> 21110

    Перевод чисел из десятичной системы в двоичную
    систему счисления.

    Рассмотрим, как перевести из десятичной системы в двоичную. Возьмём число 213.

    Перевод чисел из десятичной системы в двоичную

    Перевод чисел из шестнадцатиричной системы в восьмеричную систему
    счисления и обратно.

    Переведём число A10 из шестнадцатиричной системы в восьмеричную A1016 -> X8.

    Перевод чисел из шестандцатиричной системы в восьмеричную систему

    Разбиваем каждую цифру шестнадцатиричного кода по 4-ри цифры двоичного кода из таблицы в начале статьи (Т.е. переводим число в двоичную систему). Полученное число разбиваем по три цифры — и собираем число уже в восьмеричной системе — как показано на рисунке. Обратно переводим аналогично, только в обратном порядке.

    Перевод чисел из шестнадцатиричной системы в десятичную
    систему счисления.

    Переведём число 5B3 из шестнадцатиричной системы в десятичную систему счисления 5B316 -> X10.

    Перевод чисел из шестандцатиричной системы в десятичную систему счисления

    Действуем точно также, как при переводе из двоичной системы в десятичную, только умножаем цифры на 16 в соответствующей степени. Буквы превращаем в десятичные числа из таблицы. Начинаем, как всегда, справа, т.е. с младшего разряда.

    Перевод чисел из шестандцатиричной системы в десятичную систему счисления 2

    Перевод чисел из десятичной системы в шестнадцатиричную
    систему счисления.

    Переведём число 203 из десятичной системы в шестнадцатиричную систему счисления 20310 -> X16

    Перевод чисел из десятичной системы в шестнадцатиричную систему

    Делим число на 16 до тех пор пока не получится число от 1 до 15. Записываем остатки в обратном порядке. Числа от 10 до 15 превращаем в буквы.

    Перевод чисел из восьмеричной системы в десятичную
    систему счисления.

    Переведём число 347 из восьмеричной системы в десятичную систему счисления 3478 -> X10

    Перевод чисел из восьмиричной системы в десятичную систему

    Делаем аналогично предыдущим примерам, только теперь умножаем на 8 в соответствующей степени.

    Перевод чисел из десятичной системы в восьмиричную
    систему счисления.

    Делаем аналогично предыдущим примерам.

    Перевод чисел из десятичной системы в восьмеричную систему

    Источник

    Важной темой информатики являются «Системы счисления», позволяющие кодировать информацию, записывать цифры в разных формах, понятных пользователю или компьютеру. В статье разберем основы темы, использующиеся при выполнении номеров 8 и 14 ЕГЭ.  

    Общие понятия

    Системой счисления называют символический способ записи чисел. Позиционные варианты (например, распространенный десятичный) определяют значение знака по расположению. Непозиционные местоположение цифры в записи числа не учитывают. Обе разновидности имеют основание, указывающее количество возможных цифр. Десятичный формат содержит 10 знаков (0-9). Более младшие разряды числа находятся справа, более старшие — слева. Существуют другие распространенные формы записи. Например, двоичную используют современные электронные устройства. Информация кодируется двумя уровнями сигнала — ток присутствует (единица), ток отсутствует (нуль). Применяются восьмеричная, шестнадцатеричная способы записи — последняя наравне с цифрами содержит буквы латинского алфавита. Представим первые 16 чисел: 

    Десятичная

    Двоичная

    Восьмеричная

    Шестнадцатеричная

    0

    0000

    0

    0

    1

    0001

    1

    1

    2

    0010

    2

    2

    3

    0011

    3

    3

    4

    0100

    4

    4

    5

    0101

    5

    5

    6

    0110

    6

    6

    7

    0111

    7

    7

    8

    1000

    10

    8

    9

    1001

    11

    9

    10

    1010

    12

    A

    11

    1011

    13

    B

    12

    1100

    14

    C

    13

    1101

    15

    D

    14

    1110

    16

    E

    15

    1111

    17

    F

    Перевод чисел

    Число, записанное десятичной системой счисления, раскладывается по степеням десяти благодаря следующему выражению: 

    Х10 = An-1 ⋅10n-1 +  An-2 ⋅10n-2 + … + A1 ⋅101 + A0 ⋅100

    Приведем пример: 

    5183 = 5⋅103 + 1⋅102 + 8⋅101 + 3⋅100

    Подобные вычисления проводятся для остальных форматов, достаточно заменить цифру «10» подходящим основанием. Данным способом получится осуществить перевод между системами счисления. Например: 

    2C416 = 2⋅162 + 12⋅161 +  4⋅160 =  2⋅256 + 12⋅16 + 4⋅1 =  512 + 192 + 4 = 70810

    Рассмотрим способ перевода цифр из десятичной формы записи. Получить ответ нетрудно — достаточно разделить число на нужное основание поэтапно, пока частное не окажется меньше делителя. Записывая результат, используем остатки. Писать следует, начиная с последнего знака. Приведем пример перевода в двоичную систему счисления:

    Результатом оказывается 101010012.

    Мы разобрали тему «Системы счисления», научились осуществлять перевод между различными формами записи цифр. Данные знания помогут выполнить задания экзамена. Планируете изучить остальные вопросы ЕГЭ? Подойдут курсы «Уникум» Российского университета дружбы народов! Опытные преподаватели объяснят теорию, расскажут правила выполнения практических номеров. Закрепить знания поможет учебный портал Unikum. 

    Материал данной статьи носит ознакомительный характер. При подготовке к сдаче ЕГЭ пользуйтесь дополнительными источниками информации!  

    Источник

    Разработки уроков (конспекты уроков)

    Среднее общее образование

    Информатика

    Внимание! Администрация сайта rosuchebnik.ru не несет ответственности за содержание методических разработок, а также за соответствие разработки ФГОС.

    Чтобы выполнить любое первое задание необходимо знать понятие систем счисления, правила перевода из одной системы в другую.

    В повседневной жизни человек пользуется в основном одной системой счисления – десятичной, и о существовании других узнает только на уроках информатики.

    Систем счисления много, рассмотрим самые распространённые.

    Десятичная система состоит из десяти цифр: 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (n = 10)

    Двоичная система: 0, 1 (n = 2)

    Восьмеричная система: 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7 (n =  8)

    Шестнадцатеричная система: 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (n = 16)

    Алгоритм перевода из одной системы в десятичную:

    При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер – 1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.

    Примеры:

    (десятичный индекс внизу указывает основание системы счисления):

    23,4310 = 2*101 + 3*100 + 4*10–1 + 3*10–2

    (в данном примере знак «3» в одном случае означает число единиц, а в другом – число сотых долей единицы);

    69210 = 6*102 + 9*101 + 2*100.

    («Шестьсот девяносто два» с формальной точки зрения представляется в виде «шесть умножить на десять в степени два, плюс девять умножить на десять в степени один, плюс два»).

    11012 = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20;

    341,58 =3*82+ 4*81 + 1*80 + 5*8–1;

    A1F416 = A*162 + 1*161 + F*160 + 4*16–1.

    Пример:

    Перевести данное число в десятичную систему счисления.

    а) 10000012.

    10000012 = 1 × 26 + 0 × 25 + 0 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 64 + 1 = 6510.

    Замечание. Очевидно, что если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.

    При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм:

    Целая и дробная части переводятся порознь.

    1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

    2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дробь в системе счисления с основанием P. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.

    Примеры:29,7310 будем переводить в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

    Схема

    0,73 • 2 = 1,46 (целая часть 1), 0,46 • 2 = 0,92 (целая часть 0 ), 0,92 • 2 = 1,84 (целая часть 1), 0,84 • 2 = 1,68 (целая часть 1) и т.д.

    Таким образом

    29,7310 = 11101,1011…2.

    Для перевода из шестнадцатеричной в двоичную систему можно воспользоваться следующим способом:

    2А4716

    Так как в двоичной системе счисления шестнадцатеричное представляется в виде тетрард, то этот способ наиболее удобен

    Степень двойки от 0 до 3

    Число

    23

    22

    21

    20

    2

    0

    0

    1

    0

    А(10)

    1

    0

    1

    0

    4

    0

    1

    0

    0

    7

    0

    1

    1

    1

    Чтобы получить 2 мы должны 21

    Чтобы получить 10 мы должны к 8 + 2 = 23 + 21

    4 это 22

    7 это 22 + 21 + 20

    В таблице где результат совпадает со значением ставим 1, где нет 0.

    Этот способ подходит и для перевода из восьмеричной системы в двоичную, только в таблице последней степенью двойки будет 22.

    Источник
    Подробности
    Категория: Подготовка к ЕГЭ по информатике от МГИУ

    Ведущий — Верещагин Алексей Георгиевич, ассистент кафедры информационных систем и технологий МГИУ.

    Выпуск 1. Системы счисления. На данном занятии происходит знакомство с позиционными системами счисления, вводится понятие основания системы счисления, а также на простых примерах рассматриваются методы перевода чисел в системы счисления с различными основаниями. В частности, рассматриваются алгоритмы перевода из десятичной системы счисления в систему счисления с произвольным основанием и обратный, а также алгоритм перевода из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и наоборот через двоичную систему счисления.

    Источник

    Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Системы счисления егэ информатика задания
  • Системы счисления егэ информатика 2022
  • Системы стихосложения егэ по литературе
  • Системы с параметрами егэ по математике
  • Системы реального времени вопросы к экзамену