Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов
$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.
Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$
В фирме такси в наличии $50$ легковых автомобилей. $35$ из них чёрные, остальные — жёлтые.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета.
Решение:
Найдем количество желтых автомобилей:
$50-35=15$
Всего имеется $50$ автомобилей, то есть на вызов приедет одна из пятидесяти. Желтых автомобилей $15$,
следовательно, вероятность приезда именно желтого автомобиля равна ${15}/{50}={3}/{10}=0,3$
Ответ:$0,3$
Противоположные события
Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}↖{-}$.
$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$
Независимые события
Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.
Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению этих
вероятностей:
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый
лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович
участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того,
что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.
Решения:
Вероятность $Р(А)$ — выиграет первый билет.
Вероятность $Р(В)$ — выиграет второй билет.
События $А$ и $В$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба
события, нужно найти произведение вероятностей
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
$Р=0,15·0,12=0,018$
Ответ: $0,018$
Несовместные события
Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)
Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих
событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения»,
ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух
несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
$Р = 0,3+0,18=0,48$
Ответ: $0,48$
Совместные события
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.
Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий минус
вероятность их произведения:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)$
В холле кинотеатра два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится
кофе, равна $0,6$. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,32$. Найдите вероятность того,
что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов.
Решение:
Обозначим события, пусть:
$А$ = кофе закончится в первом автомате,
$В$ = кофе закончится во втором автомате.
Тогда,
$A·B =$ кофе закончится в обоих автоматах,
$A + B =$ кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32$.
События $A$ и $B$ совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий,
уменьшенной на вероятность их произведения:
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$
Ответ: $0,88$
4. Введение в теорию вероятностей
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Сложные задачи по теории вероятности
Общая памятка по всем разделам теории вероятностей:
Задание
1
#3858
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы (4) очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает (3) очка, в случае ничьей — (1) очко, если проигрывает — (0) очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны (0,3).
Чтобы команда в двух играх набрала не менее (4) очков, ей нужно: либо 1) выиграть обе игры, либо 2) выиграть в одной из игр и сыграть вничью в другой игре.
Так как вероятности выиграть и проиграть одинакова и равна (0,3), то вероятность сыграть вничью равна (1-0,3-0,3=0,4).
Следовательно, вероятности в этих случаях равны соответственно:
1) (0,3cdot 0,3)
2) (0,3cdot 0,4+0,4cdot 0,3) (выиграть в первой игре и сыграть вничью во второй или сыграть вничью в первой и выиграть во второй).
Следовательно, вероятность того, что команда выйдет в следующий круг соревнований, равна [0,3cdot 0,3+0,3cdot 0,4+0,4cdot 0,3=0,33]
Ответ: 0,33
Задание
2
#2739
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Илья решает задачу по геометрии, в которой дан четырёхугольник (ABCD), причём (AB = 5), (BC = 6), (CD = 4), (AD = 10). В условии задачи сказано, что одна из вершин является центром некоторой окружности и Илья думает, какую вершину ему выбрать в качестве центра этой самой окружности.
Известно, что вероятность выбора каждой конкретной вершины пропорциональна сумме длин сторон четырёхугольника (ABCD), проходящих через эту вершину. Какова вероятность того, что Илья выберет вершину (B)?
Через вершину (A) проходят стороны (AB) и (AD), их сумма: (AB + AD = 15).
Через вершину (B) проходят стороны (AB) и (BC), их сумма: (AB + BC = 11).
Через вершину (C) проходят стороны (BC) и (CD), их сумма: (BC + CD = 10).
Через вершину (D) проходят стороны (CD) и (DA), их сумма: (CD + DA = 14).
Обозначим вероятность выбора вершины (A) через (P(A)) (для остальных вершин аналогично). Тогда по условию имеем: [P(A) = 15k,qquad P(B) = 11k,qquad P(C) = 10k,qquad P(D) = 14k,,] но (P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1), тогда (k = 0,02), откуда находим: (P(B) = 0,22).
Ответ: 0,22
Задание
3
#191
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Монетку подбросили 10 раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 9 орлов? Ответ округлите до тысячных.
Условие того, что выпало не менее 9 орлов эквивалентно тому, что выпало не более 1 решки, то есть либо ровно 1 решка, либо 0 решек.
Количество всевозможных различных исходов в серии из 10 испытаний равно (2^{10} = 1024).
Среди них есть 11 исходов, подходящих под условие: (Орёл; Орёл; …; Орёл), (Орёл; Орёл; …; Орёл; Решка), (Орёл; Орёл; …; Решка; Орёл), …, (Решка; Орёл; …; Орёл), следовательно, искомая вероятность равна [dfrac{11}{1024}.] После округления получим (0,011).
Ответ: 0,011
Задание
4
#190
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Монетку подбросили 3 раза. Какова вероятность того, что выпало не менее 3 орлов? Ответ округлите до тысячных.
Условие того, что выпало не менее 3 орлов эквивалентно тому, что выпали только орлы.
Количество всевозможных различных исходов в серии из 3 испытаний равно (2^3 = 
. Среди них есть ровно один исход, подходящий под условие: (Орёл; Орёл; Орёл). Таким образом, искомая вероятность равна [dfrac{1}{8} = 0,125.]
Ответ: 0,125
Задание
5
#189
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Монетку подбросили 2 раза. Какова вероятность того, что выпало не менее 1 орла? Ответ округлите до тысячных.
Всевозможных исходов в серии из 2 подбрасываний может быть (2^2 = 4): (Орёл; Орёл), (Орёл; Решка), (Решка; Орёл), (Решка; Решка).
Среди выписанных (всевозможных) исходов под условие задачи подходят первые 3, следовательно, искомая вероятность равна [dfrac{3}{4} = 0,75.]
Ответ: 0,75
Задание
6
#2658
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Игорь трижды подбрасывает правильную игральную кость. Какова вероятность того, что за эти три подбрасывания ровно один раз выпадет число, кратное трём, а сумма результатов подбрасываний не будет делиться на (3)? Ответ округлите до сотых.
Так как игральная кость правильная, то вероятность выпадения каждой грани равна (dfrac{1}{6}). Среди чисел на гранях есть два числа, дающих при делении на (3) остаток (0), два числа, дающих при делении на (3) остаток (1) и два числа, дающих при делении на (3) остаток (2).
Тогда вероятность за одно подбрасывание получить, например, число, дающее при делении на (3) остаток (1), равна (dfrac{1}{3}). С другими остатками аналогично.
Условие задачи можно переформулировать в следующем виде: какова вероятность за три подбрасывания получить результаты, остатки от деления на (3) которых будут содержать единственный (0) и два одинаковых числа?
Таким образом, нас устраивают исходы, остатки от деления на (3) которых будут иметь вид:
[begin{aligned}
&0,quad 1,quad 1\
&1,quad 0,quad 1\
&1,quad 1,quad 0\
&0,quad 2,quad 2\
&2,quad 0,quad 2\
&2,quad 2,quad 0,.
end{aligned}]
Вероятность любого из выписанных исходов равна [dfrac{1}{3}cdot dfrac{1}{3}cdot dfrac{1}{3},.] При этом различных исходов здесь шесть, следовательно, вероятность получения подходящего исхода равна [6cdot dfrac{1}{3}cdot dfrac{1}{3}cdot dfrac{1}{3} = dfrac{2}{9},.] После округления получим ответ (0,22).
Ответ: 0,22
Задание
7
#2765
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Таня заметила, что в казино “Подкинем” используют неправильную игральную кость (т.е. не у всех граней вероятности выпадения одинаковы). При этом она установила, что вероятность выпадения чётного числа равна (0,6); вероятность выпадения числа, делящегося на (3), равна (0,3); вероятность того, что выпадет (1) или (5), равна (0,22). Найдите вероятность того, что на этой игральной кости выпадет число (3). Ответ округлите до сотых.
Вероятность выпадения числа (n) обозначим через (P({n})), вероятность выпадения одного из чисел (m) и (n) обозначим через (P({m; n})), а вероятность выпадения одного из чисел (m), (n) и (k) обозначим через (P({m; n; k})). Тогда [P({2; 4; 6}) = 0,6qquadLeftrightarrowqquad P({1; 3; 5}) = 1 — 0,6 = 0,4]
При этом (P({1; 5}) = 0,22), но ведь (P({1; 3; 5}) — P({1; 5}) = P({3})), следовательно, [P({3}) = 0,4 — 0,22 = 0,18,.]
Ответ: 0,18
Если выпускник готовится к сдаче ЕГЭ по математике профильного уровня, ему необходимо научиться решать задачи на применение теории вероятности повышенной сложности. Как показывает практика многих лет, такие задания являются обязательной частью программы аттестационного испытания. Поэтому если учащийся не до конца понимает принцип решения сложных задач на теорию вероятности, ему обязательно стоит вновь разобраться в данной теме.
Вместе с образовательным порталом «Школково» старшеклассники смогут качественно подготовиться к прохождению аттестационного испытания. Наш сайт позволит определить наиболее сложные темы и восполнить пробелы в знаниях. Опытные специалисты «Школково» подготовили весь необходимый материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли легко справиться с решением сложных задач ЕГЭ на теорию вероятности. Базовая информация по данной теме представлена в разделе «Теоретическая справка».
Чтобы попрактиковаться в выполнении сложных задач ЕГЭ по теории вероятности, школьники могут выполнить соответствующие упражнения. Простые и сложные задания, подобранные нашими специалистами, содержат подробные алгоритмы решения и правильные ответы. База заданий регулярно обновляется и дополняется.
Выполнять упражнения школьники из Москвы и других российских городов могут в онлайн-режиме. При необходимости задания по теории вероятности в ЕГЭ можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Еще одна статья по теории вероятностей. В ней собраны задачи на проценты, вероятности зависимых событий, а также задачи, требующие последовательного подсчёта разных вероятностей. Эти задачи относятся к категории «трудные задачи», однако разобрав их с нами, они таковыми вам уже не покажутся.
Теоретическая часть
Если имеются события А и В, то
Эти формулы следуют применять, когда А и В – зависимые совместные события (более простые случаи рассмотрены в предыдущих статьях (часть1, часть 2, часть 3, часть 4).
Задачи о зависимых событиях
Задача 5.1 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение.
1-й способ.
Так как 0,4 ·0,4 ≠ 0,22, то события «кофе закончился в 1-ом автомате» и «кофе закончился во 2-ом автомате» зависимые. Обозначим через А событие «кофе остался в первом автомате», через В – «кофе остался во втором автомате». Тогда 
.
Событие «кофе остался хотя бы в одном автомате» – это А U В, его вероятность равна Р(А U В) = 1 — 0,22 = 0,78, так как оно противоположно событию «кофе закончился в обоих автоматах». По формуле для пересечения событий: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) — P(A ∪ B)= 0,6 + 0,6 — 0,78 = 0,42
2-й способ
Обозначим через Х событие «кофе закончился в первом автомате», через Y – «кофе закончился во втором автомате».
Тогда по условию Р(X) = Р(Y) = 0,4, P(X ∩ Y) = 0,22. Так как P(X ∩ Y) ≠ P(X) · P(Y), то события Х и Y зависимые. По формуле для объединения событий:
P(X∪Y)=P(X)+P(Y)-P(X∩Y) = 0,4 + 0,4 – 0,22 = 0,58.
Мы нашли вероятность события Х U Y «кофе закончился хотя бы в одном автомате». Противоположным событием будет 
«кофе остался в обоих автоматах», его вероятность равна 
= 1 –P(X ∪ Y) = 1 –0,58 = 0,42.
3-й способ.
Составим таблицу вероятностей возможных результатов в конце дня.
| Второй автомат | |||
| кофе закончился | кофе остался | ||
| Первый автомат | кофе закончился | 0,22 | |
| кофе остался |
По условию вероятность события «кофе закончился в обоих автоматах» равна 0,22. Это число мы сразу записали в соответствующую ячейку таблицы.
В первом автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в верхних ячейках таблицы должна быть равна 0,4. Значит, в правой верхней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.
| Второй автомат | |||
| кофе закончился | кофе остался | ||
| Первый автомат | кофе закончился | 0,22 | 0,18 |
| кофе остался |
Во втором автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в левых ячейках таблицы также должна быть равна 0,4. Значит, в левой нижней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.
| Второй автомат | |||
| кофе закончился | кофе остался | ||
| Первый автомат | кофе закончился | 0,22 | 0,18 |
| кофе остался | 0,18 |
Так как сумма чисел во всех четырёх ячейках должна быть равна 1, то искомое число в правой нижней ячейке равно 1 – 0,22 – 0,18 – 0,18 = 0,42.
| Второй автомат | |||
| кофе закончился | кофе остался | ||
| Первый автомат | кофе закончился | 0,22 | 0,18 |
| кофе остался | 0,18 | 0,42 |
Ответ: 0,42.
Задачи на проценты
Задача 5.2 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Решение.
Пусть х – искомая вероятность. Пусть всего закуплено n яиц. Тогда в первом хозяйстве закуплено x · n яиц, из них 0,6х·n высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено (1- x) · n яиц, из них 0,4 • (1- x) • n высшей категории. Всего высшую категорию имеют 0,48n яиц.
Отсюда
Ответ: 0,4
Задача 5.3 На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.
Решение.
Пусть всего произведено х тарелок. Качественных тарелок 0,8х (80% от общего числа), они поступают в продажу.
Дефектных тарелок 0,2х, из них в продажу поступает 30%, то есть 0,3 • 0,2х = 0,06x.
Всего в продажу поступило 0,8х + 0,06x = 0,86x тарелок.
Вероятность купить тарелку без дефектов равна 
≈ 0,93
Ответ: 0,93.
Разные задачи
Задача 5.4 На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Финляндии будет выступать после группы из Бельгии, но перед группой из Греции? Результат округлите до сотых.
Решение.
1-й способ.
Будем считать исходом порядок выступления групп на фестивале. Разобьём множество исходов на подмножества следующим образом: в одно подмножество будем включать исходы, полученные перестановками рок-групп из Финляндии, Бельгии и Греции (с сохранением мест всех остальных рок-групп).
Тогда в каждом подмножестве будет 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Из этих шести исходов благоприятным будет только БФГ. Следовательно, благоприятными являются 1/6 всех исходов. Искомая вероятность равна 16 ≈ 0,17
2-й способ (этот способ не является математически верным, но при решении на экзамене может помочь, если первый способ непонятен)
Так как в условии не указано общее число рок-групп, будем считать, что их всего три: из Финляндии, Бельгии и Греции. Будем считать исходом порядок выступлений, всего 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Благоприятным является только исход БФГ. Искомая вероятность равна 16 ≈ 0,17.
Ответ: 0,17.
Задача 5.5 При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2, а при каждом последующем 0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Решение.
1-й способ
Вероятность промаха при первом выстреле равна 1 – 0,2 = 0,8. Вероятность промаха при каждом последующем равна 0,3. Подсчитаем число выстрелов, при котором цель остаётся непоражённой с вероятностью менее 1 – 0,98 = 0,02.
Вероятность непоражения
после второго выстрела равна 0,8 • 0,3 = 0,24;
после третьего 0,24 • 0,3 = 0,072;
после четвёртого 0,072 • 0,3 = 0,0216;
после пятого 0,0216 • 0,3 = 0,00648.
Следовательно, необходимо 5 выстрелов.
2-й способ (этот способ имеет математическое значение, но непригоден на экзамене из-за необходимости приближённого вычисления логарифма)
Вероятность непоражения после n выстрелов равна 
, так как при первом выстреле вероятность промаха 0,8, а при каждом последующем 0,3.
По условию необходимо, чтобы
Ответ: 5.
Задача 5.6 Чтобы поступить в институт на специальность «Архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «Живопись», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – русскому языку, истории и литературе.
Вероятность того, что абитуриент Н. получит не менее 60 баллов по истории, равна 0,8, по русскому языку 0, 5, по литературе 0,6 и по математике 0,9.
Найдите вероятность того, что Н. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение.
Вероятность того, что Н. не сможет набрать 60 баллов ни по литературе, ни по математике равна (1 – 0,6) • (1 –0,9) = 0,4 • 0,1 = 0,04. Следовательно, хотя бы по одному из этих двух предметов он получит 60 баллов с вероятностью 1 – 0,04 = 0,96.
Для поступления нужно набрать требуемый балл по русскому языку, истории и хотя бы по одному предмету из литературы и математики. Вероятность поступления равна 0,5 • 0,8 • 0,96 = 0,384.
Ответ: 0,384.
Задача 5.7 В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение.
Составим таблицу вероятностей для погоды в Волшебной стране.
| 11 марта | 12 марта | 13 марта | 14 марта | |
|
хорошая |
1 |
|||
| отличная | 0 |
Погода 12 марта с вероятностью 0,9 останется хорошей, с вероятностью 0,1 станет отличной. Занесём эти данные в таблицу.
| 11 марта | 12 марта | 13 марта | 14 марта | |
| хорошая | 1 | 0,9 | ||
| отличная | 0 | 0,1 |
Хорошая погода 13 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 12 марта была хорошей и не изменилась. Вероятность этого равна 0,9 • 0,9 = 0,81.
2) Погода 12 марта была отличной и изменилась. Вероятность этого равна 0,1 • 0,1 = 0,01.
Таким образом, вероятность хорошей погоды 13 марта равна 0,81 + 0,01 = 0,82. Вероятность отличной погоды 13 марта равна 1 – 0,82 = 0,18. Заносим эти данные в таблицу.
| 11 марта | 12 марта | 13 марта | 14 марта | |
| хорошая | 1 | 0,9 | 0,82 | |
| отличная | 0 | 0,1 | 0,18 |
Отличная погода 14 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 13 марта была хорошей и изменилась. Вероятность этого равна 0,82 • 0,1 = 0,082.
2) Погода 13 марта была отличной и не изменилась. Вероятность этого равна 0,18 • 0,9 = 0,162.
Таким образом, вероятность отличной погоды 14 марта равна 0,082 + 0,162 = 0,244.
| 11 марта | 12 марта | 13 марта | 14 марта | |
| хорошая | 1 | 0,9 | 0,82 | |
| отличная | 0 | 0,1 | 0,18 | 0,244 |
Ответ: 0,244.
Подведем итог
Это последняя часть материала по началам теории вероятностей, знание которого необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике профильного уровня.
Для закрепления изученного предлагаю вам задачи для самостоятельного решения.
Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму.
Также рекомендую изучить «Задачи с параметром» и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube.
Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях
Источник «Подготовка к ЕГЭ. Математика. Теория вероятностей». Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?
2
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
3
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу 
4
Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.
5
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
Пройти тестирование по этим заданиям
Все прототипы заданий темы «Вероятности сложных событий», которые могут выпасть на ЕГЭ по математике (профильный уровень). Источники заданий: fipi.ru, mathege.ru.
Условия прототипов взяты у Евгения Пифагора из его видеокурса: «1–11 задания ЕГЭ профиль (первая часть с нуля)».
Содержание видеокурса:
~ 10 часов теоретических видео (про все правила и формулы);
~ 70 часа разборов задач прототипов и ДЗ.
По отзывам покупателей Василий Васильевич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,93. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,94. Василий Васильевич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Продолжить чтение Решение №2841 По отзывам покупателей Василий Васильевич оценил надёжность двух интернет-магазинов.
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.
Продолжить чтение Решение №2840 Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней.
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,98. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,83. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.
Продолжить чтение Решение №2810 При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки.
Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Продолжить чтение Решение №2555 Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,1. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Продолжить чтение Решение №2453 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе.
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25% этих стекол, вторая – 75%. Первая фабрика выпускает 5% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Продолжить чтение Решение №2338 Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25% этих стекол, вторая – 75%.
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Продолжить чтение Решение №2296 На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов.
Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет четных чисел, а нечетные числа встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность, что бросали второй кубик?
Продолжить чтение Решение №2167 Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет четных чисел, а нечетные числа встречаются по два раза.
Теория вероятности – подробнее
Что такое вероятность?
Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от ( 1) до ( 6).
Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало ( 5) или ( 6). И нам выпадает ( 5).
В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие.
Если бы выпало ( 6), событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события.
А сколько неблагоприятных?
Раз всего возможных событий ( 6), значит, неблагоприятных из них ( 6-2=4) события (это если выпадет ( 1,text{ }2,text{ }3) или ( 4)).
Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.
То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.
Обозначают вероятность латинской буквой ( p) (видимо, от английского слова probability – вероятность).
Принято измерять вероятность в процентах (см. темы “Дроби, рациональные числа” и “Проценты”).
Для этого значение вероятности нужно умножать на ( 100%).
В примере с игральной костью вероятность ( p=frac{благоприятных}{всего}=frac{2}{6}=frac{1}{3}).
А в процентах: ( p=frac{1}{3}cdot 100%=frac{100}{3}%approx 33,3%).
И еще события бывают зависимыми друг от друга и независимыми. Начнем с зависимых событий.
Зависимые события
Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой ( 3) двери на выбор.
Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры ( 3), а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.
Но каков этот шанс?
Дверей ( 3), нужная дверь ( 1). Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: ( frac{1}{3}). То есть один раз из трех ты точно угадаешь.
Мы хотим узнать, позвонив ( 1) раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:
1. Ты позвонил в 1-ю дверь
2. Ты позвонил в 2-ю дверь
3. Ты позвонил в 3-ю дверь
А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:
а. За 1ой дверью
б. За 2ой дверью
в. За 3ей дверью
Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком – когда не совпадает.
Как видишь, всего возможно ( 9) вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.
А благоприятных исходов всего ( 3). То есть ( 3) раза из ( 9) ты угадаешь, позвонив в дверь ( 1) раз, т.е. ( frac{3}{9}=frac{1}{3}).
Это и есть вероятность – отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.
Определение – это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:
( displaystyle p=frac{text{благоприятных}}{всего})
Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за ( displaystyle {{N}_{б}}) – количество благоприятных исходов, а за ( N) – общее количество исходов.
( displaystyle p=frac{{{N}_{б}}}{N})
Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на ( 100%):
( displaystyle p=frac{{{N}_{б}}}{N}cdot 100%)
Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы».
Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие – это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.
Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.
Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?
Если ты подумал, что ( displaystyle frac{1}{3}), то это ошибка. Давай разбираться.
У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:
1. Позвонить в 1-ую дверь
2. Позвонить во 2-ую дверь
Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):
а. Друг за 1-ой дверью
б. Друг за 2-ой дверью
Давай снова нарисуем таблицу:
Как видишь, всего есть ( 4) варианта, ( 2) из которых – благоприятны. То есть вероятность равна ( displaystyle frac{2}{4}=frac{1}{2}).
А почему не ( displaystyle frac{1}{3})?
Рассмотренная нами ситуация – пример зависимых событий. Первое событие – это первый звонок в дверь, второе событие – это второй звонок в дверь.
А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других?
Правильно, ( 0%).
Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые? Верно, бывают.
Независимые события
Два события независимы, если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.
Хрестоматийный пример – бросание монетки.
Бросаем монетку ( 1) раз. Какова вероятность того, что выпадет, например, орел?
Правильно: ( displaystyle frac{1}{2}), ведь вариантов всего ( 2) (либо орел, либо решка, пренебрежем вероятностью монетки встать на ребро), а устраивает нас только ( 1).
Но выпала решка. Ладно, бросаем еще раз. Какова сейчас вероятность выпадения орла? Ничего не изменилось, все так же ( displaystyle frac{1}{2}).
Сколько вариантов? Два. А сколько нас устраивает? Один.
И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на ( displaystyle 1001-й) раз будет все также ( displaystyle frac{1}{2}).
Вариантов всегда ( 2), а благоприятных – ( 1).
Отличить зависимые события от независимых легко:
Если эксперимент проводится ( 1) раз (( 1) раз бросают монетку, 1 раз звонят в дверь и т.д.), то события всегда независимые.
Если эксперимент проводится несколько раз (монетку бросают ( 5) раз, в дверь звонят несколько раз), то первое событие всегда независимое. А дальше, если количество благоприятных или количество всех исходов меняется, то события зависимые, а если нет – независимые.
Ошибка игрока или ложный вывод Монте-Карло
Знаешь, то, что я описал сверху, очень хорошо отражает явление под названием ложный вывод Монте-Карло.
Попробуй придумать и записать на листочке результаты подбрасывания монетки.
А потом попробуй действительно подбрасывать монетку и записывать результат.
Спорим, я без труда определю, какую последовательность ты выдумал?
В реальной последовательности может абсолютно спокойно выпасть 18 решек подряд. А вот ты, составляя последовательность, когда-нибудь точно подумаешь: “Так, что-то многовато решек уже, пора бы и орлу появиться”
В этом и заключается ложный вывод Монте-Карло. В знаменитом казино Монте-Карло люди часто думают, что следующее событие как-то связано с предыдущим, например, ставят на красное, если ранее много раз выпало черное.
В действительности это не так.
А теперь давай немного потренируемся определять вероятность.
Решение:
Давай посчитаем количество благоприятных исходов.
НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный.
Всего их ( 3+2+2+1=8). ( displaystyle {{N}_{б}}=8).
( displaystyle p=frac{{{N}_{б}}}{N}=frac{8}{10}=0,8)
Так мы учились считать раньше, но сейчас, зная что такое полная вероятность, можно поступить немного проще.
Вероятность всех событий ( 1). А вероятность событий, которые мы считаем неблагоприятными (когда вытащим красный фломастер) – ( displaystyle frac{2}{10}) .
Таким образом, вероятность вытащить НЕ красный фломастер – ( displaystyle 1-frac{2}{10}=0,8).
Ответ: ( displaystyle 0,8)
Запомни:
Вероятность того, что событие НЕ произойдет, равна ( displaystyle 1) минус вероятность того, что событие произойдет.
Правило умножения вероятностей независимых событий
Что такое независимые события ты уже знаешь.
А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?
Можно конечно посчитать, но есть способ проще.
Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку ( 2) раза, мы два раза увидим орла?
Мы уже считали: ( p=0,25).
А если бросаем монетку ( 3) раза? Какова вероятность увидеть орла ( 3) раза подряд?
Всего возможных вариантов ( 8):
- Орел-орел-орел
- Орел-орел-решка
- Орел-решка-орел
- Орел-решка-решка
- Решка-орел-орел
- Решка-орел-решка
- Решка-решка-орел
- Решка-решка-решка
Не знаю, как ты, но я ( 3) раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только ( 1) вариант (первый).
( displaystyle p=frac{{{N}_{б}}}{N}=frac{1}{8})
Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.
Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.
Другими словами,
Вероятность определенной последовательности независимых событий равна произведению вероятностей каждого из событий
Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.
Вероятность выпадения орла в ( 1) испытании? ( displaystyle frac{1}{2}). Теперь мы бросаем монетку ( 5) раз.
Какова вероятность выпадения ( 5) раз подряд орла?
( displaystyle p=frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}={{left( frac{1}{2} right)}^{5}}=frac{1}{32})
Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.
Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при ( 3) бросках подряд, мы поступили бы также.
Вероятность выпадения решка – ( displaystyle frac{1}{2}), орла – ( displaystyle frac{1}{2}).
Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:
( displaystyle p=frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}={{left( frac{1}{2} right)}^{4}}=frac{1}{16})
Можешь проверить сам, составив таблицу.
Правило сложения вероятностей несовместных событий
Так стоп! Новое определение.
Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента.
Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.
Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её ( 3) раза. Возможные варианты:
- Орел-орел-орел
- Орел-орел-решка
- Орел-решка-орел
- Орел-решка-решка
- Решка-орел-орел
- Решка-орел-решка
- Решка-решка-орел
- Решка-решка-решка
Так вот, несовместные события – это определенная, заданная последовательность событий. ( 1),text{ }2),text{ }3),text{ }4)ldots text{ }8)) – это несовместные события.
Вероятности несовместных событий складываются.
Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий, то мы складываем вероятности этих событий.
Нужно понять, что выпадение орла или решки – это два независимых события.
Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности ( 1)) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.
Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?
( displaystyle p=frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}=frac{1}{8})
Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно ( 1) раз, т.е. варианты ( 4),text{ }6)) и ( 7)), то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.
Всего вариантов ( 8), нам подходит ( 3).
( displaystyle p=frac{{{N}_{б}}}{N}=frac{3}{8})
То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:
( displaystyle p={{p}_{4}}+{{p}_{6}}+{{p}_{7}}=frac{1}{8}+frac{1}{8}+frac{1}{8}=frac{3}{8})
Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.
Правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:
Опишите, что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ». Затем вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» – сложения.
Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку ( 3) раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла ( 1) раз.
Что должно произойти?
Должны выпасть:
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
Вот и получается:
( displaystyle left( frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2} right)+left( frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2} right)+left( frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2} right)=frac{1}{8}+frac{1}{8}+frac{1}{8}=frac{3}{8})
Давай рассмотрим несколько примеров.
Задачи смешанного типа
Пример 16.
Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный?
Решение.
Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать.
Есть простое правило для таких ситуаций.
Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ».
Например, в данном случае:
Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел).
Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» – сложение:
( p=left( frac{1}{2}cdot frac{1}{2} right)+left( frac{1}{2}cdot frac{1}{2} right)=frac{1}{4}+frac{1}{4}=frac{1}{2}=0,5).
Попробуй сам:
- С какой вероятностью при двух бросаниях монетки оба раза выпадет одно и та же сторона?
- Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что в сумме выпадет ( 10) очков?
- Бросаем монетку ( 3) раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел?
Решения: