Специальная теория относительности подготовка к егэ

Принципы СТО.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: принцип относительности Эйнштейна, инвариантность скорости света.

Принцип относительности Галилея, подробно рассмотренный в предыдущем листке, говорит о том, что никакие лабораторные опыты механики не помогут определить, покоится ли лаборатория или движется равномерно и прямолинейно.

Но возникает закономерный вопрос: а кто заставляет нас ограничиваться лишь механическими явлениями? Давайте перейдём в другие области физики: будем наблюдать в движущейся лаборатории распространение тепла или света, ставить опыты с электромагнитными колебаниями, изучать ядерные процессы. . . Раз уж механика нам не помощник, то, быть может, где-нибудь в молекулярной физике, электродинамике, оптике, атомной или ядерной физике найдутся явления, на протекании которых скажется равномерно-прямолинейное движение лаборатории? Тогда, сопоставив ход таких явлений в неподвижной и в движущейся системах отсчёта, мы зафиксируем факт движения и сможем измерить его скорость.

С развитием электродинамики поначалу казалось, что так оно и есть. Дело в том, что, в отличие от законов механики Ньютона, уравнения Максвелла оказались не инвариантными относительно преобразований Галилея.

Гипотеза о мировом эфире.

Из уравнений Максвелла следует, например, что свет в вакууме распространяется со скоростью c= 300000 км/с в любом направлении, причём эта скорость не зависит от того, покоится ли источник света или движется. Физиков данный факт ничуть не удивлял: свет рассматривался как колебания особой всепроникающей среды — неподвижного мирового эфира. Считалось, что электромагнитные волны распространяются в эфире аналогично звуковым волнам в воздухе, а со звуком ведь дело обстоит точно так же: сигнал от бибикнувшего автомобиля бежит в воздухе во все стороны со скоростью примерно 330 м/с вне зависимости от скорости, с которой движется автомобиль.

А теперь представьте себе, что вы находитесь в звездолёте, который мчится в космическом вакууме со скоростью v= 50000км/с относительно удалённых звёзд. Вы сидите лицом по ходу движения звездолёта и смотрите на лампочку, которая находится в его носовой части.

Свет от лампочки, не обращая внимания на её движение, перемещается относительно звёзд со скоростью c. Вы движетесь навстречу свету со скоростью v; стало быть, относительно вас свет имеет скорость
c+v= 350000 км/с. Вы измеряете эту скорость, сопоставляете её с известным значением c и приходите к выводу, что двигаетесь со скоростью 50000 км/с! Таким образом, электромагнитные явления вроде бы позволяют отличить покой от равномерного прямолинейного движения.

У вас, кстати, может возникнуть вопрос: а чем плох аналогичный эксперимент со звуком? Давайте бибикнем в носовой части длинного движущегося лимузина, измерим скорость звука относительно нас и опровергнем принцип относительности Галилея! Ничего не выйдет: если лимузин замкнутый (как и должно быть), то он увлекает свой воздух вместе с собой, и вы ничего не заметите. А вот в звездолёте вам никуда не деться от всепроникающего «эфирного ветра», который несётся вам в лицо и увеличивает тем самым скорость света в описанном выше эксперименте с лампочкой. (Пытаясь спасти принцип относительности Галилея применительно к электродинамике, Герц предположил, что эфир также увлекается движущимися телами. Из этой гипотезы следовало, однако, что струя воды, увлекая эфир, должна увлекать и луч света — а в экспериментах такого не наблюдалось.)

Соответственно, многие учёные (в том числе выдающийся голландский физик Х. Лоренц) считали, что инерциальные системы отсчёта, будучи равноправными с точки зрения механики, в электродинамике перестают быть таковыми. Имеется выделенная, привилегированная система отсчёта, связанная с неподвижным мировым эфиром. Остальные системы отсчёта движутся относительно неё, и возникающий «эфирный ветер» меняет в них величину скорости света.

С целью обнаружения эфирного ветра в 1881 году был поставлен один из самых знаменитых физических экспериментов — опыт Майкельсона. С помощью чувствительного интерферометра производились попытки измерить скорость Земли относительно эфира. А именно, исследовалась интерференционная картина, даваемая двумя когерентными пучками света, имеющими перпендикулярные направления. Интерферометр движется относительно эфира вместе с Землёй; при вращении интерферометра меняется направление эфирного ветра относительно интерферометра, что должно сказываться на скоростях пучков и давать сдвиги интерференционной картины.

Однако никаких сдвигов обнаружено не было! Наблюдения проводились в разное время года (когда скорость Земли ощутимо меняла направление) и неизменно давали отрицательный результат. Интерферометр был настолько точный, что списать отсутствие эфирного ветра на недостаточную чувствительность прибора было нельзя.

Почему же движение Земли относительно эфира не удаётся зафиксировать? Не сомневаясь в существовании эфира, Лоренц заметил, что результаты опыта Майкельсона полностью объясняются, если сделать невероятное предположение: размеры движущегося предмета сокращаются в направлении движения! Так, если стержень длины начинает двигаться вдоль своей оси со скоростью , то его длина становится равной:

(1)

Эта гипотеза, названная лоренцевым сокращением, не вытекала на тот момент из каких-либо физических принципов и стояла особняком, будучи призвана лишь справиться с отрицательным результатом опыта. Но тем не менее формула (1) действительно оказалась верна! Её объяснение пришло позже, уже в рамках теории относительности Эйнштейна.

Постулаты Эйнштейна.

Альберт Эйнштейн — величайшая фигура в истории физики. Для разрешения трудностей, описанных выше, он отказался от некоторых сложившихся в физике устоев и предпринял весьма радикальные шаги. Сформулируем ещё раз те проблемы, с которыми столкнулась физика, и их решения, предложенные Эйнштейном.

1. Не удаётся обнаружить привилегированную систему отсчёта, связанную с неподвижным мировым эфиром.

Так её и нет вовсе. Никакого эфира не существует. Все инерциальные системы отсчёта полностью равноправны между собой, и никакими физическими опытами нельзя выделить одну из них среди остальных.

Таким образом, Эйнштейн обобщил принцип относительности Галилея с механических на вообще все физические явления.

Принцип относительности Эйнштейна. Всякое физическое явление при одних и тех же начальных условиях протекает одинаково в любой инерциальной системе отсчёта.

Следовательно, если ваша лаборатория находится внутри корабля, то не только механический, но и вообще никакой эксперимент не даст вам ответа на вопрос, покоится ли корабль или движется равномерно и прямолинейно. Вы можете ставить опыты с газами, изучать тепловые явления, наблюдать за распространением электромагнитных волн, следить за атомными и ядерными процессами, анализировать взаимодействия элементарных частиц — и нигде вам не удастся обнаружить каких-либо отклонений в протекании этих явлений, вызванных фактом равномерно-прямолинейного движения корабля.

В предыдущем разделе мы убедились в том, что законы механики имеют одинаковую математическую форму во всех инерциальных системах отсчёта: уравнения, выражающие эти законы, инвариантны относительно преобразований Галилея. Таков смысл принципа относительности Галилея. Обобщающий его принцип относительности Эйнштейна утверждает, что любой физический закон имеет одинаковую математическую форму во всех инерциальных системах отсчёта. Все уравнения, выражающие законы физики, должны быть инвариантны относительно перехода из одной инерциальной системы отсчёта в другую.

В частности, основные уравнения электродинамики — уравнения Максвелла — должны сохранять свою форму при таком переходе. Как же тогда быть со следующей трудностью?

2. Электродинамика противоречит механике в том, что уравнения Максвелла не инвариант-ны относительно преобразований Галилея.

Что ж, это проблема механики, а не электродинамики. Уравнения Максвелла блестяще работают в области электромагнитных явлений. Если преобразования Галилея не вяжутся с уравнениями Максвелла, то неверны преобразования Галилея, а не уравнения Максвелла.

Но легко сказать — преобразования Галилея неверны! Во-первых, они, казалось бы, совершенно очевидны — вам наверняка не составило труда в них разобраться. Чему там, собственно говоря, быть неверным?

А во-вторых — следствием преобразований Галилея, как мы видели, является закон сложения скоростей. Вы неоднократно пользовались им при решении задач. Что же получается — и закон сложения скоростей объявляется неверным?

Да, именно так — гласил ответ Эйнштейна. Классическая механика Ньютона нуждается в глубоком, коренном пересмотре своих основных принципов. И слабый пункт классической механики состоит в том, что механические законы предполагают мгновенность распространения взаимодействий между телами.

Рассмотрим, например, гравитационное притяжение двух тел. Если одно из тел сместить в сторону, то, согласно закону всемирного тяготения, второе тело «почувствует» этот факт мгновенно, как только изменится расстояние от него до первого тела. Получается, что взаимодействие передаётся от одного тела к другому с бесконечной скоростью.

Эксперименты, однако, показывают, что механизм передачи взаимодействий состоит в следующем: изменение состояния тела меняет поле около него; возникшее возмущение поля начинает бежать во все стороны с некоторой конечной скоростью и лишь спустя определённый промежуток времени достигает другого тела. Мгновенно передающихся взаимодействий ни в каких опытах не наблюдается.

Но если взаимодействия не могут передаваться в бесконечной скоростью, то в природе существует предельная, максимальная скорость распространения взаимодействий. Изменённые законы механики должны учитывать наличие этой предельной скорости и, соответственно, конечность времени передачи взаимодействий между телами.

Второй постулат Эйнштейна отводит исключительную роль скорости света.

Принцип инвариантности скорости света. В каждой инерциальной системе отсчёта свет движется в вакууме с одной и той же скоростью; величина этой скорости не зависит от того, покоится или движется источник света.

Таким образом, вышеописанный опыт с лампочкой в носовой части звездолёта нам провести не удастся: скорость света относительно наблюдателя в звездолёте будет равна c, а не c+v, и наблюдатель не может заметить факт движения звездолёта. Классический закон сложения скоростей применительно к скорости света не работает.

Мы увидим далее, что максимальная скорость распространения взаимодействий, присущая нашему миру, оказывается равной как раз скорости света в вакууме. Никакой сигнал, никакое тело, никакой вообще материальный объект в природе не может двигаться со скоростью, превышающей c. Величина c является фундаментальной константой, отражающей свойства мира, в котором мы живём.

Оба постулата Эйнштейна — принцип относительности и принцип инвариантности скорости света — легли в основу специальной теории относительности (СТО). Эта теория затрагивает глубокие свойства пространства-времени, радикально меняя наши представления об окружающем мире. Механика, построенная Эйнштейном на постулатах СТО, получила название релятивистской (от англ. relativity — относительность).

Новые и удивительные свойства пространства-времени и новые законы, устанавливаемые в СТО, проявляются при больших скоростях движения — и тем ярче, чем ближе мы подходим к скорости света. В повседневной жизни мы не замечаем этих релятивистских эффектов — по той простой причине, что привычные нам скорости чрезвычайно малы по сравнению со скоростью света. Во многих практических задачах можно считать скорость света бесконечной — и тогда прекрасно работает классическая механика.

Итак, классическая механика оказывается приближённой теорией и годится для небольших скоростей. Релятивистская механика используется тогда, когда скорости тел достаточно близки к скорости света — в таких ситуациях классическая механика отказывает совершенно. Классическая механика является предельным случаем релятивистской механики: формулы классической механики получаются из релятивистских формул предельным переходом .

Рис. 1. Кажущийся парадокс со световой вспышкой

Какие же новые свойства пространства-времени и новые физические законы открыла теория относительности? Мы будем рассказывать о них в двух следующих разделах. Здесь мы покажем лишь, что из постулатов СТО следуют весьма неожиданные и, казалось бы, парадоксальные выводы.

Рассмотрим системы отсчёта и — те же, что и в предыдущей теме (рис. 1). В момент времени , когда их начала и находятся в одной точке, в этой точке происходит световая вспышка.

Где окажется волновой фронт вспышки к моменту времени ?

В системе свет распространяется во все стороны со скоростью . Поэтому в системе вспышка достигнет сферы радиуса с центром в точке .

В системе скорость света также равна . Значит, в системе вспышка достигнет сферы того же радиуса , но с центром в точке .

Однако точки и к моменту разойдутся на расстояние . Получается, что волновой фронт в один и тот же момент времени находится на двух разных сферах и . Противоречие?

Противоречия на самом деле нет. Причина кажущегося парадокса кроется в понятии одновременности. На место нашего интуитивного понимания одновременности приходит чёткое определение этого термина, даваемое в СТО.

И неслучайно в кодификаторе ЕГЭ, основном документе, описывающем требования к теоретическим знаниям экзаменуемого, теории относительности отведено три строчки. Сейчас мы традиционно рассмотрим основные положения темы, а потом и алгоритмы решения задач.

Основная заслуга в создании теории относительности принадлежит учёному, чьё имя известно на всех континентах мира – Альберту Эйнштейну. И поэтому два основных постулата, правила теории, носят его имя. Примечательно, что проверка постулатов и окончательное их оформление случилось уже после смерти Эйнштейна, то есть пришлось на середину и конец двадцатого века.

Итак, первый постулат: все процессы в природе протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Важно помнить, что инерциальными системами считаются только неподвижные, а неинерциальные, как правило, движутся с ускорением.

Согласно второму постулату, скорость света в вакууме одинакова для всех инерциальных систем отсчета. При этом она не будет зависеть ни от скорости источника светового сигнала, ни от скорости его приемника. Как фонарь не кидай, луч света от него никаким образом не обгонит сам себя: его скорость не суммируется со скоростью фонарика.

Эти два постулата, по сути, формируют новое представление о пространстве-времени: в специальной теории относительности размеры тела и промежутки между событиями (секунды, минуты, часы) меняются в зависимости от выбора системы отсчёта. Запомните это простое следствие – в решении задач по разделу важно понять, инерциальная система перед вами или неинерциальная. В каждой из них тело или частица могут вести себя не совсем одинаково. И раз уж параметры объекта в рамках СТО зависят от скорости движения, то необходимо запомнить две формулы, которые описывают изменение длины и времени перемещающегося объекта (формулы относительности длинны ℓ=ℓ₀∙√(1-v²/c² ) и относительности времени t=t1/√(1-v²/c²). Отмечу, что эти изменения обнаруживаются только на скоростях, сравнимых со скоростями света (то есть до трёхсот тысяч километров в секунду).

В рамках своей теории, Эйнштейн так же рассматривал, какую энергию имеет частица с определённой массой, движущаяся с околосветовой скоростью, как меняется её импульс. Эти два процесса имеют вполне понятное описание на языке формул: Е = mc² /√(1-v²/c² ) и p=mv/√(1-v²/c²).

Это весь необходимый теоретический минимум, который вам понадобится при решении задач. Как правило, решение укладывается в четыре простых пункта, задачи по специальной теории относительности в демонстрационных вариантах не такие уж сложные, какими могли бы быть.

Итак, пункт первый. Внимательно прочитайте условие и определите, какая именно система отсчёта перед вами – инерциальная или неинерциальная.

Пункт второй. Выпишите параметры тела или тел, которые находятся в этой системе отсчёта. Особое внимание обратите на скорость и её перевод в систему СИ.

Пункт третий. Немного аналитики вам не помешает. Какие параметры тела изменятся и как в выбранной системе отсчёта? Какие формулы из вашего багажа теоретических знаний надо применить? Запишите нужные.

Пункт четвёртый. Выразите нужные величины из формулы, не забывая, что часть из этих величин находится под корнем! Проверьте ответ – если скорость объекта превысила скорость света, то вы явно сделали что-то не так.

Основы специальной теории относительности

Специальная теория относительности (СТО) – физическая теория, рассматривающая пространственно-временные свойства физических процессов. Закономерности СТО проявляются при больших (сравнимых со скоростью света) скоростях. Законы классической механики в этом случае не работают. Причина этого заключается в том, что передача взаимодействий происходит не мгновенно, а с конечной скоростью (скоростью света).

Классическая механика является частным случаем СТО при небольших скоростях. Явления, описываемые СТО и противоречащие законам классической физики, называют релятивистскими. Согласно СТО одновременность событий, расстояния и промежутки времени являются относительными.

В любых инерциальных системах отсчета при одинаковых условиях все механические явления протекают одинаково (принцип относительности Галилея). В классической механике измерение времени и расстояний в двух системах отсчета и сравнение этих величин считаются очевидными. В СТО это не так.

События являются одновременными, если они происходят при одинаковых показаниях синхронизированных часов. Два события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, не являются одновременными в другой инерциальной системе отсчета.

Инвариантность скорости света. Принцип относительности Эйнштейна

В 1905 г. Эйнштейн создал специальную теорию относительности (СТО). В основе его теории относительности лежат два постулата:

• Любые физические явления во всех инерциальных системах отсчета при одинаковых условиях протекают одинаково (принцип относительности Эйнштейна).
• Скорость света в вакууме во всех инерциальных системах отсчета одинакова и не зависит от скорости источника и приемника света (принцип постоянства скорости света).

Первый постулат распространяет принцип относительности на все явления, включая электромагнитные. Проблема применимости принципа относительности возникла с открытием электромагнитных волн и электромагнитной природы света. Постоянство скорости света приводит к несоответствию с законом сложения скоростей классической механики. По мысли Эйнштейна, изменения характера взаимодействия при смене системы отсчета не должно происходить. Первый постулат Эйнштейна непосредственно вытекает из опыта Майкельсона–Морли, доказавшего отсутствие в природе абсолютной системы отсчета. В этом опыте измерялась скорость света в зависимости от скорости движения приемника света. Из результатов этого опыта следует и второй постулат Эйнштейна о постоянстве скорости света в вакууме, который вступает в противоречие с первым постулатом, если распространить на электромагнитные явления не только сам принцип относительности Галилея, но и правило сложения скоростей. Следовательно, преобразования Галилея для координат и времени, а также его правило сложения скоростей к электромагнитным явлениям неприменимы.

Следствия из постулатов СТО

Если проводить сравнение расстояний и показаний часов в разных системах отсчета с помощью световых сигналов, то можно показать, что расстояние между двумя точками и длительность интервала времени между двумя событиями зависят от выбора системы отсчета.

Относительность расстояний:

где ​( I_0 )​ – длина тела в системе отсчета, относительно которой тело покоится, ​( l )​ – длина тела в системе отсчета, относительно которой тело движется, ​( v )​ – скорость тела.

Это означает, что линейный размер движущегося относительно инерциальной системы отсчета уменьшается в направлении движения.

Относительность промежутков времени:

где ​( tau_0 )​ – промежуток времени между двумя событиями, происходящими в одной точке инерциальной системы отсчета, ​( tau )​ – промежуток времени между этими же событиями в движущейся со скоростью ​( v )​ системе отсчета.

Это означает, что часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее неподвижных часов и показывают меньший промежуток времени между событиями (замедление времени).

Закон сложения скоростей в СТО записывается так:

где ​( v )​ – скорость тела относительно неподвижной системы отсчета, ​( v’ )​ – скорость тела относительно подвижной системы отсчета, ​( u )​ – скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной, ​( c )​ – скорость света.

При скоростях движения, много меньших скорости света, релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический, а длина тела и интервал времени становятся одинаковыми в неподвижной и движущейся системах отсчета (принцип соответствия).

Для описания процессов в микромире классический закон сложения неприменим, а релятивистский закон сложения скоростей работает.

Полная энергия

Полная энергия ​( E )​ тела в состоянии движения называется релятивистской энергией тела:

Полная энергия, масса и импульс тела связаны друг с другом – они не могут меняться независимо.

Закон пропорциональности массы и энергии – один из самых важных выводов СТО. Масса и энергия являются различными свойствами материи. Масса тела характеризует его инертность, а также способность тела вступать в гравитационное взаимодействие с другими телами.

Важно!
Важнейшим свойством энергии является ее способность превращаться из одной формы в другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах – в этом заключается содержание закона сохранения энергии. Пропорциональность массы и энергии является выражением внутренней сущности материи.

Энергия покоя

Наименьшей энергией ​( E_0 )​ тело обладает в системе отсчета, относительно которой оно покоится. Эта энергия называется энергией покоя:

Энергия покоя является внутренней энергией тела.

В СТО масса системы взаимодействующих тел не равна сумме масс тел, входящих в систему. Разность суммы масс свободных тел и массы системы взаимодействующих тел называется дефектом масс – ​( Delta m )​. Дефект масс положителен, если тела притягиваются друг к другу. Изменение собственной энергии системы, т. е. при любых взаимодействиях этих тел внутри нее, равно произведению дефекта масс на квадрат скорости света в вакууме:

Экспериментальное подтверждение связи массы с энергией было получено при сравнении энергии, высвобождающейся при радиоактивном распаде, с разностью масс исходного ядра и конечных продуктов.

Это утверждение имеет разнообразные практические применения, включая использование ядерной энергии. Если масса частицы или системы частиц уменьшилась на ( Delta m ), то при этом должна выделиться энергия ​( Delta E=Delta mcdot c^2 )​.

Кинетическая энергия тела (частицы) равна:

Важно!
В классической механике энергия покоя равна нулю.

Релятивистский импульс

Релятивистским импульсом тела называется физическая величина, равная:

где ​( E )​ – релятивистская энергия тела.

Для тела массой ​( m )​ можно использовать формулу:

В экспериментах по исследованию взаимодействий элементарных частиц, движущихся со скоростями, близкими к скорости света, подтвердилось предсказание теории относительности о сохранении релятивистского импульса при любых взаимодействиях.

Важно!
Закон сохранения релятивистского импульса является фундаментальным законом природы.

Классический закон сохранения импульса является частным случаем универсального закона сохранения релятивистского импульса.

Полная энергия ​( E )​ релятивистской частицы, энергия покоя ​( E_0 )​ и импульс ​( p )​ связаны соотношением:

Из него следует, что для частиц с массой покоя, равной нулю, ​( E_0 )​ = 0 и ​( E=pc )​.

Основные формулы раздела «Основы специальной теории относительности»

Оглавление

Введение1  

       1   ЕГЭ по физике

 2   Исследование ошибок, допущенных на ЕГЭ в разделе «Элементы СТО»

        Объект исследования: ошибка  при вычислении энергии частицы, движущейся со скоростью близкой к скорости света

     Содержание

      Глава 1  

Основные и вспомогательные знания, формирующие понимание СТО 5

Глава 2

Возможные причины  возникновения ошибки7

       Глава 3

         Методические рекомендации при решении задач на вычисление энергии релятивистской частицы из раздела «Элементы теории относительности».            ………… …………………………………………..….…………………………….11

Литература………………………………………..…..……………………………20

Приложения……………………………………………………………………………………………….21     

 Единый государственный экзамен заставляет учителей, давно работающих в школе, пересматривать методику подготовки выпускников к выпускному экзамену по физике, а начинающих учителей — искать дополнительную методическую литературу, которая помогла бы им правильно выстраивать уроки, чтобы самым рациональным путем  приводить учащихся к успешной сдаче экзамена.

 К сожалению, результаты ЕГЭ этого года и прошлых лет показывают, что и фундаментальные принципы, и законы, и эмпирические закономерности, и частные следствия в среднем усваиваются одинаково. Это означает, что принцип выделения главного при организации учебного процесса не реализуется, небольшое число фундаментальных законов, принципов и идей растворяется в частностях, нет четкого определения статуса изучаемого, основные принципы и закономерности изучаются на тематическом уровне и не обобщаются как общефизические.

За несколько лет проведения ЕГЭ накопились данные, с помощью которых имеется возможность проанализировать результаты решения задач  по разным темам. Анализ типичных ошибок  позволяет   методически грамотно выстроить объяснение тем по каждому из разделов физики и исключить вероятность плохого результата на экзамене у хорошего ученика, так как учитель будет знать заранее,  где и какие акценты необходимо расставить и как методически правильно организовать урок.

Наибольшую тревогу вызывает усвоение основных понятий темы «Элементы СТО»: принцип равноправности ИСО и принцип постоянства скорости света. Результаты выполнения заданий по элементам СТО являются ярким примером ситуации с усвоением наиболее общих принципов физической науки.

Специальная теория относительности (СТО; также частная теория относительности) — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света изучается в школьном курсе физики в 11 классе.

 В силу сложности этой теории, знакомство с ней, при малом количестве часов, становится методически сложным процессом. В специальной теории относительности в пределе малых скоростей  получаются те же следствия, что и в классической механике, с которой учащихся начинают знакомить уже с 7 класса.

 Поэтому, если мы хотим разобраться и выяснить  причины ТИПИЧНЫХ ОШИБОК  при решении учащимися задач по специальной теории относительности на ЕГЭ, то давайте проследим каким образом и какие знания должны были быть изучены и усвоены ими до момента знакомства со специальной теорией относительности.

Цель работы:  провести экскурс в основной материал, расставить  АКЦЕНТЫ,               — на которые нужно обратить внимание учеников, исследовать  типичные ошибки, которые встречаются  при вычислении энергии частицы(тела) раздела «Элементы СТО» и показать методически,  как выстроить объяснение тем, ведущих к максимальному усвоению этого материала.

 Глава 1.  Основные и вспомогательные знания, формирующие понимание СТО

Расчет энергии тела или частицы тела можно встретить в следующих разделах:

• Классическая механика (полная механическая энергия, энергия движущегося тела)
• Молекулярная физика (кинетическая энергия молекулы)
• Термодинамика (внутренняя энергии тела)
• Электродинамика (энергия  движущейся заряженной  частицы)
• Элементы теории относительности (движение (тела) частицы со скоростью близкой к скорости света)

Можно утверждать, что энергию мы вычисляем при изучении любого раздела физики.

Причины возникновения ошибки удобнее рассмотреть, используя хронологию изучения материала с 7 класса. Рассмотрим с помощью таблицы, какие основные и вспомогательные знания формируют наше понимание СТО и энергии в ней.

Глава 2.    Причины возникновения ошибки

В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей.

Идеи и положения СТО, кардинально изменившие представления о пространстве, времени и движении, могут быть поняты только в сравнении с соответствующими классическими воззрениями.

Основные понятия классической механики

• Пространство
• Время
• Материальная точка
• Система отсчета

Согласно классическому определению: движение материальной точки представляет собой процесс непрерывного изменения ее пространственных координат с течением времени относительно фиксированной системы отсчета. Среди множества систем отсчета в классической механике выделяется инерциальная система отсчета.

В инерциальной системе отсчета свободная материальная точка либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно (υ = соnst =0 или υ = соnst ≠ 0). Данное утверждение является и определением ИСО и законом (законом инерции).

В классической механике принимается в качестве фундаментального постулата принцип относительности, гласящий, что все ИСО механики равноценны (эквивалентны). Иначе говоря, любые механические явления протекают одинаково при одинаковых начальных условиях.

первый момент, который готовит учащихся к пониманию СТО — это знание того, что такое инерциальные системы отсчета (ИСО )и понимание  принципа относительности

Из этого принципа, впервые сформулированного вначале 17 в. Г.Галилеем, следуют два важных положения:

1.Любую ИСО можно принять  за неподвижную.

2. Каждая ИСО движется относительно другой ИСО, принятой за неподвижную, со скоростью υ = соnst, т. е. равномерно и прямолинейно.

В ньютоновской  механике введен постулат абсолютности времени: для всех ИСО существует единое, абсолютное время, совпадающее со временем каждой из них:

t =const или ∆t = τ = inv,

где символ «inv» (инвариант, инвариантный- французское слово — неизменяющийся) используется в том смысле, что величина, к которой он относится, абсолютна – одинакова для всех ИСО, не изменяется при переходе от одной из них к другой. Так, если установлено, что τ = 0, т.е. в какой-либо ИСО два события одновременны, то они будут одновременны и относительно любой другой ИСО.

 учащиеся привыкают понимать, что   различные физические величины нужно воспринимать как относительные или как абсолютные

1.2 Законы электродинамики и принцип относительности

После того как во второй половине 19 в. Максвеллом были сформулированы основные законы электродинамики,

С этими законами учащиеся начинают знакомиться с 8 класса, постепенно пополняя свои представления об электромагнитных явлениях, и следует обратить их внимание, что взгляды ученых меняются, а полученные факты и результаты экспериментов заставляют их пересматривать  представление о том или ином явлении. В электродинамике скорость распространения электромагнитных волн в вакууме одинакова по всем направлениям с = 3·108 м/с.  Однако,  с другой стороны, в соответствии с законом сложения скоростей, вытекающим из преобразования Галилея, скорость может равняться с только в одной избранной системе отсчета. В любой другой инерциальной системе отсчета, движущей по отношению к этой избранной системе со скоростью υ, скорость света должна равняться с + υ.

Это означает, что если справедлив обычный закон сложения скоростей, то при переходе из одной инерциальной системы отсчета к другой законы электродинамики должны меняться так, что в этой новой системе отсчета скорость света равнялась не с, а с + υ.

Таким образом, обнаружились определенные противоречия между электродинамикой и механикой Ньютона. Возникшие противоречия пытались решить различными способами.

На этом этапе  учащимся необходимо закрепить понятие, с которым они уже встречались в 9 классе (при изучении Закона всемирного тяготения): границы применимости той или иной теории 

Описываемые специальной теорией относительности отклонения в протекании физических процессов от предсказаний классической механики называют релятивистскими эффектами, а скорости, при которых такие эффекты становятся существенными, — релятивистскими скоростями. В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета, т.е. такие, в которых выполняется закон инерции,  и скорость света в вакууме является универсальной постоянной.

При́нцип соотве́тствия — в методологии науки утверждение, что любая новая научная теория при наличии старой, хорошо проверенной теории находится с ней не в полном противоречии, а даёт те же следствия в некотором предельном приближении (частном случае). 

Принцип соответствия в теории относительности

В специальной теории относительности в пределе малых скоростей  получаются те же следствия, что и в классической механике. Так,преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, время течёт одинаково во всех системах отсчёта, кинетическая энергия становится равной  и т.д.

Глава 3. Методические рекомендации при решении задач на вычисление энергии релятивистской частицы  раздела СТО

Понятно, чтобы приступить к решению задачи (в которой встречается наша ошибка), например на расчет полной и кинетической энергии протона, движущегося со скоростью 0,75с, необходимо ПРОЛОЖИТЬ дорогу к решению через дополнительные задачи, минимизирующие возможность этой ошибки.

1.  «Относительность скорости»

Задача

  По шоссе равномерно движутся в противоположных направлениях два автомобиля с одинаковыми  скоростями 120 км/ч. Определите их относительную скорость?

Решение:

Свяжем с первой частицей неподвижную систему отсчета K, относительно которой она движется со скоростью u. Со второй частицей свяжем систему K ‘, движущуюся вдоль оси x со скоростью v относительно неподвижной системы K в направлении, противоположном оси x, то есть противоположном скорости u.

Используем классический закон сложения скоростей!!!!

ЗАДАЧА №1

 Две частицы движутся в вакууме вдоль прямой навстречу друг другу со скоростями 0,5 с и 0,75 с. Определите их относительную скорость.

Дано:

u = 0,5 с,
v = 0,75 с.
________

u ‘ – ?

Решение

Свяжем с первой частицей неподвижную систему отсчета K, относительно которой она движется со скоростью u. Со второй частицей свяжем систему K ‘, движущуюся вдоль оси x со скоростью v относительно неподвижной системы K в направлении, противоположном оси x, то есть противоположном скорости u.

 Используя релятивистский закон сложения скоростей, и учитывая, что проекция скорости v на ось x отрицательна, !!!

запишем выражение для скорости в неподвижной системе отсчета: 

Отсюда находим относительную скорость частиц u ‘: 

Подставляя численные значения, имеем:

Обратить внимание!!!!

Задачи, в которых два тела двигаются в одном направлении или же в противоположных со скоростями  близкими к скорости света  встречаются сразу две типичные ошибки:

1. Используют классический закон сложения скоростей
2. Даже если написали релятивистский закон сложения скоростей, забывают  учитывать знак.

Уровень С

Две галактики разбегаются от центра Вселенной в противоположных направлениях с одинаковой скоростью 0,70 с относительно центра. С какой скоростью они удаляются друг от друга?

Р е ш е н и е. Для определения относительной скорости галактик υ

12х воспользуемся релятивистским законом преобразования скоростей: 

υ

 х = ( υ12х` + υ0)/ (1 + υ1х υ0`/ с2). (1)

Учтем, что галактики движутся в разные стороны относительно центра Вселенной, υ

1 = υ = 0,70 с и υ2 = — υ = — 070 с. Тогда уравнение (1) примет вид υ = ( υ12` — υ)/ (1 — υ1`υ/ с2). Из данного уравнения находим

υ

12` = 2 υ/ (1 – υ2/с2).

Подставим в формулу числовые значения: υ

12` = 2 ∙ 0,70с/ (1 – 0,70с ∙ 0,70с /с2) ≈ 0,94с. Две галактики удаляются друг от друга со скоростью 0,94 с.

1. Относительность времени или массы, или линейных размеров

Перед следующей задачей  рассмотрите задачу, по нахождению времени движения поезда длиной 150м через тоннель длиной 200м со скоростью 30м/с.

Задача №3
Частица, называемая мезоном, движущаяся со скоростью 0,99с, пролетела в системе отсчета К от места своего рождения до точки распада расстояние 4,7 км. Найдите собственное время жизни мезона.

Р е ш е н и е. В системе К время движения мезона t от точки своего рождения до распада определяется по формуле t = L/υ, (1)

где L — расстояние, пройденное мезоном, υ – скорость движения. Собственное время 

 движения частицы в системе координат, связанной с самой частицей, определяется по формуле: = t. (2)

Из уравнений (1) и (2) находим:

 = (L/υ) .

Подставляя числовые значения, получим 

 = 2,2 ∙ 10-6 с. Собственное время жизни мезона составляет 2,2 ∙ 10-6 с.

Задача №4

Уровень  С

Система К` движется относительно К со скоростью 1,50 ∙ 108 м/с. В начале отсчета времени t = 0, t` = 0 начала О и О` систем совпадали. Координаты центра шара, покоящегося в системе К`, x`= 40м, y`= 20 м, z` = 0. Какими будут координаты центра шара в системе К через 2,00 мкс? 

Р е ш е н и е. В задаче требуется найти координаты центра шара в системе отсчёта К: x, y, z. Согласно преобразованиям Лоренца имеем

x = (x` + υt`)/ 

, (1)

y = y`, (2)

z = z`. (3)

Чтобы определить координату х в системе отсчета К, надо найти собственное время 

 между событиями по часам наблюдателя, находящегося в системе К`  = t, где t – промежуток времени между теми же событиями в системе. Подставим в формулу необходимые данные: = 2 ∙ 10-6= 1,73 ∙ 10-6 с.

Тогда координата х найдем, используя формулу (1):

х = (40 м + 1,50 ∙ 10

8 м/с ∙ 1,73 ∙ 10-6 с )/ 0,87 ≈344 м.Учитывая преобразования Лоренца, имеем y = 20 м , z = 0. Координаты центра шара в системе К такие: х = 344м, y = 20 м , z = 0. 

Обратить внимание!!!

При решении задач на движение со  СКОРОСТЯМИ  БЛИЗКИМИ К СКОРОСТИ СВЕТА  необходимо помнить о релятивистских эффектах

• сокращения линейных размеров,
• замедление времени,
• увеличения массы тела

в движущихся системах отсчета

1.3 Относительность энергии

Задача

А) По шоссе равномерно движутся в противоположных направлениях два автомобиля с одинаковыми  скоростями, относительно системы отсчета, связанной с Землёй. Найти значение кинетической энергии первого тела относительно Земли и второго тела.

Б) Тело начало  движение вертикально вверх со скоростью 15м/с. Определите его полную энергию и кинетическую энергию  через 1 секунду.

Задача №4

Протон движется со скоростью 0,75 с. Определите его энергию покоя, полную энергию и кинетическую энергию.

Дано:

v = 0,75 с,
m = 1,67 • 10–27 кг,
c = 3 • 108 м/с.
E0 – ? E – ? Eк – ?
________

Решение

Энергия покоя протона определяется по формуле Эйнштейна: E0 = mc2.

Полная энергия протона:

В релятивистской механике кинетическая энергия Eк частицы определяется как разность между полной энергией E и энергией покоя E0 этой частицы: Eк = E – E0. Подставляя числовые значения величин, получаем:

E0 = 1,67 • 10–27 кг • (3 • 108)2 м2/с2 = 15 • 10–11 Дж.
E = 2,52 • 10–27 кг • (3 • 108)2 м2/с2 = 22,7 • 10–11 Дж.
Eк = 22,7 • 10–11 Дж – 15 • 10–11 Дж = 7,7 • 10–11 Дж.

Обобщение

Не все поступающие в ВУЗ знают, что механическая энергия и работа являются относительными величинами. В лучшем случае указывается относительный  характер потенциальной энергии.

 Относительность кинетической энергии следует из  формулы для нее:

, где скорость величина относительная, значит кинетическая энергия величина относительная  — на это НАДО ОРАТИТЬ ВНИМАНИЕ уже в 7 классе при знакомстве с кинетической энергией, закрепить в 9 классе и повторить перед введением релятивистской энергией.

Понимание границ применимости :

Чтобы определить какие формулы для  энергии можно применять  при решении задач в разделе СТО, целесообразно еще раз оговорить границы применимости классической физики. Обратить внимание, что классическое выражение для энергии можно использовать при энергетических вычислениях только тогда, когда выполняются два условия:

 а)   скорость рассматриваемого тела мала по сравнению со скоростью света;
б)   массы покоя участвующих в исследуемом процессе тел не изменяются.

Если одно из этих условий не выполнено, то при вычислениях необходимо пользоваться релятивистским выражением энергии :

Er = m0c2/√(1 — v2/c2) = mc2  

Релятивистская энергия. 

Из принципа независимости законов физики в инерциальных системах отсчета, следует, что во всех таких системах должен соблюдаться закон сохранения энергии.

Пусть в инерциальной системе отсчета К тело (или частица) движется со скоростью 

= соnst. Тогда релятивистская энергия Ер, согласно теории относительности, определяется следующим выражением:

Е

р = mc2/.

Как следует из формулы, релятивистская энергия больше собственной энергии этого тела, равной Е = mc

2. Разность между релятивистской энергией движущегося тела и его собственной энергии равна кинетической энергии Ек тела: Ер – Е = Ек.^ Релятивистский импульс. Формула определения релятивистского импульс такова:
р = mυ/.

Из формулы видно, что с увеличением скорости υ релятивистский импульс растет быстрее, чем классический р

к = mυ. Отметим, что классический импульс может быть получен из формулы релятивистского импульса при υ << с.
^ Связь между релятивистским импульсом и релятивистской энергией. Иэ формул определения релятивистских импульса и энергии и исключив скорость, после преобразований получим 
Е2 = m2c4 + р2 c2. (1)
Это соотношение справедливо не только для массовых, но и для безмассовых частиц. Покажем это. На основании выше указанных формул определения релятивистской энергии и релятивистского импульса можно записать Е = рс2/ υ. Тогда энергия частицы, движущаяся со скоростью υ = с, будет равна Е = рс.

Из уравнения (1) получим m

2c4 = Е2 — р2 c2. Но Е = рс, следовательно, m2c4 = 0 или m = 0. Таким образом, мы приходим к выводу, что безмассовые частицы (m = 0) могут двигаться только со скоростью света в вакууме.
Выражение (1) для безмассовой частицы можно записать в виде
Е2 — р2 c2 = m2c4 = 0.

Данное выражение справедливо для любой безмассовой частицы во всех инерциальных системах отсчёта.

Литература:

1. Берков, А.В. и др. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010, Физика: учебное пособие для выпускников. ср. учеб. заведений   / А.В. Берков, В.А. Грибов. – ООО «Издательство Астрель», 2009. – 160 с.
2. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ТАБЛИЦЫ ПО ФИЗИКЕ. КЛАСС!ная физика для любознательных. / http://class-fizika.narod.ru/tabl.htm 
3. Касьянов, В.А. Физика, 11 класс : учебник для общеобразовательных школ / В.А. Касьянов. – ООО «Дрофа», 2004. – 116 с.
4. Мякишев Г.Я. и др. Физика. 11 класс  учебник для общеобразовательных школ   / учебник для общеобразовательных школ Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев . –» Просвещение «, 2009. – 166 с.
5. Открытая физика [текст, рисунки]/ http://www.physics.ru
6. Подготовка к ЕГЭ /http://egephizika 
7. Система релятивистских частиц. Дефект массы и энергия связи ядра. Физические основы механики / http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom1/ch8/texthtml/ch8_7_text.htm 
8. Состав ядра. Ядерные силы. Энергия связи ядра . Портал естественных наук / http://e-science.ru/physics/theory/?t=6 
9. Справочник по физике. Оптика . www. Abitura.com/ http://www.abitura.com/handbook/optic9.html 
10. Федеральный институт педагогических измерений. Контрольные измерительные материалы (КИМ) Физика //[Электронный ресурс]// http://fipi.ru/view/sections/92/docs/ 
11. Энергия Связи и Дефект Массы Ядра . Квантовая Физика. / http://sfiz.ru/page.php?id=124 

Приложение

 Разно уровневые тренировочные вопросы и задачи:

Первый уровень

1. Какие системы отсчета называются инерциальными?
2. Сформулируйте и разъясните содержание первого постулата СТО – принципа относительности Эйнштейна.
3. В чем отличие первого постулата теории относительности в релятивистской физике от принципа относительности в классической физике?
4. Сформулируйте второй постулат СТО.
5. Сформулируйте закон сложения скоростей в классической механике.
6. Напишите релятивистский закон сложения скоростей.
7. Покажите, что классический закон сложения скоростей является частным случаем релятивистского закона сложения скоростей.
8. Может ли электрон двигаться со скоростью, превышающей скорость света в данной среде?
9. Какое время, отсчитанное между событиями, называется собственным?
10. В каких условиях наблюдается эффект замедления времени?
11. Что такое собственная длина стержня? Одинакова ли длина стержня в различных инерциальных системах отсчета? Имеет ли смысл понятие длина стержня вне связи с системой отсчета?
12. Какой стала бы длина тела в направлении вдоль скорости движения относительно неподвижного наблюдателя при v = c?
13. Какое выражение имеет закон релятивистской динамики?
14. По какой формуле определяется релятивистский импульс тела?
15. Что такое энергия покоя тела?
16. В чем состоит универсальный характер взаимосвязи импульса, энергии и массы тела?
17. Нагретая добела железная деталь охлаждена до комнатной температуры. Произошло ли изменение массы детали?

Второй уровень

18. Две космические ракеты движутся по одной прямой в одном направлении со скоростями 0,6 с и 0,8 с относительно неподвижного наблюдателя. Определите скорость удаления второй ракеты от первой по классической и релятивистской формулам сложения скоростей.
19. Две ракеты, снабженные ионными двигателями, приближаются одна к другой с противоположно направленными скоростями, равными 0,80 с и 0,70 с, относительно наблюдателя, покоящегося в некоторой точке на линии их сближения. Определите относительную скорость ракет по законам классической и релятивистской механики.
20. Определите количество лет, прошедших на Земле, если в космическом корабле при скорости его движения относительно Земли, равной 0,80 с, прошло 12 лет.
21. Определите промежуток времени, прошедший за 35 земных лет на звездолете, движущемся относительно Земли со скоростью 0,40 с.
22. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью 0,60 с. Определите, во сколько раз замедляется ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя.
23. Определите скорость движения космического корабля относительно Земли, при которой часы на нем идут в четыре раза медленнее, чем на Земле.
24. Собственная длина стержня равна 2,0 м. Определите его длину для наблюдателя, относительно которого стержень перемещается со скоростью 0,98 с, направленной вдоль стержня.
25. Жесткий стержень длиной 1 м измеряется двумя наблюдателями: первый покоится относительно стержня, второй движется вдоль него. Определите скорость движения второго наблюдателя, если измеренная им длина стержня равна 0,50 м.
26. Определите скорость движения космического корабля, если его продольные размеры для земного наблюдателя кажутся в пять раз меньше «истинных».
27. Определите размеры и форму квадратной пластинки с длиной стороны 1 м, которая удаляется от наблюдателя по прямой, параллельной одной из ее сторон, с относительной скоростью 0,80 c. Сравните площади покоящейся и движущейся пластинки.
28. Покажите, что объем куба, движущегося со скоростью v в направлении, параллельном одному из его ребер, равен 
29. Определите импульс электрона, летящего со скоростью 0,98 с.
30. Определите кинетическую энергию электрона при движении его со скоростью 0,75 с по классическим и релятивистским формулам.
31. Определите скорость движения любой частицы вещества, при которой ее кинетическая энергия равна энергии покоя.
32. Определите энергию покоя электрона и нейтрона.
33. Одинакова ли масса сжатой и свободной пружины?
34. Определите изменение массы тела, если полная энергия этого тела возросла на 1 Дж.

35. Определите скорость движения частицы, если ее полная энергия равна E, а энергия покоя E0.
36. Мощность излучения Солнца 3,9 • 1023 кВт. Определите эквивалентное уменьшение массы Солнца за одну секунду при данном излучении.

Третий уровень

37. Мезон, движущийся со скоростью 0,99 с относительно Земли, пролетел от места своего рождения до точки распада расстояние 4,7 км. Определите собственное время жизни мезона и расстояние, которое пролетел бы мезон относительно Земли, если бы релятивистский эффект относительности интервала времени не имел места.
38. Жесткий стержень покоится в подвижной системе отсчета и ориентирован в ней под углом 37° к оси абсцисс. Определите скорость движения этого стержня параллельно оси абсцисс неподвижной системы отсчета, при которой он с   точки зрения неподвижного наблюдателя наклонен к ней под углом 45°.
39. Покажите, что плотность материала куба, движущегося со скоростью v в направлении, параллельном одному из его ребер, равна 
40. Определите скорость движения тела, если его плотность возросла на 10 %.
41. Определите скорость движения стержня, при которой релятивистское сокращение его длины составит 20 %.
42. Определите угол между диагоналями квадрата при его движении со скоростью 0,90 с в направлении, параллельном одной из сторон.
43. Определите скорость и кинетическую энергию, которая должна быть сообщена космическому кораблю массой 104 кг, чтобы его часы по возвращении на Землю показывали вдвое меньшее время, чем часы на Земле.
44. Определите работу, совершаемую однородным электрическим полем при разгоне электрона от скорости 0,980 c до 0,999 c.
45. Протон, имеющий начальную скорость 0,9 c, попадает в однородное электрическое поле и, двигаясь вдоль линии напряженности, полностью теряет свою скорость. Определите разность потенциалов двух точек, между которыми перемещался протон.
46. Определите скорость и импульс частицы массой m, если ее кинетическая энергия равна удвоенной энергии покоя.
47. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы его полная энергия стала в одиннадцать раз больше энергии покоя?
48. Находящаяся в озере вода объемом 2•106 м3, нагрелась на 5 °С. Определите эквивалентное изменение массы.
49. На 1 м2 поверхности, перпендикулярной направлению солнечных лучей около Земли, но вне ее атмосферы, приходит ежесекундно примерно 1,4 кДж энергии излучения Солнца. На какое время хватит массы водорода на Солнце, чтобы поддерживать это излучение? Расстояние от Солнца до Земли около 1,5 • 108 км, масса Солнца 2 • 1030 кг, количество водорода составляет 75 % по массе.

Четвертый уровень

50. Электрон испускается под углом 37° к оси x со скоростью 0,5 с. Определите абсолютное значение и направление скорости этого электрона относительно инерциальной системы, движущейся со скоростью с (рис. 3). 
51. Стержень собственной длиной l0 движется в лаборатории поступательно так, что вектор его скорости v образует угол j со стержнем. Определите длину стержня в лабораторной системе отсчета.
52. В лабораторной системе отсчета (K-система) движется стержень со скоростью 0,98 с. По измерениям, произведенным к K-системе, его длина оказалась равной 1,08 м, а угол, который он составляет с осью x, равным 78,7°. Определите собственную длину стержня в K ‘-системе, связанной со стержнем, и угол, который он составляет с осью x ‘.
53. Частица массой m0, двигаясь со скоростью 0,8 c, испытывает неупругое столкновение с покоящейся частицей той же массы. Определите скорость и энергию покоя составной частицы, которая образовалась в результате соударения.

Ответы

2. Все инерциальные системы отсчета эквивалентны в отношении любых физических процессов. Система отсчета, движущаяся с постоянной скоростью относительно данной ИСО, также есть ИСО, поэтому, кроме исходной, имеется множество других ИСО.
8. Может, но его скорость все равно меньше скорости света в вакууме.
10. Эффект замедления времени наблюдается только в тех системах отсчета, которые движутся друг относительно друга со скоростями, близкими к скорости света в вакууме.
11. Собственной длиной стержня l0 называется длина стержня в системе отсчета, относительно которой он покоится; длина стержня в различных системах отсчета неодинакова. Не имеет.
12. Из формулы следует, что при v ® c, l ® 0, следовательно, при v = с длина тела стала бы равной нулю, что невозможно.
15. Энергия покоя тела – это внутренняя энергия тела.
17. Да, произошло, на величину Dm = Q/c2, где Q – количество теплоты, отданное деталью окружающей среде при ее охлаждении.
18. 0,2с; 0,385с.
19. 1,5с; 0,96с.
20. 20 лет.
21. 32 года.
22. 1,25.
23. 2,9 • 108 м/с.
24. 0,4 м.
25. 0,866с.
26. 2,94 •108 м/с.
27. Прямоугольник со сторонами 1 м и 0,6 м. Площадь уменьшилась на 0,4 м2.
29. 1,34 • 10–21 кг • м/с.
30. 2,3 • 10–14 Дж; 4 • 10–14 Дж.
31. 0,866с =  2,596•108 м/с. 
32. 0,51 МэВ;  939,6 МэВ.
33. Масса сжатой пружины больше, чем свободной, на величину Dm =kx2/2c2 , где k – коэффициент упругости, Dx – удлинение пружины.
34. 11,1 • 10–18 кг.
35. 
36. 4,4 • 106 т.
37. 2,21 мкс; 665 м.
38. 0,66с.
40. 0,42с.
41. 0,6с.
42. 47°.
43. 260 000 км/с; 9 • 1020 Дж.
44. 8,9 • 106 эВ.
45. 1,216 • 109 В.
46. 0,943с; 2,83mc.
47. 9,4 • 109 В.
48. 4,67 • 10–4 кг.
49. 14 400 млрд лет.
50. 0,325с; 67,3°.
51. b =v/c .
52. 1,5 м; 45°.

53. 0,5547с; 2,3m0.

1


Основы специальной теории относительности Курс подготовки к ЕГЭ Учитель физики БОУ «Тарская гимназия 1 им.А.М. Луппова» Гайсина И.В.

2


Специальная (или частная) теория относительности (СТО) представляет собой современную физическую теорию пространства и времени. Наряду с квантовой механикой, СТО служит теоретической базой современной физики и техники. СТО часто называют релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорией, – релятивистскими эффектами. Эти эффекты наиболее отчетливо проявляются при скоростях движения тел, близких к скорости света в вакууме c 3·10 8 м/с. 2

3


Создатели СТО А. Эйнштейном Специальная теория относительности была создана А. Эйнштейном (1905 г.). Х. Лоренц А. Пуанкаре Предшественниками Эйнштейна, очень близко подошедшими к решению проблемы, были нидерландский физик Х. Лоренц и выдающийся французский физик А. Пуанкаре. Значительный вклад внесли Д. Лармор, Д.Фитцджеральд, математик Г. Минковский. 3

4


Альберт Эйнштейн (Einstein) (14.III.1879–18.IV.1955) Физик-теоретик, один из основателей современной физики. Родился в Германии, с 1893 жил в Швейцарии, в 1933 эмигрировал в США. В 1905 вышла в свет его первая серьезная научная работа, посвященная броуновскому движению: «О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, вытекающем из молекулярно-кинетической теории». В том же году вышла и другая работа Эйнштейна «Об одной эвристической точке зрения на возникновение и превращение света». Вслед за Максом Планком он выдвинул предположение, что свет испускается и поглощается дискретно, и сумел объяснить фотоэффект. Эта работа была удостоена Нобелевской премии (1921). Наибольшую известность Эйнштейну все же принесла теория относительности, изложенная им впервые в 1905 году, в статье «К электродинамике движущихся тел». 4

5


Хендрик Антон Лоренц (Lorentz) (18.VII.1853–4.II.1898) Нидерландский физик-теоретик, создатель классической электронной теории. Работы в области электродинамики, термодинамики, оптики, теории излучения, атомной физики. Исходя из электромагнитной теории Максвелла–Герца и вводя в учение об электричестве атомистику, создал (1880–1909) классическую электронную теорию, основанную на анализе движений дискретных электрических зарядов. Вывел формулу, связывающую диэлектрическую проницаемость с плотностью диэлектрика, и зависимость показателя преломления вещества от его плотности (формула Лоренца–Лоренца), дал выражение для силы, действующей на движущийся заряд в магнитном поле (сила Лоренца), объяснил зависимость электропроводности вещества от теплопроводности, развил теорию дисперсии света. Для объяснения опыта Майкельсона–Морли выдвинул (1892) гипотезу о сокращении размеров тел в направлении их движения (сокращение Лоренца). В 1904 вывел формулы, связывающие между собой пространственные координаты и моменты времени одного и того же события в двух различных инерциальных системах отсчета (преобразования Лоренца). Подготовил переход к теории относительности. 5

6


Анри Пуанкаре (Poincare) (29.IV.1854–17.VII.1912) Французский математик и физик. Основные труды по топологии, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений, теории автоморфных функций, неевклидовой геометрии. Занимался математической физикой, в частности теорией потенциала, теорией теплопроводности, а также решением различных задач по механики и астрономии. В 1905 написал сочинения «О динамике электрона», в которой независимо от А. Эйнштейна развил математические следствия «постулата относительности». 6

7


Принцип относительности и преобразования Галилея. Законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Этот принцип означает, что законы динамики инвариантны (т. е. неизменны) относительно преобразований Галилея, которые позволяют вычислить координаты движущегося тела в одной инерциальной системе (K), если заданы координаты этого тела в другой инерциальной системе (K’). В частном случае, когда система K’ движется со скоростью υ вдоль положительного направления оси x системы K преобразования Галилея имеют вид: x = x’ + υ x t, y = y’, z = z’, t = t’. В начальный момент оси координат обеих систем совпадают. 7

8


Принцип относительности и преобразования Галилея. Следствие преобразований Галилея — закон преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой: υ x = υ’ x + υ, υ y = υ’ y, υ z = υ’ z. Ускорения тела во всех инерциальных системах оказываются одинаковыми. Следовательно, уравнение движения классической механики не меняет своего вида при переходе от одной инерциальной системы к другой. 8

9


Постулаты СТО В основе специальной теории относительности лежат два постулата (или принципа), сформулированные Эйнштейном в 1905 г. Эти принципы являются обобщением всей совокупности опытных фактов. 9

10


Принцип относительности Эйнштейна: Все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. Это означает, что во всех инерциальных системах физические законы (не только механические) имеют одинаковую форму. 10

11


Принцип постоянства скорости света: Скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Скорость света в СТО занимает особое положение. Это предельная скорость передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую. 11

12


Принцип соответствия Н.Бора Новая теория (СТО) не отвергла старую классическую механику Ньютона, а только уточнила пределы ее применимости. Такая взаимосвязь между старой и новой, более общей теорией, включающей старую теорию как предельный случай, носит название принципа соответствия. 12

13


Опыты Майкельсона и Морли Майкельсон (Michelson) Альберт (19.XII.1852– 9.V.1931)- американский физик. В 1878–82 и 1924–26 провел измерения скорости света, долгое время остававшиеся непревзойденными по точности. В 1881 экспериментально доказал и совместно с Э. У. Морли (1885–87) подтвердил с большой точностью независимость скорости света от скорости движения Земли. Морли (Morley) Эдвард Уильямс (29.I.1839– 1923)- американский физик. Наибольшую известность получили его работы в области интерферометрии, выполненные совместно с Майкельсоном. В химии же высшим достижением Морли было точное сравнение атомных масс элементов с массой атома водорода, за которое ученый был удостоен наград нескольких научных обществ. 13

14


Принцип опыта Цель опыта – измерить скорость света относительно «эфирного ветра» (параллельно и перпендикулярно движению Земли). Упрощенная схема интерференционного опыта Майкельсона–Морли. (υ – орбитальная скорость Земли). 14

15


Идея опыта Наблюдение смещения интерференционных полос. 15

16


Преобразования Лоренца Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году еще до появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система K’ движется относительно K со скоростью υ вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид: 16

17


Относительность одновременности События, являющиеся одновременными в одной ИСО, неодновременны в другой ИСО, движущейся относительно первой. 17

18


Относительность промежутков времени Моменты наступлений событий в системе K’ фиксируются по одним и тем же часам C, а в системе K – по двум синхронизованным пространственно- разнесенным часам C1 и C2. Система K’ движется со скоростью υ в положительном направлении оси x системы K. 18

19


Пример Если космонавты отправляются к звездной системе (и обратно), находящейся на расстоянии 500 световых лет от Земли, со скоростью v=0,9999c, то на это потребуется по их часам 14,1 года; в то время как на Земле пройдет 10 веков. 19

20


Относительность расстояний Измерение длины движущегося стержня 20

21


Сложение скоростей Эти соотношения выражают релятивистский закон сложения скоростей для случая, когда частица движется параллельно относительной скорости систем отсчета K и K’. u x = u’ x + υ, u y = 0, u z = 0. При υ

22


Сложение скоростей В любом случае выполняется условие u x с. Например, пусть u x = с и υ = c. Тогда: Если в системе K’ вдоль оси x’ распространяется со скоростью u’ x = c световой импульс, то для скорости u x импульса в системе K получим: 22

23


Импульс в СТО Уравнения классической механики Ньютона оказались неинвариантными относительно преобразований Лоренца, и поэтому СТО потребовала пересмотра и уточнения законов механики. В основу такого пересмотра Эйнштейн положил требования выполнимости закона сохранения импульса и закона сохранения энергии в замкнутых системах. Для этого оказалось необходимым изменить определение импульса тела. Релятивистский импульс тела с массой m, движущегося со скоростью записывается в виде 23

24


Масса в СТО Масса m, входящая в выражение для импульса, есть фундаментальная характеристика частицы, не зависящая от выбора инерциальной системы отсчета, а, следовательно, и от скорости ее движения. (Во многих учебниках прошлых лет ее было принято обозначать буквой m 0 и называть массой покоя. Кроме того, вводилась так называемая релятивистская масса, зависящая от скорости движения тела. Современная физика постепенно отказывается от этой терминологии). 24

25


Динамика СТО Основной закон релятивистской динамики материальной точки записывается так же, как и второй закон Ньютона: Следовательно 25

26


Энергия в СТО Вычисление кинетической энергии приводит к следующему выражению: Эйнштейн интерпретировал первый член в правой части этого выражения как полную энергию E движущийся частицы, а второй член как энергию покоя. 26

27


Зависимость кинетической энергии от скорости Зависимость кинетической энергии от скорости для релятивистской (a) и классической (b) частиц. При υ

28


Связь массы и энергии Утверждение о том, что находящаяся в покое масса m содержит огромный запас энергии получило разнообразные практические применения, включая использование ядерной энергии. Если масса частицы или системы частиц уменьшилась на Δm, то при этом должна выделиться энергия ΔE = Δm·c 2. Многочисленные прямые эксперименты дают убедительные доказательства существования энергии покоя. 28

29


Связь массы и энергии Закон пропорциональности массы и энергии является одним из самых важных выводов СТО. Масса и энергия являются характеристиками материальных объектов. Масса тела характеризует его инертность, а также способность тела вступать в гравитационное взаимодействие с другими телами. Важнейшим свойством энергии является ее способность превращаться из одной формы в другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах. Формула Эйнштейна выражает фундаментальный закон природы, который принято называть законом взаимосвязи массы и энергии. 29

30


Связь энергии и импульса Отсюда следует, что для покоящихся частиц (p = 0) E = E 0 = mc 2. Между полной энергией, энергией покоя и импульсом существует следующая связь:. 30

31


Безмассовые частицы Т.о. частица может иметь энергию и импульс, но не иметь массы (m = 0). Такие частицы называются безмассовыми. Для безмассовых частиц связь между энергией и импульсом выражается простым соотношением Е = pc. К безмассовым частицам относятся фотоны – кванты электромагнитного излучения и, возможно, нейтрино. Безмассовые частицы не могут существовать в состоянии покоя, во всех инерциальных системах отсчета они движутся с предельной скоростью c. 31

32


32

33


Задача 1 Определить импульс электрона, обладающего кинетической энергией 5 МэВ. Решение: Полная энергия Е частицы равна E = E o + E к, где E o энергия покоя, E к кинетическая энергия частицы. Релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом имеет вид: E 2 = E o 2 + p 2 c 2, где с скорость света в вакууме. Импульс электрона будет равен: p = (1/c){E 2 E o 2 } = (1/c){E к (E к + 2E o )}. После вычислений получим p = 2,93 × кгм/с. 33

34


Задача 2 Протон движется со скоростью 0,7 скорости света. Найти импульс и кинетическую энергию протона. Решение. Импульс частицы в релятивистской механике определяется по формуле: p = mv/{1 (v/c) 2 }, (1) или с учетом замены β = v/c = 0,7, имеем p = mcβ/{1 β 2 }, (2) В релятивистской механике кинетическая энергия частицы Т определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е o этой частицы: Т = Е Е o, где E = mc 2 /{1 β 2 }; E o = mc 2. Тогда формула T имеет вид: T = mc 2 (1/(1 β 2 ) 1).(3) Подставляя в (2) и (3) числовые значения, находим p = 4,91 × кгм/с и T = 6,02 × Дж. 34

35


Задача 3 Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,8с, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя. 35

36


Задача 4 Два автомобиля движутся в противоположных направлениях со скоростями υ 1 и υ 2 относительно поверхности Земли. Чему равна скорость света от фар первого автомобиля в системе отсчета, связанной с другим автомобилем? c + (υ 1 + υ 2 ) c — (υ 1 – υ 2 ) c – (υ 1 + υ 2 ) c – (υ 1 – υ 2 ) c 36

37


Задача 5 Панель дома массой 200 кг поднята на высоту 10 м. Как изменится при этом его масса? Не изменится Увеличится на 0,2210 –12 кг Уменьшится на 0,2210 –12 кг Для решения задачи не хватает данных ΔE = Δm·c 2 ΔE = mgh 37

38


Задача 6 Рассчитайте отношение времени τ в системе отсчета, движущейся со скоростью υ = 1, м/с относительно лабораторной системы отсчета, к собственному времени τ 0. 38

39


Реши задачи 1. Первый космический корабль стартует с Земли со скоростью V 1 = 0,68 с. Второй космический корабль стартует с первого космического корабля в том же направлении со скоростью V 2 = 0,86 с. Вычислите скорость второго космического корабля относительно Земли. 39

40


Найдите скорость υ частицы, которой потребовалось бы на 2 года больше, чем световому импульсу, чтобы пройти расстояние в 6,0 световых лет до далекой звезды. Скорость частицы выразите в долях скорости света c. 2. Опыты по наблюдению спектра водорода, находящегося в спектральной трубке, выполнялись дважды. Первый раз на Земле, второй раз в космическом корабле, движущемся относительно Земли с постоянной скоростью. Наблюдаемые спектры одинаковы существенно различны сходны, но все спектральные линии сдвинуты друг относительно друга 3. 40