Е.П. Нелин, В.А. Лазарев
АЛГЕБРА
и начала математического
анализа
10 класс
учреждений. Базовый и
§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3
Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.
Задача 1 . Решите систему уравнений
Из первого уравнения находим и подставляем во второе.
Получаем
Замечание. Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной системы.
Действительно, в таком случае имеем
Тогда, например, при n = 0 получаем
Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:
Но эти пары значений х и у не являются решениями заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.
Поэтому следует запомнить:
Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–».
Задача 2 . Решите систему уравнений
Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему
Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:
Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:
Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.
Вопросы для контроля
- Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
- Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.
Упражнения
Решите систему уравнений (1–8).
Задания по теме «Тригонометрические уравнения»
Открытый банк заданий по теме тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задание №1179
Условие
а) Решите уравнение 2(sin x-cos x)=tgx-1.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left[ frac<3pi >2;,3pi right].
Решение
а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 sin x-2 cos x-tg x=0. Учитывая, что cos x neq 0, слагаемое 2 sin x можно заменить на 2 tg x cos x, получим уравнение 1+2 tg x cos x-2 cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 cos x)=0.
1) 1-tg x=0, tg x=1, x=fracpi 4+pi n, n in mathbb Z;
2) 1-2 cos x=0, cos x=frac12, x=pm fracpi 3+2pi n, n in mathbb Z.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку left[ frac<3pi >2;, 3pi right].
x_1=fracpi 4+2pi =frac<9pi >4,
x_2=fracpi 3+2pi =frac<7pi >3,
x_3=-fracpi 3+2pi =frac<5pi >3.
Ответ
а) fracpi 4+pi n, pmfracpi 3+2pi n, n in mathbb Z;
б) frac<5pi >3, frac<7pi >3, frac<9pi >4.
Задание №1178
Условие
а) Решите уравнение (2sin ^24x-3cos 4x)cdot sqrt =0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left( 0;,frac<3pi >2right] ;
Решение
а) ОДЗ: begin tgxgeqslant 0\xneq fracpi 2+pi k,k in mathbb Z. end
Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений
left[!!begin 2 sin ^2 4x-3 cos 4x=0,\tg x=0. endright.
Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену cos 4x=t, t in [-1; 1]. Тогда sin^24x=1-t^2. Получим:
t_1=frac12, t_2=-2, t_2notin [-1; 1].
4x=pm fracpi 3+2pi n,
x=pm fracpi <12>+frac<pi n>2, n in mathbb Z.
Решим второе уравнение.
tg x=0,, x=pi k, k in mathbb Z.
При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.
Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.
Получим: x=pi k, k in mathbb Z; x=fracpi <12>+pi n, n in mathbb Z; x=frac<5pi ><12>+pi m, m in mathbb Z.
б) Найдём корни, принадлежащие промежутку left( 0;,frac<3pi >2right].
Ответ
а) pi k, k in mathbb Z; fracpi <12>+pi n, n in mathbb Z; frac<5pi ><12>+pi m, m in mathbb Z.
Задание №1177
Условие
а) Решите уравнение: cos ^2x+cos ^2fracpi 6=cos ^22x+sin ^2fracpi 3;
б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку left( frac<7pi >2;,frac<9pi >2right].
Решение
а) Так как sin fracpi 3=cos fracpi 6, то sin ^2fracpi 3=cos ^2fracpi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению cos^2x=cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению cos^2x-cos ^2 2x=0.
Но cos ^2x-cos ^22x= (cos x-cos 2x)cdot (cos x+cos 2x) и
cos 2x=2 cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид
(cos x-(2 cos ^2 x-1)),cdot (cos x+(2 cos ^2 x-1))=0,
(2 cos ^2 x-cos x-1),cdot (2 cos ^2 x+cos x-1)=0.
Тогда либо 2 cos ^2 x-cos x-1=0, либо 2 cos ^2 x+cos x-1=0.
Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно cos x, получаем:
(cos x)_<1,2>=frac<1pmsqrt 9>4=frac<1pm3>4. Поэтому либо cos x=1, либо cos x=-frac12. Если cos x=1, то x=2kpi , k in mathbb Z. Если cos x=-frac12, то x=pm frac<2pi >3+2spi , s in mathbb Z.
Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо cos x=-1, либо cos x=frac12. Если cos x=-1, то корни x=pi +2mpi , m in mathbb Z. Если cos x=frac12, то x=pm fracpi 3+2npi , n in mathbb Z.
Объединим полученные решения:
x=mpi , m in mathbb Z; x=pm fracpi 3 +spi , s in mathbb Z.
б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.
Получим: x_1 =frac<11pi >3, x_2=4pi , x_3 =frac<13pi >3.
Ответ
а) mpi, m in mathbb Z; pm fracpi 3 +spi , s in mathbb Z;
б) frac<11pi >3, 4pi , frac<13pi >3.
Задание №1176
Условие
а) Решите уравнение 10cos ^2frac x2=frac<11+5ctgleft( dfrac<3pi >2-xright) ><1+tgx>.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу left( -2pi ; -frac<3pi >2right).
Решение
а) 1. Согласно формуле приведения, ctgleft( frac<3pi >2-xright) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что cos x neq 0 и tg x neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 cos ^2 frac x2=1+cos x. Получим уравнение: 5(1+cos x) =frac<11+5tgx><1+tgx>.
Заметим, что frac<11+5tgx><1+tgx>= frac<5(1+tgx)+6><1+tgx>= 5+frac<6><1+tgx>, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 cos x=5 +frac<6><1+tgx>. Отсюда cos x =frac<dfrac65><1+tgx>, cos x+sin x =frac65.
2. Преобразуем sin x+cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: sin x=cos left(fracpi 2-xright), cos x+sin x= cos x+cos left(fracpi 2-xright)= 2cos fracpi 4cos left(x-fracpi 4right)= sqrt 2cos left( x-fracpi 4right) = frac65.
Отсюда cos left(x-fracpi 4right) =frac<3sqrt 2>5. Значит, x-fracpi 4= arccos frac<3sqrt 2>5+2pi k, k in mathbb Z,
или x-fracpi 4= -arccos frac<3sqrt 2>5+2pi t, t in mathbb Z.
Поэтому x=fracpi 4+arccos frac<3sqrt 2>5+2pi k,k in mathbb Z,
или x =fracpi 4-arccos frac<3sqrt 2>5+2pi t,t in mathbb Z.
Найденные значения x принадлежат области определения.
б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=fracpi 4+arccos frac<3sqrt 2>5 и b=fracpi 4-arccos frac<3sqrt 2>5.
1. Докажем вспомогательное неравенство:
Заметим также, что left( frac<3sqrt 2>5right) ^2=frac<18> <25>значит frac<3sqrt 2>5
2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:
Отсюда fracpi 4+0
Аналогично, -fracpi 4
0=fracpi 4-fracpi 4 fracpi 4
При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2pi и b-2pi.
Bigg( a-2pi =-frac74pi +arccos frac<3sqrt 2>5,, b-2pi =-frac74pi -arccos frac<3sqrt 2>5Bigg). При этом -2pi
-2pi Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку left( -2pi , -frac<3pi >2right).
При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.
Действительно, если kgeqslant 1 и tgeqslant 1, то корни больше 2pi. Если kleqslant -2 и tleqslant -2, то корни меньше -frac<7pi >2.
Ответ
а) fracpi4pm arccosfrac<3sqrt2>5+2pi k, kinmathbb Z;
б) -frac<7pi>4pm arccosfrac<3sqrt2>5.
Задание №1175
Условие
а) Решите уравнение sin left( fracpi 2+xright) =sin (-2x).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; pi ];
Решение
а) Преобразуем уравнение:
cos x+2 sin x cos x=0,
x =fracpi 2+pi n, n in mathbb Z;
x=(-1)^cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z.
б) Корни, принадлежащие отрезку [0; pi ], найдём с помощью единичной окружности.
Указанному промежутку принадлежит единственное число fracpi 2.
Ответ
а) fracpi 2+pi n, n in mathbb Z; (-1)^cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z;
б) fracpi 2.
Задание №1174
Условие
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку left[ -frac<3pi ><2>; -frac<pi >2 right].
Решение
а) Найдём ОДЗ уравнения: cos 2x neq -1, cos (pi +x) neq -1; Отсюда ОДЗ: x neq frac pi 2+pi k,
k in mathbb Z, x neq 2pi n, n in mathbb Z. Заметим, что при sin x=1, x=frac pi 2+2pi k, k in mathbb Z.
Полученное множество значений x не входит в ОДЗ.
Значит, sin x neq 1.
Разделим обе части уравнения на множитель (sin x-1), отличный от нуля. Получим уравнение frac 1<1+cos 2x>=frac 1<1+cos (pi +x)>, или уравнение 1+cos 2x=1+cos (pi +x). Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 cos ^2 x=1-cos x. Это уравнение с помощью замены cos x=t, где -1 leqslant t leqslant 1 сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=frac12. Возвращаясь к переменной x , получим cos x = frac12 или cos x=-1, откуда x=frac pi 3+2pi m, m in mathbb Z, x=-frac pi 3+2pi n, n in mathbb Z, x=pi +2pi k, k in mathbb Z.
б) Решим неравенства
1) -frac<3pi >2 leqslant frac<pi >3+2pi m leqslant -frac pi 2 ,
2) -frac<3pi >2 leqslant -frac pi 3+2pi n leqslant -frac pi
3) -frac<3pi >2 leqslant pi+2pi k leqslant -frac pi 2 , m, n, k in mathbb Z.
1) -frac<3pi >2 leqslant frac<pi >3+2pi m leqslant -frac pi 2 , -frac32 leqslant frac13+2m leqslant -frac12 -frac<11>6 leqslant 2m leqslant -frac56 , -frac<11> <12>leqslant m leqslant -frac5<12>.
Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left [-frac<11><12>;-frac5<12>right] .
2) -frac <3pi>2 leqslant -frac<pi >3+2pi n leqslant -frac<pi ><2>, -frac32 leqslant -frac13 +2n leqslant -frac12 , -frac76 leqslant 2n leqslant -frac1<6>, -frac7 <12>leqslant n leqslant -frac1<12>.
Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left[ -frac7 <12>; -frac1 <12>right].
3) -frac<3pi >2 leqslant pi +2pi kleqslant -frac<pi >2, -frac32 leqslant 1+2kleqslant -frac12, -frac52 leqslant 2k leqslant -frac32, -frac54 leqslant k leqslant -frac34.
Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-pi.
Ответ
а) frac pi 3+2pi m; -frac pi 3+2pi n; pi +2pi k, m, n, k in mathbb Z;
Тригонометрические уравнения и преобразования
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.
Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.
Значения тригонометрических функций некоторых углов
$α$ | $ 0$ | $<π>/<6>$ | $<π>/<4>$ | $<π>/<3>$ | $<π>/<2>$ | $π$ |
$sinα$ | $ 0$ | $ <1>/<2>$ | $ <√2>/<2>$ | $ <√3>/<2>$ | $ 1$ | $ 0$ |
$cosα$ | $ 1$ | $ <√3>/<2>$ | $ <√2>/<2>$ | $ <1>/<2>$ | $ 0$ | $ -1$ |
$tgα$ | $ 0$ | $ <√3>/<3>$ | $ 1$ | $ √3$ | $ -$ | $ 0$ |
$ctgα$ | $ -$ | $ √3$ | $ 1$ | $ <√3>/<3>$ | $ 0$ | $ -$ |
Периоды повтора значений тригонометрических функций
Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.
Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:
- если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($<π>/<2>$ и $<3π>/<2>$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
- чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.
Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.
Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.
$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования
Четность тригонометрических функций
Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$
Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$
Тригонометрические тождества
- $tgα=/$
- $ctgα=/$
- $sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)
Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса
Вычислить $sin t$, если $cos t = <5>/ <13>; t ∈(<3π>/<2>;2π)$
Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(<3π>/<2>;2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус
источники:
http://academyege.ru/theme/trigonometricheskie-uravneniya-3.html
http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/trigonometricheskie_vyrageniya
Материалы для подготовки к ЕГЭ. Онлайн-Справочник по математике.
Раздел 4 «Уравнения и системы уравнений» (§§ 14-16). Уравнения с одной переменной. Уравнения с двумя переменными. Система уравнений.
ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА
Раздел IV. Уравнения и системы уравнений
ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА
§ 14. Уравнения с одной переменной.
138. Определение уравнения. Корни уравнения.
139. Равносильность уравнений.
140. Линейные уравнения.
141. Квадратные уравнения.
142. Неполные квадратные уравнения.
143. Теорема Виета.
144. Системы и совокупности уравнений.
145. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
146. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни.
147. Уравнения с переменной в знаменателе.
148. Область определения уравнения.
149. Рациональные уравнения.
150. Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители.
151. Решение уравнений методом введения новой переменной.
152. Биквадратные уравнения.
153. Уравнения высших степеней.
154. Решение задач с помощью уравнений.
155. Иррациональные уравнения.
156. Показательные уравнения.
157. Логарифмические уравнения.
158. Показательно-логарифмические уравнения.
159. Простейшие тригонометрические уравнения.
160. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители.
161. Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.
162. Однородные тригонометрические уравнения.
163. Универсальная подстановка.
164. Метод введения вспомогательного аргумента.
165. Графическое решение уравнений.
166. Уравнения с параметром.
§ 15. Уравнения с двумя переменными.
167. Решение уравнения с двумя переменными.
168. График уравнения с двумя переменными.
169. Линейное уравнение с двумя переменными и его график.
§ 16. Системы уравнений.
170. Системы двух уравнений с двумя переменными. Равносильные системы.
171. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.
172. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения.
173. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных.
174. Определители второго порядка. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными.
175. Симметрические системы.
176. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными.
177. Системы трех уравнений с тремя переменными.
178. Определители третьего порядка. Исследование систем трех линейных уравнений с тремя переменными.
179. Системы показательных и логарифмических уравнений.
180. Системы тригонометрических уравнений.
ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА
Материалы для подготовки к ЕГЭ. Онлайн справочник по математике.
Раздел 4 «Уравнения и системы уравнений» (§§ 14-16). Уравнения с одной переменной. Уравнения с двумя переменными. Система уравнений.
Просмотров:
4 600
Тригонометрические уравнения
-
Замена переменной и сведение к квадратному уравнению
-
Разложение на множители
-
Однородные уравнения
-
Введение дополнительного угла
-
Универсальная подстановка
-
Учет ОДЗ уравнения
-
Метод оценки
-
Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
Приемы решения
В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений и методах их решения. Тригонометрические уравнения чаще всего встречаются в задаче 12 ЕГЭ.
В вариантах ЕГЭ задача, где нужно решить уравнение, состоит из двух пунктов. Первый пункт – решение самого уравнения. Второй – нахождение его корней на некотором отрезке.
Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) являются универсальными, то есть применяются и в других разделах математики. Другие являются специфическими именно для тригонометрии.
Необходимых формул по тригонометрии не так уж и много. Учите наизусть!
Тригонометрические формулы.
Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к простейшим, то есть к уравнениям вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.
Если вы не помните, как решать простейшие тригонометрические уравнения, — читайте материал на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 1.
О том, что такое арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, — еще одна статья на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения,часть 2.
Теперь — сами методы. Теория и примеры решения задач.
к оглавлению ▴
Замена переменной и сведение к квадратному уравнению
Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях — степенных, показательных, тригонометрических, логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала преобразовать.
1. а) Решите уравнение:
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
а) Рассмотрим уравнение
Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество:
Заменяя sin x на t, приходим к квадратному уравнению:
Решая его, получим:
Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит нас к уравнению
Оно не имеет решений, поскольку
Второй корень даёт простейшее уравнение
Решаем его:
б) Найдем корни уравнения на отрезке с помощью двойного неравенства.
Разделим обе части неравенства на
Вычтем из обеих частей неравенства:
Разделим на 2 обе части неравенства:
Единственное целое решение – это n=0. Тогда — это единственный корень, который принадлежит отрезку
Ответ:
2. а) Решите уравнение:
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
а)
Выразим косинус двойного угла по формуле
Получим:
Заменяя cosx на t, приходим к квадратному уравнению:
1)
2) нет решений, т. к.
Получим:
б) Отметим отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.
Видим, что данному отрезку принадлежит только точка
Ответ: а)
б)
3. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
а) Чтобы упростить уравнение применяем формулу приведения.
Так как получим:
Сделаем замену: Получим квадратное уравнение:
Сделаем обратную замену.
1) — нет решений, т. к.
2)
б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку , с помощью двойного неравенства.
Для серии решений получим:
Так как то
Для серии решений получим:
отсюда
У этого неравенства нет целых решенией, и значит, из второй серии ни одна точка в указанный отрезок не входит.
Ответ: а)
б)
к оглавлению ▴
Разложение на множители
Во многих случаях уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.
4. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке
Решение:
а) Применяем формулу синуса двойного угла:
Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что cos x обратится в нуль, и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель выносим за скобки:
Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: cosx = 0 и 2sinx — 1 = 0.
Получим:
Все эти три серии решений являются ответом в части (а).
б) Отметим отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.
Видим, что данному отрезку принадлежат точки
Ответ: а)
б)
5. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке
Решение:
Применим формулу суммы синусов:
Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче:
Решаем уравнение :
(1) |
Решаем уравнение :
(2) |
Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).
Поэтому ответ в пункте (а):
б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью двойного неравенства:
Этот промежуток содержит 8 целых чисел: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Для каждого из этих n найдем x. Получим 8 решений на данном промежутке:
Ответ: а)
б)
6. В следующей задаче также применяется метод разложения на множители. Но это заметно не сразу.
а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке
Решение:
Используем формулу понижения степени:
Получаем:
Применяем формулу суммы косинусов:
Получаем:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Уравнение равносильно совокупности:
б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью двойного неравенства:
1)
Решив неравенство, получим:
Так как n ∈ Z, получим для n целые значения: 0, 1, 2.
Им соответствуют решения:
2) Из серии решений на указанном отрезке лежит только корень Но он уже входит в первую серию решений.
Можно также заметить, что вся вторая серия решений является подмножеством первой.
Ответ: а)
б)
к оглавлению ▴
Однородные уравнения
7. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке
Решение:
Такое уравнение называется однородным.
Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене степень каждого слагаемого равна двум. Мы помним, что степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей.
Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на .
Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?
Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.
Предположим, что cosx = 0. Тогда в силу уравнения и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию cosx 0, и мы можем поделить обе его части на .
В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса:
Сделаем замену: получим:
б) Отметим отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.
О том, как отметить на единичной окружности точки из первой серии решений, то есть арктангенс минус трех, читайте здесь: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 2.
Видим, что данному отрезку принадлежат точки:
Ответ: а)
б)
8. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке
Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение
Получили однородное уравнение второй степени.
Так как не существует такой точки на единичной окружности, в которой одновременно синус и косинус равнялись бы нулю, мы разделим обе части уравнения на .
Получим:
Выполним замену: tgx = y, получим:
Обратная замена:
Ответом в пункте (а) являются две серии решений.
б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью единичной окружности. Для этого отметим на ней данный отрезок и найденные серии решений.
Видим, что данному отрезку принадлежит только точка
Ответ: а)
б)
к оглавлению ▴
Введение дополнительного угла
Этот метод применяется для уравнений вида acosx + bsinx=c. Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.
9. а) Решим уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке
Решение:
Делим обе части на 2:
Замечаем, что
В левой части получили синус суммы:
отсюда
б) Отметим на единичной окружности отрезок и найденные серии решений.
Обратите внимание, что в этой задаче отрезок больше, чем полный круг. Как нам поступить? Один из способов – нарисовать рядом две окружности.
Видим, что данному отрезку принадлежат точки:
Ответ: а)
б)
Другой пример.
10. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке
Решение:
Делим обе части на
Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:
б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью единичной окружности. Отметим на ней данный отрезок и найденные серии решений.
Видим, что данному отрезку принадлежат точки 0 и
Ответ: а)
б)
Покажем, как применяется метод введения дополнительного угла в общем случае.
Рассмотрим уравнение
Делим обе части на
(4) |
Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:
Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла :
Соотношение (4) тогда приобретает вид:
или
Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол
к оглавлению ▴
Универсальная подстановка
Запомним две важные формулы:
Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной тригонометрической подстановки.
Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.
11. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке
Решение:
Выражаем , используя универсальную тригонометрическую подстановку:
Делаем замену :
Получаем кубическое уравнение:
Оно имеет единственный корень .
Стало быть, , откуда .
Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .
б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью двойного неравенства:
Получим, что
Ответ: а)
б)
Универсальная тригонометрическая подстановка может также пригодиться при решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ. Поэтому формулы лучше выучить.
к оглавлению ▴
Учет ОДЗ уравнения
12. а) Рассмотрим уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке
Решение:
Перепишем уравнение в виде, пригодном для возведения в квадрат:
Тогда наше уравнение равносильно системе:
Решаем уравнение системы:
,
,
Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:
Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия не удовлетворяет этому неравенству, а серия удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия .
Ответ в пункте (а): .
б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью двойного неравенства:
Неравенство имеет единственное целое решение
Тогда
Ответ: а)
б)
Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений, которые применяются в задаче 12 ЕГЭ.
Где же еще нам могут встретиться тригонометрические уравнения? Конечно, в задачах с параметрами. Или на олимпиадах по математике. Сейчас мы увидим еще несколько полезных приемов решения.
к оглавлению ▴
Метод оценки
В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .
13. Рассмотрим уравнение:
Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в том случае, когда они равны единице одновременно:
Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:
Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:
Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:
;
;
Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.
Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:
Ответ:
14. Рассмотрим уравнение:
Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.
Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:
;
Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:
Имеем:
Ищем пересечение:
Умножаем на 21 и сокращаем на π:
Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.
Ответ: решений нет.
Это был тренировочный пример. А в задачах ЕГЭ решения есть всегда.
Посмотрите, как применяется метод оценки в задачах с параметрами.
15. Страшное с виду уравнение также решается методом оценок.
В самом деле, из неравенства следует, что .
Следовательно, , причём равенство возможно в том и только в том случае, когда
Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.
Перенесем в левую часть и вынесем общий множитель за скобки , получим:
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
Каждое уравнение равносильно совокупности:
Это значит, что синус угла х равен нулю, а его косинус равен 0, 1 или -1.
Или синус угла х равен 1, а косинус этого угла равен 0, 1 или -1.
Такие углы легко найти на тригонометрическом круге. Найденные серии решений запишем в ответ.
Ответ:
к оглавлению ▴
Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
Приемы решения
16. Рассмотрим такое уравнение:
Сделаем замену .
Как выразить через t? Имеем:
,
откуда . Получаем:
Начнем со второго уравнения.
Так как и то их сумма может быть равна 2, только оба слагаемых равны 1. Но на единичной окружности не существует точки, в которой одновременно синус и косинус равен единице. Значит, второе уравнение корней не имеет.
Решим первое уравнение методом введения дополнительного угла.
Для этого разделим обе части уравнения на и получим:
Ответ:
17. Помним формулы косинуса и синуса тройного угла:
,
Вот, например, уравнение:
Оно сводится к уравнению относительно :
,
,
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Уравнение равносильно совокупности:
Решим второе уравнение с помощью замены sinx = t.
Получим: или
Обратная замена:
А решением первого уравнения sinx = 0 являются числа вида
Ответ:
Интересно, что формулы синуса и косинуса тройного угла также могут пригодиться вам в решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ.
18. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса?
Рассмотрим уравнение:
Выделяем полный квадрат!
;
;
;
;
;
;
19. А как быть с суммой шестых степеней?
Рассмотрим такое уравнение:
Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .
Получим:
;
С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.
Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.
В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Тригонометрические уравнения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок № 49. Системы тригонометрических уравнений.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- что такое система тригонометрических уравнений;
- как решать системы тригонометрических уравнений;
- какие приемы можно использовать при решении систем тригонометрических уравнений.
Глоссарий по теме
Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.
Записывается с помощью знака {
– система из трех уравнений с тремя неизвестными.
Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.
Основная литература:
Колягин Ю.М., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – М.: Просвещение, 2010. — 368 с.
Дополнительная литература:
Амелькин,, В.В., Рабцевич В.Л., Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике – М.: «Асар», 1996. – 752 с.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Основными методами решения систем уравнений являются:
— метод подстановки
— метод замены переменной.
Также при решении систем тригонометрических уравнений используются многие тригонометрические формулы.
Рассмотрим решение систем тригонометрических уравнений.
Пример 1.
Решение:
При решении этой системы можно действовать по-разному:
1) можно использовать формулы преобразования произведения в сумму синусов (в первом уравнении) или косинусов (во втором уравнении)
2) можно использовать формулами косинуса суммы и разности во втором уравнении.
Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов:
.
Теперь, учитывая, что косинус двойного аргумента может быть выражен через квадрат синуса и косинуса аргумента, возведем в квадрат первое уравнение. Но, так как возведение в квадрат не является равносильным преобразованием, введем ограничение:
, то есть и должны быть одного знака.
.
Теперь введем новые переменные:
, (*) и решим вспомогательную систему:
.
Решим ее методом подстановки.
.
Решим уравнение (**).
.
. Вернемся к исходным переменным.
,
.
С учетом условия получим две системы:
Или
или
Ответ:
Или
.
Рассмотрим еще один пример.
Пример 2.
Решение:
С учетом области определения уравнений преобразуем каждое уравнение:
.
Теперь сложим эти уравнение, оставив в системе, например, первое уравнение:
,
,
.
Теперь выразим из второго уравнения y:
,
,
,
,
,
,
.
Ответ: .
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Решите систему уравнений:
Решение:
Введем новые переменные: .
Тогда вспомогательная система будет иметь вид:
.
,
или
.
Получаем четыре пары решений для вспомогательной системы:
; ; ; .
Так как , то решение имеет только первая система: .
.
Пример 2.
Решите систему уравнений: .
Решение:
Пусть .
Система примет вид: , то есть мы получили простую линейную систему.
Ее можно решить методом подстановки или методом алгебраического сложения:
,
,
,
,
.
Ответ:.