Сложная вероятность егэ формулы

Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов

$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.

Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$

В фирме такси в наличии $50$ легковых автомобилей. $35$ из них чёрные, остальные — жёлтые.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета.

Решение:

Найдем количество желтых автомобилей:

$50-35=15$

Всего имеется $50$ автомобилей, то есть на вызов приедет одна из пятидесяти. Желтых автомобилей $15$,
следовательно, вероятность приезда именно желтого автомобиля равна ${15}/{50}={3}/{10}=0,3$

Ответ:$0,3$

Противоположные события

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}↖{-}$.

$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$

Независимые события

Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению этих
вероятностей:

$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$

Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый
лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович
участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того,
что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.

Решения:

Вероятность $Р(А)$ — выиграет первый билет.

Вероятность $Р(В)$ — выиграет второй билет.

События $А$ и $В$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба
события, нужно найти произведение вероятностей

$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$

$Р=0,15·0,12=0,018$

Ответ: $0,018$

Несовместные события

Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)

Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих
событий:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$

На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения»,
ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух
несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$

$Р = 0,3+0,18=0,48$

Ответ: $0,48$

Совместные события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.

Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий минус
вероятность их произведения:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)$

В холле кинотеатра два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится
кофе, равна $0,6$. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,32$. Найдите вероятность того,
что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов.

Решение:

Обозначим события, пусть:

$А$ = кофе закончится в первом автомате,

$В$ = кофе закончится во втором автомате.

Тогда,

$A·B =$ кофе закончится в обоих автоматах,

$A + B =$ кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32$.

События $A$ и $B$ совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий,
уменьшенной на вероятность их произведения:

$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$

Ответ: $0,88$

Источник

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

теория вероятности возникла как помощь в игре в кости, в казино и т.п.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом oslash.

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом Omega.

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

  1. Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. 0<P(A)<1.
  2. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. P(oslash) = 0 .
  3. Вероятность достоверного события равна 1, т.e. P(Omega) = 1.
  4. Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. P(A+B) =P(A)+P(B).

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется n равновероятных элементарных исходов, и произвольные k из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле P(A) = frac{k}{n}. Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов k, прямо в условии написано число всех исходов n.

Самый простой способ определения вероятности

Ответ получаем по формуле P(A) = frac{k}{n}.

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков – 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть P(A), где А – это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

    [ P(A)=frac{k}{n}=frac{8}{20}=0,4 ]

Ответ: 0,4

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. P(B)=1-P(A).

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае P{AB)= P(A)cdot P(B).

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение 1cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6, которое обозначается символом 6! и читается “шесть факториал”.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов P_n=1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6 В нашем случае n= 6.

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение 6 cdot 5.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

    [ A^{k}_{n}=n cdot (n-1) cdot (n-2) dots cdot(n-k+1)= frac{n!}{(n-k)!} ]

В нашем случае n = 6, k = 2.

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: frac {6 cdot 5 cdot 4}{1cdot 2 cdot 3} = 20. В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из n элементов по k элементам:

    [ C^{k}_{n}=frac{n cdot (n-1) cdot (n-2) dots (n-k+1)}{1cdot 2 cdot 3 dots cdot k}=frac{n!}{k! cdot (n-k)!}. ]

В нашем случае n=6, k=3.

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

P=frac {9}{30}=0,3.

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

P=frac{980}{1000}=0,98

Ответ: 0,98.

Задача 3.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Решение:

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие “У. верно решит ровно 9 задач” входит в условие “У. верно решит больше 8 задач”, но не относится к условию “У. верно решит больше 9 задач”.

Однако, условие “У. верно решит больше 9 задач” содержится в условии “У. верно решит больше 8 задач”. Таким образом, если мы обозначим события: “У. верно решит ровно 9 задач” – через А, “У. верно решит больше 8 задач” – через B, “У. верно решит больше 9 задач” через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

P(A)=P(B)-P(C)=0,73-0,67=0,06.

Ответ: 0,06.

Задача 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме “Тригонометрия”, либо к теме “Внешние углы”. По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

P(AB)=P(A)+ P(B)=0,2 +0,15 = 0,35

Ответ: 0,35.

Задача 5.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: bigcirc– лампочка горит, otimes – лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события “лампочка перегорела”, “лампочка горит”, “лампочка горит”: P=0,29 cdot 0,71 cdot 0,71=0,146189, где вероятность события “лампочка горит” подсчитывается как вероятность события, противоположного событию “лампочка не горит”, а именно: P=1-0,29=0,71.

otimes otimes otimes P=0,29 cdot 0,29 cdot 0,29 = 0,024389

otimes bigcirc bigcirc P_1=0,29 cdot 0,71 cdot 0,71 = 0,146189

otimes otimes bigcirc  P_2=0,29 cdot 0,29 cdot 0,71 = 0,05971

bigcirc otimes bigcirc  P_3=0,71 cdot 0,29 cdot 0,71 = 0,05971

bigcirc otimes otimes  P_4=0,71 cdot 0,29 cdot 0,29 = 0,146189

bigcirc bigcirc otimes  P_5=0,71 cdot 0,71 cdot 0,29 = 0,05971

otimes bigcirc otimes  P_6=0,29 cdot 0,71 cdot 0,29 = 0,146189

bigcirc bigcirc bigcirc P_7=0,71 cdot 0,71 cdot 0,71=0,357911

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: P=P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6+P_7=0,146189 +0,05971+0,05971+0,146189+0,05971+0,146189+0,357911=0,975608.

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

решения задачи о монетах

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

Источник

 « Методика решения сложных  задач по теории вероятности с помощью
формулы Бернулли при подготовки к ЕГЭ».

                                                   Выполнила:
учитель математики

МКОУ СШ №2 г.Котельниково            Волгоградской области

                                                  Пирожик Галина
Кирилловна

Цель работы:

·        
научиться вычислять вероятности
событий с помощью формулы Бернулли

В результате выполнения практической
работы студент должен:

знать:

·        
формулу Бернулли;

уметь:

·        
вычислять вероятности событий с помощью формулы Бернулли.

       В 2022 году в варианты ЕГЭ по математике профильного
уровня  добавились новые задачи по теории вероятностей. По сравнению с теми,
которые раньше были в варианте, это повышенный уровень сложности и требует
применение более глубоких знаний по этой теме. При
решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в
которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания
независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой
повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры
повторных испытаний:

1)
многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после
регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2)
повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что
вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой.

3)
бросание симметричной монеты n раз.

Схема Бернулли —
это когда производится n однотипных
независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас
событие A, причем известна вероятность
этого события P(A)
= p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится
ровно k раз.

Поскольку
речь идет о испытаниях, и в каждом опыте вероятность события A одинакова,
то возможны лишь два исхода:

1.  A — появление события A с
вероятностью p;

2. «не А» — событие А не появилось, что происходит с
вероятностью q = 1 − p.

Важнейшее
условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство. Сколько бы
опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A,
которое возникает с одной и той же вероятностью p.

Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность
того, что событие A произойдет ровно k раз
из n возможных. Сформулируем этот факт в виде теоремы:

Теорема Бернулли.
Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна
и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых
испытаниях событие A появится ровно k раз,
рассчитывается по формуле:

где Cnk — число
сочетаний, q = 1 − p.

Эта
формула так и называется: формула Бернулли.

Для
решения по формуле Бернулли надо вспомнить:

1)
определение факториала.

Факториал числа n (n!)— это произведение натуральных
чисел от 1 до n.

                         n!=1⋅2⋅3⋅…⋅(n−2)⋅(n−1)⋅n

Примеры для вычисления факториала числа:

1)
3! = 1*2*3 = 6       2)  4! = 1*2*3*4 = 24     3) 5! = 1*2*3*4*5 = 120    4)6!
= 1*2*3*4*5*6 = 720

Запоминаем

0! =
1            1! = 1    

Свойство факториала  n!=(n—1)!⋅n

1) 4! =  (4-1)!*4= 3!*4;     2) 5! =(5-1)!*5=4!*5

2) Число сочетаний.

Число сочетаний из n по k элементов (обозначается   )  очень
важное понятие в комбинаторике. Оно
показывает сколько существует вариантов выбора k элементов из множества n
элементов.
Число сочетаний вычисляется по формуле: Число сочетаний.

Примеры
для решени:

1)

2)

    
Разберем задачи на применение формулы для вычисления простых задач, решаемых по
формуле Бернулли

Задача1.  Монету бросают 6
раз. Выпадение орла и решки равновероятно. Найти вероятность того, что орел
выпадет три раза.

Решение:

 Событие A, когда выпадает
орел,  вероятность этого события равна p = 0,5. Событию A противопоставляется
событие «не A», когда выпадает решка, что случается с
вероятностью q = 1 − 0,5 = 0,5. Нужно определить вероятность
того, что орел выпадет k раз.

Таким
образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Определим
вероятность того, что орел выпал три раза, т.е. k = 3:

Ответ: 
0,3125  

Задача2.  Монету бросают 6
раз. Выпадение орла и решки равновероятно. Найти вероятность того, что орел
выпадет не менее двух раз.

Решение:

Основная загвоздка — во фразе «не менее».
Получается, что нас устроит любое k,
кроме 0 и 1,
 надо
найти значение суммы X = P6(2) + P6(3)
+ … + P6(6).

Заметим,
что эта сумма также равна (1 − P6(0) − P6(1)),
т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда орел выпал 1
раз (k = 1) или не выпал вообще (k = 0).
Поскольку P6(1) нам уже известно, осталось найти P6(0):

Герб выпадет один раз

Герб выпадет не менее двух раз

Ответ:0,890625

Задача 3. Монету
бросают 2 раза. Найти вероятность того, что «решка» выпадает хотя бы раз.

Решение:

Решка выпадет хотя бы раз (т. е. или раз из двух, или два из
двух)

p=0,5 – вероятность того,
что выпадет герба,

q=0,5 – вероятность того, что выпадет
решка.

https://documents.infourok.ru/6f87afaf-d0d4-4e2a-b229-4b61d482a76c/0/image019.png

https://documents.infourok.ru/6f87afaf-d0d4-4e2a-b229-4b61d482a76c/0/image020.png

https://documents.infourok.ru/6f87afaf-d0d4-4e2a-b229-4b61d482a76c/0/image021.png

Ответ: 0,75.

Задача 4. (ЕГЭ 2022)  Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько
раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события
«выпадет ровно 4 орла»?

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события А,
состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 5 орлов:

P(A)=C в степени 5 _10 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени 5 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени 5 .

Аналогично найдем вероятность события B, состоящего в том, что при
десяти бросаниях выпадет ровно 4 орла:

P(B)=C в степени 4 _10 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени 4 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени 6 .

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 5 орлов, равно C в степени 5 _10= дробь: числитель: 10 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7 умножить на 6, знаменатель: 5! конец дроби .

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 4 орла, равно C в степени 4 _10= дробь: числитель: 10 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7, знаменатель: 4! конец дроби .

Тогда

дробь: числитель: P(A), знаменатель: P(B) конец дроби = дробь: числитель: 10 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7 умножить на 6, знаменатель: 5! конец дроби умножить на дробь: числитель: 10 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7, знаменатель: 4! конец дроби == дробь: числитель: 10 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7 умножить на 6 умножить на 1 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 4, знаменатель: 10 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7 умножить на 1 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 4 умножить на 5 конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби =1,2.

Ответ: 1,2

Задача 5. (ЕГЭ 2022)   Стрелок стреляет по пяти одинаковым
мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что
вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько
раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности
события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?

Решение:

Стрелок
поражает мишень с первого раза 0,6 а со второго выстрела 1-0,6=0,4;
Вероятность
поразить мишень равна 0,6+0,4∙0,6=0,84, не поразить 1-0,84=0,16

Вероятность
поразить 5 мишеней из 5 равна 0,84^5 = P_1.

Вероятность
поразить 4 мишени из 5 находим по формуле Бернулли:

=Р2

displaystyle frac{P_1}{P_2} = frac{0,84^5}{5 cdot 0,84^4 cdot 0,16}= frac{0,84}{0,8}=1,05

Ответ: 1,05

Задачи
для самостоятельной работы:

1. Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события
«выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Ответ: 1,4

2. Симметричную монету бросают 12 раз. Во сколько раз вероятность события
«выпадет ровно 4 орла» меньше вероятности события «выпадет ровно 5 орлов»?

Ответ: 1,6

3.Симметричную монету бросают 8 раз. Во сколько раз
вероятность события «выпало ровно 4 орла» больше вероятности события «выпадет
ровно 3~орла»?

Ответ: 1,25

4. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням.
На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность
поразить мишень каждым выстрелом равна 0,5. Во сколько раз вероятность события
«стрелок поразит ровно 3 мишени» больше вероятности события «стрелок поразит
ровно 2 мишени»?

Ответ: 3.

Источник

Теория вероятности, формулы и примеры решения задач В рамках подготовки к ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Теория вероятности, формулы и примеры решения задач

В рамках подготовки к ЕГЭ по математике (профильный уровень)

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это: достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события; случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. На этом уроке мы рассмотрим в кратком виде теорию вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это:

  • достоверные события, которые обязательно произойдут,
  • невозможные события;
  • случайные события.

Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти.

На этом уроке мы рассмотрим в кратком виде теорию вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Классическая формула вероятности Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всевозможных исходов. Р(А)= , где m – количество (число) благоприятных исходов, n – общее количество (число) возможных исходов

Классическая формула вероятности

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всевозможных исходов.

Р(А)= , где m – количество (число)

благоприятных исходов,

n – общее количество (число)

возможных исходов

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Легко вычислить число благоприятных исходов, а прямо в условии написано число всех исходов. Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом? Решение. Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть  Р(А), где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет найдена как отнощение количества пирожков с рисом к общему количеству всех пирожков. Т.е., 8 разделить на 20.    Ответ: 0,4

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми.

Легко вычислить число благоприятных исходов, а прямо в условии написано число всех исходов.

Пример задачи из ЕГЭ по математике

по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть  Р(А), где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет найдена как отнощение количества пирожков с рисом к общему количеству всех пирожков. Т.е., 8 разделить на 20.

   Ответ: 0,4

Независимые, несовместные, противоположные и произвольные события

Независимые, несовместные, противоположные и произвольные события

Независимые события Определение События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие. Теорема Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае  Р(АВ) = Р(А)·Р(В)

Независимые события

Определение

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Теорема

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае 

Р(АВ) = Р(А)·Р(В)

Пример задачи на независимые события Если гроссмейстер А играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,52. Если А играет черными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А и Б играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза. Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Сказано, что гроссмейстер должен выиграть оба раза. То есть, выиграть первый раз и при этом выиграть во второй раз. Первый раз гроссмейстер играет белыми, во второй раз – черными. Таким образом, искомая вероятность: 0,52*0,3=0,156. Ответ: 0,156

Пример задачи на независимые события

Если гроссмейстер А играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,52. Если А играет черными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А и Б играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза.

Решение.

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Сказано, что гроссмейстер должен выиграть оба раза. То есть, выиграть первый раз и при этом выиграть во второй раз. Первый раз гроссмейстер играет белыми, во второй раз – черными. Таким образом, искомая вероятность: 0,52*0,3=0,156.

Ответ: 0,156

Противоположные события Определение Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события, т.е.  Р(В) = 1 – Р(А).

Противоположные события

Определение

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события, т.е. 

Р(В) = 1 – Р(А).

Пример задачи, где используется противоположное событие В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Что означает выражение «хотя бы один» (в данном случае из двух? Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, значит, вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: 0,05*0,05. Значит, вероятность того, что исправны оба автомата или какой-то из них будет равна 1 – 0,0025 = 0,9975. Ответ: 0,9975.

Пример задачи, где используется противоположное событие

В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Что означает выражение «хотя бы один» (в данном случае из двух?

Решение.

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, значит, вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: 0,05*0,05. Значит, вероятность того, что исправны оба автомата или какой-то из них будет равна 1 – 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

Несовместные события Определение События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое. Теорема Сумма двух несовместных событий  есть сумма  вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Несовместные события

Определение

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Теорема

Сумма двух несовместных событий  есть сумма  вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Пример задачи на несовместные события На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение. Нам даны два несовместных события. То есть, либо вопрос будет относиться к теме «Тригонометрия», либо к теме «Внешние углы». По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = 0,2 + 0,15 = 0,35 Ответ: 0,35.

Пример задачи на несовместные события

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Нам даны два несовместных события. То есть, либо вопрос будет относиться к теме «Тригонометрия», либо к теме «Внешние углы». По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = 0,2 + 0,15 = 0,35

Ответ: 0,35.

Пример задачи, где используются независимые и несовместные события Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется. Решение. Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер (1 из 4) и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер (1 из 6) и промахнется из него. Вероятность промахнуться из пристрелянного револьвера равна 0,1.

Пример задачи, где используются независимые и несовместные события

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется.

Решение.

Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер (1 из 4) и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер (1 из 6) и промахнется из него. Вероятность промахнуться из пристрелянного револьвера равна 0,1.

Вероятность промахнуться из непристрелянного револьвера равна 0,8. Вероятность взять пристрелянный пистолет и при этом промахнуться из него равна 0,4 * 0,1 = 0,04. Вероятность взять не пристрелянный пистолет и при этом промахнуться из него равна 0,6 * 0,8 = 0,48. Эти события несовместны, значит, искомая вероятность равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52.

Вероятность промахнуться из непристрелянного револьвера равна 0,8.

Вероятность взять пристрелянный пистолет и при этом промахнуться из него равна 0,4 * 0,1 = 0,04.

Вероятность взять не пристрелянный пистолет и при этом промахнуться из него равна 0,6 * 0,8 = 0,48.

Эти события несовместны, значит, искомая вероятность равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

Произвольные (совместные) события Определение События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. Теорема Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е.  Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Произвольные (совместные) события

Определение

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Теорема

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. 

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Пример задачи на произвольные события В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение.

Пример задачи на произвольные события

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.

Рассмотрим события. Пусть А – «кофе закончится в первом автомате», В – «кофе закончится во втором автомате». Обратите внимание, что события А и В не являются независимыми. Если бы они были независимые, то вероятность того, что «кофе закончился в обоих автоматах» была бы равна 0,3∙0,3 = 0,09. Тогда Р(А ∙ В) ― «кофе закончится в обоих автоматах», Р(А+В) – «кофе закончится хотя бы в одном». По условию Р(А) = Р (В) = 0,3 Р(А∙В) = 0,12 (что не равно 0,09). Таким образом, события A и B совместные, а значит, применяем формулу: Р(А + В) = Р(А) + Р (В) – Р(А∙В) = 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48. Т.об., мы получили вероятность того, что «кофе закончится хотя бы в одном автомате». Выражению – «кофе закончится хотя бы в одном» соответствуют три события из четырех возможных: НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ ― НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ ― НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ ― ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ ― ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ Значит, событие «кофе останется в обоих автоматах» противоположно событию «кофе закончится хотя бы в одном». И его вероятность равна 1 – 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52

Рассмотрим события.

Пусть А – «кофе закончится в первом автомате», В – «кофе закончится во втором автомате».

Обратите внимание, что события А и В не являются независимыми. Если бы они были независимые, то вероятность того, что «кофе закончился в обоих автоматах» была бы равна 0,3∙0,3 = 0,09.

Тогда Р(А ∙ В) ― «кофе закончится в обоих автоматах», Р(А+В) – «кофе закончится хотя бы в одном».

По условию Р(А) = Р (В) = 0,3 Р(А∙В) = 0,12 (что не равно 0,09).

Таким образом, события A и B совместные, а значит, применяем формулу:

Р(А + В) = Р(А) + Р (В) – Р(А∙В) = 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48. Т.об., мы получили вероятность того, что «кофе закончится хотя бы в одном автомате».

Выражению – «кофе закончится хотя бы в одном» соответствуют три события из четырех возможных:

НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ ― НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ

ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ ― НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ

НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ ― ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ

ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ ― ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ

Значит, событие «кофе останется в обоих автоматах» противоположно событию «кофе закончится хотя бы в одном». И его вероятность равна 1 – 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52

Сложная формула вероятности Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Сложная формула вероятности

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Рассмотрим события: А – «яйцо имеет высшую категорию»; В1 – «яйцо произведено в первом хозяйстве»; В2 – «яйцо произведено во втором хозяйстве». Тогда (А|В1) - «яйцо высшей категории произведено в первом хозяйстве», А|В2 – «яйцо высшей категории произведено во втором хозяйстве». По формуле полной вероятности, вероятность того, что будет куплено яйцо высшей категории, равна: Р(АВ1) + Р(АВ2) = Р(А|В1)Р(В1)+Р(А|В2)Р(В2) = = 0,4Р(В1) + 0,2(1-Р(В1)) = 0,4Р(В1) + 0,2 - 0,2Р(В1) = 0,2Р(В1) + 0,2. Так как по условию эта вероятность равна 0,35, то: 0,2Р(В1) + 0,2 = 0,35, Р(В1) = (0,35-0,2) : 0,2 = 0,75. Ответ: 0,75. Рассмотрим другие решения этой задачи

Рассмотрим события:

А – «яйцо имеет высшую категорию»;

В1 – «яйцо произведено в первом хозяйстве»;

В2 – «яйцо произведено во втором хозяйстве».

Тогда (А|В1) — «яйцо высшей категории произведено в первом хозяйстве»,

А|В2 – «яйцо высшей категории произведено во втором хозяйстве».

По формуле полной вероятности, вероятность того, что будет куплено яйцо высшей категории, равна:

Р(АВ1) + Р(АВ2) = Р(А|В1)Р(В1)+Р(А|В2)Р(В2) =

= 0,4Р(В1) + 0,2(1-Р(В1)) = 0,4Р(В1) + 0,2 — 0,2Р(В1) = 0,2Р(В1) + 0,2.

Так как по условию эта вероятность равна 0,35, то:

0,2Р(В1) + 0,2 = 0,35,

Р(В1) = (0,35-0,2) : 0,2 = 0,75.

Ответ: 0,75.

Рассмотрим другие решения этой задачи

Пусть х - вероятность того что яйцо купленное у этой агрофирмы окажется из первого хозяйства, тогда (1 – х) - вероятность того, что яйцо купленное у этой агрофирмы окажется из второго хозяйства. По формуле полной вероятности: 0,4х + 0,2(1-х) = 0,35 0,4х + 0,2 – 0,2х = 0,35 0,2х = 0,35 – 0,2 0,2х=0,15 х=0,75. Ответ: 0,75. Пусть в первом хозяйстве агрофирма закупает х яиц, в том числе, 0,4х  яиц высшей категории, а во втором хозяйстве — у яиц, в том числе, 0,2у яиц высшей категории. Тем самым, всего агрофирма закупает  (х+у) яиц, в том числе (0,4х+0,2у) яиц высшей категории. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц. Составим уравнение: (0,4х + 0,2у) / (х + у) = 0,35. Данное уравнение сводится к линейному уравнению первой степени. Выражаем х через у. Получаем: х = 3у. Следовательно, у первого хозяйства закупают в три раза больше яиц, чем у второго. Поэтому вероятность того, что купленное яйцо окажется из первого хозяйства равна (3у) / (3у+у) = (3у)/(4у) = ¾ = 0,75. Ответ: 0,75.

Пусть х — вероятность того что яйцо купленное у этой агрофирмы окажется из первого хозяйства, тогда (1 – х) — вероятность того, что яйцо купленное у этой агрофирмы окажется из второго хозяйства. По формуле полной вероятности:

0,4х + 0,2(1-х) = 0,35

0,4х + 0,2 – 0,2х = 0,35

0,2х = 0,35 – 0,2

0,2х=0,15

х=0,75.

Ответ: 0,75.

Пусть в первом хозяйстве агрофирма закупает х яиц, в том числе, 0,4х  яиц высшей категории, а во втором хозяйстве — у яиц, в том числе, 0,2у яиц высшей категории. Тем самым, всего агрофирма закупает  (х+у) яиц, в том числе (0,4х+0,2у) яиц высшей категории. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц. Составим уравнение:

(0,4х + 0,2у) / (х + у) = 0,35.

Данное уравнение сводится к линейному уравнению первой степени. Выражаем х через у. Получаем: х = 3у.

Следовательно, у первого хозяйства закупают в три раза больше яиц, чем у второго. Поэтому вероятность того, что купленное яйцо окажется из первого хозяйства равна (3у) / (3у+у) = (3у)/(4у) = ¾ = 0,75.

Ответ: 0,75.

Примеры решения задач с монетами В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. ОО ООО РРР ОР ООР РОР РО ОРР РРО РР ОРО РОО Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза. Ответ: 0,375 Ответ: 0,5

Примеры решения задач с монетами

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.

ОО

ООО РРР

ОР

ООР РОР

РО

ОРР РРО

РР

ОРО РОО

Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Ответ: 0,375

Ответ: 0,5

Пример решения задач с костями 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12 В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Ответ округлите до сотых. 3/36 приблизительно равно 0,8 Ответ: 0,8.

Пример решения задач с костями

1

1

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

8

8

8

8

8

9

9

9

9

10

10

10

11

11

12

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Ответ округлите до сотых.

3/36 приблизительно равно 0,8

Ответ: 0,8.

Источник


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

2

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

3

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

4

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.

5

При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Like this post? Please share to your friends:
  • Словарь социальная сфера егэ
  • Словарь словарных слов егэ 2023
  • Словарь словарных слов для егэ
  • Словарь слов с ударениями для егэ
  • Словарь синонимов для егэ