Смешанные неравенства 15 задание егэ

Решите неравенство

[begin{aligned}
ln(-5e^x)geqslant -1
end{aligned}]

Так как (e^x > 0) – при любом (x), то (-5e^x < 0), следовательно, (ln(-5e^x)) не определён ни при каких (xinmathbb{R}).

Ответ:

(varnothing)

Решите неравенство

[begin{aligned}
ln(5e^x)geqslant 1
end{aligned}]

Так как (e^x > 0) – при любом (x), то

[begin{aligned}
&ln(5e^x)geqslant 1qquadLeftrightarrowqquadln(5e^x)geqslant ln eqquadLeftrightarrowqquad 5e^xgeqslant eqquadLeftrightarrowqquad e^{ln 5}e^xgeqslant eqquadLeftrightarrow\
&Leftrightarrowqquad e^xgeqslant dfrac{e}{e^{ln 5}}qquadLeftrightarrowqquad e^xgeqslant e^{1 — ln 5}qquadLeftrightarrowqquad xgeqslant 1 — ln 5,.
end{aligned}]

Ответ:

([1-ln 5; +infty))

Решите неравенство

[begin{aligned}
xlog_{x + frac{pi}{2}} (x + 3) leqslant 0
end{aligned}]

ОДЗ:

[begin{aligned}
begin{cases}
x + dfrac{pi}{2} > 0\
x + dfrac{pi}{2}neq 1\
x + 3 > 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
begin{cases}
x > -dfrac{pi}{2}\
x neq -dfrac{pi}{2} + 1
end{cases}
end{aligned}]

Заметим, что [x + 3 > x + dfrac{pi}{2} + 1]

Рассмотрим два случая:
1) (x > -dfrac{pi}{2} + 1), тогда [log_{x + frac{pi}{2}} (x + 3) > 0] и исходное неравенство равносильно [x leqslant 0,] то есть в этом случае подходят [xin left(-dfrac{pi}{2} + 1; 0right]] 2) (-dfrac{pi}{2} < x < -dfrac{pi}{2} + 1), тогда [log_{x + frac{pi}{2}} (x + 3) < 0] и исходное неравенство равносильно [x geqslant 0,] то есть в этом случае подходящих (x) нет.
В итоге ответ с учётом ОДЗ: [xin left(-dfrac{pi}{2} + 1; 0right],.]

Ответ:

(left(-dfrac{pi}{2} + 1; 0right])

Решите неравенство

[begin{aligned}
(2x + 15)log_{x + 2} (x^2 + 7x) leqslant 0
end{aligned}]

ОДЗ:

[begin{aligned}
begin{cases}
x + 2 > 0\
x + 2neq 1\
x^2 + 7x > 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
x > 0
end{aligned}]

На ОДЗ (2x + 15 > 0), (x + 2 > 1), следовательно, исходное неравенство на ОДЗ равносильно

[begin{aligned}
log_{x + 2} (x^2 + 7x) leqslant log_{x + 2} 1qquadLeftrightarrowqquad x^2 + 7x — 1leqslant 0
end{aligned}]

Ответ:

((0; -3,5 + 0,5sqrt{53}])

Решите неравенство

[begin{aligned}
dfrac{log_{x}(x — 3)}{(e^x + 2)cdotlog_{2}(x + 11)}leqslant 0
end{aligned}]

ОДЗ:

[begin{aligned}
begin{cases}
x > 0\
xneq 1\
x — 3 > 0\
e^x + 2neq 0\
log_{2}(x + 11)neq 0\
x + 11 > 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
x > 3,.
end{aligned}]

По методу рационализации: на ОДЗ

[begin{aligned}
dfrac{log_{x}(x — 3)}{(e^x + 2)cdotlog_{2}(x + 11)}leqslant 0qquad&Rightarrowqquad dfrac{(x — 1)(x — 3 — 1)}{(e^x + 2)cdot(2 — 1)(x + 11 — 1)}leqslant 0,.
end{aligned}]

С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно

[begin{aligned}
x — 4leqslant 0
end{aligned}]

Таким образом, с учётом ОДЗ: [xin (3; 4].]

Ответ:

((3; 4])

Решите неравенство [4^{frac{9x^2}4}-
left(left(frac32x+1right)^{log_{frac32x+1}2}right)^
{frac{9x^2-4}4}leqslant 3]

ОДЗ неравенства: [begin{cases} dfrac32x+1>0\[2ex]
dfrac32x+1ne 1end{cases}quad Leftrightarrowquad xin
left(-dfrac23;0right)cup(0;+infty)] Решим неравенство на ОДЗ. Так как (a^{log_ab}=b), то [4^{frac{9x^2}4}-2^{frac{9x^2}4-1}leqslant 3] Сделаем замену (t=2^{frac{9x^2}4}), (t>0), тогда [t^2-0,5t-3leqslant 0quadLeftrightarrowquad
left(t+frac32right)(t-2)leqslant 0quadLeftrightarrowquad tin
left[-dfrac32;2right]] Так как (t>0), то получаем (tleqslant
2). Сделаем обратную замену: [begin{aligned}
&2^{frac{9x^2}4}leqslant 2quadLeftrightarrowquad
dfrac{9x^2}4leqslant 1quadLeftrightarrowquad
left(x-dfrac23right)left(x+dfrac23right)leqslant
0quadLeftrightarrow\[2ex]
&xin left[-dfrac23;dfrac23right]end{aligned}] Пересечем ответ с ОДЗ и получим [xin left(-dfrac23; 0right)cupleft(0;dfrac23right]]

Ответ:

(xin left(-frac23; 0right)cupleft(0;frac23right])

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_{5^x} 25^{x + 1} + log_{25^{x + 1}} 5^x — 2 > 0
end{aligned}]

ОДЗ:

[begin{aligned}
begin{cases}
5^x > 0\
5^x neq 1\
25^{x + 1} > 0\
25^{x + 1}neq 1
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
x in(-infty; -1)cup(-1; 0)cup(0; +infty)
end{aligned}]

Сделаем замену (log_{5^x} 25^{x + 1} = y):

[begin{aligned}
y + dfrac{1}{y} — 2 > 0quadLeftrightarrowquad dfrac{y^2 — 2y + 1}{y} > 0quadLeftrightarrowquad dfrac{(y — 1)^2}{y} > 0quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
y > 0\
yneq 1,
end{cases}
end{aligned}]

откуда

[begin{aligned}
begin{cases}
log_{5^x} 25^{x + 1} > 0\
log_{5^x} 25^{x + 1}neq 1
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
begin{cases}
dfrac{2x + 2}{x} > 0\
dfrac{2x + 2}{x} neq 1
end{cases}
end{aligned}]

Решая первое неравенство последней системы, получаем: [xin (-infty; -1)cup(0; +infty)] Решая второе неравенство последней системы, получаем: [xin (-infty; -2)cup(-2; 0)cup(0; +infty)] В итоге: [xin (-infty; -2)cup(-2; -1)cup(0; +infty)] – подходит по ОДЗ.

Ответ:

((-infty; -2)cup(-2; -1)cup(0; +infty))