|
Формулы логарифмов (с учетом ОДЗ ) |
|
|
0) Логарифм основания |
|
|
1) логарифм произведения |
|
|
2) формула перехода к новому основанию |
|
|
3) основное логарифмическое тождество |
|
|
4) логарифм частного |
|
|
5)логарифм единицы |
|
|
6)логарифм степени основания |
|
|
7) логарифм степени логарифмируемого числа |
|
|
|
|
|
9) логарифм степени, при условии, что показатель степени разный |
логарифм степени, при условии, что показатель степени одинаковыйЛогарифмы в заданиях ЕГЭ
Логарифмы в заданиях ЕГЭ
Борисова Елена Леонидовна,
учитель математики
высшей квалификационной категории
МОУ Левобережная средняя школа
г.Тутаева ярославской области.
Большая часть заданий, включенных в ЕГЭ, представляет собой задания на вычисление
значений числовых логарифмических выражений. При подготовке следует обратить внимание на
формулу перехода к новому основанию логарифма и следствия из нее. Задачи на использование
этих формул в школьных учебниках практически не встречаются.
Проверяемые элементы:
Владение понятием логарифм
Знание основных свойств логарифмов
Умение выполнять тождественные преобразования логарифмических выражений.
Вариант 1.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 2.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 3.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 4.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 5.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 6.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 7.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 8.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 9.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 10.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 11.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 12.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 13.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 14.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант15.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Используемые источники:
1. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и
профильный уровни /И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий, А.В.Забелин и др.; под редакцией И.В.Ященко. –
М.: Издательство «Экзамен», 2016. – 640 с. (Серия «Банк заданий ЕГЭ»)
2. http://reshuege.ru/
3. http://www.yaklass.ru/materiali?mode=lsntheme&themeid=10
4. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2012/01/09/svoystva-logarifmov-trenirovochnye-zadaniya
Свойства и графики логарифмических функций
1.
Область определения: D( y ): x ϵ (0; +∞).
2.
Множество значений: E( y ): y ϵ (-∞;+∞).
3.
Функция не является четной и не является нечетной.
4.
Нули функции: при x = 1 логарифмическая функция y = log a x
приобретает значение, равное 0.
5.
График пересекает ось O x в точке (1; 0).
6.
Интервалы монотонности: При a > 1 функция возрастает на
интервале (0; +∞). При 0 < a < 1 функция убывает на интервале (0; +∞)
7.
Интервалы выпуклости / вогнутости: При a > 1 график функции
выпуклый на интервале (0; +∞). При 0 < a < 1 график функции вогнутый на
интервале (0; +∞).
8.
Из равенства логарифмов двух чисел по одному и тому же основанию
следует равенство самих чисел: log a x = log a y => x = y , a > 0, a ≠ 1.
Примеры решения логарифмических уравнений
Краткий алгоритм решения логарифмических
уравнений:
1. Привести логарифмы в разных частях уравнения к одному
основанию, исключая коэффициенты перед ними с помощью свойства логарифмов.
2. Исключить логарифмы, прибегая к правилу потенцирования.
3. Решить стандартное уравнение.
4. Проверить результат.
5.Записать ответ.
Несколько схем решений логарифмических
уравнений
Схема выполнения равносильных преобразований
логарифмических неравенств (потенцирование неравенств)
Обобщенный метод интервалов
Схема:
1. Привести неравенство к такому виду, где в
левой части находится функция f(x), а в правой 0.
2. Найти область определения функции f(x).
3. Найти нули функции f(x), то есть – решить
уравнение f(x) = 0 (а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство)
4. Изобразить на числовой прямой область
определения и нули функции.
5. Определить знаки функции f(x) на полученных
интервалах.
6. Выбрать интервалы, где функция принимает
необходимые значения и записать ответ.
Запомни:
знаки расставляются только на области определения функции!
Метод рационализации
(метод
декомпозиции, метод замены множителей, метод замены функции, правило знаков)
Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x)ü0 на более простое выражение G(x)ü0 равносильно неравенству F(x)ü0 в области определения выражения F(x).
Выделим некоторые выражения F и
соответствующие им рационализирующие выражения G, где f, g, h, p, q – выражения с переменной x (h>0; h≠1; f>0, g>0), a –
фиксированное число (a>0; a≠1)
Схема
1. Найти ОДЗ неравенства
2. Подобрать нужное
рационализирующее выражение
3. Решить неравенство, полученное в
п.2
4. Найти пересечение множеств п 2 и
п. 3
5.
Записать ответ
Интернет-ресурсы для подготовки к профильному
ЕГЭ по математике
1. alexlarin.net
— каждую неделю публикуются качественные пробники.
2. ege.sdamgia.ru
— лучший онлайн-тренажёр с решениями заданий.
3. yandex.ru/tutor/
— Яндекс.Репетитор — тренировочные варианты онлайн.
4. alleng.org/edu/math3.htm
— книги в pdf формате.
5. berdov.com/ege/
— хорошие пробники, много нестандартных и сложных заданий.
6. 4ege.ru/video-matematika/50912…
— видеокурс с теорией и практикой.
7. https://math100.ru/ege/ege-profil/-
задание ЕГЭ в pdf формате, с ответами.
8. https://www.mathm.ru- задания разделены
по темам и уровням сложности
Шпаргалка для подготовки к ЕГЭ по математике
(профильный уровень) по теме:
Логарифмы.
Уравнения. Неравенства
Формулы и свойства логарифмов
Определение
Логарифм числа b по основанию a (loga b) определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a (основание логарифма), чтобы получить число b (Логарифм существует только у положительных чисел).
logab = x означает, что ax = b
Калькулятор логарифмов
log -2
График логарифмов
y = log2 x
Виды логарифмов
-
loga b — логарифм числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
-
lg b — десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10).
-
ln b — натуральный логарифм (логарифм по основанию e, a = e).
Формулы и свойства логарифмов
Для любых a > 0, a ≠ 1 и b > 0, x > 0, y > 0 выполняются следующие свойства логарифмов.
-
alogab = b — основное логарифмическое тождество
-
loga 1 = 0 — логарифм единицы
-
loga a = 1 — логарифм числа, равного основанию
-
loga(x · y) = logax + logay — логарифм произведения двух положительных чисел
-
loga xy = logax — logay — логарифм частного
-
loga 1x = -logax
-
loga xn = n logax — логарифм степени числа
-
loga n√x = 1n logax — логарифм корня числа
-
logan x = 1n loga x, при n ≠ 0
-
logax = logac xc
-
loga x = logb xlogb a — формула перехода к новому основанию
-
loga x = 1logx a
-
(loga x)′ = 1x ln a — производная логарифма
Свойства логарифмов (формулы) таблица шпаргалка
Основный свойства и формулы логарифмов
Логарифм единицы
1. loga1 = 0 ⇔ a>0, a≠1
Логарифм основания
2. logaa = 1 ⇔ a>0, a≠1
Логарифм произведения
3. loga(b⋅c) = loga b + loga c ⇔ a>0, b>0, c>0,a≠1
${log _6}2 + {log _6}3 ={log _6}(2⋅3) ={log _6}6=1$
Логарифм частного
4. ${text{lo}}{{text{g}}_a}frac{b}{c} = {log _a}b — {log _a}c$ ⇔ a>0, b>0, c>0,a≠1
${log _2}frac{2}{5} = {log _2}2 — {log _2}5 = 1 — {log _2}5$
Логарифм степени
5. logabn = n⋅loga b ⇔ a>0, b>0, a≠1
${text{3lo}}{{text{g}}_8}4 = {log _8}{4^3} = {log _8}64 = 2$
Формула перехода от одного основания логарифма к другому
6. ${text{lo}}{{text{g}}_a}b = frac{{{{log }_c}b}}{{{{log }_c}a}}$
${text{lo}}{{text{g}}_{text{4}}}3 = frac{{{{log }_3}3}}{{{{log }_3}4}} = frac{1}{{{{log }_3}4}}$
7. ${text{lo}}{{text{g}}_a}b = frac{1}{{{{log }_b}a}}$ ⇔ a>0, b>0, a≠1, b≠1
${text{lo}}{{text{g}}_{125}}5 = frac{1}{{{{log }_5}125}} = frac{{text{1}}}{{text{3}}}$
Логарифм степени
8. ${text{lo}}{{text{g}}_{{a^n}}}b = frac{1}{n}{text{lo}}{{text{g}}_a}b$ ⇔ a>0, b>0, a≠1, n≠0
${text{lo}}{{text{g}}_{25}}5 = {log _{{5^2}}}5 = frac{{text{1}}}{{text{2}}}{log _5}5 = frac{1}{2}$
9. ${text{lo}}{{text{g}}_{{a^{frac{{text{n}}}{{text{m}}}}}}}b = frac{m}{n} cdot {text{lo}}{{text{g}}_a}b$ ⇔ a>0, b>0, a≠1
${text{lo}}{{text{g}}_{{{text{2}}^{frac{{text{3}}}{{text{4}}}}}}}2 = frac{4}{3}{log _2}2 = frac{4}{3}$
10. ${a^{{{log }_с}b}} = {b^{{{log }_c}a}}$ ⇔ a>0, b>0, c>0, a≠1, b≠1, c≠1
${8^{{{log }_2}5}} = {5^{{{log }_2}8}} = {{text{5}}^{text{3}}} = {text{125}}$
Основное логарифмическое тождество (подробно см. здесь.)
11. aloga b = b ⇔ a>0, b>0, a≠1
Дополнительные свойства логарифма:
$log_ax^{2m}=2m log_a|x|,x≠0,m∈N$
$log_ax=log_{a^n}x^n, x>0,n∈R,a≠1,a>0$
$log_{a^k} x^m=frac{m}{k}log_ax, x>0,m∈R,k∈R,k≠0,a≠1,a>0$