Сколько возможных перестановок букв в слове экзамен

Тип 6 № 1848

Перестановки

Перестановки Определение 1 Перестановкой из n элементов называется всякий способ нумерации этих элементов

Число перестановок Теорема 1.

Число перестановок

читается «n факториал» и вычисляется по формуле

Число перестановок Доказательство теоремы 1

Число перестановок

Перестановки Число всех перестановок обозначается

Перестановки

Число всех перестановок обозначается
Итак,
Пример
В команде 6 человек. Сколькими способами они могут построиться для приветствия?
Решение
Число способов построения равно числу перестановок 6 элементов, т.е.

Перестановки с повторениями Теорема 2

Перестановки с повторениями

Пример Задача : Сколько слов можно составить, переставив буквы в слове «экзамен», а в слове «математика»?

Пример

Размещения

Размещения Определение 1 Размещением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n

Размещения

Определение 1
Размещением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n.
Пример
Дано множество . Составим все 2-размещения этого множества.

Число размещений Теорема 1 Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле

Число размещений

Число размещений Замечание. Формулу для числа размещений можно записать в виде

Число размещений

Пример Абонент забыл последние 3 цифры номера телефона

Пример

Абонент забыл последние 3 цифры номера телефона. Какое максимальное число номеров ему нужно перебрать, если он вспомнил, что эти последние цифры разные?
Решение.
Задача сводится к поиску различных перестановок 3 элементов из 10 ( так как всего цифр 10). Применим формулу для числа перестановок.

Размещения с повторениями Определение 2

Число размещений с повторениями

Число размещений с повторениями

Теорема 2. Число k- размещений с повторениями из
n элементов вычисляется по формуле

Доказательство. Каждый элемент размещения
можно выбрать n способами. По правилу
умножения число всех размещений с повторениями
равно

Пример Сколько существует номеров машин?

Пример

Решение задач

Задачи 1)Сколькими способами можно составить список из 8 учеников, если нет полного совпадения

Задачи

1)Сколькими способами можно составить список из 8 учеников, если нет полного совпадения ФИО?
Решение
Задача сводится к подсчету числа перестановок ФИО.

Задачи 2)Сколькими способами можно составить список 8 учеников, так, чтобы два указанных ученика располагались рядом?

Задачи

2)Сколькими способами можно составить список 8 учеников, так, чтобы два указанных ученика располагались рядом?
Решение
Можно считать двоих указанных учеников за один объект и считать число перестановок уже 7 объектов, т.е.
Так как этих двоих можно переставлять местами друг с другом, необходимо умножить результат на 2!

Задачи 3) Сколькими способами можно разделить 11 спортсменов на 3 группы по 4, 5 и 2 человека соответственно?

Задачи

3) Сколькими способами можно разделить 11 спортсменов на 3 группы по 4, 5 и 2 человека соответственно?
Решение. Сделаем карточки: четыре карточки с номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3. Будем раздавать эти карточки с номерами групп спортсменам, и каждый способ раздачи будет соответствовать разбиению спортсменов на группы. Таким образом нам необходимо посчитать число перестановок 11 карточек, среди которых четыре карточки с одинаковым номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3.

Задачи 4) Сколькими способами можно вызвать по очереди к доске 4 учеников из 7?

Задачи

4) Сколькими способами можно вызвать по очереди к доске 4 учеников из 7?
Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений из 7 элементов по 4

Задачи 5)Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры различны?

Задачи

Задачи 6)Сколько существует двоичных чисел, длина которых не превосходит 10?

Задачи

6)Сколько существует двоичных чисел, длина которых не превосходит 10?
Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений с повторениями из двух элементов по 10

Задачи 7)В лифт 9 этажного дома зашли 7 человек

Задачи

Задачи 8)Сколько чисел, меньше 10000 можно написать с помощью цифр 2,7,0?

Задачи

8)Сколько чисел, меньше 10000 можно написать с помощью цифр 2,7,0?
Решение. Так как среди цифр есть 0, то, например запись 0227 соответствует числу 227, запись 0072 соответствует числу 72, а запись 0007 соответствует числу 7. Таким образом, задачу можно решить, используя формулу числа размещений с повторениями