Сложная тригонометрия в егэ

Каталог заданий.
Сложные три­го­но­мет­ри­че­ские уравнения

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

13 ноября 2020

В закладки

Обсудить

Жалоба

Сложная тригонометрия в кимах ЕГЭ

Исследовательская работа.

Содержание

1. Решение простейших тригонометрических уравнений
2. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители
3. Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного
4. Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям
5. Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение
6. Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму
7. Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени
8. Решение тригонометрических уравнений как однородное
9. Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента
10. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки
11. Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

sl-trig.doc
sl-trig.pdf

Сложная тригонометрия в кимах ЕГЭ

1. Решение простейших тригонометрических уравнений
2. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители
3. Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного
4. Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям
5. Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение
6. Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму
7. Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени
8. Решение тригонометрических уравнений как однородное
9. Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента
10. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки
11. Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Задания по теме «Тригонометрические уравнения»

Открытый банк заданий по теме тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1179

Условие

а) Решите уравнение 2(sin x-cos x)=tgx-1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left[ frac<3pi >2;,3pi right].

Решение

а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 sin x-2 cos x-tg x=0. Учитывая, что cos x neq 0, слагаемое 2 sin x можно заменить на 2 tg x cos x, получим уравнение 1+2 tg x cos x-2 cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 cos x)=0.

1) 1-tg x=0, tg x=1, x=fracpi 4+pi n, n in mathbb Z;

2) 1-2 cos x=0, cos x=frac12, x=pm fracpi 3+2pi n, n in mathbb Z.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку left[ frac<3pi >2;, 3pi right].

x_1=fracpi 4+2pi =frac<9pi >4,

x_2=fracpi 3+2pi =frac<7pi >3,

x_3=-fracpi 3+2pi =frac<5pi >3.

Ответ

а) fracpi 4+pi n, pmfracpi 3+2pi n, n in mathbb Z;

б) frac<5pi >3, frac<7pi >3, frac<9pi >4.

Задание №1178

Условие

а) Решите уравнение (2sin ^24x-3cos 4x)cdot sqrt =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left( 0;,frac<3pi >2right] ;

Решение

а) ОДЗ: begin tgxgeqslant 0\xneq fracpi 2+pi k,k in mathbb Z. end

Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений

left[!!begin 2 sin ^2 4x-3 cos 4x=0,\tg x=0. endright.

Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену cos 4x=t, t in [-1; 1]. Тогда sin^24x=1-t^2. Получим:

t_1=frac12, t_2=-2, t_2notin [-1; 1].

4x=pm fracpi 3+2pi n,

x=pm fracpi <12>+frac<pi n>2, n in mathbb Z.

Решим второе уравнение.

tg x=0,, x=pi k, k in mathbb Z.

При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.

Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.

Получим: x=pi k, k in mathbb Z; x=fracpi <12>+pi n, n in mathbb Z; x=frac<5pi ><12>+pi m, m in mathbb Z.

б) Найдём корни, принадлежащие промежутку left( 0;,frac<3pi >2right].

Ответ

а) pi k, k in mathbb Z; fracpi <12>+pi n, n in mathbb Z; frac<5pi ><12>+pi m, m in mathbb Z.

Задание №1177

Условие

а) Решите уравнение: cos ^2x+cos ^2fracpi 6=cos ^22x+sin ^2fracpi 3;

б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку left( frac<7pi >2;,frac<9pi >2right].

Решение

а) Так как sin fracpi 3=cos fracpi 6, то sin ^2fracpi 3=cos ^2fracpi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению cos^2x=cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению cos^2x-cos ^2 2x=0.

Но cos ^2x-cos ^22x= (cos x-cos 2x)cdot (cos x+cos 2x) и

cos 2x=2 cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид

(cos x-(2 cos ^2 x-1)),cdot (cos x+(2 cos ^2 x-1))=0,

(2 cos ^2 x-cos x-1),cdot (2 cos ^2 x+cos x-1)=0.

Тогда либо 2 cos ^2 x-cos x-1=0, либо 2 cos ^2 x+cos x-1=0.

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно cos x, получаем:

(cos x)_<1,2>=frac<1pmsqrt 9>4=frac<1pm3>4. Поэтому либо cos x=1, либо cos x=-frac12. Если cos x=1, то x=2kpi , k in mathbb Z. Если cos x=-frac12, то x=pm frac<2pi >3+2spi , s in mathbb Z.

Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо cos x=-1, либо cos x=frac12. Если cos x=-1, то корни x=pi +2mpi , m in mathbb Z. Если cos x=frac12, то x=pm fracpi 3+2npi , n in mathbb Z.

Объединим полученные решения:

x=mpi , m in mathbb Z; x=pm fracpi 3 +spi , s in mathbb Z.

б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.

Получим: x_1 =frac<11pi >3, x_2=4pi , x_3 =frac<13pi >3.

Ответ

а) mpi, m in mathbb Z; pm fracpi 3 +spi , s in mathbb Z;

б) frac<11pi >3, 4pi , frac<13pi >3.

Задание №1176

Условие

а) Решите уравнение 10cos ^2frac x2=frac<11+5ctgleft( dfrac<3pi >2-xright) ><1+tgx>.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу left( -2pi ; -frac<3pi >2right).

Решение

а) 1. Согласно формуле приведения, ctgleft( frac<3pi >2-xright) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что cos x neq 0 и tg x neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 cos ^2 frac x2=1+cos x. Получим уравнение: 5(1+cos x) =frac<11+5tgx><1+tgx>.

Заметим, что frac<11+5tgx><1+tgx>= frac<5(1+tgx)+6><1+tgx>= 5+frac<6><1+tgx>, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 cos x=5 +frac<6><1+tgx>. Отсюда cos x =frac<dfrac65><1+tgx>, cos x+sin x =frac65.

2. Преобразуем sin x+cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: sin x=cos left(fracpi 2-xright), cos x+sin x= cos x+cos left(fracpi 2-xright)= 2cos fracpi 4cos left(x-fracpi 4right)= sqrt 2cos left( x-fracpi 4right) = frac65.

Отсюда cos left(x-fracpi 4right) =frac<3sqrt 2>5. Значит, x-fracpi 4= arccos frac<3sqrt 2>5+2pi k, k in mathbb Z,

или x-fracpi 4= -arccos frac<3sqrt 2>5+2pi t, t in mathbb Z.

Поэтому x=fracpi 4+arccos frac<3sqrt 2>5+2pi k,k in mathbb Z,

или x =fracpi 4-arccos frac<3sqrt 2>5+2pi t,t in mathbb Z.

Найденные значения x принадлежат области определения.

б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=fracpi 4+arccos frac<3sqrt 2>5 и b=fracpi 4-arccos frac<3sqrt 2>5.

1. Докажем вспомогательное неравенство:

Заметим также, что left( frac<3sqrt 2>5right) ^2=frac<18> <25>значит frac<3sqrt 2>5

2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:

Отсюда fracpi 4+0

Аналогично, -fracpi 4

0=fracpi 4-fracpi 4 fracpi 4

При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2pi и b-2pi.

Bigg( a-2pi =-frac74pi +arccos frac<3sqrt 2>5,, b-2pi =-frac74pi -arccos frac<3sqrt 2>5Bigg). При этом -2pi

-2pi Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку left( -2pi , -frac<3pi >2right).

При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.

Действительно, если kgeqslant 1 и tgeqslant 1, то корни больше 2pi. Если kleqslant -2 и tleqslant -2, то корни меньше -frac<7pi >2.

Ответ

а) fracpi4pm arccosfrac<3sqrt2>5+2pi k, kinmathbb Z;

б) -frac<7pi>4pm arccosfrac<3sqrt2>5.

Задание №1175

Условие

а) Решите уравнение sin left( fracpi 2+xright) =sin (-2x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; pi ];

Решение

а) Преобразуем уравнение:

cos x+2 sin x cos x=0,

x =fracpi 2+pi n, n in mathbb Z;

x=(-1)^cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие отрезку [0; pi ], найдём с помощью единичной окружности.

Указанному промежутку принадлежит единственное число fracpi 2.

Ответ

а) fracpi 2+pi n, n in mathbb Z; (-1)^cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z;

б) fracpi 2.

Задание №1174

Условие

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку left[ -frac<3pi ><2>; -frac<pi >2 right].

Решение

а) Найдём ОДЗ уравнения: cos 2x neq -1, cos (pi +x) neq -1; Отсюда ОДЗ: x neq frac pi 2+pi k,

k in mathbb Z, x neq 2pi n, n in mathbb Z. Заметим, что при sin x=1, x=frac pi 2+2pi k, k in mathbb Z.

Полученное множество значений x не входит в ОДЗ.

Значит, sin x neq 1.

Разделим обе части уравнения на множитель (sin x-1), отличный от нуля. Получим уравнение frac 1<1+cos 2x>=frac 1<1+cos (pi +x)>, или уравнение 1+cos 2x=1+cos (pi +x). Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 cos ^2 x=1-cos x. Это уравнение с помощью замены cos x=t, где -1 leqslant t leqslant 1 сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=frac12. Возвращаясь к переменной x , получим cos x = frac12 или cos x=-1, откуда x=frac pi 3+2pi m, m in mathbb Z, x=-frac pi 3+2pi n, n in mathbb Z, x=pi +2pi k, k in mathbb Z.

б) Решим неравенства

1) -frac<3pi >2 leqslant frac<pi >3+2pi m leqslant -frac pi 2 ,

2) -frac<3pi >2 leqslant -frac pi 3+2pi n leqslant -frac pi

3) -frac<3pi >2 leqslant pi+2pi k leqslant -frac pi 2 , m, n, k in mathbb Z.

1) -frac<3pi >2 leqslant frac<pi >3+2pi m leqslant -frac pi 2 , -frac32 leqslant frac13+2m leqslant -frac12 -frac<11>6 leqslant 2m leqslant -frac56 , -frac<11> <12>leqslant m leqslant -frac5<12>.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left [-frac<11><12>;-frac5<12>right] .

2) -frac <3pi>2 leqslant -frac<pi >3+2pi n leqslant -frac<pi ><2>, -frac32 leqslant -frac13 +2n leqslant -frac12 , -frac76 leqslant 2n leqslant -frac1<6>, -frac7 <12>leqslant n leqslant -frac1<12>.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left[ -frac7 <12>; -frac1 <12>right].

3) -frac<3pi >2 leqslant pi +2pi kleqslant -frac<pi >2, -frac32 leqslant 1+2kleqslant -frac12, -frac52 leqslant 2k leqslant -frac32, -frac54 leqslant k leqslant -frac34.

Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-pi.

Ответ

а) frac pi 3+2pi m; -frac pi 3+2pi n; pi +2pi k, m, n, k in mathbb Z;

ЕГЭ Профиль №13. Тригонометрические уравнения

13 задания профильного ЕГЭ по математике представляет собой уравнение с отбором корней принадлежащих заданному промежутку. Одним из видов уравнений которое может оказаться в 13 задание является тригонометрическое уравнение. Как правило, это достаточно простое тригонометрическое уравнение для решения которого потребуется знания основных тригонометрических формул, и умение решать простейшие тригонометрические уравнения. Отбор корней тригонометрического уравнения принадлежащих заданному промежутку можно производить одним из четырех способов: методом перебора, с помощью тригонометрической окружности, с помощью двойного неравенства и графическим способом. В данном разделе представлены тригонометрические уравнения (всего 226) разбитые на три уровня сложности. Уровень А — это простейшие тригонометрические уравнения, которые являются подготовительными для решения реальных тригонометрических уравнений предлагаемых на экзамене. Уровень В — состоит из уравнений, которые предлагали на реальных ЕГЭ и диагностических работах прошлых лет. Уровень С — задачи повышенной сложности.

XXIII
Республиканская научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»

Симпозиум2.
Математика и информационные технологии (прикладная математика).

Написала:
Газимагомедова Герекмаз Бейрутовна ученица 11 кл. МКОУ
«Герейхановская СОШ №1 им. Р.Османова», С.- Стальского района   

Научный
руководитель: Османова Гюльнара         Разиновна     
учитель МКОУ «Герейхановская СОШ №1 им. Р.Османова», С.- Стальского района

                                             2017
год

Аннотация

Единый Государственный Экзамен
– это важный тест перед переходом в новую жизнь и поступлением в университет
или колледж. А для меня особенно важно сдать его на хорошие баллы.  Анализ результатов выполнения заданий по ЕГЭ[ФИПИ(2008-2015г) базового и
повышенного уровня сложности показывает, что основными проблемными разделами
математики в заданиях являются сложные тригонометрические уравнения и
неравенства части 2. Известно, что задания по тригонометрии вызывают наибольшие
затруднения у обучающихся  и при изучении курса математики.

Актуальность темы определяется тем, что учащиеся должны разбираться в тех или иных
способах решения тригонометрических уравнений.

Цель: систематизировать,
расширить знания и умения, связанные с применением методов решения
тригонометрических уравнений.

Объектом исследования является изучение тригонометрических уравнений в
заданиях ЕГЭ части 2.

Предмет исследования — является решение тригонометрических уравнений

Задачи:

1)Изучить
все задания, связанные с решением тригонометрических уравнений, предлагавшиеся
на ЕГЭ работ предыдущих лет и при выполнении диагностических работ;

2)
Изучить методы решения тригонометрических уравнений.

3)Выявить
основные возможные ошибки при решении таких уравнений;

4).
Выяснить причину допущения таких ошибок.

5)Рассмотреть
рекомендации по решению тригонометрических уравнений;

6)Сделать
выводы.

Методы исследования —
анализ математической литературы по данной теме; отбор  конкретных
тригонометрических уравнений по данной теме.

Тригонометрические
уравнения слишком разнообразны для того, чтобы попытаться дать их общую
классификацию или общий метод решения. В своей работе
укажу лишь способы решения некоторых типов таких уравнений.

Содержание

Введение

I.                  
Глава I «История тригонометрии»

II.               
Глава II «Сложная тригонометрия в
кимах ЕГЭ»

1.     
Решение простейших тригонометрических
уравнений

2.      Решение тригонометрических уравнений разложением на множители

3.     
 Решение тригонометрических уравнений с
помощью замены неизвестного

4.      Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям

5.      Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы
тригонометрических функций в произведение

6.      Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения
тригонометрических функций в сумму

7.      Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени

8.     
 Решение тригонометрических уравнений как
однородное

9.     Решение
тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента

10.  Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической
подстановки

11.  Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические
функции под знаком радикала

III. Заключение

IV. Литература.

Введение

В настоящее время в педагогической практике большое внимание
уделяется вопросам подготовки учащихся к выпускным испытаниям в форме ЕГЭ. Как
сделать обучение максимально развивающим мышление, как использовать все
познавательные способности учащихся, как научить нас учеников быстро
ориентироваться при решении  уравнений и задач – это те вопросы, которые
находятся в центре внимания учителей математики выпускных классов. Тем более, в
свете модернизации школьного образования результатами образования являются не
только знания, умения и навыки, но и сформированность различных компетенций, т.
е. умение делать перенос полученных знаний в жизненные ситуации, решать эти
проблемные ситуации.

Анализ
результатов выполнения заданий по ЕГЭ [ФИПИ(2008,2009,2010,2011г)]
базового и повышенного уровня сложности показывает, что основными проблемными
разделами математики в заданиях являются: тригонометрия, сложные
логарифмические уравнения, текстовые задачи на составление уравнений, и,
конечно, геометрия. Трудность этих разделов для учеников может быть обусловлена
различными причинами.

Ох, сколько мучений доставляет
ученикам изучение тригонометрии. Мне поначалу казалось, тригонометрия
— это скучный набор формул и графиков. Однако, знакомясь с новыми понятиями
тригонометрии и методами решения тригонометрических уравнений, каждый раз
убеждалась, насколько интересен и увлекателен мир тригонометрии.

Определенные сложности возникают даже в том
случае, если рядом учитель по математике и объясняет каждую мелочь. Это и понятно, одних
только базовых формул существует более двадцати. А уж если считать их
производные … Ученик путается в вычислениях и никак не может запомнить
механизмы, при помощи которых эти формулы позволяют найти, например, .

 В последние
годы тригонометрический материал стал популярен при проведении ЕГЭ. За
последние 7 лет задания С1 – решение  тригонометрических уравнений с
выборкой решений. Поэтому возрастает потребность в хорошей организации обучения
этому разделу и проблема актуальна.

Глава I.
Страницы истории.

История тригонометрии как науки о соотношениях между углами и сторонами
треугольника и других геометрических фигур охватывает более двух
тысячелетий. Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы;
немного позднее её стали использовать в геодезии и архитектуре.
Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, и в наши
дни она включает практически все естественные науки, технику и ряд других
областей деятельности. Томас
Пейн в своей книге «Век
Разума» (1794) назвал
тригонометрию «душой науки».

Общее и логически связное изложение
тригонометрических соотношений появилось в древнегреческой геометрии. Греческие математики ещё не выделяли тригонометрию как отдельную
науку — для них она была частью астрономии. Несколько теорем
тригонометрического характера содержат «Начала» Евклида (IV
век до н. э.). Во второй книге «Начал»
теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов.Следующая за ней теорема
13 —
вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников.

Дальнейшее развитие
тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век
до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась
задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала
вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного
из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный
Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры.
Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца)
через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего
угла (87°), что эквивалентно вычислению значения .

Согласно широко
распространённому мнению, Гиппархом Никнейский (середина II века до н. э.), предполагаемый автор первых тригонометрических таблиц, не
дошедших до нас. Вместо современной функции синуса Гиппарх рассматривал
зависимость длины хорды окружности от заданного центрального
угла (или, что эквивалентно,
от заданной дуги окружности, выраженной в угловой мере). На языке хорд были сформулированы первые открытые греками
тригонометрические соотношения. Например, современной формуле:

соответствовала у греков теорема:

где  — хорда для
центрального угла ,  — диаметр
круга.

При этом радиус круга не считался равным единице, как сейчас. Например, у Гиппарха радиус круга считался равным R=3438 единиц.

Позднее астроном II века Клавдий
Птолемей в «Альмагесте»
дополнил результаты Гиппарха. Тринадцать книг «Альмагеста» — самая
значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест»
содержит обширные пятизначные таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30
угловых минут. Для вычисления хорд Птолемей использовал (в главе X) теорему
Птолемея (известную, впрочем, ещё Архимеду), которая
утверждает: сумма произведений длин противоположных сторон выпуклого
вписанного в круг четырёхугольника равна произведению длин его диагоналей.

 (теорема
Птолемея)

Из этой теоремы нетрудно вывести две формулы для синуса и косинуса суммы
углов и ещё две для синуса и косинуса разности углов, однако общая формулировка
этих теорем у греков отсутствует^.

Индия

В IV веке, после гибели античной
науки, центр развития математики переместился в Индию. В первую очередь индийцы
изменили некоторые концепции тригонометрии, приблизив их к современным. Они провели замену античных хорд на синусы (название «синус»
восходит к слову «тетива» на санскрите)
в прямоугольном треугольнике. Тем самым в Индии было положено
начало тригонометрии как общему учению о соотношениях в треугольнике, хотя, в
отличие от греческих хорд, индийский подход ограничивался только функциями
острого угла.

Индийцы первыми ввели в использование косинус.
Использовался ещё так называемый обращённый синус, или синус-верзус.

Для астрономических расчётов
был составлен ряд тригонометрических таблиц. Первые
(четырёхзначные) таблицы синусов приведены в древней «Сурья-сиддханте» и
у Ариабхаты («Ариабхатия»,
V век). Таблицы Ариабхаты содержат 24 значения синусов и синус-верзусов с
интервалом 3°45′ (половина шага таблиц у Гиппарха).

Важный вклад в развитие тригонометрии внес Брахмагупта (VII в.),
открывший несколько тригонометрических соотношений, в том числе и те, которые в
современной записи приняли вид:

;      

Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов ,  для .

В трудах другого выдающегося ученого, Бхаскары
II (XII век),
приводятся формулы для синуса и косинуса суммы и разности углов:

Опираясь на формулу синуса суммы, Бхаскара
опубликовал более точные и подробные, чем у Ариабхаты, тригонометрические
таблицы с шагом 1°.

Мадхава и его последователь Нилаканта (в трактате «Taнтpacaнrpaха») приводят также правила разложения арктангенса в бесконечный
степенной ряд. В Европе к подобным
результатам подошли лишь в XVII—XVIII веках. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак
Ньютон около 1666 года, а ряд арктангенса был найден Дж.
Грегори в 1671 году и Г. В. Лейбницем в 1673 году.

Исламские страны

В VIII веке учёные стран Ближнего и
Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских
математиков и астрономов. Переводом их на арабский
язык занимались такие крупные учёные VIII века, как Ибрахим
Ал-Фазари и Якуб ибн
Тарик. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским
сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж
представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц.
Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию
тригонометрических знаний. Среди основных решаемых проблем были следующие.

 — Точное определение
времени суток.

 — Вычисление будущего
расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, затмений
Солнца и Луны.

 — Нахождение географических координат текущего места.

 — Вычисление расстояния
между городами с известными географическими координатами.

 — Определение направления на Мекку (кибла) из заданного места.

Определение тангенса,
котангенса, секанса и косеканса в средневековой арабской математике. Отрезок AD — гномон (вертикальный вверху или горизонтальный
внизу), отрезок OD — его тень

Самые ранние из сохранившихся
трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век),
которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом,
новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Изначально эти функции
определялись иначе, чем в современной математике. Так, под котангенсом
понималась длина тени от вертикального гномона высотой
12 (иногда 7) единиц; первоначально эти понятия использовались для
расчёта солнечных
часов. Тангенсом называлась тень от горизонтального гномона.
Косекансом и секансом назывались гипотенузы соответствующих прямоугольных
треугольников (отрезки AO на рисунке справа). Лишь в X веке философ и
математик ал-Фараби в
своих комментариях к «Альмагесту» ввёл независимые от гномоники определения
этих четырёх функций, определив их через синус и косинус в тригонометрическом
круге птолемеевского радиуса (60 единиц). Основные соотношения
между всеми шестью функциями привёл ал-Баттани в
том же столетии. Окончательной унификации добился Абу-л-Вафа во
второй половине X века, который впервые использовал для определения тригонометрических
функций круг единичного радиуса, как это делается в современной математике.

Сабит
ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли
фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника.

Ибн Юнис (X век) открыл преобразование
произведения тригонометрических функций в сумму, например:

Формулы преобразования позволяли заменить трудоёмкое умножение на
более простое сложение или вычитание. 

Одной из важнейших задач науки того времени
являлось составление тригонометрических таблиц с как можно меньшим шагом. В IX веке ал-Хорезми составил таблицы синусов с
шагом 1°, его современник Хаббаш аль-Хасиб (ал-Марвази) добавил к ним первые
таблицы тангенсов, котангенсов и косекансов (с тем же шагом). В начале X века
ал-Баттани опубликовал таблицы с шагом 30′, в конце того же столетия Ибн
Юнис составил таблицы с шагом 1′. При составлении таблиц
ключевым было вычисление значения . Искусные методы для вычисления этой величины изобрели Ибн
Юнис,Абу-л-Вафа, ал-Бируни. Наибольшего успеха добился в XV веке ал-Каши; в одной из своих работ он подсчитал, что (все знаки верны).. Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной
науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году. Сочинение ат-Туси стало
широко известно в Европе и существенно повлияло на развитие тригонометрии.

Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые
теоремы, составляющие содержание тригонометрии:

 — Выражение любой тригонометрической функции через любую другую.

 — Формулы для синусов и косинусов кратных и половинных
углов, а также для суммы и разности углов.

 — Теоремы синусов и косинусов.

 — Решение
плоских и сферических треугольников

XVI—XVII века

Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не
только для астрономии и астрологии, но и для других приложений, в первую
очередь артиллерии, оптики и навигации при
дальних морских путешествиях. Поэтому после
XVI века этой темой занимались
многие выдающиеся учёные, в том числе Николай Коперник, Иоганн
Кеплер, Франсуа
Виет.

Термин «тригонометрия» как
название математической дисциплины ввёл в употребление немецкий математик Б. Питискус в 1595 г. К
концу XVII века появились современные
названия тригонометрических функций. Термин
«синус» впервые употребил около 1145 года английский математик и арабист Роберт
Честерский (англ.)русск.^[29]. Региомонтан в
своей книге назвал косинус «синусом дополнения» (лат. sinus complementi),
поскольку ; его
последователи в XVII веке сократили это обозначение до co-sinus (Эдмунд
Гунтер), а позднее — до cos (Уильям
Отред). Названия тангенса и секанса предложил в 1583 году датский
математик Томас Финке,
а упомянутый выше Эдмунд Гунтер ввёл названия котангенса и косеканса.
Термин «тригонометрические функции» впервые употребил в своей «Аналитической
тригонометрии» (1770) Георг
Симон Клюгель.

XVIII век

Важными открытиями в начале XVIII века стали:

 — Открытие и широкое
распространение радианной меры углов (Роджер Котс, 1714).
Сам термин «радиан» появился позднее, его в 1873 году предложил английский
инженер Джеймс Томсон.

 — Тригонометрическое представление комплексного числа и формула Муавра.

 — Начало использования (Ньютон и Грегори) полярной системы
координат, связанной с декартовой тригонометрическими
соотношениями; в общее употребление эти координаты ввёл Эйлер (1748).

В 1706 году швейцарский
математик Якоб Герман опубликовал формулы для тангенса суммы и тангенса кратных
углов, а Иоганн Ламберт в 1765 году нашёл чрезвычайно
полезные формулы, выражающие
разные тригонометрические функции через тангенс половинного угла. Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью приставки arc (от лат. arcus — дуга) появилась у австрийского математика Карла
Шерфера (Karl Scherffer,
1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу.

Современный вид тригонометрии придал Леонард Эйлер. В трактате
«Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал определение тригонометрических
функций, эквивалентное современному, и соответственно определил обратные
функции. Если его
предшественники понимали синус и прочие понятия геометрически, то есть как
линии в круге или треугольнике, то после работ Эйлера  и т. д. стали рассматриваться как безразмерные аналитические
функции действительного и комплексного переменного. Эйлер определил эти знаки для углов в разных координатных
квадрантах, исходя из формул
приведения.

В России первые сведения о тригонометрии были
опубликованы в сборнике «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к изучению
мудролюбивых тщателей», опубликованном при участии Л. Ф. Магницкого в 1703 году. В 1714 году появилось
содержательное руководство «Геометрия практика», первый русский учебник по
тригонометрии, ориентированный на прикладные задачи артиллерии, навигации и
геодезии. Завершением периода освоения
тригонометрических знаний в России можно считать фундаментальный учебник
академика М. Е. Головина (ученика Эйлера) «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими
доказательствами» (1789). В конце XVIII века в Петербурге возникла авторитетная тригонометрическая
школа (А. И. Лексель, Н. И. Фусс, Ф. И. Шуберт), которая внесла большой вклад в плоскую и
сферическую тригонометрию.

Глава II Сложная тригонометрия в кимах ЕГЭ: решаем,
сдаем, обсуждаем .

1.Решение
простейших тригонометрических уравнений

_А) 

Решение

   

По
определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе
уравнений.

     
                 Ответ:     

Б)
Найдите корни уравнения  принадлежащие
промежутку .

Решение

. Другими
словами, нам нужно подобрать такое число из промежутка   косинус
которого был бы равен . Это
число . Используя
это, получаем:Из полученных серий выбираем только те ответы, которые
принадлежат промежутку . Воспользуемся для этого методом двойных неравенств.

1)  

2)
  

 2.
Решение тригонометрических уравнений разложением на множители

 Решить уравнение

Решение. Воспользуемся
формулой  Исходное
уравнение запишется в виде

.
Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как функция синус не может
принимать значений, по модулю больших единицы. Решение первого уравнения
совокупности

Ответ:

3.
Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного

Решить
уравнение 

Решение.
Обозначив t=tgx,
перепишем уравнение в виде . Разложив
левую часть уравнения на множители, перепишем его в виде (t-1)(t²-3)=0;
t₁=1,.Следовательно, множество решений
уравнения есть объединение множеств решений трех уравнений:

4. Решение тригонометрических уравнений
сводящихся к
квадратным уравнениям

Решить
уравнение  6cos² x
+ 5 sin x
– 7 = 0.

Решение

1)Используя
тождество осуществим замену :

6(1-sin²x)+5sinx-7=0;
6-6sin²x+5sinx-7=0; -6sin²x+5sinx-1=0; 6sin²x-5sinx+1=0;

2)
Обозначение: t=sinx,
где

6t²-5t+1=0;
D=(-5)²-4*6*1=1;
;

3)

4)
Вернемся к обозначению:

  

5.Решение
тригонометрических уравнений преобразованием суммы
тригонометрических функций в произведение

Решить уравнение

Чтобы вместо разности синуса и косинуса получить разность
косинусов, для которой у нас имеется формула. Тогда получим последовательно:

Решить
уравнение   .

Решение. 

По
формуле приведения

 Последнее
уравнение можно записать в виде или

Далее
воспользуемся методом решения рационального уравнения:  

Последнее
равенство с учетом формулы приведения равносильно уравнениюкоторое имеет решение .

Из  получаем дополнительные
условия             Ответ: .

6.Решение
тригонометрических уравнений преобразованием произведения
тригонометрических функций в сумму

 Решить уравнение

а)
Найдем область определения функции.

б)
Решим данное уравнение  

7.Решение тригонометрических уравнений с
применением формул понижения степени

Решить уравнение   cos² x+sin² 3x=1           
Решение. 

Это — достаточно сложный пример, требующий
умения свободно оперировать формулами тригонометрии. Поэтому мы сделаем его не спеша, обстоятельно и «по
действиям».
1) Дважды применим к левой части уравнения
формулы понижения степени:

2)   
Теперь заданное уравнение можно переписать в виде:     
откуда получаем:cos2x-6x=0

3)   Преобразуем
разность косинусов в произведение:
Значит, задача сводится к решению уравнения 2sin4хsin2х
=0.
4)   
Полученное уравнение сводится к совокупности двух уравнений: sin4х=0;
; 
sin2х=0;

8.
Решение тригонометрических уравнений как однородное

Решить
уравнение  2 sin x – 3 cos x = 0.        

Решение

Разделим обе части
уравнения на cos x: 
 

 Решить уравнение sin² x –
3 sin x cos x + 2 cos² x =
0.

Решение.                                         

Разделим
обе части уравнения на cos²x :  

Вместо
tg x введем новую переменную z и получим квадратное уравнение:

z² –
3z + 2 = 0. Найдем корни: z₁ = 1;  z₂ = 2.

Значит:
либо tg x = 1,    x = arctg 1 + πn; x =
π/4 + πn.
либо  tg x = 2,   x = arctg 2 + πn.

                                           
Ответ: x = π/4 + πn;  x = arctg 2 + πn.

9.
Решение тригонометрических уравнений с помощью
введения вспомогательного аргумента

Решить
уравнение  

Решение. Запишем
уравнение в виде

.Вычислим  и
разделим на 2 обе части исходного уравнения:

.Поскольку
теперь левую часть уравнения можно записать в виде  с , ,  или в виде  с , , , то необходимо
произвести выбор одного из этих вариантов. Невостребованная до сих пор «лишняя»
часть и определяет этот выбор:

,так
как для дальнейшего решения удобно использовать формулу разности косинусов.
Поэтому получаем

и,следовательно, или Последние
уравнения имеют, соответственно, решения

 и .

10.
Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной
тригонометрической подстановки

При
переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней,
значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения  корнями
данного уравнения.

Проверка.   
Если , тогда

 —
не верно, значит ,
не является корнями исходного уравнения.

Ответ: 

11. Решение
тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические
функции под знаком радикала

Решить уравнение 

Решение

В соответствии с
общим правилом решения иррациональных уравнений вида,
запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1
– cos x
= 1 – cos²x.

1 – cos x = 1 – cos²x;
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0; (1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0;
– (1 – cos x) cos x = 0.

             Условию  удовлетворяют
только решения

Ответ: 

Заключение.

Решение сложных
тригонометрических уравнений и неравенств, в частности при изучении
тригонометрии, на мой взгляд, может дать положительный эффект с точки зрения
развития интереса к предмету и творческих способностей учащихся.

Проведенная
мною исследование позволило приобрести мне навыки исследовательской работы;
повысить уровень предметной и психологическое готовности к ЕГЭ по математике
(тригонометрия); побудило к самостоятельной работе по получению информации;
формированию мотивов и умений самообразования, поработать с интересной, для
меня, темой и выйти за рамки того материла, который предоставляет нам учебник
10-го класса. Прочитав и изучив другую литературу, я узнала много нового и, как
я считаю, важного для нас учеников при подготовке к ЕГЭ.

Выводы

Во-
первых, для
успешного решения тригонометрических уравнений нужно хорошо знать
тригонометрические формулы, причем не только основные, но и дополнительные
(преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения
в сумму, формулы понижения степени и другие),так
как использование на ЕГЭ шпаргалок и мобильных телефонов запрещается

Во- вторых, мы
должны четко знать стандартные формулы корней простейших тригонометрических
уравнений (полезно помнить или уметь получать с помощью тригонометрической
окружности упрощенные формулы для корней уравнений).

Литература

1.А.Н.Коломогоров
Алгебра и начала анализа 10 – 11 кл.сред.А45 шк./под ред.А.Н.Колмогорова.-2-е
изд.-М.:Просвещение,1991.-320с.:ил.-ISBN
5-09-003384-6.

 2.Ю.Н.
Макарычев Алгебра:учеб.для 9 класса
общеобразоват.учреждений/[Ю.Н.Макарычев,Н.Г.Миндюк,К.И.Нешков,
С.Б.Суворова];под.ред.С.А.Теляковского.- 12-е изд.- М.:Просвещение,
2005.-270с.:ил-ISBN5-09-014457-5;

3.www.fipi.ru
ФИПИ ЕГЭ 2008,2009,2010,2011г.г. Математика;

4.https://ru.wikipedia.org/wiki/
История тригонометрии;

5.http://mmetodika.narod.ru/page/urav3.htm

Тригонометрические уравнения

В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений и методах их решения. Тригонометрические уравнения чаще всего встречаются в задаче 12 ЕГЭ.

В вариантах ЕГЭ задача, где нужно решить уравнение, состоит из двух пунктов. Первый пункт – решение самого уравнения. Второй – нахождение его корней на некотором отрезке.

Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) являются универсальными, то есть применяются и в других разделах математики. Другие являются специфическими именно для тригонометрии.

Необходимых формул по тригонометрии не так уж и много. Учите наизусть!
Тригонометрические формулы.

Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к простейшим, то есть к уравнениям вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.

Если вы не помните, как решать простейшие тригонометрические уравнения, — читайте материал на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 1.

О том, что такое арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, — еще одна статья на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения,часть 2.

Теперь — сами методы. Теория и примеры решения задач.

к оглавлению ▴

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях — степенных, показательных, тригонометрических,  логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала преобразовать.

1. а) Решите уравнение:
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

а) Рассмотрим уравнение

Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество:

Заменяя sin x на t, приходим к квадратному уравнению:

Решая его, получим:

Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит нас к уравнению 
Оно не имеет решений, поскольку

Второй корень даёт простейшее уравнение

Решаем его:

б) Найдем корни уравнения на отрезке с помощью двойного неравенства.

Разделим обе части неравенства на

Вычтем из обеих частей неравенства:

Разделим на 2 обе части неравенства:

Единственное целое решение – это n=0. Тогда — это единственный корень, который принадлежит отрезку

Ответ:

2. а) Решите уравнение:
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

а)

Выразим косинус двойного угла по формуле

Получим:

Заменяя cos⁡x на t, приходим к квадратному уравнению:

1)

2) нет решений, т. к.

Получим:

б) Отметим отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка

Ответ: а)
б)

3. а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Решение:

а)  Чтобы упростить уравнение  применяем формулу приведения.

Так как  получим:

Сделаем замену:    Получим квадратное уравнение:

Сделаем обратную замену.

1)  — нет решений, т. к.  

2) 

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку , с помощью двойного неравенства.

Для серии решений получим:

Так как то

Для серии решений получим:

отсюда

У этого неравенства нет целых решенией, и значит, из второй серии ни одна точка в указанный отрезок не входит.

Ответ: а)
б)

к оглавлению ▴

Разложение на множители

Во многих случаях уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.

4. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Решение:

а) Применяем формулу синуса двойного угла:

Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что cos x обратится в нуль, и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель выносим за скобки:

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: cosx = 0 и 2sinx — 1 = 0.

Получим:

Все эти три серии решений являются ответом в части (а).

б) Отметим отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки

Ответ: а)
б)

5. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Решение:

Применим формулу суммы синусов:

Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче:

Решаем уравнение :

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Тригонометрические уравнения»

Открытый банк заданий по теме тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1179

Условие

а) Решите уравнение 2(sin x-cos x)=tgx-1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left[ frac{3pi }2;,3pi right].

Показать решение

Решение

а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 sin x-2 cos x-tg x=0. Учитывая, что cos x neq 0, слагаемое 2 sin x можно заменить на 2 tg x cos x, получим уравнение 1+2 tg x cos x-2 cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 cos x)=0.

1) 1-tg x=0,  tg x=1, x=fracpi 4+pi n, n in mathbb Z;

2) 1-2 cos x=0,  cos x=frac12, x=pm fracpi 3+2pi n, n in mathbb Z.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку left[ frac{3pi }2;, 3pi right].

x_1=fracpi 4+2pi =frac{9pi }4,

x_2=fracpi 3+2pi =frac{7pi }3,

x_3=-fracpi 3+2pi =frac{5pi }3.

Ответ

а) fracpi 4+pi n, pmfracpi 3+2pi n, n in mathbb Z;

б) frac{5pi }3,  frac{7pi }3,  frac{9pi }4.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1178

Условие

а) Решите уравнение (2sin ^24x-3cos 4x)cdot sqrt {tgx}=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left( 0;,frac{3pi }2right] ;

Показать решение

Решение

а) ОДЗ: begin{cases} tgxgeqslant 0\xneq fracpi 2+pi k,k in mathbb Z. end{cases}

Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений

left[!!begin{array}{l} 2 sin ^2 4x-3 cos 4x=0,\tg x=0. end{array}right.

Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену cos 4x=t,  t in [-1; 1]. Тогда sin^24x=1-t^2. Получим:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=frac12, t_2=-2, t_2notin [-1; 1].

cos 4x=frac12,

4x=pm fracpi 3+2pi n,

x=pm fracpi {12}+frac{pi n}2, n in mathbb Z.

Решим второе уравнение.

tg x=0,, x=pi k, k in mathbb Z.

При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.

Знаком «+» отмечены 1-я и 3-я четверти, в которых tg x>0.

Получим: x=pi k, k in mathbb Z; x=fracpi {12}+pi n, n in mathbb Z; x=frac{5pi }{12}+pi m, m in mathbb Z.

б) Найдём корни, принадлежащие промежутку left( 0;,frac{3pi }2right].

x=fracpi {12}, x=frac{5pi }{12}; x=pi ; x=frac{13pi }{12}; x=frac{17pi }{12}.

Ответ

а) pi k, k in mathbb Z; fracpi {12}+pi n, n in mathbb Z; frac{5pi }{12}+pi m, m in mathbb Z.

б) pi; fracpi {12}; frac{5pi }{12}; frac{13pi }{12}; frac{17pi }{12}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1177

Условие

а) Решите уравнение: cos ^2x+cos ^2fracpi 6=cos ^22x+sin ^2fracpi 3;

б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку left( frac{7pi }2;,frac{9pi }2right].

Показать решение

Решение

а) Так как sin fracpi 3=cos fracpi 6, то sin ^2fracpi 3=cos ^2fracpi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению cos^2x=cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению cos^2x-cos ^2 2x=0.

Но cos ^2x-cos ^22x= (cos x-cos 2x)cdot (cos x+cos 2x) и

cos 2x=2 cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид

(cos x-(2 cos ^2 x-1)),cdot (cos x+(2 cos ^2 x-1))=0,

(2 cos ^2 x-cos x-1),cdot (2 cos ^2 x+cos x-1)=0.

Тогда либо 2 cos ^2 x-cos x-1=0, либо 2 cos ^2 x+cos x-1=0.

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно cos x, получаем:

(cos x)_{1,2}=frac{1pmsqrt 9}4=frac{1pm3}4. Поэтому либо cos x=1, либо cos x=-frac12. Если cos x=1, то x=2kpi , k in mathbb Z. Если cos x=-frac12, то x=pm frac{2pi }3+2spi , s in mathbb Z.

Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо cos x=-1, либо cos x=frac12.Если cos x=-1, то корни x=pi +2mpi , m in mathbb Z. Если cos x=frac12, то x=pm fracpi 3+2npi , n in mathbb Z.

Объединим полученные решения:

x=mpi , m in mathbb Z; x=pm fracpi 3 +spi , s in mathbb Z.

б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.

Получим: x_1 =frac{11pi }3,  x_2=4pi ,  x_3 =frac{13pi }3.

Ответ

а) mpi, m in mathbb Z; pm fracpi 3 +spi , s in mathbb Z;

б) frac{11pi }3,  4pi ,  frac{13pi }3.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1176

Условие

а) Решите уравнение 10cos ^2frac x2=frac{11+5ctgleft( dfrac{3pi }2-xright) }{1+tgx}.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу left( -2pi ; -frac{3pi }2right).

Показать решение

Решение

а) 1. Согласно формуле приведения, ctgleft( frac{3pi }2-xright) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x, что cos x neq 0 и tg x neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 cos ^2 frac x2=1+cos x. Получим уравнение: 5(1+cos x) =frac{11+5tgx}{1+tgx}.

Заметим, что frac{11+5tgx}{1+tgx}= frac{5(1+tgx)+6}{1+tgx}= 5+frac{6}{1+tgx}, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 cos x=5 +frac{6}{1+tgx}. Отсюда cos x =frac{dfrac65}{1+tgx}, cos x+sin x =frac65.

2. Преобразуем sin x+cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: sin x=cos left(fracpi 2-xright), cos x+sin x= cos x+cos left(fracpi 2-xright)= 2cos fracpi 4cos left(x-fracpi 4right)= sqrt 2cos left( x-fracpi 4right) = frac65.

Отсюда cos left(x-fracpi 4right) =frac{3sqrt 2}5. Значит, x-fracpi 4= arccos frac{3sqrt 2}5+2pi k, k in mathbb Z,

или x-fracpi 4= -arccos frac{3sqrt 2}5+2pi t, t in mathbb Z.

Поэтому x=fracpi 4+arccos frac{3sqrt 2}5+2pi k,k in mathbb Z,

или x =fracpi 4-arccos frac{3sqrt 2}5+2pi t,t in mathbb Z.

Найденные значения x принадлежат области определения.

б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=fracpi 4+arccos frac{3sqrt 2}5 и b=fracpi 4-arccos frac{3sqrt 2}5.

1. Докажем вспомогательное неравенство:

frac{sqrt 2}{2}<frac{3sqrt 2}2<1.

Действительно, frac{sqrt 2}{2}=frac{5sqrt 2}{10}<frac{6sqrt2}{10}=frac{3sqrt2}{5}.

Заметим также, что left( frac{3sqrt 2}5right) ^2=frac{18}{25}<1^2=1, значит frac{3sqrt 2}5<1.

2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:

arccos 1<arccos frac{3sqrt 2}5<arccos frac{sqrt 2}2,

0<arccosfrac{3sqrt2}{5}<frac{pi}{4}.

Отсюда fracpi 4+0<fracpi 4+arccos frac{3sqrt 2}5<fracpi 4+fracpi 4,

0<fracpi 4+arccos frac{3sqrt 2}5<fracpi 2,

0<a<fracpi 2.

Аналогично, -fracpi 4<arccosfrac{3sqrt2}{5}<0,

0=fracpi 4-fracpi 4<fracpi 4-arccos frac{3sqrt 2}5< fracpi 4<fracpi 2,

0<b<fracpi 2.

При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2pi и b-2pi.

Bigg( a-2pi =-frac74pi +arccos frac{3sqrt 2}5,, b-2pi =-frac74pi -arccos frac{3sqrt 2}5Bigg). При этом -2pi <a-2pi <-frac{3pi }2,

-2pi <b-2pi <-frac{3pi }2. Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку left( -2pi , -frac{3pi }2right).

При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.

Действительно, если kgeqslant 1 и tgeqslant 1, то корни больше 2pi. Если kleqslant -2 и tleqslant -2, то корни меньше -frac{7pi }2.

Ответ

а) fracpi4pm arccosfrac{3sqrt2}5+2pi k, kinmathbb Z;

б) -frac{7pi}4pm arccosfrac{3sqrt2}5.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1175

Условие

а) Решите уравнение sin left( fracpi 2+xright) =sin (-2x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; pi ];

Показать решение

Решение

а) Преобразуем уравнение:

cos x =-sin 2x,

cos x+2 sin x cos x=0,

cos x(1+2 sin x)=0,

cos x=0,

x =fracpi 2+pi n, n in mathbb Z;

1+2 sin x=0,

sin x=-frac12,

x=(-1)^{k+1}cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие отрезку [0; pi ], найдём с помощью единичной окружности.

Указанному промежутку принадлежит единственное число fracpi 2.

Ответ

а) fracpi 2+pi n, n in mathbb Z; (-1)^{k+1}cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z;

б) fracpi 2.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1174

Условие

а) Решите уравнение frac{sin x-1}{1+cos 2x}=frac{sin x-1}{1+cos (pi +x)}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку left[ -frac{3pi }{2}; -frac{pi }2 right].

Показать решение

Решение

а) Найдём ОДЗ уравнения: cos 2x neq -1, cos (pi +x) neq -1; Отсюда ОДЗ: x neq frac pi 2+pi k,

k in mathbb Z, x neq 2pi n, n in mathbb Z. Заметим, что при sin x=1, x=frac pi 2+2pi k, k in mathbb Z.

Полученное множество значений x не входит в ОДЗ.

Значит, sin x neq 1.

Разделим обе части уравнения на множитель (sin x-1), отличный от нуля. Получим уравнение frac 1{1+cos 2x}=frac 1{1+cos (pi +x)}, или уравнение 1+cos 2x=1+cos (pi +x). Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 cos ^2 x=1-cos x. Это уравнение с помощью замены cos x=t, где -1 leqslant t leqslant 1 сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=frac12. Возвращаясь к переменной x, получим cos x = frac12 или cos x=-1, откуда x=frac pi 3+2pi m, m in mathbb Z, x=-frac pi 3+2pi n, n in mathbb Z, x=pi +2pi k, k in mathbb Z.

б) Решим неравенства

1) -frac{3pi }2 leqslant frac{pi }3+2pi m leqslant -frac pi 2 ,

2) -frac{3pi }2 leqslant -frac pi 3+2pi n leqslant -frac pi {2,}

3) -frac{3pi }2 leqslant pi+2pi k leqslant -frac pi 2 , m, n, k in mathbb Z. 

Решение:

1) -frac{3pi }2 leqslant frac{pi }3+2pi m leqslant -frac pi 2 , -frac32 leqslant  frac13+2m leqslant  -frac12 -frac{11}6 leqslant  2m leqslant  -frac56 , -frac{11}{12} leqslant m leqslant -frac5{12}.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left [-frac{11}{12};-frac5{12}right].

2) -frac {3pi} 2 leqslant -frac{pi }3+2pi n leqslant -frac{pi }{2}, -frac32 leqslant -frac13 +2n leqslant -frac12 , -frac76 leqslant 2n leqslant -frac1{6}, -frac7{12} leqslant n leqslant -frac1{12}.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left[ -frac7{12} ; -frac1{12} right].

3) -frac{3pi }2 leqslant pi +2pi kleqslant -frac{pi }2, -frac32 leqslant 1+2kleqslant -frac12, -frac52 leqslant 2k leqslant -frac32, -frac54 leqslant k leqslant -frac34.

Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-pi.

Ответ

а) frac pi 3+2pi m; -frac pi 3+2pi n; pi +2pi k, m, n, k in mathbb Z;

б) -pi .

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1173

Условие

а) Решите уравнение: sin ^2x+sin ^2fracpi 6=cos ^22x+cos ^2fracpi 3.

б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку left[ frac{7pi }2;,frac{9pi }2right).

Показать решение

Решение

а) Так как sin fracpi 6=cos fracpi 3, то sin ^2fracpi 6=cos ^2fracpi 3, значит, заданное уравнение равносильно уравнению sin ^2 x=cos ^2 2x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению sin ^2- cos ^2 2x=0.

Но sin ^ 2x-cos ^2 2x= (sin x-cos 2x)cdot (sin x+cos 2x) и

cos 2x=1-2 sin ^2 x, поэтому уравнение примет вид

(sin x-(1-2 sin ^2 x)),cdot (sin x+(1-2 sin ^2 x))=0,

(2 sin ^2 x+sin x-1),cdot (2 sin ^2 x-sin x-1)=0.

Тогда либо 2 sin ^2 x+sin x-1=0, либо 2 sin ^2 x-sin x-1=0.

Решим первое уравнение как квадратное относительно sin x,

(sin x)_{1,2}=frac{-1 pm sqrt 9}4=frac{-1 pm 3}4. Поэтому либо sin x=-1, либо sin x=frac12. Если sin x=-1, то x=frac{3pi }2+ 2kpi , k in mathbb Z. Если sin x=frac12, то либо x=fracpi 6 +2spi , s in mathbb Z, либо x=frac{5pi }6+2tpi , t in mathbb Z.

Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо sin x=1, либо sin x=-frac12. Тогда x =fracpi 2+2mpi , m in mathbb Z, либо x=frac{-pi }6 +2npi , n in mathbb Z, либо x=frac{-5pi }6+2ppi , p in mathbb Z.

Объединим полученные решения:

x=fracpi 2+mpi,minmathbb Z; x=pmfracpi 6+spi,s in mathbb Z.

б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток с помощью числовой окружности.

Получим: x_1 =frac{7pi }2, x_2 =frac{23pi }6, x_3 =frac{25pi }6.

Ответ

а) fracpi 2+ mpi , m in mathbb Z; pm fracpi 6 +spi , s in mathbb Z;

б) frac{7pi }2;,,frac{23pi }6;,,frac{25pi }6.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1172

Условие

а) Решите уравнение log_2^2(2sin x+1)-17log_2(2sin x+1) +16=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку left[ fracpi 4;,2pi right].

Показать решение

Решение

а) После замены t=log_2(2 sin x+1) исходное уравнение примет вид t^2 -17t+16=0. Корни этого уравнения t=1, t=16. Возвращаясь к переменной x, получим:

left[!!begin{array}{l} log_2(2 sin x+1)=1,\ log_2(2 sin x+1)=16; end{array}right. left[!!begin{array}{l} 2sin x+1=2,\ 2sin x+1=2^{16}. end{array}right.

Второе уравнение совокупности не имеет корней. Решая первое уравнение, получим:

sin x =frac12, x=(-1)^nfracpi 6+pi n,n in mathbb Z.

б) Запишем решение уравнения в виде x=fracpi 6 +2pi n,n in mathbb Z или x=frac{5pi }6+2pi k,kin mathbb Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства fracpi 4leqslant fracpi 6+2pi nleqslant 2pi и fracpi 4leqslant frac{5pi }6+2pi kleqslant 2pi.

Получим: frac1{24}leqslant nleqslant frac{11}{12} и -frac7{24}leqslant kleqslant frac7{12}, откуда следует, что нет целых значений n, удовлетворяющих неравенству frac1{24}leqslant nleqslant frac{11}{12};,,, k=0 — единственное целое k, удовлетворяющее неравенству -frac7{24}leqslant kleqslant frac7{12}.

При k=0, x=frac{5pi }6+2picdot 0=frac{5pi }6. Итак, frac{5pi }6 — корень уравнения, принадлежащий отрезку left[ fracpi 4;,2pi right].

Ответ

а) (-1)^nfracpi 6+pi n,n in mathbb Z.

б) frac{5pi }6.

Задание №1171

Условие

а) Решите уравнение 125^x-3cdot 25^x-5^{x+2}+75=0.

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log_54; log_511).

Показать решение

Решение

а) Преобразуем исходное уравнение и разложим на множители его левую часть.

5^{3x}-3cdot 5^{2x}-25cdot 5^x+25cdot 3=0,

5^{2x}(5^x-3)-25(5^x-3)=0,

(5^x-3)(5^{2x}-25)=0.

Получаем: 5^x-3=0 или 5^{2x}-25=0.

5^x-3=0, x=log_53 или 5^{2x}=25, x=1.

б) Нам нужно выбрать те корни уравнения, которые принадлежат отрезку [log_5 4; log_5 11]. Заметим, что log_5 3<log_5 4<1<log_5 11, значит, указанному отрезку принадлежит корень x=1.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1170

Условие

а) Решите уравнение 2cos xleft( cos x+cos frac{5pi }4right) + cos x+cos frac{3pi }4=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left[ pi ;,frac{5pi }2right).

Показать решение

Решение

а) Так как cos frac{5pi }4= cos left( pi +fracpi 4right) = -cos fracpi 4= -frac{sqrt 2}2 и cos frac{3pi }4= cos left( pi -fracpi 4right) = -cos fracpi 4= -frac{sqrt 2}2, то уравнение примет вид: 2cos xleft( cos x-frac{sqrt 2}2right) +cos x-frac{sqrt 2}2=0.Отсюда (2cos x+1)left( cos x-frac{sqrt 2}2right) =0.

Тогда cos x=-frac12; x=pmfrac{2pi }3+2pi n или cos x=frac{sqrt 2}2;, x=pmfracpi 4+2pi n, где n in mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие промежутку left[ pi ;,frac{5pi }2right), найдём с помощью числовой окружности: frac{4pi }3;,, frac{7pi }4;,, frac{9pi }4.

Ответ

а) pmfrac{2pi }3+2pi n;,, pmfracpi 4=2pi n, n in mathbb Z.

б) frac{4pi }3;, frac{7pi }4;, frac{9pi }4.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.