ЕГЭ Профиль №13. Логарифмические уравнения
Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.
Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
.
При этом 
.
Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:
.
Основное логарифмическое тождество:
,
.
Основные формулы для логарифмов:
(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)
(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)
Формула перехода к новому основанию:
.
Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.
Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.
Простейшие логарифмические уравнения
1.Решите уравнение: 
Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.
Получаем: 
Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение 
определено при .
Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.
2. Решите уравнение: 
В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде 
. Дальше все просто.
Ответ: -124
3. Решите уравнение: 
Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.
;
;
;
4. Решите уравнение: 
Область допустимых значений: 
Значит, 
Представим 2 в правой части уравнения как 
— чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.
Функция 
монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом 
.
.
Ответ: 21.
5. Решите уравнение: 
Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:
Ответ: –4.
Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.
6.Решите уравнение: 
.
Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов.
Ответ: 19.
7.Решите уравнение: 
.
Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.
ОДЗ:
Теперь можно «убрать» логарифмы.
— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 
.
Ответ: 
8. Решите уравнение 
.
ОДЗ уравнения:
Сделаем замену 
. Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.
Вернемся к переменной х:
9.Решите уравнение:
Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине 
прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.
Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.
«Отбрасываем» логарифмы.
Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения 
и . Сделаем замену 
Вернемся к переменной х. Получим:
. Мы нашли все корни исходного уравнения.
Ответ: 
.
Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Логарифмические уравнения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Логарифмические уравнения – коротко о главном
Определение логарифмических уравнений
Логарифмическое уравнение – уравнение, в котором неизвестные переменные находятся внутри логарифмов.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида ( displaystyle lo{{g}_{a}}~x~=~b).
Процесс решения любого логарифмического уравнения сводится к приведению логарифмического уравнения к виду ( displaystyle lo{{g}_{a}}left( fleft( x right) right)~=~lo{{g}_{a}}left( gleft( x right) right)), и переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них: ( displaystyle fleft( x right)=gleft( x right)).
ОДЗ (Область допустимых значений) для логарифмического уравнения:
( displaystyle left{ begin{align}& f(x)>0,\ & a>0,text{}\& ane 1.\end{align}right.)
5 основных методов решения логарифмических уравнений:
1 метод. Использование определения логарифма:
( displaystyle lo{{g}_{a}}~f(x)=b Leftrightarrow ~f(x)={{a}^{b}}, a>0, ane 1).
2 метод. Использование свойств логарифма:
- ( displaystyle lo{{g}_{{{a}^{c}}}}b=frac{1}{c}lo{{g}_{a}}b)
- ( displaystyle ccdot lo{{g}_{a}}b=lo{{g}_{a}}{{b}^{c}})
- ( displaystyle lo{{g}_{a}}b+lo{{g}_{a}}c=lo{{g}_{a}}left( bc right))
- ( displaystyle lo{{g}_{a}}b-lo{{g}_{a}}c=lo{{g}_{a}}left( frac{b}{c} right))
- ( displaystyle {{log }_{{{a}^{n}}}}b=frac{1}{n}cdot {{log }_{a}}b)
- ( displaystyle {{log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=frac{m}{n}cdot {{log }_{a}}b)
- ( displaystyle lo{{g}_{a}}1=0,~a>0,ane 1)
- ( displaystyle lo{{g}_{a}}a=1~(a>0,ane 1))
3 метод. Введение новой переменной (замена):
Замена ( displaystyle lo{{g}_{a}}x~=~t)позволяетсвести логарифмическое уравнение к более простому алгебраическому уравнению относительно t.
4 метод. Переход к новому основанию:
( displaystyle {{log }_{a}}b=frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}text{ }left( c>0;text{ }ne text{1} right)).
( displaystyle {{log }_{a}}b=frac{1}{{{log }_{b}}a},text{ }left( bne 1 right)).
5 метод. Логарифмирование:
Берется логарифм от правой и левой частей уравнения.
Теорема: Если ( displaystyle a>1), то функция ( displaystyle f(x)=lo{{g}_{a}}x) является монотонно возрастающей, если ( displaystyle 0<a<1), то функция( displaystyle f(x)=lo{{g}_{a}}x) является монотонно убывающей.
( displaystyle left{ begin{array}{l}fleft( x right)=gleft( x right)\fleft( x right)ge A\gleft( x right)le Aend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}fleft( x right)=A\gleft( x right)=Aend{array} right.).
Метод введения новой переменной
Я начну с рассмотрения первого метода. Как ты уже понял из названия, суть этого метода – ввести такую замену переменной, что твое логарифмическое уравнение чудесным образом преобразится в такое, которое ты уже с легкостью можешь решить.
Все что тебе останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» – это сделать «обратную замену» : то есть вернуться от замененного к заменяемому. Давай проиллюстрируем только что сказанное на очень простом примере:
( displaystyle frac{1}{4-lgx}+frac{2}{2+lgx}=1)
В этом примере замена прямо напрашивается сама собой! Ведь ясно, что если мы заменим ( displaystyle lgx) на ( displaystyle t), то наше логарифмическое уравнение превратится в рациональное:
( displaystyle frac{1}{4-t}+frac{2}{2+t}=1)
Его ты без проблем решишь, сведя к квадратному:
( displaystyle left( 2+t right)+2left( 4-t right)=left( 4-t right)left( 2+t right))
( displaystyle tne 4,tne -2) (дабы знаменатель не обнулился ненароком!)
Упрощая полученное выражение, мы окончательно получим:
( displaystyle {{t}^{2}}-3t+2=0)
( displaystyle {{t}_{1}}=1,{{t}_{2}}=2)
Теперь делаем обратную замену: ( displaystyle t=lgx), тогда из ( displaystyle 1=lgx) следует, что ( displaystyle x=10), а из ( displaystyle 2=lgx) получим ( displaystyle x=100)
Теперь, как и раньше, пришла очередь проверки:
Пусть вначале ( displaystyle x=10), так как ( displaystyle lg 10=1), то ( displaystyle frac{1}{4-1}+frac{2}{2+1}=frac{1}{3}+frac{2}{3}=1), верно!
Теперь ( displaystyle x=100,lg 100=2), тогда ( displaystyle frac{1}{4-2}+frac{2}{2+2}=frac{1}{2}+frac{2}{4}=1), все верно!
Таким образом, числа ( displaystyle 10) и ( displaystyle 100) являются корнями нашего исходного уравнения.
Ответ: ( displaystyle 10,100).
Мне кажется, что основную идею ты уловил. Она не нова и распространяется не только на логарифмические уравнения.
Другое дело, что иногда довольно сложно сразу «увидеть» замену. Здесь требуется некоторый опыт, который придет к тебе после некоторых усилий с твоей стороны.
А пока что потренируйся в решении следующих примеров:
2. ( displaystyle frac{{{log }_{2}}frac{x}{2}}{{{log }_{2}}x}-frac{{{log }_{2}}{{x}^{2}}}{{{log }_{2}}x-1}=1)
3. ( displaystyle 0.1{{lg }^{4}}x-{{lg }^{2}}x+0,9=0.)
Готов? Давай проверим, что у тебя получилось:
Вначале решим второй пример.
Он как раз демонстрирует тебе, что не всегда замену удается сделать, что говорится, «в лоб». Прежде нам нужно немного преобразовать наше уравнение: применить формулу разности логарифмов в числителе первой дроби, и вынести степень в числителе второй.
Сделав это, ты получишь:
( displaystyle frac{{{log }_{2}}x-1}{{{log }_{2}}x}-frac{2{{log }_{2}}x}{{{log }_{2}}x-1}=1)
Теперь замена стала очевидной, не так ли?
Давай сделаем ее: ( displaystyle t=lo{{g}_{2}}x). Теперь приведем дроби к общему знаменателю и упростим. Тогда мы получим:
( displaystyle frac{{{left( t-1 right)}^{2}}-2{{t}^{2}}}{tleft( t-1 right)}=frac{tleft( t-1 right)}{tleft( t-1 right)})
или
( displaystyle 2{{t}^{2}}+t-1=0)
при ( displaystyle tne 1,tne 0.)
Решив последнее уравнение, ты найдешь его корни:
( displaystyle {{t}_{1}}=-1,{{t}_{2}}=0.5) откуда ( displaystyle {{x}_{1}}=frac{1}{2},{{x}_{2}}=sqrt{2}).
Самостоятельно сделай проверку и удостоверься в том, что ( displaystyle {{x}_{1}}) и ( displaystyle {{x}_{2}}) в самом деле являются корнями нашего первоначального уравнения.
Теперь давай попробуем решить третье уравнение
4. ( displaystyle 1+{{log }_{x}}frac{4-x}{10}=left( lg {{x}^{2}}-1 right){{log }_{x}}10)
Этот примерчик позаковырестее, однако, я постараюсь решить его вообще не прибегая к замене переменной!
Давай опять, будем делать, что можно: а можно для начала разложить логарифм слева по формуле для логарифма отношения, а также вынести двойку вперед у логарифма в скобках. В итоге у меня получится:
( displaystyle 1+{{log }_{x}}left( 4-x right)-{{log }_{x}}10=left( 2lgx-1 right){{log }_{x}}10)
Что будем делать дальше? Непонятно. А что делать можно? Можно перенести ( displaystyle {{log }_{x}}10) вправо и вынести его как общий множитель. Ура! У нас ушла минус единица!
( displaystyle 1+{{log }_{x}}left( 4-x right)=2lgx{{log }_{x}}10)
Ну а теперь та самая формула, которую мы уже применяли! Так как ( displaystyle {{log }_{x}}10=frac{1}{lgx}), то сократим правую часть! Теперь там вообще просто стоит двойка! Перенесем к ней слева единицу, окончательно получим:
( displaystyle {{log }_{x}}left( 4-x right)=1)
Как решать такие уравнения, ты уже знаешь. Корень находится без труда, и он равен ( displaystyle 2). Напоминаю тебе о проверке!
Ну вот, теперь ты, как я надеюсь, научился решать достаточно сложные задачи, которые « в лоб» не одолеешь! Но логарифмические уравнения бывают еще более коварными! Вот например такие:
( displaystyle log {{~}_{2}}x~+{{log }_{3}}~x~=1.)
Здесь уже, увы, предыдущий способ решения не даст ощутимых результатов. Как ты думаешь, почему? Да, никакой «обратности» логарифмов здесь уже не наблюдается. Этот наиболее общий случай, конечно, тоже поддается решению, но мы уже применяем вот такую формулу:
( displaystyle {{log }_{a}}b=frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a})
Уж этой формуле все равно, имеется у вас «противоположность» или нет. Ты можешь спросить, а чему выбирать основание ( displaystyle c)? Мой ответ – это не имеет никакого значения. Ответ в итоге не будет зависеть от этого ( displaystyle c). Традиционно используют либо натуральный, либо десятичный логарифм. Хотя это и не принципиально. Я, например, буду применять десятичный:
( displaystyle frac{lgx}{lg 2}+frac{lgx}{lg 3}=1)
( displaystyle lgxleft( lg 2+lg 3 right)=lg 2lg 3)
( displaystyle lgxlg6=lg 2lg 3)
( displaystyle lgx=frac{lg 2lg 3}{lg 6})
Отставлять ответ в таком виде – форменное безобразие! Давайте я вначале запишу по определению, что
( displaystyle x={{10}^{frac{lg 2lg 3}{lg 6}}}={{left( {{10}^{lg 2}} right)}^{frac{lg3}{lg 6}}})
Теперь пришло время воспользоваться: внутри скобок – основным логарифмическим тождеством, а снаружи (в степени) – превратить отношение в один логарифм: ( displaystyle {{10}^{lg 2}}=2,frac{lg 3}{lg 6}={{log }_{6}}3), тогда окончательно получим вот такой «странный» ответ: ( displaystyle x={{2}^{{{log }_{6}}3}}).
Дальнейшие упрощения, увы, нам уже недоступны.
Давай сделаем проверку вместе:
( displaystyle {{log }_{2}}{{2}^{{{log }_{6}}3}}+{{log }_{3}}{{2}^{{{log }_{6}}3}}=1)
( displaystyle {{log }_{6}}3cdot {{log }_{2}}2+{{log }_{6}}3cdot {{log }_{3}}2=1)
( displaystyle {{log }_{6}}3left( 1+{{log }_{3}}2 right)=1)
( displaystyle {{log }_{6}}3cdot {{log }_{3}}6=1)
( displaystyle 1=1)
Верно! Кстати, еще раз вспомни, из чего следует предпоследнее равенство в цепочке!
( displaystyle {{log }_{3x+7}}~left( 9+12x+4{{x}^{2}} right)+{{log }_{2x+3}}left( 6{{x}^{2}}~+23x+21 right)=4.)
В принципе, решение этого примера тоже можно свести к переходу к логарифму по новому основанию, только тебя должно уже пугать то, что получится в итоге. Давай попробуем поступить разумнее: как можно лучше преобразуем левую часть.
( displaystyle 9+12x+4{{x}^{2}}={{left( 2x+3 right)}^{2}})
( displaystyle 6{{x}^{2}}~+23x+21=left( 3x+7 right)left( 2x+3 right))
Кстати, а как по-твоему я получил последнее разложение? Верно, я применил теорему о разложении квадратного трехчлена на множители, а именно:
Если ( displaystyle {{x}_{1}}), ( displaystyle {{x}_{2}})– корни уравнения ( displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0), то:
( displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=aleft( x-{{x}_{1}} right)left( x-{{x}_{2}} right))
Ну вот, теперь я перепишу мое исходное уравнение вот в таком виде:
( displaystyle {{log }_{3x+7}}~{{left( 2x+3 right)}^{2}}+{{log }_{2x+3}}~left( 3x+7 right)left( 2x+3 right)=4)
( displaystyle 2{{log }_{3x+7}}~left( 2x+3 right)+{{log }_{2x+3}}~left( 3x+7 right)=3)
А вот решить такую задачу нам уже вполне по силам!
Так как ( displaystyle {{log }_{2x+3}}~left( 3x+7 right)=1/{{log }_{3x+7}}~left( 2x+3 right)), то введем замену ( displaystyle t={{log }_{3x+7}}~left( 2x+3 right)).
Тогда мое исходное уравнение примет вот такой простой вид: ( displaystyle frac{2}{t}+t-3=0)
Его корни равны: ( displaystyle {{t}_{1}}=2,{{t}_{2}}=1), тогда
( displaystyle {{log }_{3x+7}}~left( 2x+3 right)=1), откуда ( displaystyle 3x+7=2x+3,{{x}_{1}}=-4)
( displaystyle {{log }_{3x+7}}~left( 2x+3 right)=2), откуда ( displaystyle {{left( 3x+7 right)}^{2}}=left( 2x+3 right)) – данное уравнение корней не имеет.
Тебе осталось сделать проверку!
Следующее уравнение попробуй решить самостоятельно. Не торопись и будь внимателен, тогда удача будет на твоей стороне!
( displaystyle {{log }_{5}}left( 5+3x right)={{log }_{5}}3cdot {{log }_{3}}left( 2x+10 right))
Готов? Давай посмотрим, что у нас получилось.
На самом деле, пример решается в два действия:
1. Преобразуем ( displaystyle {{log }_{5}}3=frac{1}{{{log }_{3}}5})
2. Теперь справа у меня стоит выражение ( displaystyle frac{{{log }_{3}}left( 2x+10 right)}{{{log }_{3}}5}), которое равно ( displaystyle {{log }_{5}}left( 2x+10 right))
Таким образом, исходное уравнение свелось к простейшему:
( displaystyle {{log }_{5}}~left( 5+3x right)={{log }_{5}}left( 2x+10 right))
( displaystyle x=5).
Проверка говорит о том, что данное число в самом деле является корнем уравнения.
Опишем непосредственно сам мини-максный метод
Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название? Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:
( displaystyle left{ begin{array}{l}fleft( x right)=gleft( x right)\fleft( x right)ge A\gleft( x right)le Aend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}fleft( x right)=A\gleft( x right)=Aend{array} right.)
Наша самая главная цель – это найти вот эту самую константу ( displaystyle A), чтобы далее свести уравнение к двум более простым. Для этого могут быть полезны свойства монотонности логарифмической функции, сформулированные выше.
Теперь давай рассмотрим конкретные примеры:
- ( displaystyle {{log }_{frac{1}{3}}}left( 1+{{left( {{x}^{2}}-3x+2 right)}^{2}} right)=sqrt{{{x}^{2}}-6x+8})
- ( displaystyle {{left( 4{{x}^{2}}-7{x} -2 right)}^{2}}+log _{5}^{5}left( 2{{x}^{2}}-11x+15 right)=0)
- ( displaystyle {{log }_{3}}left( {{x}^{2}}+6x+18 right)=2{{sin }^{2}}frac{pi x}{6})
1. Вначале рассмотрим левую часть. Там стоит логарифм с основанием меньше ( displaystyle 0<a<1).
По теореме, сформулированной выше, какой оказывается функция ( displaystyle y={{log }_{a}}t)? Она убывает. При этом, ( displaystyle t=1+{{left( {{x}^{2}}-3x+2 right)}^{2}}ge 1), а значит, ( displaystyle {{log }_{a}}tle 0).
С другой стороны, по определению корня:
( displaystyle sqrt{{{x}^{2}}-6x+8}ge 0).
Таким образом, константа ( displaystyle A) найдена и равна ( displaystyle 0). Тогда исходное уравнение равносильно системе:
( displaystyle left{ begin{array}{l}sqrt{{{x}^{2}}-6x+8}=0\{{log }_{frac{1}{3}}}left( 1+{{left( {{x}^{2}}-3x+2 right)}^{2}} right)=0end{array} right.)
Первое уравнение имеет корни ( displaystyle {{x}_{1}}=4,{{x}_{2}}=2), а второе: ( displaystyle {{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=2).
Таким образом, общий корень равен ( displaystyle 2), и данный корень будет корнем исходного уравнения. На всякий случай сделай проверку, чтобы убедиться в этом.
Ответ: ( displaystyle 2)
2. ( displaystyle {{left( 4{{x}^{2}}-7{x} -2 right)}^{2}}+log _{5}^{2}left( 2{{x}^{2}}-11x+15 right)=0)
Давай сразу задумаемся, что здесь написано? Я имею в виду общую структуру. Здесь сказано, что сумма двух квадратов равна нулю. Когда это возможно? Только тогда, когда оба этих числа по отдельности равны нулю. Тогда перейдем к следующей системе:
( displaystyle left{ begin{array}{l}{{left( 4{{x}^{2}}-7{x} -2 right)}^{2}}=0\log _{5}^{2}left( 2{{x}^{2}}-11x+15 right)=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}{{x}_{1}}=2;\{{x}_{2}}=-0,25end{array} right.\left[ begin{array}{l}{{x}_{1}}=3;\{{x}_{2}}=2,5end{array} right.end{array} right.)
Общих корней у первого и второго уравнений нет, тогда и исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: нет решений.
3. ( displaystyle {{log }_{3}}left( {{x}^{2}}+6x+18 right)=2{{sin }^{2}}frac{pi x}{6})
Давай вначале рассмотрим правую часть – она попроще. По определению синуса:
( displaystyle -1le sintle 1), откуда ( displaystyle 0le {{sin }^{2}}tle 1), и тогда ( displaystyle 0le 2{{sin }^{2}}tle 2.) Поэтому ( displaystyle 0le 2{{sin }^{2}}frac{pi x}{6}le 2.)
Теперь вернемся к левой части: рассмотрим выражение, стоящее под знаком логарифма:
( displaystyle {{x}^{2}}+6x+18)
Попытка найти корни у уравнения ( displaystyle {{x}^{2}}+6x+18=0) не приведет к положительному результату. Но тем не менее, мне надо как-то это выражение оценить. Ты, конечно, знаешь такой метод, как выделение полного квадрата. Его я здесь и применю.
( displaystyle {{x}^{2}}+6x+18={{x}^{2}}+2cdot 3cdot x+9+9={{left( x+3 right)}^{2}}+9ge 9)
Тогда ( displaystyle {{log }_{3}}left( {{x}^{2}}+6x+18 right)={{log }_{3}}left( {{left( x+3 right)}^{2}}+9 right))
Так как ( displaystyle y={{log }_{3}}t) – функция возрастающая, то из ( displaystyle {{left( x+3 right)}^{2}}+9ge 9) cледует, что ( displaystyle {{log }_{3}}left( {{left( x+3 right)}^{2}}+9 right)ge {{log }_{3}}9=2).
Таким образом, ( displaystyle {{log }_{3}}left( {{left( x+3 right)}^{2}}+9 right)ge 2)
Тогда наше исходное уравнение равносильно следующей системе:
( displaystyle left{ begin{array}{l}{{log }_{3}}left( {{x}^{2}}+6x+18 right)=2\2{{sin }^{2}}frac{pi x}{6}=2end{array} right.)
Я не знаю, знаком ты или нет с решением тригонометрических уравнений, поэтому я сделаю так: решу первое уравнение (оно имеет максимум два корня), а потом результат подставлю во второе:
( displaystyle {{log }_{3}}left( {{x}^{2}}+6x+18 right)=2)
( displaystyle {{x}_{1}}=-3) (можешь сделать проверку и убедиться, что это число является корнем первого уравнения системы)
Теперь я подставлю его во второе уравнение:
( displaystyle 2{{sin }^{2}}frac{pi x}{6}=2)
( displaystyle 2{{sin }^{2}}frac{pi left( -3 right)}{6}=2)
( displaystyle {{sin }^{2}}frac{-pi }{2}=1)
( displaystyle 1=1.)
Ответ: ( displaystyle x=-3)
Ну как, теперь тебе стала ясна техника применения мини-максного метода? Тогда постарайся решить следующий пример самостоятельно.
( displaystyle 1+left| {{log }_{4}}left( 9{{x}^{2}}-39x+43 right) right|=left| cos cos left( {x} -2 right)cos left( x right) right|)
Готов? Давай проверим:
Левая часть – сумма двух неотрицательных величин (единицы и модуля) а потому, левая часть не меньше единицы, причем она равна единице только тогда, когда
( displaystyle left| {{log }_{4}}left( 9{{x}^{2}}-39x+43 right) right|=0)
В то же время правая часть – это модуль (значит, больше нуля) произведения двух косинусов (значит не более единицы), тогда:
( displaystyle left| {{log }_{4}}left( 9{{x}^{2}}-39x+43 right) right|=0)
Тогда исходное уравнение равносильно системе:
( displaystyle left{ begin{array}{l}1+|{{log }_{4}}left( 9{{x}^{2}}-39x+43 right)|=1\left| cos cos left( {x} -2 right)cos left( x right) right|=1end{array} right.)
Я опять предлагаю решить первое уравнение и результат подставить во второе:
( displaystyle 1+|{{log }_{4}}left( 9{{x}^{2}}-39x+43 right)|=1)
( displaystyle |{{log }_{4}}left( 9{{x}^{2}}-39x+43 right)|=0)
( displaystyle {{log }_{4}}left( 9{{x}^{2}}-39x+43 right)=0).
Данное уравнение корней не имеет.
Тогда исходное уравнение также не имеет корней.
Ответ: решений нет.
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Логарифмические уравнения»
Открытый банк заданий по теме логарифмические уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов
Задание №887
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения 5^{log_{25}(10x-8)}=8.
Показать решение
Решение
Найдем ОДЗ: 10x-8>0.
5^{log_{25}(10x-8)}=5^{log_58},
log_{25}(10x-8)=log_58,
log_{5^2}(10x-8)=log_58,
frac12log_5(10x-8)=log_58,
log_5(10x-8)=2log_58,
log_5(10x-8)=log_58^2,
10x-8=64, значит, условие 10x-8>0 выполняется.
10x=72,
x=7,2.
Ответ
7,2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №885
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_3(28+4x)=log_3(18-x).
Показать решение
Решение
28+4x=18-x,
5x=-10,
x=-2.
Сделаем проверку.
log_3(28+4cdot(-2))=log_3(18-(-2)),
log_3 20=log_3 20. Верно, значит, x=-2 — корень уравнения.
Ответ
-2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №288
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_{x-7}81=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Показать решение
Решение
Согласно определению логарифма x-7>0 и x-7neq1, тогда x>7 и xneq8.
Так как 2=log_{x-7}(x-7)^2 при x>7 и xneq8, то получаем уравнение log_{x-7}81=log_{x-7}(x-7)^2.
Поэтому (x-7)^2=81,
x-7=pm9,
x_1=16,
x_2=-2.
x_2=-2 решением не является, так как x>7.
Ответ
16
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №287
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_3(12-x)=4.
Показать решение
Решение
Так как 4=log_33^4=log_381, то log_3(12-x)=log_381,
12-x=81,
x=-69.
Ответ
-69
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №286
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_6(5x+27)=log_6(3+x)+1.
Показать решение
Решение
log_6(5x+27)=log_6(3+x)+log_66,
log_6(5x+27)=log_6(6cdot(3+x)),
log_6(5x+27)=log_6(18+6x),
5x+27=18+6x,
x=9.
Проверка:
log_6(5cdot9+27)=log_6(3+9)+1,
log_672=log_612+1,
log_672=log_672.
x=9 — корень уравнения.
Ответ
9
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №284
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_{14}(x-3)=log_{14}(8x-31).
Показать решение
Решение
x-3=8x-31,
7x=28,
x=4.
Проверкой убеждаемся, что x=4 действительно является корнем исходного уравнения.
Ответ
4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №34
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: log_42^{2x+5}=4.
Показать решение
Решение
Воспользуемся формулой:
log_{a}b=x Leftrightarrow a^x=b
Значит:
log_{4}2^{2x+5}=log_{4}256
2^{2x+5}=256
2^{2x+5}=2^8
2x+5=8
2x=3
x=frac{3}{2}=1,5
Ответ
1,5
Задание №33
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: log_4(2-x)=log_{16}25.
Показать решение
Решение
Воспользуемся формулой:
log_{a^k}x=frac{1}{k}log_{a}x, kneq 0
Получим:
log_{4}(2-x)=log_{4^2}25
log_{4}(2-x)=frac{1}{2}log_{4}25
2log_{4}(2-x)=log_{4}25
log_{4}(2-x)^2=log_{4}25
(2-x)^2=25
|2-x|=5
2-x=5
x=-3
Ответ
-3
Задание №26
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: log_7(9-x)=3log_73.
Показать решение
Решение
Выполним преобразования:
log_7(9-x)=log_73^3
Раскроем знак логарифма:
9-x=3^3
9-x=27
-x=27-9
x=-18
Ответ
-18
Задание №25
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: log_2(7-x)=5.
Показать решение
Решение
Раскроем знак логарифма по формуле
log_ab=c Leftrightarrow b=a^c
и выполним преобразования:
7-x=2^5
7-x=32
-x=32-7
x=-25
Ответ
-25
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Сложно со сдачей ЕГЭ?
Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928