Смешанные неравенства егэ профиль - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

ОДЗ: $$left{begin{matrix}x>0\1+2x>0\xneq1\1+2xneq1end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x>0\x>-0,5\xneq1\xneq0end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$xin(0;1)cup(1;+infty)$$; $$frac{frac{1}{3}log_{2}x}{log_{2}(1+2x)}leqfrac{frac{1}{3}log_{2}(1+2x)}{log_{2}x}$$; $$log_{1+2x}xleqlog_{x}(1+2x)$$;

Пусть $$log_{1+2x}x=y$$; $$yleqfrac{1}{y}$$; $$frac{y^{2}-1}{y}leq0$$ $$Leftrightarrow$$ $$frac{(y-1)(y+1)}{y}leq0$$

$$left{begin{matrix}yleq-1\left{begin{matrix}y>0\yleq1end{matrix}right.end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}log_{1+2x}xleq-1(1)\left{begin{matrix}log_{1+2x}x>0(2)\log_{1+2x}xleq1(3)end{matrix}right.end{matrix}right.$$

1) $$log_{1+2x}xleqlog_{1+2x}frac{1}{1+2x}$$; $$(x-frac{1}{1+2x})(1+2x-1)leq0$$; $$frac{x+2x^{2}-1}{1+2x}cdot2xleq0$$; $$frac{2x(x-0,5)(x+1)}{1+2x}leq0$$

$$xin[-1;-0,5)cup[0;0,5]$$

2) $$log_{1+2x}x>0$$; $$(x-1)(1+2x-1)>0$$; $$(x-1)cdot2x>0$$

$$xin(-infty;0)cup(1;+infty)$$

3) $$log_{1+2x}xleq1$$; $$log_{1+2x}xleqlog_{1+2x}(1+2x)$$; $$(x-1-2x)(1+2x)leq0$$; $$(-x-1)(2x+1)leq0$$

$$xin(-infty;-1]cup[-0,5;+infty)$$

Найдем пересечение 2 и 3 и объединим результаты с 1: $$xin(-infty;0,5]cup(1;+infty;)$$

Ответ с учетом ОДЗ: $$xin(0;0,5]cup(1;+infty;)$$

Источник

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Смешанные неравенства

Задание
1

#1607

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
ln(-5e^x)geqslant -1
end{aligned}]

Так как (e^x > 0) – при любом (x), то (-5e^x < 0), следовательно, (ln(-5e^x)) не определён ни при каких (xinmathbb{R}).

Ответ:

(varnothing)

Задание
2

#1608

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
ln(5e^x)geqslant 1
end{aligned}]

Так как (e^x > 0) – при любом (x), то

[begin{aligned}
&ln(5e^x)geqslant 1qquadLeftrightarrowqquadln(5e^x)geqslant ln eqquadLeftrightarrowqquad 5e^xgeqslant eqquadLeftrightarrowqquad e^{ln 5}e^xgeqslant eqquadLeftrightarrow\
&Leftrightarrowqquad e^xgeqslant dfrac{e}{e^{ln 5}}qquadLeftrightarrowqquad e^xgeqslant e^{1 — ln 5}qquadLeftrightarrowqquad xgeqslant 1 — ln 5,.
end{aligned}]

Ответ:

([1-ln 5; +infty))

Задание
3

#1612

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
xlog_{x + frac{pi}{2}} (x + 3) leqslant 0
end{aligned}]

ОДЗ:

[begin{aligned}
begin{cases}
x + dfrac{pi}{2} > 0\
x + dfrac{pi}{2}neq 1\
x + 3 > 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
begin{cases}
x > -dfrac{pi}{2}\
x neq -dfrac{pi}{2} + 1
end{cases}
end{aligned}]

Заметим, что [x + 3 > x + dfrac{pi}{2} + 1]

Рассмотрим два случая:
1) (x > -dfrac{pi}{2} + 1), тогда [log_{x + frac{pi}{2}} (x + 3) > 0] и исходное неравенство равносильно [x leqslant 0,] то есть в этом случае подходят [xin left(-dfrac{pi}{2} + 1; 0right]] 2) (-dfrac{pi}{2} < x < -dfrac{pi}{2} + 1), тогда [log_{x + frac{pi}{2}} (x + 3) < 0] и исходное неравенство равносильно [x geqslant 0,] то есть в этом случае подходящих (x) нет.
В итоге ответ с учётом ОДЗ: [xin left(-dfrac{pi}{2} + 1; 0right],.]

Ответ:

(left(-dfrac{pi}{2} + 1; 0right])

Задание
4

#1609

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
(2x + 15)log_{x + 2} (x^2 + 7x) leqslant 0
end{aligned}]

ОДЗ:

[begin{aligned}
begin{cases}
x + 2 > 0\
x + 2neq 1\
x^2 + 7x > 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
x > 0
end{aligned}]

На ОДЗ (2x + 15 > 0), (x + 2 > 1), следовательно, исходное неравенство на ОДЗ равносильно

[begin{aligned}
log_{x + 2} (x^2 + 7x) leqslant log_{x + 2} 1qquadLeftrightarrowqquad x^2 + 7x — 1leqslant 0
end{aligned}]

По методу интервалов:

откуда (xinleft[dfrac{-7 — sqrt{53}}{2}; dfrac{-7 + sqrt{53}}{2}right]).
Пересечём ответ с ОДЗ: [xinleft(0; dfrac{-7 + sqrt{53}}{2}right]]

Ответ:

((0; -3,5 + 0,5sqrt{53}])

Задание
5

#1611

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
dfrac{log_{x}(x — 3)}{(e^x + 2)cdotlog_{2}(x + 11)}leqslant 0
end{aligned}]

ОДЗ:

[begin{aligned}
begin{cases}
x > 0\
xneq 1\
x — 3 > 0\
e^x + 2neq 0\
log_{2}(x + 11)neq 0\
x + 11 > 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
x > 3,.
end{aligned}]

По методу рационализации: на ОДЗ

[begin{aligned}
dfrac{log_{x}(x — 3)}{(e^x + 2)cdotlog_{2}(x + 11)}leqslant 0qquad&Rightarrowqquad dfrac{(x — 1)(x — 3 — 1)}{(e^x + 2)cdot(2 — 1)(x + 11 — 1)}leqslant 0,.
end{aligned}]

С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно

[begin{aligned}
x — 4leqslant 0
end{aligned}]

Таким образом, с учётом ОДЗ: [xin (3; 4].]

Ответ:

((3; 4])

Задание
6

#3901

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство [4^{frac{9x^2}4}-
left(left(frac32x+1right)^{log_{frac32x+1}2}right)^
{frac{9x^2-4}4}leqslant 3]

ОДЗ неравенства: [begin{cases} dfrac32x+1>0\[2ex]
dfrac32x+1ne 1end{cases}quad Leftrightarrowquad xin
left(-dfrac23;0right)cup(0;+infty)] Решим неравенство на ОДЗ. Так как (a^{log_ab}=b), то [4^{frac{9x^2}4}-2^{frac{9x^2}4-1}leqslant 3] Сделаем замену (t=2^{frac{9x^2}4}), (t>0), тогда [t^2-0,5t-3leqslant 0quadLeftrightarrowquad
left(t+frac32right)(t-2)leqslant 0quadLeftrightarrowquad tin
left[-dfrac32;2right]] Так как (t>0), то получаем (tleqslant
2). Сделаем обратную замену: [begin{aligned}
&2^{frac{9x^2}4}leqslant 2quadLeftrightarrowquad
dfrac{9x^2}4leqslant 1quadLeftrightarrowquad
left(x-dfrac23right)left(x+dfrac23right)leqslant
0quadLeftrightarrow\[2ex]
&xin left[-dfrac23;dfrac23right]end{aligned}] Пересечем ответ с ОДЗ и получим [xin left(-dfrac23; 0right)cupleft(0;dfrac23right]]

Ответ:

(xin left(-frac23; 0right)cupleft(0;frac23right])

Задание
7

#1614

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_{5^x} 25^{x + 1} + log_{25^{x + 1}} 5^x — 2 > 0
end{aligned}]

ОДЗ:

[begin{aligned}
begin{cases}
5^x > 0\
5^x neq 1\
25^{x + 1} > 0\
25^{x + 1}neq 1
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
x in(-infty; -1)cup(-1; 0)cup(0; +infty)
end{aligned}]

Сделаем замену (log_{5^x} 25^{x + 1} = y):

[begin{aligned}
y + dfrac{1}{y} — 2 > 0quadLeftrightarrowquad dfrac{y^2 — 2y + 1}{y} > 0quadLeftrightarrowquad dfrac{(y — 1)^2}{y} > 0quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
y > 0\
yneq 1,
end{cases}
end{aligned}]

откуда

[begin{aligned}
begin{cases}
log_{5^x} 25^{x + 1} > 0\
log_{5^x} 25^{x + 1}neq 1
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
begin{cases}
dfrac{2x + 2}{x} > 0\
dfrac{2x + 2}{x} neq 1
end{cases}
end{aligned}]

Решая первое неравенство последней системы, получаем: [xin (-infty; -1)cup(0; +infty)] Решая второе неравенство последней системы, получаем: [xin (-infty; -2)cup(-2; 0)cup(0; +infty)] В итоге: [xin (-infty; -2)cup(-2; -1)cup(0; +infty)] – подходит по ОДЗ.

Ответ:

((-infty; -2)cup(-2; -1)cup(0; +infty))

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Данный урок рассматривает методику решения комбинированных (смешанных) неравенств (логарифмические и показательные) из книги под редакцией Д.А. Мальцева 2018 г. Математика. Профильная часть (Решение С3 (неравенства) заданий из сборника «Математика. Профиль»). Будут решены 1 и 2 варианты, а также типовой пример из сайта Решу ЕГЭ.

В ходе решения была использована методика решения логарифмических неравенств.
Простейшее логарифмическое неравенство

[ log_af(x)>log_ag(x) ]

сводится к решению одной из двух систем:
1 случай: при a>1

[ begin{equation*} begin{cases} f(x)>0, \ g(x)>0, \ f(x)>g(x). end{cases} end{equation*} ]

2 случай: при 0<a<1

[ begin{equation*} begin{cases} f(x)>0, \ g(x)>0, \ f(x)<g(x). end{cases} end{equation*} ]

Решение С3 (неравенства) заданий из сборника Д.А. Мальцева (Вариант 2). ЕГЭ 2018. Математика. Профиль

[ log_6((4^{-x^2}-5)(2^{-x^2+10}-8))+log_6 ((4^{-x^2}-5)/(2^{-x^2+10}-8))>log_6(4^{6-x^2}-1)^2 ]

Решение С3 (неравенства) заданий из сборника Д.А. Мальцева (Вариант 2). ЕГЭ 2018. Математика. Профиль

Замечание: методика решения логарифмических неравенств предлагает, согласно определения логарифма, накладывать ограничения на подлогарифмические выражения (больше нуля). С учетом этого предложения, для левой части появляется ограничение (3). Подлогарифмическое выражение в правой части стоит в квадрате, поэтому в любом случае будет положительным и в решении не учитывается.

Решение С3 (неравенства) заданий из сборника Д.А. Мальцева (Вариант 2). ЕГЭ 2018. Математика. Профиль

Решение С3 (неравенства) заданий из сборника Д.А. Мальцева (Вариант 1). ЕГЭ 2018. Математика. Профиль

[ log_9((5^{-x^2}-5^{-4})(5^{-x^2}-1))+log_9{{(5^{-x^2}-5^{-4})}over{(5^{-x^2}-1)}}leq log_3(5^{-x^2+5}-5^{-9}) ]

Решение С3 (неравенства) заданий из сборника Д.А. Мальцева (Вариант 1). ЕГЭ 2018. Математика. Профиль

Замечание: методика решения логарифмических неравенств предлагает, согласно определения логарифма, накладывать ограничения на подлогарифмические выражения (больше нуля). С учетом этого предложения, для левой части появляется ограничение (2). Подлогарифмическое выражение в правой части из ограничения (1) всегда будет положительным и в решении не учитывается.

Решение С3 (неравенства) заданий из сборника Д.А. Мальцева (Вариант 1). ЕГЭ 2018. Математика. Профиль

Решение смешанного неравенства С3 (логарифмическое и показательное) с сайта Решу ЕГЭ. Математика. Профиль

[ log_2((7^{-x^2}-3)(7^{-x^2+1}))+log_2{{(7^{-x^2}-3)}over{(7^{-x^2+16}-1)}}>log_2(7^{7-x^2}-2)^2 ]

Решение смешанного неравенства с сайта Решу ЕГЭ. С3. Математика. Профиль

Замечание: методика решения логарифмических неравенств предлагает, согласно определения логарифма, накладывать ограничения на подлогарифмические выражения (больше нуля). С учетом этого предложения, для левой части появляется ограничение (2). Подлогарифмическое выражение в правой части стоит в квадрате, поэтому в любом случае будет положительным и в решении не учитывается.

Подробное описание решения неравенства С3 Вариант 2 из книги Д.А. Мальцева на видео:

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Комбинированные неравенства»

Открытый банк заданий по теме комбинированные неравенства. Задания C3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Стереометрия. Расстояния и углы в пространстве

Задание №1194

Тип задания: 15
Тема:
Комбинированные неравенства

Условие

Решите неравенство frac{3^x-5^{x+1}}{4^x-2^{x+log_25}+4}leqslant 0.

Показать решение

Решение

План решения.

1. Отдельно преобразуем числитель и знаменатель.

1.1. В числителе вынесем за скобки 5^x, чтобы в скобке осталась разность некоторого числа в степени x и константы (вместо этого можно вынести за скобки 3^x, а потом дополнительно преобразовать, или сразу вынести за скобки 3^{x+1}).

1.2. В знаменателе «избавимся» от log_2 5 в показателе степени (преобразуем его в множитель). После этого получим квадратичное выражение от 2^x (если сделать замену t=2^x, то получим квадратичное выражение от t). Квадратичное выражение разложим на множители.

2. Все множители в числителе и знаменателе заменим более простыми, совпадающими по знаку (в том числе равными нулю одновременно с исходными — таким образом, не надо будет дополнительно думать об ОДЗ).

3. Решим неравенство, полученное на предыдущем шаге, методом интервалов.

Решение.

1. frac{3^x-5^{x+1}}{4^x-2^{x+log_25}+4}leqslant 0,

frac{left( left( dfrac35right) ^x-5right)cdot 5^x}{2^{2x}-5cdot 2^x+4}leqslant 0,

frac{left( dfrac35right) ^x-5}{(2^x-4)(2^x-1)}leqslant 0.

2. frac{left( dfrac35right) ^x-left( dfrac35right) ^{log_tfrac355}}{(2^x-2^2)(2^x-2^0)}leqslant 0.

Выражения left( frac35right) ^x-5, 2^x-2^2, 2^x-2^0 совпадают по знаку с выражениями left( frac35-1right)cdot {x-log_{tfrac35}5}, (2-1)cdot (x-2) и (2-1)cdot (x-0) соответственно.

frac{left( dfrac35-1right)cdot (x-log_{tfrac35}5)}{(2-1)cdot (x-2)cdot (2-1)cdot (x-0)}leqslant 0.

3. frac{x-log_{tfrac35}5}{(x-2)cdot x}geqslant 0.

xin[log_{tfrac35}5; 0)cup (2; +infty ).

Ответ

[log_{tfrac35}5; 0)cup(2; +infty ).

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1190

Тип задания: 15
Тема:
Комбинированные неравенства

Условие

Решите неравенство frac{4log_2(x+0,5)}{5^{1-sqrt x}-1}leqslant 5^{sqrt x}log_2(x+0,5).

Показать решение

Решение

ОДЗ: begin{cases} x+0,5>0,\5^{1-sqrt x}-1neq 0,\xgeqslant 0; end{cases} begin{cases} xgeqslant 0,\xneq 1. end{cases}

xin[0; 1) cup (1; +infty).

frac{4 log_2(x+0,5)-5^{sqrt x} log_2(x+0,5)cdot (5^{1-sqrt x}-1)}{5^{1-sqrt x}-1}leqslant 0,

frac{log_2(x+0,5)(4-5^{sqrt {x}+1-sqrt x}+5^{sqrt x})}{5^{1-sqrt x}-1}leqslant 0.

frac{log_2(x+0,5)(5^{sqrt x}-5^0)}{5^{1-sqrt x}-5^0}leqslant 0.

Применим метод замены множителя, учитывая, что:

а) log_{h(x)}f(x)rightarrow (h(x)-1)(f(x)-1), тогда log_2(x+0,5)rightarrow (2-1)(x+0,5-1)=x-0,5.

б) h(x)^{p(x)}-h(x)^{q(x)}rightarrow (h(x)-1)(p(x)-q(x)),

тогда 5^{sqrt x}-5^0=(5-1)(sqrt x-0)=4sqrt x,

5^{1-sqrt x}-5^0= (5-1)(1-sqrt x-0)= 4(1-sqrt x).

Неравенство примет вид frac{(x-0,5)cdot sqrt x}{1-sqrt x}leqslant 0.

На ОДЗ имеем 0 leqslant x leqslant 0,5; x>1.

Ответ

[0; 0,5] cup (1; +infty ).

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №992

Тип задания: 15
Тема:
Комбинированные неравенства

Условие

Решите неравенство frac{(|2x+1|-x-2) cdot left ( log_{tfrac{1}{3}}(x+4)+1 right )}{5^{x^{2}+1}-5^{x}} geq 0.

Показать решение

Решение

Найдём область определения неравенства.

begin{cases}x+4 >0, \5^{x^{2}+1}-5^{x} neq0; end{cases}

begin{cases} x > -4, \ x^{2}+1 neq x;end{cases}

begin{cases} x > -4, \ x^{2}-x+1 neq 0;end{cases}

x > -4.

Для решения данного неравенства применяем метод интервалов.

а) Пусть f(x)= frac{(|2x+1|-x-2) cdot left ( log_{tfrac{1}{3}}(x+4)+1 right )}{5^{x^{2}+1}-5^{x}}.

б) Область определения функции f(x): D(f)=(-4;+infty ).

в) Нули функции f(x): f(x)=0.

frac{(|2x+1|-x-2) cdot left ( log_{tfrac{1}{3}}(x+4)+1 right )}{5^{x^{2}+1}-5^{x}}=0Leftrightarrow

Leftrightarrow begin{cases} (|2x+1|-x-2) cdot left ( log_{tfrac{1}{3}}(x+4)+1 right )=0, \ x >-4; end{cases}

begin{cases} left[!!begin{array}{l} |2x+1|-x-2=0, \ log_{tfrac{1}{3}}(x+4)+1=0 end{array}right. \x > -4. end{cases}

Уравнение |2x+1|-x-2=0 или |2x+1|=x+2 равносильно системе

begin{cases} (2x+1)^2=(x+2)^2,\x+2 geq 0; end{cases} Leftrightarrow begin{cases}left[!!begin{array}{l}x=-1,\x=1,end{array}right.\ x+2 geq 0;end{cases} Leftrightarrow x=pm 1.

Уравнение log_{tfrac{1}{3}}(x+4)+1=0 имеет корень x=-1.

г) Промежутки знакопостоянства функции f(x). На каждом из промежутков (-4;-1), (-1;1), (1; +infty ) функция f(x) непрерывна и сохраняет постоянный знак. Так как f(-2) > 0, f(0) > 0, f(2) < 0, то f(x) geq 0 при всех значениях x in (-4;1].

Ответ

(-4;1].

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №991

Тип задания: 15
Тема:
Комбинированные неравенства

Условие

Решите неравенство 3^{x}sqrt{5x-x^{2}+14} leq 27sqrt{5x-x^{2}+14}.

Показать решение

Решение

Данное неравенство равносильно неравенству (3^{x}-27)sqrt{5x-x^{2}+14} leq 0. Будем использовать метод интервалов, предварительно найдя ОДЗ и нули левой части неравенства.

Найдём ОДЗ неравенства:

-x^{2}+5x+14 geq 0, x^{2}-5x-14 leq 0, (x-7)(x+2) leq 0, x in [-2;7].

Найдём нули левой части неравенства: (3^{x}-27)sqrt{5x-x^{2}+14}=0,

3^{x}-27=0, 3^{x}=3^{3}, x=3.

sqrt{5x-x^{2}+14}=0, -x^{2}+5x+14=0, x_{1}=-2, x_{2}=7.

Найдем знаки выражения (3^{x}-27)sqrt{5x-x^{2}+14}

x in [-2;3] cup {7}.

Ответ

[-2;3]cup{7}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №960

Тип задания: 15
Тема:
Комбинированные неравенства

Условие

Решите неравенство: frac{log_2(x+5)}{2^{x+2}-4^x-3}leqlog_2(x+5).

Показать решение

Решение

ОДЗ: begin{cases} x+5 > 0,\2^{x+2}-4^x-3 neq 0;end{cases}enspace begin{cases} x> -5, \ 2^{2x} -4 cdot 2^x+3 neq0;end{cases}enspace begin{cases} x > -5, \ xneq 0, \ x neq log_2 3end{cases}.

x in(-5;0)cup(0;log_2 3)cup (log_2 3; +infty ).

frac{(1-4cdot2^x+4^x+3)log_2 (x+5)}{(2^x -1)(2^x -3)} geq0,

frac{(2^x -2)^2 log_2 (x+5)}{(2^x — 2^0)(2^x -2^{log_2 3})} geq0.

Применим метод замены множителя, учитывая, что

а) log_{h(x)} f(x)rightarrow (h(x)-1)(f(x)-1), тогда

log_2 (x+5) rightarrow (2-1)(x+5-1)= x+4.

б) h(x)^{p(x)}-h(x)^{q(x)} rightarrow (h(x)-1) (p(x)-q(x)), тогда

2^x -2rightarrow (2-1)(x-1)=x-1,

2^x -2^0 =(2-1)(x-0)=x ,

2^x -2^{log_2 3}= (2-1)(x-log_2 3)= x-log_2 3.

Неравенство примет вид frac{(x+4)(x-1)^2}{x(x-log_2 3)} geq 0. Решим его методом интервалов.

Учитывая ОДЗ x> -5, x neq 0 и xneq log_2 3, получим -4 leq x < 0; x > log_2 3. x=1.

Ответ

[-4;0)cupleft{1right}cup(log_2 3;+infty)

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №235

Тип задания: 15
Тема:
Комбинированные неравенства

Условие

Решите неравенство frac{4^{x}+log_{2}x-12}{log_{2}x-2^{x}} geq 1.

Показать решение

Решение

Очевидно, что x > 0. Заметим, что log_{2}x < 2^{x} при x > 0, график функции y=log_{2}x лежит ниже прямой y=x, а график функции y=2^{x} лежит выше этой прямой, поэтому знаменатель дроби принимает только отрицательные значения. Докажем, что это верно.

Докажем, что 2^{x} > x. Рассмотрим f(x)=2^{x}-x.

f'(x)=2^{x} ln2-1.

f'(x)=0 при 2^{x} ln2-1=0,

2^{x}=frac{1}{ln2},

x_{1}=log_{2} frac{1}{ln2} — точка минимума, f(x_{1}) — наименьшее значение f(x).

Докажем, что f(x_{1}) > 0.

frac{1}{ln2}-log_{2}frac{1}{ln2} > 0;

log_{2}e-log_{2}log_{2}e > 0;

log_{2}e > log_{2}log_{2}e;

e > log_{2}e;

2^{e} > e.

Это верно, так как 2^{e} > 2^{2} > e.

Мы доказали, что 2^{x} > x. Но тогда log_{2}2^{x} > log_{2}x и x > log_{2}x.

2^{x} > x > log_{2}x, значит, 2^{x}-log_{2}x > 0.

Умножив обе части неравенства на log_{2}x-2^{x}, получим неравенство 4^{x}+log_{2}x-12 leq log_{2}x-2^{x}, которое легко сводится к неравенству 4^{x}+2^{x}-12 leq 0. Решив его методом подстановки, найдем все его решения x leq log_{2}3. Учитывая, что x > 0, получим все решения данного неравенства: x in (0; log_{2}3]

Ответ

(0; log_{2}3]

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №206

Тип задания: 15
Тема:
Комбинированные неравенства

Условие

Решите неравенство frac{(3^x-27)(log_{x-1}x-log_{x-1}3)}{(sqrt{x^2+x}-sqrt{x^2+5)(|x+2|-|x|)}}geqslant 0.

Показать решение

Решение

ОДЗ:

begin{cases}x>0, \ x-1>0, \ x-1neq1, \ x^2+xgeqslant0, \ x^2+x neq x^2+5, \ |x+2|neq |x|; end{cases} begin{cases}x>0, \ x>1, \ xneq2, \left[!!begin{array}{l} xgeqslant 0, \ xleqslant -1, end{array}right. \ x neq 5, \ x^2+4x+4neq x^2; end{cases} begin{cases} x>1, \ xneq2, \ xneq 5.end{cases}

xin (1;2)cup (2;5)cup (5;+infty ).

На ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству

frac{(x-3)(x-1-1)(x-3)}{(x^2+x-x^2-5)((x+2)^2-x^2)}geqslant0,

frac{(x-3)^2(x-2)}{(x-5)(4x+4)}geqslant0,

frac{(x-3)^2(x-2)}{(x-5)(x+1)}geqslant0,

xin (1;2]cup left { 3 right }cup (5;+infty ).

Учитывая ОДЗ, получим xin (1;2)cup left { 3 right }cup (5;+infty ).

Ответ

(1;2)cup left { 3 right }cup (5;+infty ).

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №200

Тип задания: 15
Тема:
Комбинированные неравенства

Условие

Решите неравенство frac{dfrac{3}{2x+1}+log_2dfrac{x+2}{4}}{sqrt{-x}}>0.

Показать решение

Решение

ОДЗ:enspacebegin{cases}2x+1neq0,\-x>0,\ x+2>0; end{cases}enspacebegin{cases} xneqfrac{1}{2},\ x<0; \ x>-2.end{cases}

-2<x<-frac{1}{2}, -frac{1}{2}<x<0. Данное неравенство для всех x из ОДЗ равносильно неравенству log_2frac{x+2}{4}>-frac{3}{2x+1}.

Решим последнее неравенство на каждом из промежутков ОДЗ.

1) -2<x<-frac{1}{2}. Оценим левую и правую части неравенства:

log_2frac{x+2}{4}<log_2frac{3}{8}<0, -frac{3}{2x+1}>0.

Так как для всех x из промежутка left(-2;-frac{1}{2}right) выполняется неравенство log_2frac{x+2}{4}<0<-frac{3}{2x+1}, то неравенство log_2frac{x+2}{4}>-frac{3}{2x+1}, а следовательно, и исходное неравенство на промежутке left(-2;-frac{1}{2}right) не имеет решений.

2) Если -frac{1}{2}<x<0, то выполняется неравенства

log_2frac{x+2}{4}>log_2frac{3}{8}>log_2frac{1}{4}>-2.

-frac{3}{2x+1}<-3, так как 0<2x+1<1. Значит, любое значение из промежутка left(-frac{1}{2};0right) является решением неравенства log_2frac{x+2}{4}>-frac{3}{2x+1}, а следовательно, и исходного неравенства.

Итак, множеством решений исходного неравенства является промежуток left(-frac{1}{2};0right).

Ответ

left(-frac{1}{2};0right)

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №160

Тип задания: 15
Тема:
Комбинированные неравенства

Условие

Решите неравенство 7^{ln left ( x^{2}-2x right )}leq left ( 2-x right )^{ln 7}.

Показать решение

Решение

Преобразуем неравенство:

ln left ( 7^{ln left ( x^{2}-2x right )} right )leq ln left ( left ( 2-x right )^{ln 7} right )

ln 7cdot ln left ( x^{2}-2x right )leq ln7cdot lnleft ( 2-x right )

lnleft ( x^{2}-2x right )leq lnleft ( 2-x right )

0< x^{2}-2xleq 2-x

begin{cases} x^{2}-2x> 0 \ left ( x-2 right )left ( x+1 right )leq 0 end{cases}

Получим -1leq x< 0.

Ответ

[-1; 0).

Источник: «Математика ЕГЭ 2016. Типовые тестовые задания». Под ред. И. В. Ященко.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

^New

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2021

Квадратичные неравенства

Метод интервалов

Уравнения и неравенства с модулем

Иррациональные неравенства

Показательные неравенства

Логарифмические неравенства

Метод замены множителя (рационализации)

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 32, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 15

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

Дробно-рациональные неравенства

1. Решите неравенство:

$frac{{ 2}}{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 1}}{ +}frac{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 2}}{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 3}} geq { 2.}$

Сделаем замену

Тогда , а

Получим:

$frac{{ 2}}{{ t+1}}{ +}frac{{ t}}{{ t-1}} geq { 2};$

$frac{{ 2}{ t}{ -}{ 2+}{{ t}}^{{ 2}}{ +}{ t}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}}{ -}{ 2} geq{ 0};$

$frac{{{ t}}^{{ 2}}{ +3}{ t}{ -}{ 2-2}{{ t}}^{{ 2}}{ +2}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} geq { 0};$

$frac{{ 3}{ t}{ -}{{ t}}^{{ 2}}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} geq { 0};$

$frac{{ t}left({ t}{ -}{ 3}right)}{left({ t}{ -}{ 1}right)left({ t}{ +1}right)}le { 0}.$

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Получим:

$left[ begin{array}{c}{ -}{ 1 textless t}le { 0} \{ 1 textless t}le { 3} end{array}right..$

Вернемся к переменной x: $left[ begin{array}{c} -1 textless 0,5xsqrt{5}-2leq0 \ 1 textless 0,5xsqrt{5}-2leq 3 end{array} right. .$

$left[ begin{array}{c} {{2}over{sqrt{5}}} textless xleq {{4}over{sqrt{5}}}\ {{6}over{sqrt{5}}} textless xleq {{10}over{sqrt{5}}} end{array} right. .$

Ответ: $xin left(frac{{ 2}}{sqrt{{ 5}}};frac{{ 4}}{sqrt{{ 5}}}right]cup left(frac{{ 6}}{sqrt{{ 5}}};{ 2}sqrt{{ 5}}right].$

Показательные неравенства

2. Решите неравенство $2^x+17cdot 2^{3-x}le 25.$

$2^x+17cdot frac{8}{2^x}le 25.$

Сделаем замену Получим:

$t+17cdot frac{8}{t}-25le 0.$ Умножим неравенство на

Дискриминант квадратного уравнения

$D={left(-25right)}^2-4cdot 136=625-544=81.$ Значит, корни этого уравнения: $left[ begin{array}{c}t_1=17 \t_2=8 end{array}.right.$

Разложим квадратный трехчлен на множители.

. Вернемся к переменной x.

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

$2^3le 2^xle 2^{{{log }_2 17}};$

$3le xle {{log }_2 17};$

Ответ: $xin left[3;{{log }_2 17}right].$

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ.

3. Решите неравенство $2^{2x-x^2-1}+frac{1}{2^{2x-x^2}-1}le 2.$

Сделаем замену $2^{2x-x^2}=t,t textgreater 0.$ Получим:

$frac{t}{2}+frac{1}{t-1}-2le 0;$

$frac{t^2-t+2-4t+4}{2left(t-1right)}le 0;$

$frac{t^2-5t+6}{t-1}le 0;$

$frac{left(t-2right)left(t-3right)}{t-1}le 0.$

$left[ begin{array}{c}t textless 1 \2le tle 3 end{array} .right.$

Вернемся к переменной $x:left[ begin{array}{c}2^{2x-x^2} textless 1 \{2le 2}^{2x-x^2}le 3 end{array}.right.$

Первое неравенство решим легко: С неравенством ${2le 2}^{2x-x^2}$ тоже все просто. Но что делать с неравенством $2^{2x-x^2}le 3$ ? Ведь $3 = 2^{{{log }_2 3}}.$ Представляете, как трудно будет выразить х?

Оценим $t=2^{2x-x^2}.$ Для этого рассмотрим функцию $tleft(xright)=2^{2x-x^2}.$

Сначала оценим показатель степени. Пусть Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом

Мы получили, что

Тогда $2^{zleft(xright)}le 2$ , и это значит, что Значение не достигается ни при каких х.

Но если ${2le 2}^{2x-x^2}$ и $2^{2x-x^2}le 2$ , то $2^{2x-x^2}=2.$

Мы получили:

$left[ begin{array}{c} 2x-x^2 textless 0\ 2x-x^2=1end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x(x-2) textgreater 0\ x^2-2x+1=0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x textless 0\ x textgreater 2\(x-1)^2=0end{array} right. Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x textless 0\ x textgreater 2\ x=1end{array}. right.$

Ответ:

Логарифмические неравенства

4. Решите неравенство $2{{log}_{frac{1}{2}} left(1-xright) textless {{log}_{frac{1}{2}} left(3x+1right)}}.$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

$2log_{{1}over{2}}(1-x) textless log_{{1}over{2}}(3x+1)Leftrightarrow left{begin{matrix} 1-x textgreater 0\3x+1 textgreater 0 \(1-x)^2 textgreater 3x+1 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\x textgreater -{{1}over{3}} \ 1+x^2-2x textgreater 3x+1 end{matrix}right.Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\x textgreater {-{{1}over{3}}} \ x^2-5x textgreater 0 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\ x textgreater {-{{1}over{3}}} \ x(x-5) textgreater 0 end{matrix} .right.$

Ответ: $xin left(-frac{1}{3};0right).$

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство $2{{{log}_2}^2 {{cos}^2 x+7{{log}_2 {cos x} geq 1}}}.$

$2{{{log }_2}^2 {{cos }^{{ 2}} x+7{{log }_2 {cos x} geq 1}}}.$

ОДЗ:

Замена ${{log }_2 {cos x}=t} Rightarrow {{log }_2 {{cos }^{{ 2}} x}}=2{{log }_2 {cos x=2t}}.$

$2cdot {left(2tright)}^2+7t-1 geq 0;$

$t_1=frac{-7-9}{16}=-1;$

$t_2=frac{-7+9}{16}=frac{1}{8}.$

$(t+1)(t-{{1}over{8}})geq 0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} t leq -1 \ t geq {{1}over{8}} end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} log_2,cosx leq-1 \ log_2,cosx geq {{1}over{8}} end{array} right.$
$Leftrightarrow left{begin{matrix} left[ begin{array}{c} cosxleq{{1}over{2}} \ cosxgeqsqrt[8]{2} end{array} right. \ cosx textgreater 0 end{matrix}right.Leftrightarrow 0 textless cosxleq{{1}over{2}}.$

Ответ: $xin left(-frac{pi }{2}+2pi k;left.-frac{pi }{3}+2pi kright]right.cup left[frac{pi }{3}+2pi k;left.frac{pi }{2}+2pi kright), kright.in Z.$

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство: ${{log }_{{ 3-x}} frac{{ x+4}}{{left({ x-3}right)}^{{ 2}}}} geq { -2}.$

$log_{3-x}frac{x+4}{(x-3)^2}geq-2Leftrightarrow left{begin{matrix} 3-x textgreater 0\3-xneq1 \ {x+4over (x-3)^2} textgreater 0 \ log_{3-x} {{x+4}over(x-3)^2}+2geq 0 end{matrix} .right.$

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что ${left({ a-b}right)}^{{ 2}}{ =}{left({ b-a}right)}^{{ 2}}{ }$ . Используем также условия

$left{begin{matrix} x textless 3\xneq2 \ x+4 textgreater 0 \ log_{3-x}(x+4)-log_{3-x}(3-x)^2+2geq0 end{matrix}right. Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 3\xneq2 \ x textgreater -4 \ log_{3-x}(x+4)geq0 end{matrix}.right.$

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, ${{log }_{{ a}} {left({ b}left({ x}right)right)}^{{ 2}}{ =2}{{log }_{{ a}} left|{ b}left({ x}right)right|}}.$

Поскольку ${ 3-}{ x}{ textgreater 0,}{{ log}}_{{ 3-x}}{left({ 3-x}right)}^{{ 2}}{ =2}{{log }_{{ 3-x}} left|{ 3-x}right|{ =}}{ 2}{{log }_{{ 3-x}} left({ 3-x}right){ =2.}}$

Согласно методу замены множителя, выражение ${{ log}}_{{ 3-x}}left({ x+4}right)$ заменим на

Получим систему:

$left{ begin{array}{c}{ x}ne { 2} \{ -}{ 4}{ textless x textless 3} \left({ 2-x}right)left({ x+3}right) geq { 0} end{array}.right.$

Решить ее легко.

Ответ: .

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

${{log }_2 left(x-5right)+{{log }_3 xleq 4}}.$

ОДЗ: $left{ begin{array}{c}x-5 textgreater 0 \x textgreater 0 end{array}Longleftrightarrow x textgreater 5.right.$

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

${{log }_2 left(9-5right)={{log }_2 4=2}};$

${{log }_3 9=2};$

${{log }_2 left(9-5right)+{{log }_3 9=4}}.$

Функции и — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции ${{{ y=}log }_2 left(x-5right)+{{log }_3 x}}$ равно 4, при значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом , то есть x принадлежит ОДЗ.

Ответ: (5; 9].

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 14. Неравенства u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник