Сколькими способами 6 студентов могут зайти друг за другом на экзамен

Источник

Буклет «Повторим комбинаторику» 9 класс

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые, приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Решать такие задачи помогает комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.

Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.

Определение. Перестановкой из элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Обозначается .

где называется факториалом числа . Это произведение натуральных чисел от 1 до , т.е.

Пример 1. Сколькими способами можно расставить на игровой площадке 6 волейболистов?

Решение.

Ответ. Волейболистов можно расставить на площадке 720 способами.

Пример 2. Сколько различных последовательностей можно составить из букв слова (необязательно осмысленных)?

а) привет; б) задача.

Решение. а) В слове «привет» 6 букв, следовательно, чтобы найти, сколько последовательностей можно составить из букв этого слова, надо найти число перестановок из 6 элементов, т.е.

б) Если бы в слове «задача» все буквы были бы разными, то перестановок было бы 6! Но три одинаковых буквы «а» не дадут новых 3! перестановок, т.е. их будет в 3! раз меньше. Значит, ответ: .

Ответ: а) 720; б) 120 последовательностей.

Определение. Размещением из элементов по называется любое множество, состоящее из любых элементов, взятых в определенном порядке из данных элементов. Обозначается .

Пример 3. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять место в аудитории, в которой стоит 10 одноместных столов?

Решение. Для того чтобы посчитать количество способов воспользуемся формулой размещения из 10 элементов по 6:

Ответ: 151200 способов.

Замечание. Если , то . Т.е., перестановка – частный случай размещения.

Определение. Сочетанием из элементов по называется любое множество, составленное из элементов, выбранных из данных элементов. Обозначается .

Договорились считать:

Пример 4. В группе 25 студентов. Сколькими способами из 25 студентов выбрать 3 дежурных.

Решение. Выбор 3 дежурных из 25 студентов – это комбинация из 25 по 3. Т.е.,

Ответ: 2300 способами.

Комбинации, размещения и перестановки вместе называются сочетаниями. При решении простых комбинаторных задач сначала следует определить вид сочетания, учитывая, что:

Перестановки отличаются друг от друга порядком размещения элементов;

Размещения отличаются или выбором элементов, или порядком их размещения;

Комбинации отличаются только выбором элементов (порядок размещения элементов не учитывается).

Источник

06. Размещения

Пусть имеется некоторое множество, содержащее n элементов. Выберем из этого множества k элементов без возвращения, но упорядочивая их по мере их выбора в последовательную цепочку. Такие цепочки называются размещениями.

Размещениями из n элементов по k элементов называются такие комбинации, из которых каждое содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одного), либо порядком их расположения.

Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть размещений по два элемента: ab, ac, ba, bc, ca, cb. Все приведённые размещения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или порядком их расположения.

Число размещений (читается: число размещений из n элементов по k элементов) можно найти из принципа умножения. Первый элемент размещения можно выбрать n способами. Как только такой выбор будет сделан, останется (n–1) возможностей, чтобы выбрать второй элемент; после этого останется (n–2) возможностей для выбора третьего элемента и т. д.; для выбора k-го элемента будет (n–k+1) возможностей. По принципу умножения находим

. (4.1)

Легко понять, что .

Пример 4.1. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить 4 различных фотографии. Сколькими способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение. Для размещения фотографий следует отобрать 4 различных страницы из 12 имеющихся. Затем нужно отобранные страницы упорядочить, т. е. определить, на какую страницу поместить первую фотографию, на какую – вторую и т. д. Полученная упорядоченная совокупность страниц является, согласно определению, размещением из 12 элементов по 4, а число таких размещений является искомым результатом:

.

Пример 4.2. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани пяти различных цветов? Решите эту же задачу при условии, что одна полоса должна быть красной.

Решение. Поскольку в данной задаче важен порядок следования полос и все цвета во флаге должны быть разными, то исходная задача сводится к подсчету числа размещений из 5 по 3:

способов.

При условии, что одна полоса должна быть красной, получаем, что для выбора места для красной полосы существует 3 способа, а для оставшихся двух полос останется способов. Таким образом, трехцветный полосатый флаг из имеющихся 5 цветов при условии, что один цвет должен быть красным можно составить

способами.

Пример 4.3. Сколькими способами 10 человек можно поставить парами в ряд?

Решение. Первую пару можно выбрать способами, вторую – способами, и т. д. В результате получаем

способами.

4.1. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?

Ответ: В этом случае надо число размещений из 25 элементов по 4. Здесь играет роль и то, кто будет выбран в руководство общества, и то, какие посты займут выбранные. Поэтому ответ дается формулой .

4.2. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление различных видов деталей (по одному виду на каждого).

Ответ: .

4.3. Из 10 книг выбирают 4 для рассылки по разным адресам. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: .

4.4. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?

Ответ: .

4.5. Студенту необходимо сдать 5 экзаменов в течение 12 дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов, если в течение дня он может сдать не более одного экзамена?

Ответ: .

4.6. Сколькими способами можно преподнести 4 различных подарка 6 ученикам таким образом, чтобы каждый ученик получил не более одного подарка?

Ответ: .

4.7. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, …, 9, если каждая цифра в обозначении числа встречается не более одного раза? (Учесть, что число не может начинаться с нуля.)

Ответ: .

Источник